Vista de un triángulo por lados y ángulo. Triángulos agudo, rectángulo y obtuso. Relaciones en un triangulo
Incluso los niños en edad preescolar saben cómo es un triángulo. Pero con lo que son, los chicos ya empiezan a entender en la escuela. Un tipo es un triángulo obtuso. Para entender qué es, la forma más fácil es ver una imagen con su imagen. Y en teoría, esto es lo que llaman el "polígono más simple" con tres lados y vértices, uno de los cuales es
Comprensión de conceptos
En geometría, existen tales tipos de figuras con tres lados: triángulos de ángulo agudo, de ángulo recto y de ángulo obtuso. Además, las propiedades de estos polígonos más simples son las mismas para todos. Entonces, para todas las especies enumeradas, se observará tal desigualdad. La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera es necesariamente mayor que la longitud del tercer lado.
Pero para estar seguro de que estamos hablando de una figura completa, y no de un conjunto de vértices individuales, es necesario comprobar que se cumple la condición principal: la suma de los ángulos de un triángulo obtuso es 180º. Lo mismo ocurre con otro tipo de figuras de tres lados. Es cierto que en un triángulo obtuso, uno de los ángulos tendrá incluso más de 90 o, y los dos restantes serán necesariamente agudos. En este caso, es el ángulo mayor el que estará opuesto al lado mayor. Es cierto que estas están lejos de todas las propiedades de un triángulo obtuso. Pero incluso sabiendo solo estas características, los estudiantes pueden resolver muchos problemas de geometría.
Para todo polígono de tres vértices, también es cierto que al continuar cualquiera de los lados, obtenemos un ángulo cuyo tamaño será igual a la suma de dos vértices internos no adyacentes. El perímetro de un triángulo obtuso se calcula de la misma manera que para otras formas. Es igual a la suma de las longitudes de todos sus lados. Para determinar los matemáticos, se derivaron varias fórmulas, dependiendo de qué datos estaban presentes inicialmente.
estilo correcto
Una de las condiciones más importantes para resolver problemas de geometría es el dibujo correcto. Los profesores de matemáticas suelen decir que ayudará no solo a visualizar lo que se da y lo que se requiere de ti, sino también a acercarte un 80 % a la respuesta correcta. Por eso es importante saber cómo construir un triángulo obtuso. Si solo quieres una figura hipotética, entonces puedes dibujar cualquier polígono con tres lados para que uno de los ángulos sea mayor a 90 grados.
Si se dan ciertos valores de las longitudes de los lados o los grados de los ángulos, entonces es necesario dibujar un triángulo obtusángulo de acuerdo con ellos. Al mismo tiempo, es necesario tratar de representar los ángulos con la mayor precisión posible, calculándolos con la ayuda de un transportador y mostrar los lados en proporción a las condiciones dadas en la tarea.
Líneas principales
A menudo, no es suficiente que los escolares sepan solo cómo deben verse ciertas figuras. No pueden limitarse a la información sobre qué triángulo es obtuso y cuál es rectángulo. El curso de matemáticas prevé que su conocimiento de las principales características de las figuras sea más completo.
Por lo tanto, cada estudiante debe comprender la definición de la bisectriz, la mediana, la bisectriz perpendicular y la altura. Además, debe conocer sus propiedades básicas.
Entonces, las bisectrices dividen el ángulo por la mitad y el lado opuesto en segmentos que son proporcionales a los lados adyacentes.
La mediana divide cualquier triángulo en dos áreas iguales. En el punto en que se cruzan, cada uno de ellos se divide en 2 segmentos en una proporción de 2:1, vistos desde la parte superior desde la que se originaron. En este caso, la mediana más grande siempre se dibuja hacia su lado más pequeño.
No se presta menos atención a la altura. Esto es perpendicular al lado opuesto de la esquina. La altura de un triángulo obtuso tiene sus propias características. Si se dibuja desde un vértice agudo, no cae en el lado de este polígono más simple, sino en su extensión.
La mediatriz es el segmento de línea que sale del centro de la cara del triángulo. Al mismo tiempo, está ubicado en ángulo recto con él.
Trabajando con círculos
Al comienzo del estudio de la geometría, es suficiente que los niños comprendan cómo dibujar un triángulo obtusángulo, aprendan a distinguirlo de otros tipos y recuerden sus propiedades básicas. Pero para los estudiantes de secundaria este conocimiento no es suficiente. Por ejemplo, en el examen, a menudo hay preguntas sobre círculos circunscritos e inscritos. El primero de ellos toca los tres vértices del triángulo, y el segundo tiene un punto común con todos los lados.
Ya es mucho más difícil construir un triángulo obtusángulo inscrito o circunscrito, porque para esto primero debe averiguar dónde debe estar el centro del círculo y su radio. Por cierto, en este caso, no solo un lápiz con una regla, sino también una brújula se convertirán en una herramienta necesaria.
Las mismas dificultades surgen cuando se construyen polígonos inscritos de tres lados. Los matemáticos han desarrollado varias fórmulas que le permiten determinar su ubicación con la mayor precisión posible.
Triángulos inscritos
Como se mencionó anteriormente, si el círculo pasa por los tres vértices, entonces se llama círculo circunscrito. Su principal propiedad es que es único. Para saber cómo debe ubicarse la circunferencia circunscrita de un triángulo obtuso, se debe recordar que su centro está en la intersección de las tres medianas perpendiculares que van a los lados de la figura. Si en un polígono de ángulo agudo con tres vértices, este punto estará dentro, entonces en uno de ángulo obtuso, fuera de él.
Sabiendo, por ejemplo, que uno de los lados de un triángulo obtuso es igual a su radio, se puede encontrar el ángulo opuesto a la cara conocida. Su seno será igual al resultado de dividir la longitud del lado conocido por 2R (donde R es el radio del círculo). Es decir, el seno del ángulo será igual a ½. Entonces el ángulo será de 150 o.
Si necesita encontrar el radio del círculo circunscrito de un triángulo obtusángulo, necesitará información sobre la longitud de sus lados (c, v, b) y su área S. Después de todo, el radio se calcula de la siguiente manera : (cxvxb): 4 x S. Por cierto, no importa qué tipo de figura tengas: un versátil triángulo obtuso, isósceles, rectángulo o agudo. En cualquier situación, gracias a la fórmula anterior, puedes averiguar el área de un polígono dado de tres lados.
Triángulos circunscritos
También es bastante común trabajar con círculos inscritos. Según una de las fórmulas, el radio de tal figura, multiplicado por la mitad del perímetro, será igual al área del triángulo. Cierto, para averiguarlo, necesitas conocer los lados de un triángulo obtuso. De hecho, para determinar la mitad del perímetro, es necesario sumar sus longitudes y dividir por 2.
Para entender dónde debe estar el centro de un círculo inscrito en un triángulo obtuso, es necesario dibujar tres bisectrices. Estas son las líneas que bisecan las esquinas. Es en su intersección donde se ubicará el centro del círculo. En este caso, será equidistante de cada lado.
El radio de tal círculo inscrito en un triángulo obtuso es igual al cociente (p-c) x (p-v) x (p-b) : p. Además, p es el medio perímetro del triángulo, c, v, b son sus lados.
Hoy vamos al país de la Geometría, donde nos familiarizaremos con diferentes tipos de triángulos.
Examina las formas geométricas y encuentra el “extra” entre ellas (Fig. 1).
Arroz. 1. Ilustración por ejemplo
Vemos que las figuras No. 1, 2, 3, 5 son cuadriláteros. Cada uno de ellos tiene su propio nombre (Fig. 2).
Arroz. 2. Cuadrángulos
Esto significa que la figura "extra" es un triángulo (Fig. 3).
Arroz. 3. Ilustración por ejemplo
Un triángulo es una figura que consta de tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta y tres segmentos de línea que conectan estos puntos en pares.
Los puntos se llaman vértices del triángulo, segmentos - su fiestas. Los lados del triángulo forman Hay tres ángulos en los vértices de un triángulo.
Las principales características de un triángulo son tres lados y tres esquinas. Los triángulos se clasifican según el ángulo. agudo, rectangular y obtuso.
Un triángulo se llama de ángulo agudo si sus tres ángulos son agudos, es decir, menores de 90° (Fig. 4).
Arroz. 4. Triángulo agudo
Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos es de 90° (Fig. 5).
Arroz. 5. Triángulo Rectángulo
Un triángulo se llama obtuso si uno de sus ángulos es obtuso, es decir, mayor de 90° (Fig. 6).
Arroz. 6. Triángulo Obtuso
Según el número de lados iguales, los triángulos son equiláteros, isósceles, escalenos.
Un triángulo isósceles es un triángulo en el que dos lados son iguales (Fig. 7).
Arroz. 7. Triángulo isósceles
Estos lados se llaman lateral, Tercer lado - base. En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales.
Los triángulos isósceles son agudo y obtuso(Figura 8) .
Arroz. 8. Triángulos isósceles agudo y obtuso
Se llama un triángulo equilátero, en el que los tres lados son iguales (Fig. 9).
Arroz. 9. Triángulo equilátero
en un triangulo equilatero todos los ángulos son iguales. Triángulos equiláteros siempre de ángulo agudo.
Un triángulo se llama versátil, en el que los tres lados tienen diferentes longitudes (Fig. 10).
Arroz. 10. Triángulo escaleno
Completa la tarea. Divida estos triángulos en tres grupos (Fig. 11).
Arroz. 11. Ilustración para la tarea
Primero, distribuyamos según el tamaño de los ángulos.
Triángulos agudos: No. 1, No. 3.
Triángulos rectángulos: #2, #6.
Triángulos obtusos: #4, #5.
Estos triángulos se dividen en grupos según el número de lados iguales.
Triángulos escalenos: nº 4, nº 6.
Triángulos isósceles: No. 2, No. 3, No. 5.
Triángulo Equilátero: No. 1.
Revisa los dibujos.
Piensa en qué pedazo de alambre está hecho cada triángulo (fig. 12).
Arroz. 12. Ilustración para la tarea
Puedes argumentar así.
El primer trozo de alambre está dividido en tres partes iguales, por lo que puedes hacer un triángulo equilátero con él. Se muestra tercero en la figura.
El segundo trozo de alambre está dividido en tres partes diferentes, por lo que puedes hacer un triángulo escaleno con él. Se muestra primero en la imagen.
El tercer trozo de alambre está dividido en tres partes, donde las dos partes tienen la misma longitud, por lo que puedes hacer un triángulo isósceles con él. Se muestra en segundo lugar en la imagen.
Hoy en la lección nos familiarizamos con diferentes tipos de triángulos.
Bibliografía
- MI. Moro, M. A. Bantova y otros Matemáticas: Libro de texto. Grado 3: en 2 partes, parte 1. - M .: "Ilustración", 2012.
- MI. Moro, M. A. Bantova y otros Matemáticas: Libro de texto. Grado 3: en 2 partes, parte 2. - M .: "Ilustración", 2012.
- MI. Moreau. Lecciones de matemáticas: Directrices para profesores. Grado 3 - M.: Educación, 2012.
- Documento reglamentario. Seguimiento y evaluación de los resultados del aprendizaje. - M.: "Ilustración", 2011.
- "Escuela de Rusia": Programas para la escuela primaria. - M.: "Ilustración", 2011.
- SI. Volkov. Matemáticas: Pruebas de trabajo. Grado 3 - M.: Educación, 2012.
- VN Rudnitskaya. Pruebas. - M.: "Examen", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Tarea
1. Termina las frases.
a) Un triángulo es una figura que consta de..., que no están sobre la misma línea recta, y..., uniendo estos puntos por pares.
b) Los puntos se llaman … , segmentos - su … . Los lados de un triángulo se forman en los vértices de un triángulo. ….
c) Según la medida del ángulo, los triángulos son...,...,....
d) Según el número de lados iguales, los triángulos son...,...,....
2. Dibujar
a) un triángulo rectángulo
b) un triángulo acutángulo;
c) un triángulo obtuso;
d) un triángulo equilátero;
e) triángulo escaleno;
e) un triángulo isósceles.
3. Haz una tarea sobre el tema de la lección para tus compañeros.
Notación estándar
Triángulo con vértices A, B Y C denotado como (ver Fig.). El triángulo tiene tres lados:
Las longitudes de los lados de un triángulo se indican con letras latinas minúsculas (a, b, c):
El triángulo tiene los siguientes ángulos:
Los ángulos en los vértices correspondientes se denotan tradicionalmente con letras griegas (α, β, γ).
Signos de igualdad de triángulos
Un triángulo en el plano euclidiano se puede determinar de manera única (hasta la congruencia) por los siguientes tripletes de elementos básicos:
- a, b, γ (igualdad en dos lados y el ángulo que se encuentra entre ellos);
- a, β, γ (igualdad de lado y dos ángulos adyacentes);
- a, b, c (igualdad en tres lados).
Signos de igualdad de triángulos rectángulos:
- a lo largo del cateto y la hipotenusa;
- en dos piernas;
- a lo largo de la pierna y ángulo agudo;
- hipotenusa y ángulo agudo.
Algunos puntos en el triángulo están "emparejados". Por ejemplo, hay dos puntos desde los cuales todos los lados son visibles en un ángulo de 60° o en un ángulo de 120°. Ellos se llaman puntos Torricelli. También hay dos puntos cuyas proyecciones en los lados se encuentran en los vértices de un triángulo regular. Esta - puntos de Apolonio. Puntos y tales como se llaman puntos Brocard.
Directo
En cualquier triángulo, el centro de gravedad, el ortocentro y el centro de la circunferencia circunscrita se encuentran en la misma línea recta, llamada línea de Euler.
La recta que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita y el punto de Lemoine se llama eje de Brokar. Los puntos de Apolonio yacen en él. Los puntos Torricelli y el punto Lemoine también se encuentran en la misma línea recta. Las bases de las bisectrices exteriores de los ángulos de un triángulo se encuentran en la misma línea recta, llamada eje de bisectrices externas. Los puntos de intersección de las líneas que contienen los lados del ortotriángulo con las líneas que contienen los lados del triángulo también se encuentran en la misma línea. Esta línea se llama eje ortocéntrico, es perpendicular a la recta de Euler.
Si tomamos un punto en el círculo circunscrito de un triángulo, entonces sus proyecciones en los lados del triángulo estarán en una línea recta, llamada recta de simson Punto dado. Las líneas de Simson de puntos diametralmente opuestos son perpendiculares.
triangulos
- Un triángulo con vértices en las bases de las cevianas que pasa por un punto dado se llama triangulo ceviano este punto.
- Un triángulo con vértices en las proyecciones de un punto dado sobre los lados se llama bajo la piel o triangulo de pedales este punto.
- Un triángulo con vértices en los segundos puntos de intersección de las líneas trazadas por los vértices y el punto dado, con el círculo circunscrito, se llama triangulo ceviano. Un triángulo ceviano es similar a uno subdérmico.
círculos
- círculo inscrito es una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. Ella es la única. El centro de la circunferencia inscrita se llama en el centro.
- círculo circunscrito- un círculo que pasa por los tres vértices del triángulo. El círculo circunscrito también es único.
- Excluir- un círculo tangente a un lado de un triángulo y la extensión de los otros dos lados. Hay tres círculos de este tipo en un triángulo. Su centro radical es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo mediano, llamado punto de spieker.
Los puntos medios de los tres lados de un triángulo, las bases de sus tres alturas y los puntos medios de los tres segmentos de línea que conectan sus vértices con el ortocentro se encuentran en un solo círculo llamado círculo de nueve puntos o círculo de Euler. El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en la línea de Euler. Una circunferencia de nueve puntos toca una circunferencia inscrita y tres excircunferencias. El punto de contacto entre una circunferencia inscrita y una circunferencia de nueve puntos se llama punto feuerbach. Si desde cada vértice trazamos triángulos en líneas rectas que contienen lados, ortesis de igual longitud a los lados opuestos, entonces los seis puntos resultantes se encuentran en un círculo: círculos de conway. En cualquier triángulo se pueden inscribir tres círculos de tal manera que cada uno de ellos toque dos lados del triángulo y otros dos círculos. Tales círculos se llaman círculos malfatti. Los centros de los círculos circunscritos de los seis triángulos en que el triángulo está dividido por las medianas se encuentran en un círculo, que se llama Círculo de Lamun.
Un triángulo tiene tres círculos que tocan dos lados del triángulo y el círculo circunscrito. Tales círculos se llaman semi-inscrito o Círculos de Verrier. Los segmentos que conectan los puntos de contacto de los círculos de Verrier con el círculo circunscrito se cortan en un punto, llamado punto verrier. Sirve como el centro de la homotecia, que lleva el círculo circunscrito al incírculo. Los puntos de tangencia de las circunferencias de Verrier con los lados se encuentran sobre una recta que pasa por el centro de la circunferencia inscrita.
Los segmentos de línea que conectan los puntos tangentes del círculo inscrito con los vértices se cortan en un punto, llamado punto de gergonne, y los segmentos que conectan los vértices con los puntos de contacto de los excircles - en punto de Nagel.
Elipses, parábolas e hipérbolas
Cónica inscrita (elipse) y su perspectiva
En un triángulo se pueden inscribir un número infinito de cónicas (elipses, parábolas o hipérbolas). Si inscribimos una cónica arbitraria en un triángulo y conectamos los puntos de contacto con vértices opuestos, entonces las líneas resultantes se cortarán en un punto, llamado perspectiva cónicas. Para cualquier punto del plano que no esté sobre un lado o sobre su prolongación, existe una cónica inscrita con perspectiva en ese punto.
Elipse de Steiner circunscrita y cevianas pasando por sus focos
Una elipse se puede inscribir en un triángulo que toca los lados en los puntos medios. Tal elipse se llama Elipse inscrita de Steiner(su perspectiva será el baricentro del triángulo). La elipse descrita, que es tangente a rectas que pasan por vértices paralelos a los lados, se llama circunscrito por la elipse de Steiner. Si una transformación afín ("sesgo") convierte el triángulo en uno regular, entonces su elipse de Steiner inscrita y circunscrita entrará en un círculo inscrito y circunscrito. Los cevianos dibujados a través de los focos de la elipse de Steiner descrita (puntos de Skutin) son iguales (teorema de Skutin). De todas las elipses descritas, la elipse de Steiner descrita tiene el área más pequeña, y de todas las elipses inscritas, la elipse de Steiner inscrita tiene el área más grande.
Elipse de Brocard y su perspector - Punto de Lemoine
Una elipse con focos en los puntos de Brokar se llama Elipse de Brocard. Su perspectiva es el punto de Lemoine.
Propiedades de una parábola inscrita
parábola de Kiepert
Las perspectivas de las parábolas inscritas se encuentran en la elipse circunscrita de Steiner. El foco de una parábola inscrita se encuentra en el círculo circunscrito y la directriz pasa por el ortocentro. Una parábola inscrita en un triángulo cuya directriz es la recta de Euler se llama parábola de Kiepert. Su perspectiva es el cuarto punto de intersección de la circunferencia circunscrita y la elipse circunscrita de Steiner, llamado punto de Steiner.
La hipérbole de Cypert
Si la hipérbola descrita pasa por el punto de intersección de las alturas, entonces es equilátera (es decir, sus asíntotas son perpendiculares). El punto de intersección de las asíntotas de una hipérbola equilátera se encuentra en un círculo de nueve puntos.
Transformaciones
Si las líneas que pasan por los vértices y algún punto que no está sobre los lados y sus extensiones se reflejan con respecto a las bisectrices correspondientes, entonces sus imágenes también se intersecarán en un punto, que se llama isogonalmente conjugado el original (si el punto se encuentra en el círculo circunscrito, entonces las líneas resultantes serán paralelas). Muchos pares de puntos notables son conjugados isogonalmente: el centro del círculo circunscrito y el ortocentro, el baricentro y el punto de Lemoine, los puntos de Brocard. Los puntos de Apolonio son conjugados isogonalmente a los puntos de Torricelli, y el centro de la circunferencia inscrita es conjugado isogonalmente a sí mismo. Bajo la acción de la conjugación isogonal, las líneas rectas se convierten en cónicas circunscritas y las cónicas circunscritas en líneas rectas. Así, la hipérbola de Kiepert y el eje de Brocard, la hipérbola de Enzhabek y la recta de Euler, la hipérbola de Feuerbach y la recta de centros de la circunferencia inscrita son isogonalmente conjugadas. Los círculos circunscritos de triángulos subdérmicos de puntos isogonalmente conjugados coinciden. Los focos de las elipses inscritas son conjugados isogonalmente.
Si, en lugar de una ceviana simétrica, tomamos una ceviana cuya base está tan alejada del centro del lado como la base del original, entonces esas cevianas también se cortarán en un punto. La transformación resultante se llama conjugación isotómica. También asigna líneas a cónicas circunscritas. Los puntos de Gergonne y Nagel son isotómicamente conjugados. Bajo transformaciones afines, los puntos isotómicamente conjugados pasan a los isotómicamente conjugados. En la conjugación de isotomía, la elipse de Steiner descrita pasa a la línea recta en el infinito.
Si en los segmentos cortados por los lados del triángulo del círculo circunscrito, se inscriben círculos que tocan los lados en las bases de los cevianos trazados por un punto determinado, y luego los puntos de contacto de estos círculos se conectan a los circunscritos. círculo con vértices opuestos, entonces tales líneas se cruzarán en un punto. La transformación del plano, haciendo coincidir el punto original con el resultante, se llama transformación isocircular. La composición de las conjugaciones isogonal e isotómica es la composición de la transformación isocircular consigo misma. Esta composición es una transformación proyectiva que deja los lados del triángulo en su lugar y traduce el eje de las bisectrices exteriores en una línea recta en el infinito.
Si continuamos los lados del triángulo de Cevian de algún punto y tomamos sus puntos de intersección con los lados correspondientes, entonces los puntos de intersección resultantes estarán en una línea recta, llamada polar trilineal punto de partida. Eje ortocéntrico - polar trilineal del ortocentro; la polar trilineal del centro de la circunferencia inscrita es el eje de las bisectrices exteriores. Las polares trilineales de los puntos que se encuentran en la cónica circunscrita se cortan en un punto (para el círculo circunscrito, este es el punto de Lemoine, para la elipse circunscrita de Steiner, es el centroide). La composición de la conjugación isogonal (o isotómica) y la polar trilineal es una transformación de dualidad (si el punto conjugado isogonalmente (isotómicamente) al punto se encuentra en la polar trilineal del punto, entonces la polar trilineal del punto isogonalmente (isotómicamente) conjugado al punto se encuentra en la polar trilineal del punto).
Cubos
Relaciones en un triangulo
Nota: en esta sección, , , son las longitudes de los tres lados del triángulo, y , , son los ángulos opuestos respectivamente a estos tres lados (ángulos opuestos).
desigualdad triangular
En un triángulo no degenerado, la suma de las longitudes de sus dos lados es mayor que la longitud del tercer lado, en uno degenerado es igual. En otras palabras, las longitudes de los lados de un triángulo están relacionadas por las siguientes desigualdades:
La desigualdad triangular es uno de los axiomas de la métrica.
Teorema de la suma de los ángulos del triángulo
teorema del seno
,donde R es el radio del círculo circunscrito al triángulo. Del teorema se sigue que si un< b < c, то α < β < γ.
teorema del coseno
Teorema de la tangente
Otras proporciones
Las proporciones métricas en un triángulo se dan para:
resolver triángulos
El cálculo de los lados y ángulos desconocidos de un triángulo, a partir de los conocidos, se ha denominado históricamente "soluciones de triángulos". En este caso, se utilizan los teoremas trigonométricos generales anteriores.
Area de un triangulo
Casos especiales NotaciónLas siguientes desigualdades se cumplen para el área:
Calcular el área de un triángulo en el espacio usando vectores
Sean los vértices del triángulo en los puntos , , .
Introduzcamos el vector de área. La longitud de este vector es igual al área del triángulo, y está dirigido a lo largo de la normal al plano del triángulo:
Sea , donde , , son las proyecciones del triángulo sobre los planos de coordenadas. Donde
y de la misma manera
El área del triángulo es .
Una alternativa es calcular las longitudes de los lados (usando el teorema de Pitágoras) y luego usando la fórmula de Heron.
Teoremas del triángulo
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Hoy vamos al país de la Geometría, donde nos familiarizaremos con diferentes tipos de triángulos.
Examina las formas geométricas y encuentra el “extra” entre ellas (Fig. 1).
Arroz. 1. Ilustración por ejemplo
Vemos que las figuras No. 1, 2, 3, 5 son cuadriláteros. Cada uno de ellos tiene su propio nombre (Fig. 2).
Arroz. 2. Cuadrángulos
Esto significa que la figura "extra" es un triángulo (Fig. 3).
Arroz. 3. Ilustración por ejemplo
Un triángulo es una figura que consta de tres puntos que no se encuentran en la misma línea recta y tres segmentos de línea que conectan estos puntos en pares.
Los puntos se llaman vértices del triángulo, segmentos - su fiestas. Los lados del triángulo forman Hay tres ángulos en los vértices de un triángulo.
Las principales características de un triángulo son tres lados y tres esquinas. Los triángulos se clasifican según el ángulo. agudo, rectangular y obtuso.
Un triángulo se llama de ángulo agudo si sus tres ángulos son agudos, es decir, menores de 90° (Fig. 4).
Arroz. 4. Triángulo agudo
Un triángulo se llama rectángulo si uno de sus ángulos es de 90° (Fig. 5).
Arroz. 5. Triángulo Rectángulo
Un triángulo se llama obtuso si uno de sus ángulos es obtuso, es decir, mayor de 90° (Fig. 6).
Arroz. 6. Triángulo Obtuso
Según el número de lados iguales, los triángulos son equiláteros, isósceles, escalenos.
Un triángulo isósceles es un triángulo en el que dos lados son iguales (Fig. 7).
Arroz. 7. Triángulo isósceles
Estos lados se llaman lateral, Tercer lado - base. En un triángulo isósceles, los ángulos en la base son iguales.
Los triángulos isósceles son agudo y obtuso(Figura 8) .
Arroz. 8. Triángulos isósceles agudo y obtuso
Se llama un triángulo equilátero, en el que los tres lados son iguales (Fig. 9).
Arroz. 9. Triángulo equilátero
en un triangulo equilatero todos los ángulos son iguales. Triángulos equiláteros siempre de ángulo agudo.
Un triángulo se llama versátil, en el que los tres lados tienen diferentes longitudes (Fig. 10).
Arroz. 10. Triángulo escaleno
Completa la tarea. Divida estos triángulos en tres grupos (Fig. 11).
Arroz. 11. Ilustración para la tarea
Primero, distribuyamos según el tamaño de los ángulos.
Triángulos agudos: No. 1, No. 3.
Triángulos rectángulos: #2, #6.
Triángulos obtusos: #4, #5.
Estos triángulos se dividen en grupos según el número de lados iguales.
Triángulos escalenos: nº 4, nº 6.
Triángulos isósceles: No. 2, No. 3, No. 5.
Triángulo Equilátero: No. 1.
Revisa los dibujos.
Piensa en qué pedazo de alambre está hecho cada triángulo (fig. 12).
Arroz. 12. Ilustración para la tarea
Puedes argumentar así.
El primer trozo de alambre está dividido en tres partes iguales, por lo que puedes hacer un triángulo equilátero con él. Se muestra tercero en la figura.
El segundo trozo de alambre está dividido en tres partes diferentes, por lo que puedes hacer un triángulo escaleno con él. Se muestra primero en la imagen.
El tercer trozo de alambre está dividido en tres partes, donde las dos partes tienen la misma longitud, por lo que puedes hacer un triángulo isósceles con él. Se muestra en segundo lugar en la imagen.
Hoy en la lección nos familiarizamos con diferentes tipos de triángulos.
Bibliografía
- MI. Moro, M. A. Bantova y otros Matemáticas: Libro de texto. Grado 3: en 2 partes, parte 1. - M .: "Ilustración", 2012.
- MI. Moro, M. A. Bantova y otros Matemáticas: Libro de texto. Grado 3: en 2 partes, parte 2. - M .: "Ilustración", 2012.
- MI. Moreau. Lecciones de matemáticas: Directrices para profesores. Grado 3 - M.: Educación, 2012.
- Documento reglamentario. Seguimiento y evaluación de los resultados del aprendizaje. - M.: "Ilustración", 2011.
- "Escuela de Rusia": Programas para la escuela primaria. - M.: "Ilustración", 2011.
- SI. Volkov. Matemáticas: Pruebas de trabajo. Grado 3 - M.: Educación, 2012.
- VN Rudnitskaya. Pruebas. - M.: "Examen", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Tarea
1. Termina las frases.
a) Un triángulo es una figura que consta de..., que no están sobre la misma línea recta, y..., uniendo estos puntos por pares.
b) Los puntos se llaman … , segmentos - su … . Los lados de un triángulo se forman en los vértices de un triángulo. ….
c) Según la medida del ángulo, los triángulos son...,...,....
d) Según el número de lados iguales, los triángulos son...,...,....
2. Dibujar
a) un triángulo rectángulo
b) un triángulo acutángulo;
c) un triángulo obtuso;
d) un triángulo equilátero;
e) triángulo escaleno;
e) un triángulo isósceles.
3. Haz una tarea sobre el tema de la lección para tus compañeros.