La fórmula para la mitad de un vector en términos de coordenadas. Vectores para tontos. Acciones con vectores. Coordenadas vectoriales. Los problemas más simples con vectores. Cálculo de la distancia de un punto a un plano
Un vector es una cantidad caracterizada por su valor numérico y dirección. En otras palabras, un vector es un segmento dirigido. Posición vector AB en el espacio viene dado por las coordenadas del punto origen vector A y puntos finales vector B. Considere cómo determinar las coordenadas del medio vector.
Instrucción
Primero, definamos la notación del principio y el final. vector. Si el vector se escribe como AB, entonces el punto A es el comienzo vector, y el punto B es el final. Por el contrario, para vector BA punto B es el comienzo vector, y el punto A es el final. Tengamos dado un vector AB con las coordenadas del origen vector A = (a1, a2, a3) y fin vector B = (b1, b2, b3). Entonces las coordenadas vector AB será como sigue: AB = (b1 - a1, b2 - a2, b3 - a3), es decir desde la coordenada final vector necesita restar la coordenada de inicio correspondiente vector. Longitud vector AB (o su módulo) se calcula como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas: |AB| = ?((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2).
Encuentre las coordenadas del punto que es el punto medio vector. Indícalo con la letra O = (o1, o2, o3). Encuentre las coordenadas del medio vector de la misma forma que las coordenadas del medio de un segmento regular, según las siguientes fórmulas: o1 = (a1 + b1)/2, o2 = (a2 + b2)/2 , o3 = (a3 + b3)/2 . Encontremos las coordenadas vector AO: AO = (o1 - a1, o2 - a2, o3 - a3) = ((b1 - a1)/2, (b2 - a2)/2, (b3 - a3)/2).
Considere un ejemplo. Sea el vector AB con las coordenadas del origen vector A = (1, 3, 5) y fin vector B = (3, 5, 7). Entonces las coordenadas vector AB se puede escribir como AB = (3 - 1, 5 - 3, 7 - 5) = (2, 2, 2). Encontremos el módulo. vector AB: |AB| = ?(4 + 4 + 4) = 2 * ?3. El valor de longitud del especificado vector nos ayudará a verificar aún más la exactitud de las coordenadas del medio vector. A continuación, encontramos las coordenadas del punto O: O = ((1 + 3)/2, (3 + 5)/2, (5 + 7)/2) = (2, 4, 6). Entonces las coordenadas vector AO se calcula como AO = (2 - 1, 4 - 3, 6 - 5) = (1, 1, 1).
Hagamos una comprobación. Longitud vector AO = ?(1 + 1 + 1) = ?3. Recuerde que la longitud del original vector es igual a 2 * ?3, es decir medio vector es realmente igual a la mitad de la longitud del original vector. Ahora calculemos las coordenadas. vector OB: OB = (3 - 2, 5 - 4, 7 - 6) = (1, 1, 1). Encontremos la suma de los vectores AO y OB: AO + OB = (1 + 1, 1 + 1, 1 + 1) = (2, 2, 2) = AB. Por lo tanto, las coordenadas del medio vector fueron encontrados correctamente.
Aviso util
Después de calcular las coordenadas del medio del vector, asegúrese de realizar al menos la verificación más simple: calcule la longitud del vector y compárela con la longitud de este vector.
El siguiente artículo cubrirá los problemas de encontrar las coordenadas de la mitad del segmento en presencia de las coordenadas de sus puntos extremos como datos iniciales. Pero, antes de pasar al estudio del tema, introducimos una serie de definiciones.
Definición 1
Sección- una línea recta que conecta dos puntos arbitrarios, llamados los extremos del segmento. Como ejemplo, sean estos los puntos A y B y, respectivamente, el segmento A B .
Si el segmento A B se continúa en ambas direcciones desde los puntos A y B, obtendremos una línea recta A B. Entonces el segmento A B es una parte de la recta obtenida delimitada por los puntos A y B . El segmento A B une los puntos A y B , que son sus extremos, así como el conjunto de puntos que se encuentran entre ellos. Si, por ejemplo, tomamos cualquier punto K arbitrario que se encuentre entre los puntos A y B, podemos decir que el punto K se encuentra en el segmento A B.
Definición 2
Largo del corte es la distancia entre los extremos del segmento a una escala dada (segmento de unidad de longitud). Denotamos la longitud del segmento A B como sigue: A B .
Definición 3
punto medio Un punto en un segmento de línea que es equidistante de sus extremos. Si el medio del segmento A B se denota por el punto C, entonces la igualdad será verdadera: A C \u003d C B
Datos iniciales: línea de coordenadas O x y puntos no coincidentes en ella: A y B . Estos puntos corresponden a números reales. x A y xb El punto C es el punto medio del segmento A B: necesitas determinar la coordenada xc
Como el punto C es el punto medio del segmento A B, la igualdad será cierta: | un c | = | C B | . La distancia entre puntos está determinada por el módulo de la diferencia entre sus coordenadas, es decir
| un c | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Entonces son posibles dos igualdades: x C - x A = x B - x C y x C - x A = - (x B - x C)
De la primera igualdad, derivamos una fórmula para la coordenada del punto C: x C \u003d x A + x B 2 (la mitad de la suma de las coordenadas de los extremos del segmento).
De la segunda igualdad obtenemos: x A = x B , lo cual es imposible, porque en los datos originales - puntos no coincidentes. De este modo, fórmula para determinar las coordenadas del punto medio del segmento A B con extremos A (x A) y B(xB):
La fórmula resultante será la base para determinar las coordenadas del punto medio del segmento en un plano o en el espacio.
Datos iniciales: sistema de coordenadas rectangulares en el plano O x y , dos puntos arbitrarios no coincidentes con coordenadas dadas A x A , y A y B x B , y B . El punto C es el punto medio del segmento A B . Es necesario determinar las coordenadas x C e y C para el punto C.
Tomemos para el análisis el caso en que los puntos A y B no coinciden y no se encuentran en la misma línea de coordenadas o en una línea perpendicular a uno de los ejes. A x , A y ; B x , B y y C x , C y - proyecciones de los puntos A , B y C en los ejes de coordenadas (líneas rectas O x y O y).
Por construcción, las rectas A A x , B B x , C C x son paralelas; las líneas también son paralelas entre sí. Junto con esto, según el teorema de Thales, de la igualdad AC \u003d CB, las igualdades siguen: A x C x \u003d C x B x y A y C y \u003d C y B y, y ellas, a su vez, indicar que el punto C x - el medio del segmento A x B x, y C y es el medio del segmento A y B y. Y luego, en base a la fórmula obtenida anteriormente, obtenemos:
x C = x A + x B 2 y y C = y A + y B 2
Se pueden usar las mismas fórmulas en el caso de que los puntos A y B se encuentren en la misma línea de coordenadas o en una línea perpendicular a uno de los ejes. No realizaremos un análisis detallado de este caso, lo consideraremos solo gráficamente:
Resumiendo todo lo anterior, coordenadas del medio del segmento A B en el plano con las coordenadas de los extremos A (x A , y A) Y B(x B, y B) definido como:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Datos iniciales: sistema de coordenadas О x y z y dos puntos arbitrarios con coordenadas dadas A (x A , y A , z A) y B (x B , y B , z B) . Es necesario determinar las coordenadas del punto C , que es el medio del segmento A B .
A x , A y , A z ; B x , B y , B z y C x , C y , C z - proyecciones de todos los puntos dados en los ejes del sistema de coordenadas.
Según el teorema de Tales, las igualdades son verdaderas: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Por lo tanto, los puntos C x , C y , C z son los puntos medios de los segmentos A x B x , A y B y , A z B z respectivamente. Luego, para determinar las coordenadas de la mitad del segmento en el espacio, las siguientes fórmulas son verdaderas:
x C = x UN + x segundo 2 , y c = y UN + y segundo 2 , z c = z UN + Z segundo 2
Las fórmulas resultantes también son aplicables en los casos en que los puntos A y B se encuentran en una de las líneas de coordenadas; en una línea recta perpendicular a uno de los ejes; en un plano de coordenadas o un plano perpendicular a uno de los planos de coordenadas.
Determinación de las coordenadas del medio de un segmento a través de las coordenadas de los radios vectores de sus extremos
La fórmula para encontrar las coordenadas del medio del segmento también se puede derivar de acuerdo con la interpretación algebraica de los vectores.
Datos iniciales: sistema de coordenadas cartesianas rectangulares O x y , puntos con coordenadas dadas A (x A , y A) y B (x B , x B) . El punto C es el punto medio del segmento A B .
Según la definición geométrica de acciones sobre vectores, se cumplirá la siguiente igualdad: O C → = 1 2 · O A → + O B → . El punto C en este caso es el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo construido sobre la base de los vectores O A → y O B → , es decir el punto del medio de las diagonales Las coordenadas del radio vector del punto son iguales a las coordenadas del punto, entonces las igualdades son verdaderas: OA → = (x A , y A) , OB → = (x B , yB) . Realicemos algunas operaciones sobre vectores en coordenadas y obtengamos:
O C → = 1 2 O UN → + O segundo → = X UN + X segundo 2 , y UN + y segundo 2
Por lo tanto, el punto C tiene coordenadas:
x A + x B 2 , y A + y B 2
Por analogía, se define una fórmula para encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento en el espacio:
C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)
Ejemplos de resolución de problemas para encontrar las coordenadas del medio de un segmento
Entre las tareas que involucran el uso de las fórmulas obtenidas anteriormente, existen tanto aquellas en las que la pregunta es directamente calcular las coordenadas del medio del segmento, como aquellas que involucran traer las condiciones dadas a esta pregunta: el término "mediana" se usa a menudo, el objetivo es encontrar las coordenadas de uno de los extremos del segmento, así como problemas de simetría, cuya solución en general tampoco debería causar dificultades después de estudiar este tema. Consideremos ejemplos típicos.
Ejemplo 1
Datos iniciales: en el plano - puntos con coordenadas dadas A (- 7, 3) y B (2, 4) . Es necesario encontrar las coordenadas del punto medio del segmento A B.
Solución
Denotemos el medio del segmento A B por el punto C . Sus coordenadas se determinarán como la mitad de la suma de las coordenadas de los extremos del segmento, es decir puntos a y b
x C = x A + x segundo 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y segundo 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Responder: coordenadas de la mitad del segmento A B - 5 2 , 7 2 .
Ejemplo 2
Datos iniciales: se conocen las coordenadas del triangulo A B C: A (- 1 , 0) , B (3 , 2) , C (9 , - 8) . Es necesario encontrar la longitud de la mediana A M.
Solución
- Por la condición del problema, A M es la mediana, lo que significa que M es el punto medio del segmento B C . En primer lugar, encontramos las coordenadas del medio del segmento B C , es decir M puntos:
x METRO = x segundo + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y METRO = y segundo + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Como ahora conocemos las coordenadas de ambos extremos de la mediana (puntos A y M), podemos usar la fórmula para determinar la distancia entre los puntos y calcular la longitud de la mediana A M:
UN METRO = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Responder: 58
Ejemplo 3
Datos iniciales: un paralelepípedo A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 está dado en el sistema de coordenadas rectangulares del espacio tridimensional. Se dan las coordenadas del punto C 1 (1 , 1 , 0) y también se define el punto M que es el punto medio de la diagonal B D 1 y tiene las coordenadas M (4 , 2 , - 4) . Es necesario calcular las coordenadas del punto A.
Solución
Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en un punto, que es el punto medio de todas las diagonales. Con base en esta afirmación, podemos tener en cuenta que el punto M conocido por las condiciones del problema es el medio del segmento А С 1 . Con base en la fórmula para encontrar las coordenadas del medio del segmento en el espacio, encontramos las coordenadas del punto A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y METRO = y UN + y C 1 2 ⇒ y UN = 2 y METRO - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z METRO = z UN + z C 1 2 ⇒ z UN = 2 z METRO - z C 1 = 2 (- 4) - 0 = - 8
Responder: coordenadas del punto A (7, 3, - 8) .
Si nota un error en el texto, resáltelo y presione Ctrl+Enter
Finalmente, tengo en mis manos un tema extenso y largamente esperado. geometría analítica. Primero, un poco sobre esta sección de matemáticas superiores…. Seguro que ahora recordabas el curso de geometría del colegio con numerosos teoremas, sus demostraciones, dibujos, etc. Qué ocultar, un tema poco querido y a menudo oscuro para una proporción significativa de estudiantes. La geometría analítica, curiosamente, puede parecer más interesante y accesible. ¿Qué significa el adjetivo "analítico"? Inmediatamente vienen a la mente dos giros matemáticos estampados: “método gráfico de solución” y “método analítico de solución”. Método gráfico, por supuesto, está asociado con la construcción de gráficos, dibujos. Analítico mismo método implica la resolución de problemas predominantemente mediante operaciones algebraicas. En este sentido, el algoritmo para resolver casi todos los problemas de geometría analítica es simple y transparente, a menudo basta con aplicar con precisión las fórmulas necesarias, ¡y la respuesta está lista! No, por supuesto, no prescindirá de los dibujos, además, para una mejor comprensión del material, intentaré traerlos en exceso de la necesidad.
El curso abierto de lecciones de geometría no pretende ser una compleción teórica, se centra en la resolución de problemas prácticos. Incluiré en mis conferencias solo lo que, desde mi punto de vista, es importante en términos prácticos. Si necesita una referencia más completa sobre cualquier subsección, le recomiendo la siguiente literatura bastante accesible:
1) Una cosa que, no es broma, es familiar para varias generaciones: Libro de texto escolar sobre geometría., los autores - L.S. Atanasyan y Compañía. Este colgador de vestuario escolar ya ha resistido 20 (!) reediciones, que, por supuesto, no es el límite.
2) Geometría en 2 volúmenes. Los autores L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Esta es literatura para educación superior, necesitarás primer volumen. Las tareas que ocurren con poca frecuencia pueden quedar fuera de mi campo de visión, y el tutorial será de gran ayuda.
Ambos libros se pueden descargar gratis en línea. Además, puede usar mi archivo con soluciones listas para usar, que se pueden encontrar en la página Descargar ejemplos de matemáticas superiores.
De las herramientas, nuevamente ofrezco mi propio desarrollo: paquete de software en geometría analítica, que simplificará enormemente la vida y ahorrará mucho tiempo.
Se supone que el lector está familiarizado con los conceptos y figuras geométricas básicas: punto, línea, plano, triángulo, paralelogramo, paralelepípedo, cubo, etc. Conviene recordar algunos teoremas, al menos el teorema de Pitágoras, hola repetidores)
Y ahora consideraremos secuencialmente: el concepto de vector, acciones con vectores, coordenadas vectoriales. Además recomiendo leer el articulo mas importante Producto escalar de vectores, así como también Vector y producto mixto de vectores. La tarea local no será superflua - División del segmento en este sentido. Con base en la información anterior, puede ecuación de una recta en un plano desde los ejemplos más simples de soluciones, lo que permitirá aprender a resolver problemas de geometría. Los siguientes artículos también son útiles: Ecuación de un plano en el espacio, Ecuaciones de una recta en el espacio, Problemas básicos sobre la recta y el plano , otros apartados de geometría analítica. Naturalmente, las tareas estándar se considerarán en el camino.
El concepto de un vector. vector libre
Primero, repitamos la definición escolar de un vector. Vector llamado dirigido un segmento para el cual se indica su comienzo y final:
En este caso, el comienzo del segmento es el punto, el final del segmento es el punto. El vector en sí se denota por . Dirección es esencial, si reorganizas la flecha al otro extremo del segmento, obtienes un vector, y esto ya es vector completamente diferente. Conviene identificar el concepto de vector con el movimiento de un cuerpo físico: hay que admitir que entrar por las puertas de un instituto o salir por las puertas de un instituto son cosas completamente diferentes.
Es conveniente considerar puntos individuales de un plano, espacio como el llamado vector cero. Tal vector tiene el mismo fin y comienzo.
!!! Nota: Aquí y a continuación, puede suponer que los vectores se encuentran en el mismo plano o puede suponer que están ubicados en el espacio: la esencia del material presentado es válida tanto para el plano como para el espacio.
Designaciones:¡Muchos inmediatamente llamaron la atención sobre un palo sin una flecha en la designación y dijeron que también pusieron una flecha en la parte superior! Así es, puedes escribir con una flecha: , pero admisible y registro que usaré más tarde. ¿Por qué? Aparentemente, tal hábito se ha desarrollado a partir de consideraciones prácticas, mis tiradores en la escuela y la universidad resultaron ser demasiado diversos y peludos. En la literatura educativa, a veces no se molestan en absoluto con la escritura cuneiforme, sino que resaltan las letras en negrita: , lo que implica que se trata de un vector.
Ese era el estilo, y ahora sobre las formas de escribir vectores:
1) Los vectores se pueden escribir con dos letras latinas mayúsculas:
etc Mientras que la primera letra necesariamente denota el punto inicial del vector, y la segunda letra denota el punto final del vector.
2) Los vectores también se escriben en minúsculas latinas:
En particular, nuestro vector puede ser redesignado por brevedad con una letra latina minúscula.
Longitud o módulo vector distinto de cero se llama la longitud del segmento. La longitud del vector nulo es cero. Lógicamente.
La longitud de un vector se denota con el signo de módulo: ,
Cómo encontrar la longitud de un vector, aprenderemos (o repetiremos, para quién cómo) un poco más adelante.
Esa era información elemental sobre el vector, familiar para todos los escolares. En geometría analítica, los llamados vector libre.
Si es bastante simple - el vector se puede dibujar desde cualquier punto:
Solíamos llamar a tales vectores iguales (la definición de vectores iguales se dará a continuación), pero desde un punto de vista puramente matemático, este es el MISMO VECTOR o vector libre. ¿Por qué gratis? Porque en el curso de la resolución de problemas puede "adjuntar" uno u otro vector de "escuela" a CUALQUIER punto del plano o espacio que necesite. ¡Esta es una propiedad genial! Imagine un segmento dirigido de longitud y dirección arbitrarias: se puede "clonar" un número infinito de veces y en cualquier punto del espacio; de hecho, existe EN TODAS PARTES. Existe un proverbio de tal estudiante: Cada profesor en f ** u en el vector. Después de todo, no es solo una rima ingeniosa, todo es casi correcto: también se puede adjuntar un segmento dirigido allí. Pero no se apresure a regocijarse, los propios estudiantes sufren más a menudo =)
Entonces, vector libre- esta un montón de segmentos direccionales idénticos. La definición escolar de un vector, dada al comienzo del párrafo: "Un segmento dirigido se llama vector ...", implica específico un segmento dirigido tomado de un conjunto dado, que está unido a un cierto punto en el plano o espacio.
Cabe señalar que, desde el punto de vista de la física, el concepto de vector libre es generalmente incorrecto y el punto de aplicación es importante. En efecto, un golpe directo de la misma fuerza en la nariz o en la frente es suficiente para desarrollar mi estúpido ejemplo que conlleva consecuencias diferentes. Sin embargo, no gratuito los vectores también se encuentran en el curso de vyshmat (no vayas allí :)).
Acciones con vectores. Colinealidad de vectores
En el curso de geometría escolar, se consideran una serie de acciones y reglas con vectores: la suma según la regla del triángulo, la suma según la regla del paralelogramo, la regla de la diferencia de vectores, la multiplicación de un vector por un número, el producto escalar de vectores, etc. Como semilla, repetimos dos reglas que son especialmente relevantes para resolver problemas de geometría analítica.
Regla de la suma de vectores según la regla de los triángulos
Considere dos vectores arbitrarios distintos de cero y: 
Se requiere encontrar la suma de estos vectores. Debido al hecho de que todos los vectores se consideran libres, posponemos el vector de final vectorial: 
La suma de vectores es el vector . Para una mejor comprensión de la regla, es aconsejable darle un significado físico: dejar que algún cuerpo haga un camino a lo largo del vector, y luego a lo largo del vector. Entonces la suma de los vectores es el vector del camino resultante que comienza en el punto de partida y termina en el punto de llegada. Se formula una regla similar para la suma de cualquier número de vectores. Como dicen, el cuerpo puede seguir su camino fuertemente en zigzag, o tal vez en piloto automático, a lo largo del vector de suma resultante.
Por cierto, si el vector se pospone de comienzo vector, entonces obtenemos el equivalente regla del paralelogramo adición de vectores.
Primero, sobre la colinealidad de los vectores. Los dos vectores se llaman colineal si están en la misma línea o en líneas paralelas. En términos generales, estamos hablando de vectores paralelos. Pero en relación con ellos, siempre se usa el adjetivo "colineal".
Imagina dos vectores colineales. Si las flechas de estos vectores están dirigidas en la misma dirección, entonces tales vectores se llaman codireccional. Si las flechas miran en diferentes direcciones, entonces los vectores serán dirigido de manera opuesta.
Designaciones: la colinealidad de los vectores se escribe con el ícono de paralelismo habitual: , mientras que es posible detallar: (los vectores están codirigidos) o (los vectores están dirigidos de manera opuesta).
trabajo de un vector distinto de cero por un número es un vector cuya longitud es igual a , y los vectores y están codirigidos y dirigidos de manera opuesta a .
La regla para multiplicar un vector por un número es más fácil de entender con una imagen: 
Entendemos con más detalle:
1 dirección. Si el multiplicador es negativo, entonces el vector cambia de dirección al contrario
2) Longitud. Si el factor está contenido dentro de o , entonces la longitud del vector disminuye. Entonces, la longitud del vector es dos veces menor que la longitud del vector. Si el módulo multiplicador es mayor que uno, entonces la longitud del vector aumenta a tiempo.
3) Tenga en cuenta que todos los vectores son colineales, mientras que un vector se expresa a través de otro, por ejemplo, . Lo contrario también es cierto: si un vector puede expresarse en términos de otro, entonces dichos vectores son necesariamente colineales. De este modo: si multiplicamos un vector por un número, obtenemos colinealidad(relativo al original) vector.
4) Los vectores son codireccionales. Los vectores y también son codireccionales. Cualquier vector del primer grupo es opuesto a cualquier vector del segundo grupo.
¿Qué vectores son iguales?
Dos vectores son iguales si son codireccionales y tienen la misma longitud. Tenga en cuenta que la codirección implica que los vectores son colineales. La definición será inexacta (redundante) si dice: "Dos vectores son iguales si son colineales, codirigidos y tienen la misma longitud".
Desde el punto de vista del concepto de vector libre, los vectores iguales son el mismo vector, que ya se discutió en el párrafo anterior.
Coordenadas vectoriales en el plano y en el espacio
El primer punto es considerar vectores en un plano. Dibuje un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares y apártelo del origen único vectores y :
Vectores y ortogonal. Ortogonal = Perpendicular. Recomiendo acostumbrarse lentamente a los términos: en lugar de paralelismo y perpendicularidad, usamos las palabras respectivamente colinealidad Y ortogonalidad.
Designacion: la ortogonalidad de los vectores se escribe con el signo perpendicular habitual, por ejemplo: .
Los vectores considerados se denominan Vectores de coordenadas o ortos. Estos vectores forman base en la superficie. Creo que la base es intuitivamente clara para muchos, se puede encontrar información más detallada en el artículo (No) dependencia lineal de vectores. base vectorial.En palabras simples, la base y el origen de las coordenadas definen todo el sistema: este es un tipo de base sobre la cual hierve una vida geométrica rica y completa.
A veces la base construida se llama ortonormal base del plano: "orto" - debido a que los vectores de coordenadas son ortogonales, el adjetivo "normalizado" significa unidad, es decir las longitudes de los vectores base son iguales a uno.
Designacion: la base suele escribirse entre paréntesis, dentro de la cual en estricto orden se enumeran los vectores base, por ejemplo: . Vectores de coordenadas esta prohibido intercambiar lugares.
Ninguna avion vectores la única forma expresado como: 
, donde - números, que se llaman coordenadas vectoriales en esta base. Pero la expresión en sí 
llamado descomposición vectorialbase .
Cena servida:
Comencemos con la primera letra del alfabeto: . El dibujo muestra claramente que al descomponer el vector en términos de la base, se utilizan los recién considerados:
1) la regla de la multiplicación de un vector por un número: y ;
2) suma de vectores según la regla del triángulo: .
Ahora aparta mentalmente el vector de cualquier otro punto del plano. Es bastante obvio que su corrupción "lo seguirá implacablemente". Aquí está, la libertad del vector: el vector "lleva todo contigo". Esta propiedad, por supuesto, es cierta para cualquier vector. Es curioso que los vectores básicos (libres) en sí mismos no tengan que separarse del origen, uno se puede dibujar, por ejemplo, en la parte inferior izquierda y el otro en la parte superior derecha, ¡y nada cambiará de esto! Es cierto que no necesita hacer esto, porque el maestro también mostrará originalidad y le dibujará un "pase" en un lugar inesperado.
Los vectores ilustran exactamente la regla para multiplicar un vector por un número, el vector está codirigido con el vector base, el vector está dirigido en dirección opuesta al vector base. Para estos vectores, una de las coordenadas es igual a cero, se puede escribir minuciosamente de la siguiente manera:
Y los vectores base, por cierto, son así: (de hecho, se expresan a través de ellos mismos).
Y finalmente: , . Por cierto, ¿qué es la resta de vectores y por qué no te hablé de la regla de la resta? En algún lugar de álgebra lineal, no recuerdo dónde, noté que la resta es un caso especial de suma. Entonces, las expansiones de los vectores "de" y "e" se escriben tranquilamente como una suma: 
. Sigue el dibujo para ver qué tan bien funciona la antigua suma de vectores de acuerdo con la regla del triángulo en estas situaciones.
Descomposición considerada de la forma 
a veces llamada descomposición vectorial en el sistema ort(es decir, en el sistema de vectores unitarios). Pero esta no es la única forma de escribir un vector, la siguiente opción es común:
O con un signo igual:
Los propios vectores base se escriben de la siguiente manera: y
Es decir, las coordenadas del vector se indican entre paréntesis. En tareas prácticas, se utilizan las tres opciones de grabación.
Dudé si hablar, pero aun así diré: las coordenadas vectoriales no se pueden reorganizar. Estrictamente en primer lugar escribe la coordenada que corresponde al vector unitario, estrictamente en segundo lugar anota la coordenada que corresponde al vector unitario. Efectivamente, y son dos vectores diferentes.
Averiguamos las coordenadas en el avión. Ahora considere los vectores en el espacio tridimensional, ¡todo es casi igual aquí! Solo se agregará una coordenada más. Es difícil realizar dibujos tridimensionales, por lo que me limitaré a un vector, que, por simplicidad, pospondré desde el origen de coordenadas: 
Ninguna vector de espacio 3d la única forma expande en una base ortonormal: 
, donde son las coordenadas del vector (número) en la base dada.
Ejemplo de la imagen: 
. Veamos cómo funcionan aquí las reglas de acción de vectores. Primero, multiplicando un vector por un número: (flecha roja), (flecha verde) y (flecha magenta). En segundo lugar, aquí hay un ejemplo de sumar varios, en este caso tres, vectores: . El vector de suma comienza en el punto inicial de partida (el comienzo del vector) y termina en el punto final de llegada (el final del vector).
Todos los vectores del espacio tridimensional, por supuesto, también son gratuitos, intente posponer mentalmente el vector desde cualquier otro punto, y comprenderá que su expansión "permanece con él".
De manera similar al caso del avión, además de escribir 
Las versiones con corchetes son ampliamente utilizadas: ya sea .
Si falta uno (o dos) vectores de coordenadas en la expansión, se colocan ceros en su lugar. Ejemplos:
vector (meticulosamente 
) - anote ;
vector (meticulosamente 
) - anote ;
vector (meticulosamente 
) - anote .
Los vectores base se escriben de la siguiente manera:
Aquí, quizás, se encuentran todos los conocimientos teóricos mínimos necesarios para resolver problemas de geometría analítica. Quizás hay demasiados términos y definiciones, por lo que recomiendo a los tontos que vuelvan a leer y comprender esta información nuevamente. Y será útil para cualquier lector consultar la lección básica de vez en cuando para una mejor asimilación del material. Colinealidad, ortogonalidad, base ortonormal, descomposición vectorial: estos y otros conceptos se utilizarán a menudo en lo que sigue. Observo que los materiales del sitio no son suficientes para pasar una prueba teórica, un coloquio sobre geometría, ya que encripto cuidadosamente todos los teoremas (además de sin pruebas), en detrimento del estilo científico de presentación, pero una ventaja para su comprensión. del sujeto. Para recibir información teórica detallada, le pido que se incline ante el profesor Atanasyan.
Ahora pasemos a la parte práctica:
Los problemas más simples de geometría analítica.
Acciones con vectores en coordenadas
Las tareas que se considerarán, es muy deseable aprender a resolverlas de forma totalmente automática, y las fórmulas memorizar, ni siquiera lo recuerdes a propósito, ellos mismos lo recordarán =) Esto es muy importante, ya que otros problemas de geometría analítica se basan en los ejemplos elementales más simples, y será molesto perder tiempo extra comiendo peones. No es necesario que abroches los botones superiores de tu camisa, muchas cosas te son familiares de la escuela.
La presentación del material seguirá un curso paralelo, tanto para el plano como para el espacio. Por la razón de que todas las fórmulas... lo verás por ti mismo.
¿Cómo encontrar un vector dados dos puntos?
Si se dan dos puntos del plano y, entonces el vector tiene las siguientes coordenadas: 
Si se dan dos puntos en el espacio y, entonces el vector tiene las siguientes coordenadas:
Es decir, de las coordenadas del final del vector necesitas restar las coordenadas correspondientes inicio vectorial.
La tarea: Para los mismos puntos, escriba las fórmulas para encontrar las coordenadas del vector. Fórmulas al final de la lección.
Ejemplo 1
Dados dos puntos en el plano y . Encuentra coordenadas vectoriales
Solución: según la fórmula correspondiente:
Alternativamente, se podría utilizar la siguiente notación:
Los estetas decidirán así:
Personalmente, estoy acostumbrado a la primera versión del disco.
Responder:
De acuerdo con la condición, no se requería construir un dibujo (que es típico de los problemas de geometría analítica), pero para explicar algunos puntos a los tontos, no seré demasiado perezoso: 
debe ser entendido diferencia entre coordenadas de puntos y coordenadas vectoriales:
Coordenadas del punto son las coordenadas habituales en un sistema de coordenadas rectangulares. Creo que todos saben cómo trazar puntos en el plano de coordenadas desde el grado 5-6. Cada punto tiene un lugar estricto en el plano y no se pueden mover a ningún lado.
Las coordenadas del mismo vector es su dilatación con respecto a la base, en este caso. Cualquier vector es libre, por lo tanto, si lo deseamos o es necesario, podemos posponerlo fácilmente desde algún otro punto del plano (renombrándolo, por ejemplo, a través de , para evitar confusiones). Curiosamente, para los vectores, no puedes construir ejes en absoluto, un sistema de coordenadas rectangulares, solo necesitas una base, en este caso, una base ortonormal del plano.
Los registros de coordenadas de puntos y coordenadas vectoriales parecen ser similares: , y sentido de las coordenadas absolutamente diferente, y usted debe ser muy consciente de esta diferencia. Esta diferencia, por supuesto, también es válida para el espacio.
Damas y caballeros, nos llenamos las manos:
Ejemplo 2
a) Dados los puntos y . Encuentre vectores y .
b) Se dan puntos 
Y . Encuentre vectores y .
c) Dados los puntos y . Encuentre vectores y .
d) Se otorgan puntos. Buscar vectores 
.
Tal vez lo suficiente. Estos son ejemplos para una decisión independiente, trate de no descuidarlos, valdrá la pena ;-). No se requieren dibujos. Soluciones y respuestas al final de la lección.
¿Qué es importante en la resolución de problemas de geometría analítica? Es importante ser EXTREMADAMENTE CUIDADOSO para evitar el magistral error “dos más dos igual a cero”. Me disculpo de antemano si cometí un error =)
¿Cómo encontrar la longitud de un segmento?
La longitud, como ya se señaló, está indicada por el signo del módulo.
Si se dan dos puntos del plano y , entonces la longitud del segmento se puede calcular mediante la fórmula
Si se dan dos puntos en el espacio y , entonces la longitud del segmento se puede calcular mediante la fórmula
Nota: Las fórmulas seguirán siendo correctas si se intercambian las coordenadas correspondientes: y , pero la primera opción es más estándar
Ejemplo 3
Solución: según la fórmula correspondiente:
Responder: 
Para mayor claridad, haré un dibujo. 
Sección - no es un vector, y no puedes moverlo a ningún lado, por supuesto. Además, si completas el dibujo a escala: 1 unidad. \u003d 1 cm (dos celdas de tétrada), luego la respuesta se puede verificar con una regla regular midiendo directamente la longitud del segmento.
Sí, la solución es breve, pero hay un par de puntos importantes que me gustaría aclarar:
Primero, en la respuesta establecemos la dimensión: "unidades". La condición no dice QUÉ es, milímetros, centímetros, metros o kilómetros. Por lo tanto, la formulación general será una solución matemáticamente competente: "unidades" - abreviado como "unidades".
En segundo lugar, repitamos el material escolar, que es útil no solo para el problema considerado:
prestar atención a truco técnico importante – sacando el multiplicador de debajo de la raiz. Como resultado de los cálculos, obtuvimos el resultado y un buen estilo matemático consiste en sacar el factor de debajo de la raíz (si es posible). El proceso se ve así con más detalle: 
. Por supuesto, dejar la respuesta en el formulario no será un error, pero definitivamente es un defecto y un argumento de peso para ser quisquilloso por parte del profesor.
Aquí hay otros casos comunes: 
A menudo se obtiene un número suficientemente grande debajo de la raíz, por ejemplo. ¿Cómo ser en tales casos? En la calculadora, comprobamos si el número es divisible por 4:. Sí, dividir por completo, por lo tanto: 
. ¿O tal vez el número se puede dividir por 4 nuevamente? . De este modo: 
. El último dígito del número es impar, por lo que dividir por 4 por tercera vez claramente no es posible. Tratando de dividir por nueve: . Como resultado:
Listo.
Producción: si debajo de la raíz obtenemos un número entero que no se puede extraer, entonces tratamos de sacar el factor de debajo de la raíz; en la calculadora verificamos si el número es divisible por: 4, 9, 16, 25, 36, 49 , etc
En el curso de la resolución de varios problemas, a menudo se encuentran raíces, siempre trate de extraer factores de debajo de la raíz para evitar una puntuación más baja y problemas innecesarios para finalizar sus soluciones de acuerdo con el comentario del maestro.
Repitamos el cuadrado de las raíces y otras potencias al mismo tiempo: 
Las reglas para acciones con grados en forma general se pueden encontrar en un libro de texto escolar sobre álgebra, pero creo que todo o casi todo ya está claro a partir de los ejemplos dados.
Tarea para una solución independiente con un segmento en el espacio:
Ejemplo 4
Dados los puntos y . Encuentra la longitud del segmento.
Solución y respuesta al final de la lección.
¿Cómo encontrar la longitud de un vector?
Si se da un vector plano, entonces su longitud se calcula mediante la fórmula.
Si se da un vector espacial, entonces su longitud se calcula mediante la fórmula 
.
Estas fórmulas (así como las fórmulas para la longitud de un segmento) se derivan fácilmente utilizando el notorio teorema de Pitágoras.