Solución completa de desigualdades en línea. Solución de desigualdades exponenciales. ¿Cuál es la situación con las desigualdades en las que hay un módulo

Por ejemplo, la expresión \(x>5\) es una desigualdad.

Tipos de desigualdades:

Si \(a\) y \(b\) son números o , entonces la desigualdad se llama numérico. De hecho, esto es solo una comparación de dos números. Estas desigualdades se subdividen en fiel Y infiel.

Por ejemplo:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);

\(17+3\geq 115\) es una desigualdad numérica no válida porque \(17+3=20\) y \(20\) es menor que \(115\) (ni mayor ni igual que).

Si \(a\) y \(b\) son expresiones que contienen una variable, entonces tenemos desigualdad con variable. Tales desigualdades se dividen en tipos según el contenido:

\(2x+1\geq4(5-x)\)				Variable solo a la primera potencia
\(3x^2-x+5>0\)				Hay una variable en la segunda potencia (cuadrado), pero no hay potencias superiores (tercera, cuarta, etc.)
\(\log_(4)((x+1))<3\)
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\)

... etc

¿Qué es una solución a una desigualdad?

Si cualquier número se sustituye en la desigualdad en lugar de una variable, entonces se convertirá en uno numérico.

Si el valor dado para x hace que la desigualdad original sea numérica verdadera, entonces se llama resolviendo la desigualdad. Si no, entonces este valor no es una solución. Y para resolver la desigualdad- necesita encontrar todas sus soluciones (o demostrar que no existen).

Por ejemplo, si estamos en la desigualdad lineal \(x+6>10\), sustituimos el número \(7\) en lugar de x, obtenemos la desigualdad numérica correcta: \(13>10\). Y si sustituimos \(2\), habrá una desigualdad numérica incorrecta \(8>10\). Es decir, \(7\) es una solución a la desigualdad original, pero \(2\) no lo es.

Sin embargo, la desigualdad \(x+6>10\) tiene otras soluciones. De hecho, obtendremos las desigualdades numéricas correctas al sustituir y \(5\), y \(12\), y \(138\) ... ¿Y cómo podemos encontrar todas las soluciones posibles? Para ello, utilice Para nuestro caso, tenemos:

\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)

Es decir, podemos usar cualquier número mayor que cuatro. Ahora tenemos que escribir la respuesta. Las soluciones a las desigualdades, por regla general, se escriben numéricamente, además de marcarlas en el eje numérico con sombreado. Para nuestro caso tenemos:

Responder: \(x\in(4;+\infty)\)

¿Cuándo cambia el signo en una desigualdad?

Hay una gran trampa en las desigualdades, en la que a los estudiantes realmente les “gusta” caer:

Al multiplicar (o dividir) la desigualdad por un número negativo, se invierte (“mayor que” por “menor”, ​​“mayor que o igual a” por “menor que o igual a”, y así sucesivamente)

¿Por qué sucede? Para entender esto, veamos las transformaciones de la desigualdad numérica \(3>1\). Es correcto, el triple es realmente más de uno. Primero, intentemos multiplicarlo por cualquier número positivo, por ejemplo, dos:

\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)

Como puedes ver, después de la multiplicación, la desigualdad sigue siendo cierta. Y no importa qué número positivo multipliquemos, siempre obtendremos la desigualdad correcta. Y ahora intentemos multiplicar por un número negativo, por ejemplo, menos tres:

\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)

¡Resultó ser una desigualdad incorrecta, porque menos nueve es menos que menos tres! Es decir, para que la desigualdad sea verdadera (lo que significa que la transformación de la multiplicación por un negativo fue "legal"), debe invertir el signo de comparación, así: \(−9<− 3\).
Con la división, resultará similar, puedes comprobarlo tú mismo.

La regla escrita arriba se aplica a todo tipo de desigualdades, y no solo a las numéricas.

Ejemplo: Resuelve la desigualdad \(2(x+1)-1<7+8x\)
Solución:

\(2x+2-1<7+8x\)	Desplacemos \(8x\) a la izquierda, y \(2\) y \(-1\) a la derecha, sin olvidar cambiar de signo
\(2x-8x<7-2+1\)
\(-6x<6\) \(|:(-6)\)	Divide ambos lados de la desigualdad por \(-6\), sin olvidar cambiar de "menor" a "mayor"
	Marquemos un intervalo numérico en el eje. Desigualdad, por lo que el valor \(-1\) se "perfora" y no lo tomamos como respuesta
	Escribamos la respuesta como un intervalo.

Responder: \(x\in(-1;\infty)\)

Desigualdades y DHS

Las desigualdades, al igual que las ecuaciones, pueden tener restricciones sobre , es decir, sobre los valores de x. En consecuencia, aquellos valores que son inaceptables según la ODZ deben excluirse del intervalo de solución.

Ejemplo: Resuelve la desigualdad \(\sqrt(x+1)<3\)

Solución: Está claro que para que el lado izquierdo sea menor que \(3\), la expresión raíz debe ser menor que \(9\) (después de todo, de \(9\) solo \(3\)). Obtenemos:

\(x+1<9\) \(|-1\)
\(X<8\)

¿Todo? ¿Cualquier valor de x menor que \(8\) nos conviene? ¡No! Porque si tomamos, por ejemplo, el valor \(-5\) que parece cumplir con el requisito, no será una solución a la desigualdad original, ya que nos llevará a calcular la raíz de un número negativo.

\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)

Por lo tanto, también debemos tener en cuenta las restricciones sobre los valores de x: no puede ser tal que haya un número negativo debajo de la raíz. Así, tenemos el segundo requisito para x:

\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)

Y para que x sea una solución final, debe satisfacer ambos requisitos a la vez: debe ser menor que \(8\) (para ser una solución) y mayor que \(-1\) (para ser válida en principio). Trazando en la recta numérica, tenemos la respuesta final:

Responder: \(\izquierda[-1;8\derecha)\)

Su privacidad es importante para nosotros. Por esta razón, hemos desarrollado una Política de privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Lea nuestra política de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.

Recopilación y uso de información personal

La información personal se refiere a los datos que se pueden utilizar para identificar o contactar a una persona específica.

Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.

Los siguientes son algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.

Qué información personal recopilamos:

• Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar información diversa, incluido su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.

Cómo usamos tu información personal:

• La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted e informarle sobre ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
• De vez en cuando, podemos usar su información personal para enviarle avisos y mensajes importantes.
• También podemos utilizar la información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos y diversas investigaciones para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
• Si participa en un sorteo, concurso o incentivo similar, podemos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.

Divulgación a terceros

No divulgamos la información que recibimos de usted a terceros.

Excepciones:

• En caso de que sea necesario, de conformidad con la ley, orden judicial, en procedimientos judiciales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de organismos estatales en el territorio de la Federación Rusa, divulgar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada por razones de seguridad, cumplimiento de la ley u otras razones de interés público.
• En el caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.

Protección de datos personales

Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal de pérdida, robo y uso indebido, así como del acceso, divulgación, alteración y destrucción no autorizados.

Mantener su privacidad a nivel de empresa

Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos las prácticas de privacidad y seguridad a nuestros empleados y hacemos cumplir estrictamente las prácticas de privacidad.

Uno de los temas que requiere máxima atención y perseverancia por parte de los estudiantes es la solución de desigualdades. Tan parecidas a las ecuaciones ya la vez muy diferentes a ellas. Porque su solución requiere un enfoque especial.

Propiedades requeridas para encontrar la respuesta

Todos ellos se utilizan para reemplazar una entrada existente por una equivalente. La mayoría de ellos son similares a lo que había en las ecuaciones. Pero también hay diferencias.

• Una función que está definida en el DPV, o cualquier número, se puede agregar a ambas partes de la desigualdad original.
• De manera similar, la multiplicación es posible, pero solo por una función o número positivo.
• Si esta acción se realiza con una función o número negativo, entonces se debe invertir el signo de desigualdad.
• Las funciones que no son negativas se pueden elevar a una potencia positiva.

A veces la solución de desigualdades va acompañada de acciones que dan respuestas extrañas. Deben eliminarse comparando el área ODZ y el conjunto de soluciones.

Usando el método de espaciado

Su esencia es reducir la desigualdad a una ecuación en la que el cero está en el lado derecho.

1. Determine el área donde se encuentran los valores permisibles de las variables, es decir, la ODZ.
2. Transforma la desigualdad usando operaciones matemáticas para que su lado derecho sea cero.
3. Reemplace el signo de desigualdad con "=" y resuelva la ecuación correspondiente.
4. En el eje numérico, marque todas las respuestas que se obtuvieron durante la solución, así como los intervalos de la ODZ. En caso de estricta desigualdad, los puntos deben dibujarse perforados. Si hay un signo igual, entonces se supone que deben pintarse.
5. Determina el signo de la función original en cada intervalo resultante de los puntos de la ODZ y las respuestas que la dividen. Si el signo de la función no cambia al pasar por un punto, entonces entra en la respuesta. De lo contrario, se excluye.
6. Los puntos límite para ODZ deben verificarse adicionalmente y solo luego incluirse o no en la respuesta.
7. La respuesta que se obtenga debe escribirse en forma de conjuntos unidos.

Un poco sobre las dobles desigualdades

Usan dos signos de desigualdad en el registro a la vez. Es decir, alguna función está limitada por condiciones dos veces a la vez. Tales desigualdades se resuelven como un sistema de dos, cuando el original se divide en partes. Y en el método de los intervalos se indican las respuestas de la solución de ambas ecuaciones.

Para resolverlos, también está permitido usar las propiedades indicadas anteriormente. Con su ayuda, es conveniente reducir la desigualdad a cero.

¿Qué pasa con las desigualdades que tienen un módulo?

En este caso, la solución de desigualdades utiliza las siguientes propiedades, y son válidas para un valor positivo de "a".

Si "x" toma una expresión algebraica, entonces las siguientes sustituciones son válidas:

• |x|< a на -a < х < a;
• |x| > a en x< -a или х >un.

Si las desigualdades no son estrictas, entonces las fórmulas también son verdaderas, solo que en ellas, además del signo de mayor o menor, aparece "=".

¿Cómo se resuelve el sistema de desigualdades?

Este conocimiento será necesario en aquellos casos en que se encomiende tal tarea o exista constancia de una doble desigualdad o aparezca algún módulo en la constancia. En tal situación, la solución serán tales valores de las variables que satisfagan todas las desigualdades en el registro. Si no hay tales números, entonces el sistema no tiene soluciones.

El plan según el cual se lleva a cabo la solución del sistema de desigualdades:

• resolver cada uno de ellos por separado;
• representar todos los intervalos en el eje numérico y determinar sus intersecciones;
• anota la respuesta del sistema, que será la unión de lo sucedido en el segundo párrafo.

¿Qué pasa con las desigualdades fraccionarias?

Dado que durante su solución puede ser necesario cambiar el signo de la desigualdad, es necesario seguir todos los puntos del plan con mucho cuidado y cuidado. De lo contrario, puede obtener la respuesta opuesta.

Resolver desigualdades fraccionarias también usa el método de intervalo. Y el plan de acción sería:

• Usando las propiedades descritas, dé a la fracción una forma tal que solo quede cero a la derecha del signo.
• Reemplace la desigualdad con "=" y determine los puntos en los que la función será igual a cero.
• Márcalos en el eje de coordenadas. En este caso, siempre se troquelarán los números resultantes de los cálculos en el denominador. Todos los demás se basan en la condición de desigualdad.
• Determinar los intervalos de constancia.
• En respuesta, anota la unión de aquellos intervalos cuyo signo corresponda al que estaba en la desigualdad original.

Situaciones en las que la irracionalidad aparece en la desigualdad

En otras palabras, hay una raíz matemática en el registro. Dado que la mayoría de las tareas en el curso de álgebra escolar son para la raíz cuadrada, es él quien será considerado.

La solución de desigualdades irracionales se reduce a conseguir un sistema de dos o tres que sea equivalente al original.

Desigualdad inicial	condición	sistema equivalente
√ n(x)< m(х)	m(x) es menor o igual a 0	sin soluciones
	m(x) es mayor que 0	n(x) es mayor o igual a 0 n(x)< (m(х)) 2
√ n(x) > m(x)		m(x) es mayor o igual a 0 n(x) > (m(x)) 2
		n(x) es mayor o igual a 0 m(x) es menor que 0
√n(х) ≤ m(х)	m(x) es menor que 0	sin soluciones
	m(x) es mayor o igual a 0	n(x) es mayor o igual a 0 n(х) ≤ (m(х)) 2
√n(x) ≥ m(x)		m(x) es mayor o igual a 0 n(x) ≥ (m(x)) 2
		n(x) es mayor o igual a 0 m(x) es menor que 0
√ n(x)< √ m(х)		n(x) es mayor o igual a 0 n(x) es menor que m(x)
√n(x) * m(x)< 0		n(x) es mayor que 0 m(x) es menor que 0
√n(x) * m(x) > 0		n(x) es mayor que 0 m(x) es mayor que 0
√n(х) * m(х) ≤ 0		n(x) es mayor que 0
		n(x) es 0 m(x) -cualquiera
√n(x) * m(x) ≥ 0		n(x) es mayor que 0
		n(x) es 0 m(x) -cualquiera

Ejemplos de resolución de diferentes tipos de desigualdades

Para agregar claridad a la teoría sobre la resolución de desigualdades, se dan ejemplos a continuación.

Primer ejemplo. 2x - 4 > 1 + x

Solución: Para determinar la DHS, solo es necesario observar de cerca la desigualdad. Se forma a partir de funciones lineales, por lo tanto se define para todos los valores de la variable.

Ahora de ambos lados de la desigualdad necesitas restar (1 + x). Resulta: 2x - 4 - (1 + x) > 0. Después de abrir los paréntesis y dar términos similares, la desigualdad tomará la siguiente forma: x - 5 > 0.

Igualándolo a cero, es fácil encontrar su solución: x = 5.

Ahora este punto con el número 5 debe estar marcado en el haz de coordenadas. Luego verifique los signos de la función original. En el primer intervalo de menos infinito a 5, puedes tomar el número 0 y sustituirlo en la desigualdad obtenida después de las transformaciones. Después de los cálculos resulta -7 >0. debajo del arco del intervalo, debe firmar un signo menos.

En el siguiente intervalo de 5 a infinito, puedes elegir el número 6. Entonces resulta que 1 > 0. El signo "+" está firmado debajo del arco. Este segundo intervalo será la respuesta a la desigualdad.

Respuesta: x está en el intervalo (5; ∞).

Segundo ejemplo. Se requiere resolver un sistema de dos ecuaciones: 3x + 3 ≤ 2x + 1 y 3x - 2 ≤ 4x + 2.

Solución. La ODZ de estas desigualdades también se encuentra en la región de cualquier número, ya que se dan funciones lineales.

La segunda desigualdad tomará la forma de la siguiente ecuación: 3x - 2 - 4x - 2 = 0. Después de la transformación: -x - 4 =0. Produce un valor para la variable igual a -4.

Estos dos números deben estar marcados en el eje, mostrando los intervalos. Como la desigualdad no es estricta, todos los puntos deben estar sombreados. El primer intervalo es de menos infinito a -4. Sea elegido el número -5. La primera desigualdad dará el valor -3, y la segunda 1. Entonces este intervalo no está incluido en la respuesta.

El segundo intervalo es de -4 a -2. Puedes elegir el número -3 y sustituirlo en ambas desigualdades. En el primero y en el segundo se obtiene el valor -1. Entonces, bajo el arco "-".

En el último intervalo de -2 a infinito, cero es el mejor número. Necesitas sustituirlo y encontrar los valores de las desigualdades. En el primero de ellos se obtiene un número positivo, y en el segundo cero. Este intervalo también debe excluirse de la respuesta.

De los tres intervalos, solo uno es la solución de la desigualdad.

Respuesta: x pertenece a [-4; -2].

Tercer ejemplo. |1 - x| > 2 |x - 1|.

Solución. El primer paso es determinar los puntos en los que se anulan las funciones. Para la izquierda, este número será 2, para la derecha, 1. Deben estar marcados en la viga y deben determinarse los intervalos de constancia.

En el primer intervalo, de menos infinito a 1, la función del lado izquierdo de la desigualdad toma valores positivos y del lado derecho, negativos. Debajo del arco, debe escribir dos signos "+" y "-" uno al lado del otro.

El siguiente intervalo es de 1 a 2. En él, ambas funciones toman valores positivos. Entonces, hay dos ventajas debajo del arco.

El tercer intervalo de 2 a infinito dará el siguiente resultado: la función de la izquierda es negativa, la de la derecha es positiva.

Teniendo en cuenta los signos resultantes, es necesario calcular los valores de desigualdad para todos los intervalos.

En el primero, se obtiene la siguiente desigualdad: 2 - x\u003e - 2 (x - 1). El menos antes del dos en la segunda desigualdad se debe a que esta función es negativa.

Después de la transformación, la desigualdad se ve así: x > 0. Inmediatamente da los valores de la variable. Es decir, a partir de este intervalo, solo irá como respuesta el intervalo de 0 a 1.

En el segundo: 2 - x\u003e 2 (x - 1). Las transformaciones darán tal desigualdad: -3x + 4 es mayor que cero. Su cero será el valor x = 4/3. Dado el signo de desigualdad, resulta que x debe ser menor que este número. Esto significa que este intervalo decrece al intervalo de 1 a 4/3.

Este último da el siguiente registro de desigualdad: - (2 - x) > 2 (x - 1). Su transformación conduce a esto: -x > 0. Es decir, la ecuación es verdadera para x menor que cero. Esto significa que la desigualdad no da soluciones en el intervalo requerido.

En los dos primeros intervalos, el número límite fue 1. Debe verificarse por separado. Es decir, sustituir en la desigualdad original. Resulta: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. Contar da como resultado que 1 es mayor que 0. Esta es una afirmación verdadera, por lo que uno está incluido en la respuesta.

Respuesta: x está en el intervalo (0; 4/3).

Las desigualdades lineales se llaman cuyas partes izquierda y derecha son funciones lineales con respecto a una cantidad desconocida. Estos incluyen, por ejemplo, las desigualdades:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Desigualdades estrictas: hacha+b>0 o hacha+b<0

2) Desigualdades no estrictas: hacha+b≤0 o hacha+b≫ 0

Tomemos esta tarea. Un lado de un paralelogramo mide 7 cm. ¿Cuál debe ser la longitud del otro lado para que el perímetro del paralelogramo sea mayor de 44 cm?

Deje que el lado deseado sea X cm. En este caso, el perímetro del paralelogramo estará representado por (14 + 2x) cm. La desigualdad 14 + 2x > 44 es un modelo matemático del problema del perímetro del paralelogramo. Si en esta desigualdad reemplazamos la variable X en, por ejemplo, el número 16, obtenemos la desigualdad numérica correcta 14 + 32\u003e 44. En este caso, decimos que el número 16 es la solución a la desigualdad 14 + 2x\u003e 44.

Solución de desigualdad nombre el valor de la variable que la convierte en una verdadera desigualdad numérica.

Por lo tanto, cada uno de los números 15.1; 20;73 actúan como una solución a la desigualdad 14 + 2x > 44, y el número 10, por ejemplo, no es su solución.

Resuelve la desigualdad medios para establecer todas sus soluciones o para probar que no existen soluciones.

La formulación de la solución de la desigualdad es similar a la formulación de la raíz de la ecuación. Y, sin embargo, no se acostumbra designar la "raíz de la desigualdad".

Las propiedades de las igualdades numéricas nos ayudaron a resolver ecuaciones. De manera similar, las propiedades de las desigualdades numéricas ayudarán a resolver las desigualdades.

Resolviendo la ecuación, la cambiamos a otra ecuación más sencilla, pero equivalente a la dada. De manera similar, la respuesta se encuentra para las desigualdades. Al cambiar la ecuación a una ecuación equivalente a ella, utilizan el teorema de la transferencia de términos de una parte de la ecuación a la opuesta y de la multiplicación de ambas partes de la ecuación por el mismo número distinto de cero. Al resolver una desigualdad, existe una diferencia significativa entre esta y una ecuación, que radica en el hecho de que cualquier solución a una ecuación puede comprobarse simplemente sustituyéndola en la ecuación original. En desigualdades, no existe tal método, ya que no es posible sustituir un número infinito de soluciones en la desigualdad original. Por lo tanto, hay un concepto importante, estas flechas<=>es el signo de transformaciones equivalentes o equivalentes. La transformación se llama equivalente o equivalente si no cambian el conjunto de decisión.

Reglas similares para resolver desigualdades.

Si se mueve cualquier término de una parte a otra de la desigualdad, reemplazando su signo por el opuesto, entonces obtenemos una desigualdad equivalente a la dada.

Si ambas partes de la desigualdad se multiplican (dividen) por el mismo número positivo, entonces obtenemos una desigualdad equivalente a la dada.

Si ambas partes de la desigualdad se multiplican (dividen) por el mismo número negativo, reemplazando el signo de la desigualdad por el opuesto, entonces obtenemos una desigualdad equivalente a la dada.

Usando estos regulaciones calculamos las siguientes desigualdades.

1) Analicemos la desigualdad. 2x - 5 > 9.

Esta desigualdad lineal, encuentre su solución y discuta los conceptos básicos.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(el 5 se movió al lado izquierdo con el signo opuesto), luego dividimos todo por 2 y tenemos X > 7. Aplicamos un conjunto de soluciones al eje X

Hemos obtenido un haz dirigido positivamente. Anotamos el conjunto de soluciones ya sea en la forma de la desigualdad X > 7, o como un intervalo x(7; ∞). ¿Y cuál es una solución particular a esta desigualdad? Por ejemplo, x=10 es una solución particular a esta desigualdad, x=12 es también una solución particular de esta desigualdad.

Hay muchas soluciones particulares, pero nuestra tarea es encontrar todas las soluciones. Y las soluciones suelen ser infinitas.

analicemos ejemplo 2:

2) Resuelve la desigualdad 4a - 11 > a + 13.

Vamos a resolverlo: pero moverse a un lado 11 pasar al otro lado, obtenemos 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 la desigualdad tiene la forma a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

También mostraremos el conjunto. a< 8 , pero ya en el eje pero.

La respuesta se escribe como una desigualdad a< 8, либо pero(-∞;8), 8 no enciende.

ver también Resolver gráficamente un problema de programación lineal, Forma canónica de problemas de programación lineal

El sistema de restricciones para tal problema consiste en desigualdades en dos variables:
y la función objetivo tiene la forma F = C 1 X + C 2 y, que se quiere maximizar.

Respondamos a la pregunta: ¿qué pares de números ( X; y) son soluciones al sistema de desigualdades, es decir, ¿satisfacen simultáneamente cada una de las desigualdades? En otras palabras, ¿qué significa resolver un sistema gráficamente?
Primero necesitas entender cuál es la solución de una desigualdad lineal con dos incógnitas.
Resolver una desigualdad lineal con dos incógnitas significa determinar todos los pares de valores de las incógnitas para las que se satisface la desigualdad.
Por ejemplo, la desigualdad 3 X – 5y≥ 42 satisfacen los pares ( X , y) : (100, 2); (3, –10), etc. El problema es encontrar todos esos pares.
Considere dos desigualdades: hacha + por≤ C, hacha + por≥ C. Derecho hacha + por = C divide el plano en dos semiplanos de modo que las coordenadas de los puntos de uno de ellos satisfagan la desigualdad hacha + por >C, y la otra desigualdad hacha + +por <C.
De hecho, tome un punto con coordenada X = X 0; luego un punto que se encuentra en una línea recta y tiene una abscisa X 0 , tiene una ordenada

Sea por definición a<0, B>0, C>0. Todos los puntos con abscisa X 0 arriba PAGS(por ejemplo, punto METRO), tener y M>y 0 , y todos los puntos por debajo del punto PAGS, con abscisas X 0, tener sn<y 0 En la medida en X 0 es un punto arbitrario, entonces siempre habrá puntos en un lado de la línea para los cuales hacha+ por > C, formando un semiplano, y por otro lado, puntos para los cuales hacha + por< C.

Foto 1

El signo de desigualdad en el semiplano depende de los números a, B , C.
Esto implica el siguiente método para solución gráfica de sistemas de desigualdades lineales en dos variables. Para resolver el sistema, necesitas:

1. Para cada desigualdad, escriba la ecuación correspondiente a la desigualdad dada.
2. Construir rectas que sean gráficas de funciones dadas por ecuaciones.
3. Para cada línea recta, determine el semiplano, que viene dado por la desigualdad. Para hacer esto, tome un punto arbitrario que no se encuentre en una línea recta, sustituya sus coordenadas en la desigualdad. si la desigualdad es verdadera, entonces el semiplano que contiene el punto elegido es la solución de la desigualdad original. Si la desigualdad es falsa, entonces el semiplano del otro lado de la recta es el conjunto de soluciones de esta desigualdad.
4. Para resolver un sistema de desigualdades, es necesario encontrar el área de intersección de todos los semiplanos que son la solución de cada desigualdad del sistema.

Esta área puede resultar vacía, entonces el sistema de desigualdades no tiene soluciones, es inconsistente. De lo contrario, se dice que el sistema es compatible.
Las soluciones pueden ser un número finito y un conjunto infinito. El área puede ser un polígono cerrado o puede ser ilimitada.

Veamos tres ejemplos relevantes.

Ejemplo 1. Resuelve gráficamente el sistema:
X + y- 1 ≤ 0;
–2X- 2y + 5 ≤ 0.

• considere las ecuaciones x+y–1=0 y –2x–2y+5=0 correspondientes a las desigualdades;
• construyamos las rectas dadas por estas ecuaciones.

Figura 2

Definamos los semiplanos dados por las desigualdades. Tome un punto arbitrario, sea (0; 0). Considerar X+ y- 1 0, sustituimos el punto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. por lo tanto, en el semiplano donde se encuentra el punto (0; 0), X + y – 1 ≤ 0, es decir el semiplano que se encuentra debajo de la recta es la solución de la primera desigualdad. Sustituyendo este punto (0; 0) en el segundo, obtenemos: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, es decir en el semiplano donde se encuentra el punto (0; 0), -2 X – 2y+ 5≥ 0, y nos preguntaron donde -2 X – 2y+ 5 ≤ 0, por lo tanto, en otro semiplano, en el que está arriba de la línea recta.
Encuentre la intersección de estos dos semiplanos. Las rectas son paralelas, por lo que los planos no se cortan en ningún lado, lo que significa que el sistema de estas desigualdades no tiene solución, es inconsistente.

Ejemplo 2. Encuentra gráficamente soluciones al sistema de desigualdades:

figura 3
1. Escribe las ecuaciones correspondientes a las desigualdades y construye líneas rectas.
X + 2y– 2 = 0

X	2	0
y	0	1

y – X – 1 = 0

X	0	2
y	1	3

y + 2 = 0;
y = –2.
2. Habiendo elegido el punto (0; 0), determinamos los signos de las desigualdades en los semiplanos:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, es decir X + 2y– 2 ≤ 0 en el semiplano por debajo de la recta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, es decir y –X– 1 ≤ 0 en el semiplano por debajo de la recta;
0 + 2 =2 ≥ 0, es decir y+ 2 ≥ 0 en el semiplano por encima de la recta.
3. La intersección de estos tres semiplanos será un área que es un triángulo. No es difícil encontrar los vértices de la región como los puntos de intersección de las rectas correspondientes


De este modo, PERO(–3; –2), EN(0; 1), DESDE(6; –2).

Consideremos un ejemplo más, en el que el dominio resultante de la solución del sistema no está limitado.