Todo sobre el tuning de coches

Divide la cruz en figuras de 5 celdas. Problemas geométricos (para cortar). Colorantes auxiliares a cuadros.

1. Se dibujó una figura en papel cuadriculado. dividirlo en 4 iguales
partes a lo largo de las líneas de papel a cuadros. Encuentre todas las figuras posibles para las cuales
Puedes recortar esta figura según la condición del problema.
Solución.
2. Del cuadrado 5 5 recorta la celda central. Cortar el resultado
figura en dos partes iguales de dos maneras.
Solución.

3. Divide el rectángulo de 3×4 en dos partes iguales. Encuentra cómo puedes
más maneras. Puedes cortar sólo a lo largo del lado de un cuadrado de 1 × 1, y los métodos
Se consideran diferentes si las cifras resultantes no son iguales para cada una.
forma.
Solución.
4. Corta la figura que se muestra en la figura en 2 partes iguales.
Solución.
5. Corta la figura que se muestra en la figura en 2 partes iguales.

Solución.
6. Corta la figura que se muestra en la figura en dos partes iguales a lo largo
líneas de cuadrícula, y en cada una de las partes debe haber un círculo.
Solución.
7. Corta la figura que se muestra en la figura en cuatro partes iguales.

Solución.

8. Corta la figura que se muestra en la figura en cuatro partes iguales.
a lo largo de las líneas de la cuadrícula, y en cada una de las partes debe haber un círculo.
Solución.
9. Corta este cuadrado a lo largo de los lados de las celdas para que todas las partes
ser del mismo tamaño y forma, y ​​que cada uno contenga una
taza y cruz.
Solución.

10. Corte la figura que se muestra en la figura a lo largo de las líneas de la cuadrícula en
cuatro partes iguales y dóblalas formando un cuadrado para que los círculos y las cruces
ubicado simétricamente con respecto a todos los ejes de simetría del cuadrado.
Solución.
11. Corta el cuadrado de 6  6 celdas que se muestra en la figura en cuatro
partes idénticas para que cada una de ellas contenga tres celdas llenas.

Solución.
12. ¿Es posible cortar un cuadrado en cuatro partes para que cada parte
estaba en contacto con los otros tres (las partes están en contacto si tienen un punto común)
zona fronteriza)?
Solución.
13. ¿Es posible cortar un rectángulo de 9 4 celdas en dos partes iguales a lo largo

entonces como hacerlo?
Solución El área de dicho cuadrado es 36 celdas, es decir, su lado es 6
células. El método de corte se muestra en la figura.

14. ¿Es posible cortar un rectángulo de 5 10 celdas en dos partes iguales a lo largo
¿Los lados de las celdas para que pudieran formar un cuadrado? En caso afirmativo,
entonces como hacerlo?
Solución El área de dicho cuadrado es 50 celdas, es decir, su lado es
más de 7, pero menos de 8 células enteras. Entonces, para cortar tal rectángulo
de la forma requerida en los lados de las celdas es imposible.
15. Había 9 hojas de papel. Algunos de ellos fueron cortados en tres partes. Total
se convirtieron en 15 hojas. ¿Cuántas hojas de papel se cortaron?
Solución: Cortar 3 hojas: 3 ∙ 3 + 6 = 15.

transcripción

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moscú, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problemas de corte. M.: MTsNMO, p.: enfermo. Serie: "Secretos de la enseñanza de las matemáticas". Este libro es el primero de la serie Secretos de la enseñanza de las matemáticas, diseñado para presentar y resumir la experiencia acumulada en el campo de la educación matemática. Esta colección es una de las partes del curso "Desarrollo de la lógica en los grados 5-7". A todos los problemas planteados en el libro se les dan soluciones o instrucciones. El libro se recomienda para trabajos extracurriculares en matemáticas. BBK ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MTsNMO, 2002.

3 Introducción En la actualidad, se está revisando y perfeccionando la visión tradicional de la composición de las materias estudiadas por los escolares. EN currículum escolar Se introducen varios elementos nuevos. Uno de estos temas es la lógica. El estudio de la lógica contribuye a la comprensión de la belleza y elegancia del razonamiento, la capacidad de razonar, el desarrollo creativo del individuo, la educación estética de una persona. Toda persona culta debe estar familiarizada con los problemas lógicos, los acertijos y los juegos que se conocen desde hace varios siglos o incluso milenios en muchos países del mundo. El desarrollo del ingenio, el ingenio y la independencia de pensamiento es necesario para cualquier persona si quiere tener éxito y lograr la armonía en la vida. Nuestra experiencia muestra que el estudio sistemático de la lógica formal o de fragmentos de lógica matemática debería posponerse para los grados superiores. escuela secundaria. Sin embargo, desarrollar pensamiento lógico necesario lo más pronto posible. De hecho, al estudiar materias escolares, el razonamiento y la demostración aparecen sólo en el séptimo grado (cuando comienza el curso de geometría sistemática). Para muchos estudiantes, la transición abrupta (no hubo razonamiento se convirtió en mucho razonamiento) es insoportablemente difícil. En el curso del desarrollo de la lógica para los grados 5 a 7, es muy posible enseñar a los escolares a razonar, probar y encontrar patrones. Por ejemplo, al resolver acertijos matemáticos, no solo se deben adivinar (recoger) varias respuestas, sino también demostrar que Lista llena respuestas posibles. Es bastante bueno para un niño de quinto grado. Pero en el proceso de enseñanza de la lógica en los grados 5-7 de las escuelas secundarias, los profesores enfrentan ciertas dificultades: la falta de libros de texto, materiales didácticos, manuales y materiales visuales. Todo esto tiene que ser recopilado, escrito y dibujado por el propio profesor. Uno de los objetivos de esta colección es facilitar al profesor la preparación y dirección de las clases. Daremos algunas recomendaciones para realizar lecciones antes de trabajar con la colección.

4 4 Introducción Es recomendable empezar a enseñar lógica a los escolares a partir del quinto grado, y tal vez incluso antes. La lógica debe enseñarse en un estilo relajado, casi de improvisación. Esta aparente ligereza en realidad requiere mucha preparación seria por parte del profesor. Es inaceptable, por ejemplo, corregir un problema interesante y entretenido en un grueso cuaderno escrito a mano, como hacen a veces los profesores. Le recomendamos que realice clases en una forma no estándar. Debe utilizarse en el aula tanto como sea posible. material visual: varias tarjetas, dibujos, conjuntos de figuras, ilustraciones para la resolución de problemas, diagramas. No trates con estudiantes más jóvenes un tema durante mucho tiempo. Al analizar un tema, se debe intentar resaltar los principales hitos lógicos y lograr la comprensión (y no la memorización) de estos puntos. Es necesario volver constantemente al material cubierto. Esto se puede hacer en Trabajo independiente, competiciones por equipos (durante las lecciones), pruebas al final del trimestre, orales y escribiendo olimpíadas, matboyah (después del horario escolar). También es necesario utilizar tareas entretenidas y cómicas en el aula, en ocasiones es útil cambiar el rumbo de la actividad. Esta colección es una de las partes del curso "Desarrollo de la lógica en los grados 5-7" "Problemas de corte". Esta parte se probó en las lecciones de lógica en los grados 5 a 7 del Liceo 74 de Omsk. A muchos científicos les han gustado los problemas de corte desde la antigüedad. Soluciones de muchas tareas simples Para cortar fueron encontrados por los antiguos griegos y chinos, pero el primer tratado sistemático sobre este tema pertenece a la pluma de Abul-Vef, el famoso astrónomo persa del siglo X, que vivió en Bagdad. Los geómetras se dedicaron seriamente a resolver los problemas de cortar figuras en el menor número de partes y luego componer una u otra figura nueva a partir de ellas recién a principios del siglo XX. Uno de los fundadores de esta fascinante rama de la geometría fue el famoso compilador de acertijos Henry

5 Introducción 5 E. Dudeni. El experto de la Oficina Australiana de Patentes, Harry Lindgren, batió un número especialmente elevado de figuras preexistentes que batieron récords. Es un destacado cortador de figuras. Hoy en día, a los amantes de los rompecabezas les gusta resolver problemas cortantes, principalmente porque no existe un método universal para resolver tales problemas, y todos los que se dedican a resolverlos pueden demostrar plenamente su ingenio, intuición y capacidad de pensar creativamente. Dado que aquí no se requieren conocimientos profundos de geometría, los aficionados a veces pueden incluso superar a los matemáticos profesionales. Al mismo tiempo, los problemas de corte no son frívolos ni inútiles, no están lejos de ser problemas matemáticos serios. De los problemas de corte nació el teorema de Boyai-Gervin de que dos polígonos cualesquiera de igual tamaño están igualmente compuestos (lo contrario es obvio), y luego el tercer problema de Hilbert: ¿es cierta una afirmación similar para los poliedros? Las tareas de corte ayudan a los escolares a formar representaciones geométricas lo antes posible en una variedad de materiales. Al resolver tales problemas, surge un sentimiento de belleza, ley y orden en la naturaleza. La colección "Problemas de corte" se divide en dos secciones. Para resolver los problemas de la primera sección, los estudiantes no necesitarán conocimientos de los conceptos básicos de planimetría, pero sí ingenio, imaginación geométrica e información geométrica bastante simple y conocida por todos. La segunda sección son tareas opcionales. Estos incluían tareas, cuya solución requerirá conocimiento de información geométrica básica sobre figuras, sus propiedades y características, y conocimiento de algunos teoremas. Cada sección está dividida en párrafos en los que intentamos combinar tareas sobre un tema y ellos, a su vez, se dividen en lecciones que contienen cada una de ellas tareas homogéneas en orden de dificultad creciente. La primera sección contiene ocho párrafos. 1. Tareas sobre papel cuadriculado. Esta sección contiene problemas en los que el corte de figuras (principalmente cuadrados y rectángulos) se realiza a lo largo de los lados de las celdas. El párrafo contiene 4 lecciones, las recomendamos para que las estudien estudiantes de quinto grado.

6 6 Introducción 2. Pentomino. Este párrafo contiene tareas relacionadas con figuras de pentominó, por lo que para estas lecciones es recomendable distribuir juegos de estas figuras a los niños. Aquí hay dos lecciones, las recomendamos para que las estudien estudiantes de 5º a 6º grado. 3. Tareas de corte difíciles. Aquí se recopilan tareas para cortar formas de formas más complejas, por ejemplo, con bordes que son arcos, y tareas de corte más complejas. Hay dos lecciones en este párrafo, recomendamos que se enseñen en el séptimo grado. 4. Dividir el avión. Aquí se recopilan problemas en los que necesita encontrar particiones sólidas de rectángulos en baldosas rectangulares, problemas para ensamblar parquets, problemas para empaquetar formas más densas en un rectángulo o cuadrado. Le recomendamos que estudie este párrafo en los grados 6-7. 5. Tangram. Aquí se recopilan tareas relacionadas con el antiguo rompecabezas chino "Tangram". Para esta lección es recomendable tener este rompecabezas, al menos de cartón. Esta sección se recomienda para estudiar en 5to grado. 6. Problemas de corte en el espacio. Aquí se presenta a los estudiantes el desarrollo de un cubo, una pirámide triangular, se trazan paralelos y se muestran las diferencias entre figuras en un plano y cuerpos tridimensionales, lo que significa diferencias en la resolución de problemas. El párrafo contiene una lección que recomendamos para estudiantes de sexto grado. 7. Tareas para colorear. Muestra cómo colorear una forma ayuda a resolver un problema. No es difícil demostrar que la solución al problema de cortar una figura en partes es posible, basta con prever algún método de corte. Pero demostrar que cortar es imposible es más difícil. Colorear la figura nos ayuda a ello. Hay tres lecciones en este párrafo. Se recomiendan para el estudio de estudiantes de séptimo grado. 8. Tareas de coloración en el estado. Aquí se recopilan tareas en las que necesita colorear una figura de cierta manera, responda la pregunta: ¿cuántos colores se necesitarán para tal coloración (el más pequeño o el numero mas grande), etc. Hay siete lecciones en el párrafo. Los recomendamos para que los estudiantes de séptimo grado los estudien. La segunda sección incluye tareas que se pueden resolver en clases adicionales. Contiene tres párrafos.

7 Introducción 7 9. Transformación de figuras. Contiene tareas en las que una figura se corta en partes a partir de las cuales se compone otra figura. Hay tres lecciones en este párrafo, la primera trata de la "transformación" de varias figuras (aquí se recopilan tareas bastante sencillas) y la segunda lección trata de la geometría de la transformación de un cuadrado. 10. Diferentes tareas de corte. Esto incluye varias tareas para cortar, que se resuelven varios métodos. Hay tres lecciones en esta sección. 11. El área de las figuras. Hay dos lecciones en esta sección. En la primera lección, se consideran problemas en cuya solución es necesario cortar las figuras en partes, y luego se demuestra que las figuras están compuestas igualmente, en la segunda lección, problemas en cuya solución es necesario utilizar las propiedades de las áreas de las figuras.

8 Sección 1 1. Tareas sobre papel cuadriculado Lección 1.1 Tema: Tareas de corte sobre papel cuadriculado. Propósito: Desarrollar habilidades combinatorias (considerar varias formas de construir una línea cortada de figuras, reglas que permiten no perder soluciones al construir esta línea), desarrollar ideas sobre simetría. Resolvemos problemas en la lección, problema 1.5 para la casa. El cuadrado contiene 16 celdas. Divida el cuadrado en dos partes iguales para que la línea de corte corra a lo largo de los lados de las celdas. (Las formas de cortar un cuadrado en dos partes se considerarán diferentes si las partes del cuadrado obtenidas con un método de corte no son iguales a las partes obtenidas con otro método). ¿Cuántas soluciones tiene el problema? Instrucción. Encontrar varias soluciones a este problema no es tan difícil. En la fig. 1, se muestran algunas de ellas, y las soluciones b) yc) son las mismas, ya que las figuras obtenidas en ellas se pueden combinar por superposición (si se gira el cuadrado c) 90 grados). Arroz. 1 Pero encontrar todas las soluciones y no perder ninguna solución ya es más difícil. Nótese que la línea discontinua que divide el cuadrado en dos partes iguales es simétrica con respecto al centro del cuadrado, esta observación nos permite avanzar

9 Lección a paso para dibujar una polilínea desde dos extremos. Por ejemplo, si el comienzo de una polilínea está en el punto A, entonces su final estará en el punto B (Fig. 2). Asegúrese de que para este problema, el principio y el final de la polilínea se puedan dibujar de dos maneras, como se muestra en la Fig. 2. Al construir una línea discontinua, para no perder ninguna solución, puedes seguir esta regla. Si el siguiente enlace de la polilínea se puede dibujar de dos maneras, primero debe preparar un segundo dibujo similar y realizar este paso en un dibujo de la primera manera y en el otro de la segunda (la Fig. 3 muestra dos continuaciones de la Fig. 2 (a)). De manera similar, debe actuar cuando no hay dos, sino tres métodos (la Fig. 4 muestra tres continuaciones de la Fig. 2 (b)). El procedimiento especificado ayuda a encontrar todas las soluciones. Arroz. 2 figura. 3 El rectángulo de arroz 3 4 contiene 12 celdas. Encuentre cinco formas de cortar un rectángulo en dos partes iguales para que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas (los métodos de corte se consideran diferentes si las partes obtenidas con un método de corte no son iguales a las partes obtenidas con otro método) Rectángulo 3 5 contiene 15 celdas y se elimina una celda central. Encuentra cinco formas de cortar la figura restante.

10 10 1. Las tareas en papel cuadriculado se dividen en dos partes iguales de modo que la línea de corte pase por los lados de las celdas. El cuadrado 6 6 se divide en 36 cuadrados idénticos. Encuentra cinco formas de cortar un cuadrado en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de los cuadrados. El problema 1.4 tiene más de 200 soluciones. Encuentra al menos 15 de ellos. Lección 1.2 Tema: Problemas para cortar en papel cuadriculado. Propósito: Continuar desarrollando ideas sobre simetría, preparación para el tema "Pentamino" (consideración de varias figuras que se pueden construir a partir de cinco celdas). Problemas ¿Se puede cortar un cuadrado de 5 5 celdas en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas? Justifica tu respuesta Divide el cuadrado 4 4 ​​en cuatro partes iguales de modo que la línea de corte corra a lo largo de los lados de las celdas. Cuántos varias maneras cortando encuentras? 1.8. Divida la figura (Fig. 5) en tres partes iguales para que la línea de corte corra a lo largo de los lados de los cuadrados. Arroz. 5 figura. Fig. 6 Divida la figura (Fig. 6) en cuatro partes iguales para que la línea de corte vaya por los lados de los cuadrados Divida la figura (Fig. 7) en cuatro partes iguales para que las líneas de corte vayan por los lados de los cuadrados cuadrícula. Encuentre tantas soluciones como sea posible.

11 Lección Divide un cuadrado de 5 5 celdas con una celda central recortada en cuatro partes iguales. Lección 1.3 Tema: Problemas de corte en papel cuadriculado. Propósito: Continuar desarrollando ideas sobre simetría (axial, central). Tareas Cortar las formas que se muestran en la fig. 8, en dos partes iguales a lo largo de las líneas de la cuadrícula, y en cada una de las partes debe haber un círculo. Arroz. 8 Figura Las figuras que se muestran en la fig. 9, es necesario cortar a lo largo de las líneas de la cuadrícula en cuatro partes iguales para que quede un círculo en cada parte. ¿Cómo hacerlo? Recorta la figura que se muestra en la Fig. 10, a lo largo de las líneas de la cuadrícula en cuatro partes iguales y dóblalas en un cuadrado de modo que los círculos y las estrellas estén dispuestos simétricamente alrededor de todos los ejes de simetría del cuadrado. Arroz. 10

12 12 1. Tareas en papel cuadriculado Corta este cuadrado (Fig. 11) a lo largo de los lados de las celdas para que todas las partes tengan el mismo tamaño y forma y cada una contenga un círculo y un asterisco. 12 en cuatro partes idénticas para que cada una de ellas contenga tres celdas llenas. Lección 1.4 11 figura. 12 Tema: Problemas para cortar en papel cuadriculado. Objetivo: aprender a cortar un rectángulo en dos partes iguales, a partir de las cuales puedes agregar un cuadrado, otro rectángulo. Aprenda a determinar de qué rectángulos, cortándolos, puede hacer un cuadrado. Tareas Tareas adicionales 1.23, 1.24 (estas tareas se pueden considerar al comienzo de la lección como calentamiento) Corte el rectángulo de 4 9 celdas a lo largo de los lados de las celdas en dos partes iguales para que luego se puedan doblar en un cuadrado. ¿Se puede cortar un rectángulo de 4 8 celdas en dos partes a lo largo de los lados de las celdas para que puedan formar un cuadrado? De un rectángulo de 10 7 celdas, se cortó un rectángulo de 1 6 celdas, como se muestra en la Fig. 13. Corte la figura resultante en dos partes para poder doblarlas formando un cuadrado. Las figuras rellenas se cortaron de un rectángulo de 8 9 celdas, como se muestra en la fig. 14. Corta la figura resultante en dos partes iguales para que puedas sumar un rectángulo de 6 10 a partir de ellas.

13 Lección Fig. 13 Arroz Se dibuja un cuadrado de 5 5 celdas en papel cuadriculado. Muestre cómo cortarlo a lo largo de los lados de las celdas en 7 rectángulos diferentes. Corte el cuadrado en 5 rectángulos a lo largo de los lados de las celdas para que los diez números que expresan las longitudes de los lados de los rectángulos sean enteros diferentes. Divida las figuras que se muestran en la figura. . 15, en dos partes iguales. (Puede cortar no sólo a lo largo de las líneas de las celdas, sino también a lo largo de sus diagonales). 15

14 14 2. Pentomino Recorta las figuras que se muestran en la fig. 16, en cuatro partes iguales. 2. Pentominó Fig. 16 Lección 2.1 Tema: Pentomino. Finalidad: Desarrollo de las habilidades combinatorias de los estudiantes. Tareas Figuras de dominó, trominó, tetraminó (un juego con tales figuras se llama Tetris), los pentominó se componen de dos, tres, cuatro, cinco cuadrados, de modo que cualquier cuadrado tenga un lado común con al menos un cuadrado. A partir de dos cuadrados idénticos sólo se puede hacer una figura de dominó (ver Fig. 17). Las figuras de Trimino se pueden obtener a partir de una sola figura de dominó uniéndole otro cuadrado de varias maneras. Obtendrá dos figuras de trominó (Fig. 18). Arroz. 17 Arroz Haz todo tipo de figuras de tetramino (de la palabra griega "tetra", cuatro). ¿Cuantos consiguieron? (Las formas obtenidas por rotación o visualización simétrica de cualesquiera otras no se consideran nuevas).

15 Lección Haz todas las figuras posibles de pentominó (del griego "penta" cinco). ¿Cuantos consiguieron? 2.3. Componga las figuras que se muestran en la Fig. 19, de figuras de pentomino. ¿Cuántas soluciones tiene el problema para cada figura? Figura Dobla un rectángulo de 3 5 de piezas de pentominó. ¿Cuántas soluciones diferentes obtendrás? 2.5. Componga las figuras que se muestran en la Fig. 20, de figuras de pentomino. Arroz. 20

16 16 2. Pentomino Lección 2.2 Tema: Pentomino. Propósito: Desarrollo de ideas sobre simetría. Problemas En el problema 2.2 inventamos todas las piezas posibles de pentominó. Mírelos en la fig. 21. figura. 21 La figura 1 tiene siguiente propiedad. Si se corta de papel y se dobla en línea recta a (Fig. 22), una parte de la figura coincidirá con la otra. Se dice que la figura es simétrica respecto del eje de simetría de la recta. La figura 12 también tiene un eje de simetría, incluso dos de ellos son rectas b y c, mientras que la figura 2 no tiene ejes de simetría. Figura ¿Cuántos ejes de simetría tiene cada figura de pentominó? 2.7. De las 12 figuras de pentominó, doble un rectángulo. Las piezas asimétricas se pueden voltear. Doble un rectángulo de 6 10 de doce figuras de pentominó, de modo que cada elemento toque un lado de este rectángulo.

Lección 17 Corta el rectángulo que se muestra en la fig. 23 (a), a lo largo de las líneas internas en dos de esas partes, a partir de las cuales es posible doblar una figura con tres agujeros cuadrados del tamaño de una celda (Fig. 23 (b)). Fig. De las figuras de pentominó, doble un cuadrado 8 8 con un cuadrado 2 2 cortado en el medio. Encuentre varias soluciones. Se colocan doce pentominós en un rectángulo. Restaure los bordes de las figuras (Fig. 24) si cada estrella cae exactamente en un pentominó. Arroz. 24 Fig. Doce piezas de pentominó están apiladas en una caja 12 10, como se muestra en la fig. 25. Intente colocar otro juego de pentominós en el campo libre restante.

18 18 3. Problemas de corte difíciles 3. Problemas de corte difíciles Lección 3.1 Tema: Problemas para cortar figuras de formas más complejas con límites que son arcos. Propósito: Aprender a cortar figuras de formas más complejas con bordes que son arcos y hacer un cuadrado a partir de las partes resultantes. Tareas En la fig. 26 muestra 4 figuras. Con un corte, divide cada uno de ellos en dos partes y forma un cuadrado con ellas. El papel cuadriculado te facilitará la resolución del problema. Arroz Cortando el cuadrado 6 6 en partes, agregue las figuras que se muestran en la fig. 27. figura. 27

19 Lección 28 muestra parte de la muralla de la fortaleza. Una de las piedras tiene una forma tan extraña que si la sacas de la pared y la colocas de otra manera, la pared se nivelará. Dibuja esta piedra. ¿Para qué se utilizará más pintura: para pintar un cuadrado o este anillo inusual (Fig. 29)? Arroz. 28 Arroz Corte el jarrón que se muestra en la fig. 30, en tres partes, a partir de las cuales se puede doblar un rombo. Arroz. 30 figura. 31 figura. 32 Lección 3.2 Tema: Problemas de corte más complejos. Objetivo: Practicar la resolución de problemas de corte más complejos. Resolvemos problemas en la lección, problema 3.12 para el hogar. Corte la figura (Fig.31) con dos cortes rectos en partes de las que pueda agregar un cuadrado. 32 figura en cuatro partes iguales, a partir de las cuales sería posible agregar un cuadrado. Cortar la letra E, que se muestra en la fig. 33, en cinco partes y dóblalas formando un cuadrado. Voltear piezas reverso No

20 20 4. Se permite dividir el avión. ¿Es posible arreglárselas con cuatro partes si se permite darles la vuelta? 3.9. La cruz, formada por cinco cuadrados, debe cortarse en partes tales que sea posible hacer un cuadrado de igual tamaño (es decir, igual en área). Se dan dos tableros de ajedrez: uno ordinario, en 64 celdas, y otro en 36 celdas. Es necesario cortar cada uno de ellos en dos partes para que de las cuatro partes obtenidas se pueda hacer un nuevo tablero de ajedrez de celdas. El ebanista tiene una pieza de un tablero de ajedrez de 7 7 celdas hecha de preciosa caoba. Quiere sin desperdiciar material y deslizar Fig. 33 cortes solo a lo largo de los bordes de las celdas, corta el tablero en 6 partes para que formen tres nuevos cuadrados, todos de diferentes tamaños. ¿Cómo hacerlo? ¿Es posible resolver el problema 3.11 si el número de piezas debe ser 5 y la longitud total de los cortes es 17? 4. Dividir un plano Lección 4.1 Tema: Particiones sólidas de rectángulos. Propósito: Aprender a construir particiones sólidas de rectángulos con tejas rectangulares. Responda la pregunta en qué condiciones el rectángulo admite tal división del plano. Las tareas (a) se resuelven en la lección. Las tareas 4.5 (b), 4.6, 4.7 se pueden dejar en casa. Supongamos que tenemos un suministro ilimitado de 2 1 losas rectangulares y queremos diseñar un piso rectangular con ellas, y no deben superponerse dos losas. Coloque 2 1 losas en el piso de una habitación de 5 6. Está claro que si el piso en una una habitación rectangular p q tiene mosaicos de 2 1, entonces p q es par (ya que el área es divisible por 2). Y viceversa: si p q es par, entonces el suelo se puede revestir con baldosas 2 1.

21 Lección De hecho, en este caso uno de los números p o q debe ser par. Si, por ejemplo, p = 2r, entonces el piso se puede disponer como se muestra en la Fig. 34. Pero en estos parquets hay líneas de rotura que cruzan toda la “habitación” de pared a pared, pero no cruzan las baldosas. Pero en la práctica se utilizan parquets sin tales líneas: parquets macizos. Fig Disposición de los azulejos 2 1 parquet macizo de la habitación Intente encontrar un mosaico continuo 2 1 a) rectángulo 4 6; b) cuadrado Colocar baldosas 2 1 parquet macizo a) habitaciones 5 8; b) habitaciones 6 8. Naturalmente, surge la pregunta ¿para qué p y q el rectángulo p q admite una partición continua en mosaicos 2 1? Ya conocemos las condiciones necesarias: 1) p q es divisible por 2, 2) (p, q)(6, 6) y (p, q)(4, 6). También se puede verificar una condición más: 3) p 5, q 5. Resulta que estas tres condiciones resultan ser suficientes también. Azulejos de otros tamaños Coloque los azulejos 3 2 sin espacios a) rectángulo 11 18; b) rectángulo Disponer sin espacios, si es posible, un cuadrado con azulejos. ¿Es posible, tomando un cuadrado de papel cuadriculado de 5 5 celdas, recortar 1 celda para poder cortar el resto en placas de 1 3? ¿células? Lección 4.2 Tema: Parquets.

22 22 4. Dividir el plano Objetivo: Aprender a cubrir el plano con varias figuras (además, los parquets pueden ser con líneas quebradas o sólidas), o demostrar que esto es imposible. Problemas Una de las preguntas más importantes en la teoría de la partición de un plano es: "¿Qué forma debe tener una loseta para que sus copias puedan cubrir el plano sin espacios ni dobles coberturas?" Inmediatamente me vienen a la mente bastantes formas obvias. Se puede demostrar que sólo existen tres polígonos regulares que pueden cubrir el plano. Este es un triángulo, un cuadrado y un hexágono equilátero (ver Fig. 35). Existe una infinidad de polígonos irregulares que pueden cubrir el plano. Fig. Divide un triángulo obtuso arbitrario en cuatro triángulos iguales y semejantes. En el problema 4.8 dividimos el triángulo en cuatro triángulos iguales y semejantes. Cada uno de los cuatro triángulos resultantes se puede, a su vez, dividir en cuatro triángulos iguales y semejantes, etc. Si nos movemos en sentido contrario, es decir, sumamos cuatro triángulos iguales triangulos obtusos de modo que se obtenga un triángulo similar a ellos, pero cuatro veces más grande en área, etc., entonces dichos triángulos se pueden revestir con un plano. El plano se puede cubrir con otras figuras, por ejemplo, trapecios, paralelogramos... Cubra el avión con las mismas figuras que se muestran en la fig. 36.

23 Lección Coloca el plano en mosaico con los mismos "soportes" que se muestran en la fig. 37. figura. 36 Arroz Hay cuatro cuadrados con un lado de 1, ocho con un lado de 2, doce con un lado de 3. ¿Puedes hacer un cuadrado grande con ellos? ¿Es posible doblar un cuadrado de cualquier tamaño a partir de las losas de madera indicadas en la fig. ¿38 tipos, usando fichas de ambos tipos? Lección 4.3 Tema: Problemas del empaquetamiento más denso. Arroz. 38 Propósito: Formar el concepto de solución óptima. Tareas ¿Cuál es la mayor cantidad de tiras de tamaño 1 5 celdas que se pueden cortar de un cuadrado de papel cuadriculado de 8 8 celdas? El maestro tiene una hoja de hojalata cuadrada. dm. El maestro quiere cortar tantos espacios en blanco rectangulares como sea posible de 3 a 5 metros cuadrados. dm. Ayúdalo ¿Es posible cortar el rectángulo de la celda en rectángulos de tamaño 5 7 sin dejar residuos? Si es posible, ¿cómo? ¿Si no, porque no? En una hoja de papel cuadriculado, marque los cortes con el tamaño de las celdas, con la ayuda de las cuales podrá obtener tantas figuras enteras como se muestra en la Fig. 39. Las figuras representadas en la fig. 39 (b, d), se puede dar la vuelta.

24 24 5. Tangram Rice Tangram Lección 5.1 Tema: Tangram. Objetivo: Introducir a los estudiantes en el rompecabezas chino "Tangram". Practicar la investigación geométrica, el diseño. Desarrollar habilidades combinatorias. Problemas Hablando de problemas de corte, no se puede dejar de mencionar el antiguo rompecabezas chino "Tangram", que surgió en China hace 4 mil años. En China se le llama "chi tao tu", es decir, un rompecabezas mental de siete piezas. Pautas. Para llevar a cabo esta lección, es recomendable tener folletos: un rompecabezas (que los propios alumnos pueden hacer), dibujos de figuras que deben doblarse. Figura Haga un rompecabezas usted mismo: transfiera un cuadrado dividido en siete partes (Fig. 40) a un papel grueso y córtelo. Usando las siete partes del rompecabezas, haga las figuras que se muestran en la fig. 41.

25 Lección Fig. 41 figura. 42 Directrices. A los niños se les pueden dar dibujos de las figuras a), b) c. tamaño natural. Y así el alumno puede resolver el problema colocando partes del rompecabezas en el dibujo de la figura y seleccionando así las partes correctas, lo que simplifica la tarea. y dibujos de figuras

26 26 6. Los problemas de corte en el espacio c), d) se pueden dar a menor escala; en consecuencia, estas tareas serán más difíciles de resolver. En la fig. Se dan 42 figuras más para la autocompilación. Intenta crear tu propia figura usando las siete partes del tangram. En el tangram, entre sus siete partes, ya hay triángulos de diferentes tamaños. Pero a partir de sus partes aún puedes agregar varios triángulos. Dobla un triángulo usando cuatro partes de un tangram: a) un triángulo grande, dos triángulos pequeños y un cuadrado; b) un triángulo grande, dos triángulos pequeños y un paralelogramo; c) un triángulo grande, un triángulo mediano y dos triángulos pequeños ¿Puedes hacer un triángulo usando solo dos partes de un tangram? ¿Tres partes? ¿Cinco partes? ¿Seis partes? ¿Las siete partes del tangram? 5.6. Es obvio que un cuadrado está formado por las siete partes del tangram. ¿Es posible o imposible hacer un cuadrado de dos partes? ¿De tres? ¿De cuatro? 5.7. ¿Qué diferentes partes de un tangram se pueden usar para hacer un rectángulo? ¿Qué otros polígonos convexos se pueden formar? 6. Problemas de corte en el espacio Lección 6.1 Tema: Problemas de corte en el espacio. Finalidad: Desarrollar la imaginación espacial. Aprenda a construir un barrido de una pirámide triangular, un cubo, determine qué barridos son incorrectos. Practique la resolución de problemas para cortar cuerpos en el espacio (la solución de tales problemas difiere de la resolución de problemas para cortar formas en un plano). Tareas Pinocho tenía papel, pegado por un lado con polietileno. Hizo la pieza que se muestra en la Fig. 43 para pegar bolsas de leche (pirámides triangulares). Y la zorra Alice puede dejar otro espacio en blanco. ¿Qué?

27 Lección Arroz Gato Basilio también recibió este papel, pero quiere pegar cubitos (bolsas de kéfir). Hizo los espacios en blanco que se muestran en la Fig. 44. Y la zorra Alicia dice que algunas se pueden tirar enseguida, porque no son buenas. ¿Tiene razón? La Pirámide de Keops tiene un cuadrado en la base y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales. Pinocho subió y midió el ángulo del borde en la parte superior (AMD, en la Fig. 45). Resultó 100. Y la zorra Alice dice que se sobrecalentó al sol, porque esto no puede ser. ¿Tiene razón? 6.4. Cual número mínimo¿Es necesario hacer cortes planos para dividir un cubo en 64 cubos pequeños? Después de cada corte se permite desplazar las partes del cubo a su gusto, el cubo de madera se pintó por fuera con pintura blanca, luego cada una de sus aristas Fig. 45 se dividió en 5 partes iguales, luego de lo cual se cortó para obtener pequeños cubos, cuyo borde es 5 veces más pequeño que el del cubo original. ¿Cuántos cubos pequeños hay? ¿Cuántos cubos tienen tres lados pintados? ¿Dos aristas? ¿Un borde? ¿Cuántos cubos quedan sin pintar? 6.6. La sandía se cortó en 4 trozos y se comió. Resultó 5 costras. ¿Puede ser esto?

28 28 7. Tareas para colorear 6.7. ¿Cuál es el número máximo de trozos que se puede cortar un panqueque con tres cortes rectos? ¿Cuántas piezas se pueden obtener con tres cortes de una barra de pan? 7. Tareas para colorear Lección 7.1 Tema: Colorear ayuda a resolver problemas. Propósito: Aprender a demostrar que algunos problemas de corte no tienen solución utilizando un color bien elegido (por ejemplo, colorear en un patrón de tablero de ajedrez), mejorando así la cultura lógica de los estudiantes. Problemas No es difícil demostrar que la solución al problema de cortar una figura en partes es posible: basta con proporcionar algún método de corte. Encontrar todas las soluciones, es decir, todas las formas de cortar, ya es más difícil. Y demostrar que cortar es imposible también es bastante difícil. En algunos casos, el color de la figura nos ayuda a ello: tomamos un cuadrado de papel cuadriculado de 8 8 y le cortamos dos celdas (abajo a la izquierda y arriba a la derecha). ¿Es posible cubrir completamente la figura resultante con rectángulos de "dominó" 1 2? 7.2. En el tablero de ajedrez hay una figura de “camello”, que con cada movimiento mueve tres casillas verticalmente y una horizontalmente, o tres horizontalmente y una vertical. ¿Puede un "camello" después de realizar varios movimientos entrar en una celda adyacente a su lado original? 7.3. Hay un escarabajo en cada celda del cuadrado 5 5. Cuando se le ordenaba, cada escarabajo se arrastraba hasta una de las celdas adyacentes del lateral. ¿Puede entonces resultar que exactamente un escarabajo vuelva a sentarse en cada celda? ¿Qué pasaría si el cuadrado original tuviera dimensiones 6 6? 7.4. ¿Es posible cortar un cuadrado de papel a cuadros de 4x4 en un pedestal, un cuadrado, una columna y un zigzag (Fig. 46)?


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Lección: Problemas geométricos (para cortar)

Propósito de la lección:

    desarrollo del interés en el tema

    desarrollo de las habilidades creativas de los estudiantes

    desarrollo de la atención, la memoria, las habilidades de trabajo independiente y colectivo.

    desarrollo de la iniciativa mental, el ingenio y el "ingenio"

Progreso de la lección:

Hoy en día, los problemas geométricos (de corte) estarán asociados con una figura geométrica aparentemente simple.

Ha sido mi amigo desde hace mucho tiempo.

Cada rincón está bien.

Los cuatro lados

Misma longitud.

Me alegro de presentártelo.

¿Cúal es su nombre?

El principal mérito de la plaza fue su uso como unidad de superficie conveniente. De hecho, es muy conveniente cubrir áreas planas con cuadrados, pero, digamos, no se puede hacer con círculos sin agujeros ni superposiciones. A menudo, los matemáticos, en lugar de las palabras "encontrar el área", dicen "elevar al cuadrado".

Entonces, el problema de encontrar el área de un círculo se llama problema de cuadrar un círculo. Plaza principal actor en el teorema de Pitágoras.

Tarea número 1

Tarea número 2

Cuadrar en 20 triángulos iguales

Corta una hoja de papel cuadrada en 20 triángulos iguales y dóblalos en 5 cuadrados iguales.

Tarea número 3

De la cruz - Plaza

La cruz, formada por cinco cuadrados, debe cortarse en partes tales que se pueda formar un solo cuadrado.

Tarea número 4

Un cuadrado contiene 16 celdas. Divida el cuadrado en dos partes iguales para que la línea de corte corra a lo largo de los lados de las celdas.

Hay varias maneras.

Tarea número 5

Corta un cuadrado de 7x7 en cinco piezas y reorganízalas para formar tres cuadrados: 2x2, 3x3 y 6x6.

Tarea número 6

Corta el cuadrado en 4 partes de la misma forma y tamaño para que cada parte contenga exactamente un cuadrado sombreado.

Tarea número 7

¿Cuántos cuadrados hay en la imagen?

Dividir un cuadrado en cuadrados más pequeños de la misma área es muy sencillo: basta con dibujar una cuadrícula de líneas equiespaciadas paralelas a los lados del cuadrado. El número de cuadrados recibidos será un cuadrado, ¡sí, sí! Por eso el producto de dos mismos números llamado cuadrado. ¿Es posible cortar un cuadrado en varios cuadrados, entre los cuales no hay idénticos?

Esta cuestión permaneció sin resolverse durante mucho tiempo. Incluso muchos matemáticos eminentes creían que tal recorte era imposible. Pero en 1939 se construyó una división de la plaza en 55 plazas diferentes. En 1940, se encontraron dos formas de dividir un cuadrado en 28 cuadrados diferentes, luego en 26 cuadrados, y en 1948 se obtuvo una partición en 24 cuadrados diferentes. En 1978, se encontró una partición de 21 cuadrados diferentes y se demostró que ya no se podía encontrar una partición en un número menor de cuadrados diferentes.

Y terminaremos la lección de hoy con un entretenido juego, también asociado a un cuadrado, "Tangram"

La figura muestra un cuadrado dividido en 7 partes, a partir del cual se pueden añadir varias formas del álbum proporcionado por el profesor.

  1. Un cuadrado contiene 16 celdas. Divida el cuadrado en dos partes iguales para que la línea de corte corra a lo largo de los lados de las celdas. (Las formas de cortar un cuadrado en dos partes se considerarán diferentes si las partes del cuadrado obtenidas con un método de corte no son iguales a las partes obtenidas con otro método). ¿Cuántas soluciones tiene el problema?
  2. Un rectángulo de 3x4 contiene 12 celdas. Encuentre cinco formas de cortar un rectángulo en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas (los métodos de corte se consideran diferentes si las partes obtenidas por un método de corte no son iguales a las partes obtenidas por otro método).
  3. El rectángulo de 3X5 contiene 15 celdas y se ha eliminado la celda central. Encuentra cinco formas de cortar la figura restante en dos partes iguales para que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas.
  4. Un cuadrado de 6x6 se divide en 36 cuadrados idénticos. Encuentra cinco formas de cortar un cuadrado en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de los cuadrados. Nota: el problema tiene más de 200 soluciones.
  5. Divide el cuadrado de 4x4 en cuatro partes iguales para que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas. ¿Cuántas formas diferentes de cortar puedes encontrar?
  6. Divida la figura (Fig. 5) en tres partes iguales para que la línea de corte corra a lo largo de los lados de los cuadrados.

7. Divida la figura (Fig. 6) en cuatro partes iguales de modo que la línea de corte corra a lo largo de los lados de los cuadrados.

8. Divida la figura (Fig. 7) en cuatro partes iguales para que las líneas de corte vayan a lo largo de los lados de los cuadrados. Encuentre tantas soluciones como sea posible.

9. Divide el cuadrado de 5x5 con el cuadrado central recortado en cuatro partes iguales.

10. Corte las figuras que se muestran en la Fig. 8 en dos partes iguales a lo largo de las líneas de la cuadrícula, y cada parte debe tener un círculo.

11. Las figuras que se muestran en la Fig. 9 deben cortarse a lo largo de las líneas de la cuadrícula en cuatro partes iguales para que quede un círculo en cada parte. ¿Cómo hacerlo?

12. Corte la figura que se muestra en la Fig. 10 a lo largo de las líneas de la cuadrícula en cuatro partes iguales y dóblelas en un cuadrado de modo que los círculos y las estrellas estén dispuestos simétricamente alrededor de todos los ejes de simetría del cuadrado.

13. Corte este cuadrado (Fig. 11) a lo largo de los lados de las celdas para que todas las partes tengan el mismo tamaño y forma y que cada una contenga un círculo y un asterisco.

14. Corte el cuadrado de papel a cuadros de 6 × 6 que se muestra en la Figura 12 en cuatro piezas idénticas para que cada una de ellas contenga tres cuadrados de colores.

Todas sus tramas se pueden dividir condicionalmente en los siguientes tipos y subespecies: en un número determinado de figuras congruentes y similares (tales figuras se denominan "divisivas"); un cierto número de líneas en el máximo número posible de partes, no necesariamente iguales. Transformación: es necesario cortar una figura para que sus partes se puedan agregar a la segunda figura dada.

Problema 1. Un cuadrado contiene 16 celdas. Divida el cuadrado en dos partes iguales para que la línea de corte corra a lo largo de los lados de las celdas. (Las formas de cortar un cuadrado en dos partes se considerarán diferentes si las partes del cuadrado obtenidas con un método de corte no son iguales a las partes obtenidas con otro método). ¿Cuántas soluciones tiene el problema?

Al construir una línea discontinua, para no perder ninguna solución, puedes seguir esta regla. Si el siguiente enlace de la polilínea se puede dibujar de dos maneras, primero debe preparar un segundo dibujo similar y realizar este paso en un dibujo de la primera manera y en el otro de la segunda (la Fig. 3 muestra dos continuaciones de la Fig. 2 (a)). De manera similar, debe actuar cuando no hay dos, sino tres métodos (la Fig. 4 muestra tres continuaciones de la Fig. 2 (b)). El procedimiento especificado ayuda a encontrar todas las soluciones.

Tarea 2 Corta un rectángulo de 4 × 9 celdas a lo largo de los lados de las celdas en dos partes iguales para que luego se puedan doblar en un cuadrado.

Solución. Veamos cuántas celdas contendrá el cuadrado. 4 9=36 significa que el lado del cuadrado tiene 6 celdas, ya que 36=6 6. En la fig. 95(b). Este método de corte se llama escalonado. En la fig. se muestra cómo hacer un cuadrado a partir de las piezas obtenidas. 95c).

Problema 3. ¿Se puede cortar un cuadrado de 5×5 celdas en dos partes iguales de modo que la línea de corte vaya a lo largo de los lados de las celdas? Justifica la respuesta.

Solución. Es imposible, porque el cuadrado consta de 25 celdas. Hay que cortarlo en dos partes iguales. Por lo tanto, en cada parte debe haber 12,5 celdas, lo que significa que la línea de corte no pasará por los lados de las celdas.

Pentomino 12 figuras, cada una de las cuales consta de cinco cuadrados idénticos, y los cuadrados "contiguos" entre sí sólo por los lados. "PENTA" - "CINCO" (del griego)

Pentominó Juego que consiste en sumar varias figuras de un conjunto determinado, inventado por el matemático estadounidense S. Golomb en los años 50 del siglo XX.

No. 1. Coloque el piso con baldosas de 2 * 1 en una habitación de 5 * 6 (parquet macizo). Digamos que tenemos un suministro ilimitado de baldosas rectangulares de 2*1 y queremos diseñar un piso rectangular con ellas, y no deben superponerse dos baldosas.

En este caso, uno de los números p o q debe ser par. Si, por ejemplo, p=2 r, entonces el suelo se puede disponer como se muestra en la figura. Pero en tales parquets hay líneas de rotura que cruzan toda la "habitación" de pared a pared, pero no cruzan las baldosas. Pero en la práctica se utilizan parquets sin tales líneas: parquets macizos.

Naturalmente, surge la pregunta: ¿para qué p y q el rectángulo p*q admite una partición continua en mosaicos de 2*1?

No. 3. En una hoja de papel cuadriculado de 10 * 10 celdas, delinea cortes con los que podrás obtener tantas figuras enteras como se muestra en la figura. Las figuras que se muestran en la figura se pueden voltear.

Respuesta: En este caso caben 24 figuras enteras. No se ha encontrado todavía ningún otro método con el que se obtengan figuras más completas.

Se cortó un tablero de 8 × 8 en cuatro pedazos y se dobló en un rectángulo de 5 × 13. ¿De dónde vino el cuadrado extra? 8 8 13 5 64 cuadrados 65 cuadrados

Se cortó un tablero de 8 × 8 en cuatro pedazos y se dobló en un rectángulo de 5 × 13. ¿De dónde vino el cuadrado extra? 8 8

Se cortó un tablero de 8 × 8 en cuatro pedazos y se dobló en un rectángulo de 5 × 13. ¿De dónde vino el cuadrado extra? 2 1 3 4

Se cortó un tablero de 8 × 8 en cuatro pedazos y se dobló en un rectángulo de 5 × 13. ¿De dónde vino el cuadrado extra? 1 2 3 4

Respuesta: La línea diagonal de la figura de la izquierda no es recta; la figura exacta muestra un paralelogramo de área 1, como era de esperar.

Secuencia de Fibonacci j 1 = 1, j 2 = 1, j 3 = 2, j 4 = 3, j 5 = 5, j 6 = 8, j 7 = 13, j 8 = 21, j 9 = 34, j 10 = 55, j11 = 89, . . . tiene la siguiente propiedad: el cuadrado del número de Fibonacci difiere en 1 del producto de los números de Fibonacci anteriores y siguientes; más precisamente, jn 2 + (– 1)n = jn – 1 jn + 1.

Por ejemplo, para n = 6, la fórmula se convierte en la ecuación 82 + 1 = 5 13, y para n = 7, en la ecuación 132 - 1 = 8 21. Te aconsejo que hagas dibujos similares a los del problema. declaración para varios otros valores de n.