Resuelve desigualdades complejas en línea. Desigualdades cuadradas. regla de suma de multiplicidad
Primero, algunas letras para tener una idea del problema que resuelve el método de intervalo. Supongamos que necesitamos resolver la siguiente desigualdad:
(x − 5)(x + 3) > 0
¿Cuales son las opciones? Lo primero que les viene a la mente a la mayoría de los estudiantes son las reglas "más por más es más" y "menos por menos es más". Por lo tanto, basta con considerar el caso cuando ambos paréntesis son positivos: x − 5 > 0 y x + 3 > 0. Luego también consideramos el caso cuando ambos paréntesis son negativos: x − 5< 0 и x + 3 < 0. Таким образом, наше неравенство свелось к совокупности двух систем, которая, впрочем, легко решается:
Los estudiantes más avanzados recordarán (quizás) que a la izquierda hay una función cuadrática cuya gráfica es una parábola. Además, esta parábola corta al eje OX en los puntos x = 5 y x = −3. Para seguir trabajando, debe abrir los soportes. Tenemos:
x 2 - 2x - 15 > 0
Ahora está claro que las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba, porque coeficiente a = 1 > 0. Tratemos de dibujar un diagrama de esta parábola:
La función es mayor que cero donde pasa por encima del eje OX. En nuestro caso, estos son los intervalos (−∞ −3) y (5; +∞) - esta es la respuesta.
Tenga en cuenta que la imagen muestra exactamente diagrama de funciones, no su horario. Porque para un gráfico real, necesita contar coordenadas, calcular compensaciones y otras tonterías, que ahora no necesitamos en absoluto.
¿Por qué estos métodos son ineficaces?
Entonces, hemos considerado dos soluciones para la misma desigualdad. Ambos resultaron ser muy engorrosos. Surge la primera decisión: ¡solo piénsalo! es un conjunto de sistemas de desigualdades. La segunda solución tampoco es muy fácil: necesitas recordar el gráfico de parábola y un montón de otros pequeños hechos.
Era una desigualdad muy simple. Solo tiene 2 multiplicadores. Ahora imagine que no habrá 2 multiplicadores, sino al menos 4. Por ejemplo:
(x − 7)(x − 1)(x + 4)(x + 9)< 0
¿Cómo resolver tal desigualdad? ¿Repasar todas las combinaciones posibles de pros y contras? Sí, nos dormiremos más rápido de lo que encontremos una solución. Dibujar un gráfico tampoco es una opción, ya que no está claro cómo se comporta dicha función en el plano de coordenadas.
Para tales desigualdades, se necesita un algoritmo de solución especial, que consideraremos hoy.
¿Qué es el método de intervalo?
El método de intervalo es un algoritmo especial diseñado para resolver desigualdades complejas de la forma f (x) > 0 y f (x)< 0. Алгоритм состоит из 4 шагов:
- Resuelva la ecuación f (x) \u003d 0. Por lo tanto, en lugar de una desigualdad, obtenemos una ecuación que es mucho más fácil de resolver;
- Marque todas las raíces obtenidas en la línea de coordenadas. Así, la línea recta se dividirá en varios intervalos;
- Encuentra el signo (más o menos) de la función f (x) en el intervalo más a la derecha. Para ello, basta sustituir en f(x) cualquier número que quedará a la derecha de todas las raíces marcadas;
- Marque marcas en otros intervalos. Para hacer esto, basta recordar que al pasar por cada raíz, el signo cambia.
¡Eso es todo! Después de eso, solo queda escribir los intervalos que nos interesan. Se marcan con un signo “+” si la desigualdad era de la forma f (x) > 0, o con un signo “-” si la desigualdad era de la forma f (x)< 0.
A primera vista, puede parecer que el método de intervalo es una especie de hojalata. Pero en la práctica, todo será muy simple. Se necesita un poco de práctica, y todo se aclarará. Eche un vistazo a los ejemplos y compruébelo usted mismo:
Una tarea. Resuelve la desigualdad:
(x − 2)(x + 7)< 0
Trabajamos el método de los intervalos. Paso 1: reemplaza la desigualdad con una ecuación y resuélvela:
(x − 2)(x + 7) = 0
El producto es igual a cero si y solo si al menos uno de los factores es igual a cero:
x − 2 = 0 ⇒ x = 2;
x + 7 = 0 ⇒ x = −7.
Tengo dos raíces. Ve al paso 2: marca estas raíces en la línea de coordenadas. Tenemos:
Ahora paso 3: encontramos el signo de la función en el intervalo más a la derecha (a la derecha del punto marcado x = 2). Para hacer esto, debe tomar cualquier número que sea mayor que el número x = 2. Por ejemplo, tomemos x = 3 (pero nadie prohíbe tomar x = 4, x = 10 e incluso x = 10,000). Obtenemos:
f(x) = (x − 2)(x + 7);
x=3;
f (3) = (3 − 2)(3 + 7) = 1 10 = 10;
Obtenemos que f (3) = 10 > 0, por lo que ponemos un signo más en el intervalo más a la derecha.
Pasamos al último punto: es necesario observar los signos en los intervalos restantes. Recuerda que al pasar por cada raíz, el signo debe cambiar. Por ejemplo, a la derecha de la raíz x = 2 hay un signo más (nos aseguramos de esto en el paso anterior), por lo que debe haber un signo menos a la izquierda.
Este menos se extiende a todo el intervalo (−7; 2), por lo que hay un menos a la derecha de la raíz x = −7. Por lo tanto, hay un más a la izquierda de la raíz x = −7. Queda por marcar estos signos en el eje de coordenadas. Tenemos:
Volvamos a la desigualdad original, que se veía así:
(x − 2)(x + 7)< 0
Entonces la función debe ser menor que cero. Esto significa que estamos interesados en el signo menos, que aparece solo en un intervalo: (−7; 2). Esta será la respuesta.
Una tarea. Resuelve la desigualdad:
(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0
Paso 1: Igualar el lado izquierdo a cero:
(x + 9)(x − 3)(1 − x ) = 0;
x + 9 = 0 ⇒ x = −9;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3;
1 − x = 0 ⇒ x = 1.
Recuerda: el producto es cero cuando al menos uno de los factores es cero. Por eso tenemos derecho a igualar a cero cada tramo individual.
Paso 2: marca todas las raíces en la línea de coordenadas:
Paso 3: encuentra el signo del espacio más a la derecha. Tomamos cualquier número que sea mayor que x = 1. Por ejemplo, podemos tomar x = 10. Tenemos:
f (x) \u003d (x + 9) (x - 3) (1 - x);
x=10;
f (10) = (10 + 9)(10 − 3)(1 − 10) = 19 7 (−9) = − 1197;
f(10) = -1197< 0.
Paso 4: Coloca el resto de las señales. Recuerda que al pasar por cada raíz, el signo cambia. Como resultado, nuestra imagen se verá así:
Eso es todo. Solo queda escribir la respuesta. Echa otro vistazo a la desigualdad original:
(x + 9)(x − 3)(1 − x )< 0
Esta es una desigualdad de la forma f (x)< 0, т.е. нас интересуют интервалы, отмеченные знаком минус. А именно:
x ∈ (−9; 1) ∪ (3; +∞)
Esta es la respuesta.
Una nota sobre los signos de función
La práctica muestra que las mayores dificultades en el método del intervalo surgen en los dos últimos pasos, es decir al colocar letreros. Muchos estudiantes comienzan a confundirse: qué números tomar y dónde colocar los signos.
Para comprender finalmente el método de intervalo, considere dos comentarios sobre los que se basa:
- Una función continua cambia de signo sólo en los puntos donde es igual a cero. Dichos puntos rompen el eje de coordenadas en pedazos, dentro de los cuales el signo de la función nunca cambia. Es por eso que resolvemos la ecuación f (x) \u003d 0 y marcamos las raíces encontradas en una línea recta. Los números encontrados son los puntos "fronterizos" que separan las ventajas de las desventajas.
- Para encontrar el signo de una función en cualquier intervalo, basta con sustituir cualquier número de este intervalo en la función. Por ejemplo, para el intervalo (−5; 6) podemos tomar x = −4, x = 0, x = 4 e incluso x = 1,29374 si queremos. ¿Por qué es importante? Sí, porque a muchos alumnos les empiezan a roer las dudas. Por ejemplo, ¿qué pasa si para x = −4 obtenemos un positivo y para x = 0 obtenemos un negativo? Nunca pasará nada parecido. Todos los puntos en el mismo intervalo dan el mismo signo. Recuerda esto.
Eso es todo lo que necesita saber sobre el método de intervalo. Por supuesto, lo hemos desmantelado en su forma más simple. Hay desigualdades más complejas: no estrictas, fraccionarias y con raíces repetidas. Para ellos, también puede aplicar el método de intervalo, pero este es un tema para una gran lección por separado.
Ahora me gustaría analizar un truco avanzado que simplifica drásticamente el método de intervalo. Más precisamente, la simplificación afecta solo al tercer paso: el cálculo del signo en la parte más a la derecha de la línea. Por alguna razón, esta técnica no se lleva a cabo en las escuelas (al menos nadie me explicó esto). Pero en vano, de hecho, este algoritmo es muy simple.
Entonces, el signo de la función está en la parte derecha del eje numérico. Esta pieza tiene la forma (a; +∞), donde a es la raíz más grande de la ecuación f (x) = 0. Para no volarnos los sesos, considera un ejemplo específico:
(x − 1)(2 + x)(7 − x )< 0;
f (x) \u003d (x - 1) (2 + x) (7 - x);
(x − 1)(2 + x)(7 − x ) = 0;
x − 1 = 0 ⇒ x = 1;
2 + x = 0 ⇒ x = −2;
7 − x = 0 ⇒ x = 7;
Tenemos 3 raíces. Los enumeramos en orden ascendente: x = −2, x = 1 y x = 7. Obviamente, la raíz más grande es x = 7.
Para aquellos a quienes les resulte más fácil razonar gráficamente, marcaré estas raíces en la línea de coordenadas. Veamos qué pasa:
Se requiere encontrar el signo de la función f (x) en el intervalo más a la derecha, es decir en (7; +∞). Pero como ya hemos señalado, para determinar el signo, puede tomar cualquier número de este intervalo. Por ejemplo, puede tomar x = 8, x = 150, etc. Y ahora, la misma técnica que no se enseña en las escuelas: tomemos el infinito como un número. Más precisamente, más infinito, es decir. +∞.
"¿Estas drogado? ¿Cómo se puede sustituir el infinito en una función? tal vez, usted pregunta. Pero piénsalo: no necesitamos el valor de la función en sí, solo necesitamos el signo. Por tanto, por ejemplo, los valores f (x) = −1 y f (x) = −938 740 576 215 significan lo mismo: la función es negativa en este intervalo. Por lo tanto, todo lo que se requiere de ti es encontrar el signo que ocurre en el infinito, y no el valor de la función.
De hecho, sustituir infinito es muy simple. Volvamos a nuestra función:
f(x) = (x − 1)(2 + x)(7 − x)
Imagina que x es un número muy grande. Mil millones o incluso un billón. Ahora veamos qué sucede en cada paréntesis.
Primer paréntesis: (x − 1). ¿Qué pasa si restas uno de mil millones? El resultado será un número no muy diferente de mil millones, y este número será positivo. De manera similar con el segundo paréntesis: (2 + x). Si sumamos mil millones a dos, obtenemos mil millones con kopeks: este es un número positivo. Finalmente, el tercer paréntesis: (7 − x ). Aquí habrá menos mil millones, de los cuales se ha "roído" una pieza miserable en forma de siete. Esos. el número resultante no diferirá mucho de menos mil millones, será negativo.
Queda por encontrar el signo de toda la obra. Como teníamos un más en los primeros corchetes y un menos en el último paréntesis, obtenemos la siguiente construcción:
(+) · (+) · (−) = (−)
¡El signo final es menos! No importa cuál sea el valor de la función en sí. Lo principal es que este valor es negativo, es decir. en el intervalo más a la derecha hay un signo menos. Queda por completar el cuarto paso del método de intervalo: organizar todos los signos. Tenemos:
La desigualdad original se veía así:
(x − 1)(2 + x)(7 − x )< 0
Por lo tanto, nos interesan los intervalos marcados con un signo menos. Escribimos la respuesta:
x ∈ (−2; 1) ∪ (7; +∞)
Ese es todo el truco que quería contar. En conclusión, hay una desigualdad más, que se resuelve por el método del intervalo utilizando el infinito. Para acortar visualmente la solución, no escribiré números de pasos ni comentarios detallados. Escribiré solo lo que realmente se necesita escribir al resolver problemas reales:
Una tarea. Resuelve la desigualdad:
x (2x + 8)(x − 3) > 0
Sustituimos la desigualdad por una ecuación y la resolvemos:
x (2x + 8)(x − 3) = 0;
x = 0;
2x + 8 = 0 ⇒x = −4;
x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
Marcamos las tres raíces en la línea de coordenadas (inmediatamente con signos):
Hay un signo más en el lado derecho del eje de coordenadas, porque la función se parece a:
f(x) = x(2x + 8)(x − 3)
Y si sustituimos infinito (por ejemplo, mil millones), obtenemos tres corchetes positivos. Dado que la expresión original debe ser mayor que cero, solo nos interesan las ventajas. Queda por escribir la respuesta:
x ∈ (−4; 0) ∪ (3; +∞)
Desigualdad es una expresión con, ≤ o ≥. Por ejemplo, 3x - 5 Resolver una desigualdad significa encontrar todos los valores de las variables para las que esta desigualdad es verdadera. Cada uno de estos números es una solución de la desigualdad, y el conjunto de todas esas soluciones es su muchas soluciones. Las desigualdades que tienen el mismo conjunto de soluciones se llaman desigualdades equivalentes.
Desigualdades lineales
Los principios para resolver desigualdades son similares a los principios para resolver ecuaciones.Principios para resolver desigualdades
Para cualquier número real a, b y c:
El principio de la suma de desigualdades.: Si un Principio de multiplicación para desigualdades: Si un 0 es verdadero, entonces ac Si un bc también es verdadero.
Declaraciones similares también aplican para a ≤ b.
Cuando ambos lados de una desigualdad se multiplican por un número negativo, el signo de la desigualdad debe invertirse.
Las desigualdades de primer nivel, como en el Ejemplo 1 (abajo), se llaman desigualdades lineales.
Ejemplo 1 Resuelve cada una de las siguientes desigualdades. Luego dibuja un conjunto de soluciones.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
Solución
Cualquier número menor que 11/5 es una solución.
El conjunto de soluciones es (x|x
Para hacer una verificación, podemos graficar y 1 = 3x - 5 y y 2 = 6 - 2x. Entonces se puede ver desde aquí que para x 
El conjunto solución es (x|x ≤ 1), o (-∞, 1). La gráfica del conjunto solución se muestra a continuación. 
Desigualdades dobles
Cuando dos desigualdades están conectadas por una palabra Y, o, entonces se forma doble desigualdad. Doble desigualdad como
-3
Y 2x + 5 ≤ 7
llamado conectado porque usa Y. Registro -3 Las desigualdades dobles se pueden resolver utilizando los principios de suma y multiplicación de desigualdades.
Ejemplo 2 Resolver -3 Solución Tenemos
Conjunto de soluciones (x|x ≤ -1 o x > 3). También podemos escribir la solución usando la notación de espaciado y el símbolo de asociaciones o inclusiones de ambos conjuntos: (-∞ -1] (3, ∞). A continuación se muestra la gráfica del conjunto de soluciones. 
Para probar, dibuje y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 y y 3 = 1. Tenga en cuenta que para (x|x ≤ -1 o x > 3), y 1 ≤ y 2 o y 1 > y 3 . 
Desigualdades con valor absoluto (módulo)
Las desigualdades a veces contienen módulos. Las siguientes propiedades se utilizan para resolverlos.
Para a > 0 y una expresión algebraica x:
|x| |x| > a es equivalente a x o x > a.
Declaraciones similares para |x| ≤ ay |x| ≥ un.
Por ejemplo,
|x| |y| ≥ 1 es equivalente a y ≤ -1 o y ≥ 1;
y |2x + 3| ≤ 4 es equivalente a -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.
Ejemplo 4 Resuelve cada una de las siguientes desigualdades. Grafique el conjunto de soluciones.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1
Solución
a) |3x + 2|
b) |5 - 2x| ≥ 1
El conjunto solución es (x|x ≤ 2 o x ≥ 3), o (-∞, 2] . El siguiente ejemplo usa un paréntesis de este tipo.
Escribamos la respuesta: x ≥ -0,5 a través de intervalos:
x ∈ [-0,5; +∞)
Lee: x pertenece al intervalo de menos 0.5, incluso, hasta más infinito.
Infinity nunca puede encenderse. No es un número, es un símbolo. Por lo tanto, en tales entradas, el infinito siempre coexiste con un paréntesis.
Esta forma de registro es conveniente para respuestas complejas que constan de varios espacios en blanco. Pero, solo para las respuestas finales. En resultados intermedios, donde se espera una solución adicional, es mejor utilizar la forma habitual, en forma de desigualdad simple. Trataremos esto en los temas relevantes.
Tareas populares con desigualdades.
Las desigualdades lineales en sí mismas son simples. Por lo tanto, las tareas a menudo se vuelven más difíciles. Entonces, pensar que era necesario. Esto, si es por costumbre, no es muy agradable.) Pero es útil. Mostraré ejemplos de tales tareas. No para que los aprendas, es superfluo. Y para no tener miedo al encontrarse con ejemplos similares. Un poco de pensamiento, ¡y todo es simple!)
1. Encuentra dos soluciones cualesquiera para la desigualdad 3x - 3< 0
Si no está muy claro qué hacer, recuerde la regla principal de las matemáticas:
Si no sabes qué hacer, ¡haz lo que puedas!
X < 1
¿Así que lo que? Nada especial. ¿Qué se nos pregunta? Se nos pide encontrar dos números específicos que sean la solución a una desigualdad. Esos. ajuste la respuesta. Dos ninguna números. En realidad, esto es vergonzoso). Un par de 0 y 0.5 son adecuados. Un par -3 y -8. ¡Sí, hay un número infinito de estas parejas! ¡¿Cuál es la respuesta correcta?!
Yo respondo: todo! Cualquier par de números, cada uno de los cuales es menor que uno, sería la respuesta correcta. Escribe lo que quieres. Vayamos más lejos.
2. Resuelve la desigualdad:
4x - 3 ≠ 0
Trabajos como este son raros. Pero, como desigualdades auxiliares, al encontrar la ODZ, por ejemplo, o al encontrar el dominio de una función, se encuentran todo el tiempo. Tal desigualdad lineal se puede resolver como una ecuación lineal ordinaria. Solo en todas partes, excepto por el signo "=" ( es igual) poner el letrero " ≠ " (no es igual). Entonces llegarás a la respuesta, con un signo de desigualdad:
X ≠ 0,75
En ejemplos más complejos, es mejor hacer las cosas de manera diferente. Igualar la desigualdad. Me gusta esto:
4x - 3 = 0
Resuélvelo con calma como se enseñó y obtén la respuesta:
x = 0,75
Lo principal, al final, al escribir la respuesta final, es no olvidar que hemos encontrado x, lo que da igualdad. Y necesitamos - desigualdad. Por lo tanto, simplemente no necesitamos esta X.) Y debemos escribirlo con el ícono correcto:
X ≠ 0,75
Este enfoque da como resultado menos errores. Los que resuelven ecuaciones en la máquina. Y para aquellos que no resuelven ecuaciones, las desigualdades, de hecho, son inútiles ...) Otro ejemplo de una tarea popular:
3. Encuentra la solución entera más pequeña de la desigualdad:
3(x - 1) < 5x + 9
Primero, simplemente resolvemos la desigualdad. Abrimos los corchetes, transferimos, damos similares ... Obtenemos:
X > - 6
¿¡No pasó!? ¿Seguiste las señales? Y detrás de los carteles de los miembros, y detrás del cartel de la desigualdad...
Imaginemos de nuevo. Necesitamos encontrar un número específico que coincida tanto con la respuesta como con la condición. "entero más pequeño". Si no se le ocurre de inmediato, simplemente puede tomar cualquier número y descifrarlo. ¿Dos es mayor que menos seis? ¡Ciertamente! ¿Hay un número más pequeño adecuado? Por supuesto. Por ejemplo, cero es mayor que -6. ¿Y aún menos? ¡Necesitamos lo más pequeño posible! ¡Menos tres es más que menos seis! Ya puedes captar el patrón y dejar de clasificar estúpidamente los números, ¿verdad?)
Tomamos un número más cercano a -6. Por ejemplo, -5. Respuesta ejecutada, -5 > - 6. ¿Puedes encontrar otro número menor que -5 pero mayor que -6? Puede, por ejemplo, -5.5 ... ¡Alto! nos han dicho entero¡solución! ¡No rueda -5.5! ¿Qué hay de menos seis? ¡Eee! La desigualdad es estricta, ¡menos 6 no es menos que menos 6!
Entonces la respuesta correcta es -5.
Espero que todo esté claro con la elección del valor de la solución general. Otro ejemplo:
4. Resuelve la desigualdad:
7 < 3x+1 < 13
¡Cómo! Tal expresión se llama triple desigualdad. Estrictamente hablando, esta es una notación abreviada del sistema de desigualdades. Pero todavía tienes que resolver tales desigualdades triples en algunas tareas ... Se resuelve sin ningún sistema. Por las mismas transformaciones idénticas.
Es necesario simplificar, llevar esta desigualdad a una X pura. Pero... ¿¡Qué transferir a dónde!? Este es el momento de recordar que cambiar de izquierda a derecha es forma abreviada la primera transformación idéntica.
Y el formulario completo se ve así: Puede sumar/restar cualquier número o expresión a ambas partes de la ecuación (desigualdad).
Hay tres partes aquí. ¡Así que aplicaremos transformaciones idénticas a las tres partes!
Entonces, deshagámonos del que está en la parte media de la desigualdad. Resta uno de toda la parte media. Para que la desigualdad no cambie, restamos uno de las dos partes restantes. Me gusta esto:
7 -1< 3x+1-1 < 13-1
6 < 3x < 12
Ya mejor, ¿verdad?) Queda por dividir las tres partes en tres:
2 < X < 4
Eso es todo. Esta es la respuesta. X puede ser cualquier número desde dos (sin incluir) hasta cuatro (sin incluir). Esta respuesta también se escribe a intervalos, tales entradas estarán en desigualdades cuadradas. Ahí están lo más común.
Al final de la lección, repetiré lo más importante. El éxito en la resolución de desigualdades lineales depende de la capacidad de transformar y simplificar ecuaciones lineales. si al mismo tiempo sigue el signo de desigualdad, no habrá problemas. lo que te deseo. No hay problema.)
Si te gusta este sitio...
Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).
Puedes practicar la resolución de ejemplos y averiguar tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)
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