El alcance de las funciones en las tareas del examen. Función: dominio y rango de funciones Cómo encontrar el conjunto de valores de una función fraccionaria
El concepto de función y todo lo relacionado con ella es tradicionalmente complejo, no completamente entendido. Un obstáculo especial en el estudio de la función y la preparación para el examen es el dominio de definición y el rango de valores (cambios) de la función.
A menudo, los estudiantes no ven la diferencia entre el dominio de una función y el dominio de sus valores.
Y si los estudiantes logran dominar las tareas de encontrar el dominio de definición de una función, entonces las tareas de encontrar un conjunto de valores de una función les causan dificultades considerables.
El propósito de este artículo: familiarizarse con los métodos para encontrar los valores de una función.
Como resultado de la consideración de este tema, se estudió material teórico, se consideraron métodos para resolver problemas para encontrar conjuntos de valores de funciones, se seleccionó material didáctico para el trabajo independiente de los estudiantes.
Este artículo puede ser utilizado por un maestro al preparar a los estudiantes para los exámenes finales y de ingreso, al estudiar el tema "El alcance de una función" en clases opcionales en cursos electivos de matemáticas.
I. Determinación del alcance de la función.
El área (conjunto) de valores E(y) de la función y = f(x) es el conjunto de tales números y 0 , para cada uno de los cuales existe tal número x 0 que: f(x 0) = y0
Recordemos los rangos de las principales funciones elementales.
Considere una mesa.
| Función | muchos valores |
| y = kx + b | E(y) = (-∞;+∞) |
| y=x2n | E(y) = |
| y = cos x | E(y) = [-1;1] |
| y = tgx | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = control x | E(y) = (-∞;+∞) |
| y = arcosen x | E(y) = [-π/2 ; π/2] |
| y = arcos x | E(y) = |
| y = arco tan x | E(y) = (-π/2 ; π/2) |
| y = arcctg x | E(y) = (0; π) |
Tenga en cuenta también que el rango de cualquier polinomio de grado par es el intervalo , donde n es el valor más grande de este polinomio.
II. Propiedades de función utilizadas para encontrar el rango de una función
Para encontrar con éxito el conjunto de valores de una función, se debe tener un buen conocimiento de las propiedades de las funciones elementales básicas, especialmente sus dominios de definición, rangos de valores y la naturaleza de la monotonicidad. Presentemos las propiedades de las funciones diferenciables continuas y monótonas, que se usan con mayor frecuencia para encontrar el conjunto de valores de las funciones.
Las propiedades 2 y 3 generalmente se usan junto con la propiedad de una función elemental de ser continua en su dominio. En este caso, la solución más simple y más corta al problema de encontrar el conjunto de valores de una función se logra sobre la base de la propiedad 1, si es posible determinar la monotonicidad de la función utilizando métodos simples. La solución del problema se simplifica aún más si la función, además, es par o impar, periódica, etc. Por lo tanto, al resolver problemas de encontrar conjuntos de valores de funciones, las siguientes propiedades de la función deben verificarse y usarse según sea necesario:
- continuidad;
- monótono;
- diferenciabilidad;
- pares, impares, periódicos, etc.
Las tareas simples para encontrar un conjunto de valores de función están orientadas principalmente:
a) el uso de las estimaciones y restricciones más simples: (2 x > 0, -1 ≤ senx? 1, 0 ≤ cos 2 x? 1, etc.);
b) para seleccionar un cuadrado completo: x 2 - 4x + 7 \u003d (x - 2) 2 + 3;
c) para la transformación de expresiones trigonométricas: 2sen 2 x - 3cos 2 x + 4 = 5sen 2 x +1;
d) utilizando la monotonicidad de la función x 1/3 + 2 x-1 aumenta en R.
tercero Considere formas de encontrar los rangos de funciones.
a) búsqueda secuencial de valores de argumentos de funciones complejas;
b) método de evaluación;
c) utilizar las propiedades de continuidad y monotonicidad de una función;
d) uso de un derivado;
e) el uso de los valores mayor y menor de la función;
f) método gráfico;
g) método de introducción de parámetros;
h) método de la función inversa.
Revelaremos la esencia de estos métodos en ejemplos específicos.
Ejemplo 1: encontrar el rango E(y) funciones y = log 0.5 (4 - 2 3 x - 9 x).
Resolvamos este ejemplo encontrando secuencialmente los valores de los argumentos de funciones complejas. Habiendo seleccionado el cuadrado completo debajo del logaritmo, transformamos la función
y = log 0,5 (5 - (1 + 2 3 x - 3 2x)) = log 0,5 (5 - (3 x + 1) 2)
Y encontrar secuencialmente los conjuntos de valores de sus argumentos complejos:
E(3 x) = (0;+∞), E(3 x + 1) = (1;+∞), E(-(3 x + 1) 2 = (-∞;-1), E(5 – (3 x +1) 2) = (-∞;4)
Denotar t= 5 – (3 x +1) 2 , donde -∞≤ t≤4. Así, el problema se reduce a encontrar el conjunto de valores de la función y = log 0,5 t sobre el rayo (-∞;4) . Dado que la función y = log 0.5 t se define solo en, entonces su conjunto de valores en el rayo (-∞;4) coincide con el conjunto de valores de la función en el intervalo (0;4), que es la intersección del rayo (-∞;4) con el dominio de definición (0;+∞) de la función logarítmica. En el intervalo (0;4) esta función es continua y decreciente. En t> 0, tiende a +∞, y cuando t = 4 toma el valor -2, entonces E(y) =(-2, +∞).
Ejemplo 2: encontrar el rango de una función
y = cos7x + 5cosx
Resolveremos este ejemplo por el método de estimaciones, cuya esencia es estimar la función continua desde abajo y desde arriba y demostrar que la función alcanza los límites inferior y superior de las estimaciones. En este caso, la coincidencia del conjunto de valores de la función con el intervalo desde el límite inferior de la estimación hasta el superior está determinada por la continuidad de la función y la ausencia de otros valores para ella.
De las desigualdades -1≤cos7x?1, -5≤5cosx?5 obtenemos la estimación -6≤y?6. Para x = p y x = 0, la función toma los valores -6 y 6, es decir alcanza los límites inferior y superior. Como combinación lineal de las funciones continuas cos7x y cosx, la función y es continua en todo el eje de los números enteros, por lo tanto, por la propiedad de una función continua, toma todos los valores de -6 a 6 inclusive, y solo ellos, ya que , debido a las desigualdades -6≤y?6, otros valores ella es imposible. Como consecuencia, E(y)= [-6;6].
Ejemplo 3: Encuentra el rango mi(f) funciones f(x)= cos2x + 2cosx.
Usando la fórmula del coseno de doble ángulo, transformamos la función f(x)= 2cos 2 x + 2cosx – 1 y denotemos t= cosx. Luego f(x)= 2t 2 + 2t – 1. Dado que E(cosx) =
[-1;1], entonces el rango de la función f(x) coincide con el conjunto de valores de la función g (t)\u003d 2t 2 + 2t - 1 en el segmento [-1; 1], que encontraremos mediante un método gráfico. Habiendo graficado la función y = 2t 2 + 2t - 1 = 2(t + 0.5) 2 - 1.5 en el intervalo [-1; 1], encontramos mi(f) = [-1,5; 3].
Nota: muchos problemas con un parámetro se reducen a encontrar el conjunto de valores de una función, principalmente relacionados con la resolución y el número de soluciones de la ecuación y las desigualdades. Por ejemplo, la ecuación f(x)= a es solucionable si y solo si
aE(f) Del mismo modo, la ecuación f(x)= a tiene al menos una raíz ubicada en algún intervalo X, o no tiene raíz en este intervalo si y solo si a pertenece o no pertenece al conjunto de valores de la función f(x) en el intervalo X. También estudiamos usando el conjunto de valores de la función y las desigualdades f(x)≠ pero, f(x)> un etc En particular, f(x)≠ y para todos los valores admisibles de x, si a E(f)
Ejemplo 4. Para qué valores del parámetro a, la ecuación (x + 5) 1/2 = a (x 2 + 4) tiene una sola raíz en el segmento [-4;-1].
Escribamos la ecuación en la forma (x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) = a. La última ecuación tiene al menos una raíz en el segmento [-4;-1] si y solo si a pertenece al conjunto de valores de la función f(x) =(x + 5) 1/2 / (x 2 + 4) en el segmento [-4;-1]. Encontremos este conjunto usando la propiedad de continuidad y monotonicidad de la función.
Sobre el segmento [-4;-1] la función y = x² + 4 es continua, decreciente y positiva, por lo tanto la función g(x) = 1/(x 2 + 4) es continua y crece en este intervalo, ya que al dividir por una función positiva, la naturaleza de la monotonicidad de la función cambia a la inversa. Función h(x) =(x + 5) 1/2 es continua y creciente en su dominio D(h) =[-5;+∞) y, en particular, en el intervalo [-4;-1], donde también es positivo. Entonces la función f(x)=g(x) h(x), como producto de dos funciones continuas, crecientes y positivas, también es continua y crece en el segmento [-4;-1], por lo tanto su conjunto de valores en [-4;-1] es el segmento [ f(-4); f(-1)] = . Por lo tanto, la ecuación tiene solución en el intervalo [-4;-1], y la única (por la propiedad de una función monótona continua), para 0.05 ≤ a ≤ 0.4
Comentario. Solubilidad de la ecuación f(x) = un en algún intervalo X es equivalente a la pertenencia de los valores del parámetro pero conjunto de valores de función f(x) sobre X. Por lo tanto, el conjunto de valores de la función f(x) en el intervalo X coincide con el conjunto de valores de los parámetros pero, para lo cual la ecuación f(x) = un tiene al menos una raíz en el intervalo X. En particular, el rango de valores mi(f) funciones f(x) coincide con el conjunto de valores de parámetro pero, para lo cual la ecuación f(x) = un tiene al menos una raíz.
Ejemplo 5: Encuentra el rango mi(f) funciones
Resolvamos el ejemplo introduciendo un parámetro, según el cual mi(f) coincide con el conjunto de valores de parámetro pero, para lo cual la ecuación
tiene al menos una raíz.
Cuando a=2, la ecuación es lineal - 4x - 5 = 0 con coeficiente distinto de cero para x desconocida, por lo tanto tiene solución. Para a≠2, la ecuación es cuadrática, por lo que es resoluble si y solo si es discriminante
Como el punto a = 2 pertenece al segmento
luego el conjunto deseado de valores de parámetros pero, por lo tanto el rango de valores mi(f) será todo el segmento.
Como desarrollo directo del método de introducción de un parámetro al encontrar un conjunto de valores de una función, podemos considerar el método de la función inversa, para encontrar cuál es necesario resolver la ecuación para x f(x)=y, considerando y como parámetro. Si esta ecuación tiene solución única x=g(y), entonces el rango mi(f) funcion original f(x) coincide con el dominio de definición D(g) función inversa g(y). Si la ecuación f(x)=y tiene múltiples soluciones x = gramo 1 (y), x \u003d g 2 (y) etc, entonces mi(f) es igual a la unión de los alcances de las definiciones de función g 1 (y), g 2 (y) etc
Ejemplo 6: Encuentra el rango E(y) funciones y = 5 2/(1-3x).
De la ecuación
encuentre la función inversa x = log 3 ((log 5 y – 2)/(log 5 y)) y su dominio D(x):
Como la ecuación de x tiene solución única, entonces
E(y) = D(x) = (0; 1)(25;+∞ ).
Si el dominio de una función consta de varios intervalos o la función en diferentes intervalos está dada por diferentes fórmulas, entonces para encontrar el dominio de la función, debe encontrar los conjuntos de valores de la función en cada intervalo y tomar su Unión.
Ejemplo 7: encontrar rangos f(x) Y f(f(x)), donde
f(x) en el rayo (-∞;1], donde coincide con la expresión 4 x + 9 4 -x + 3. Denota t = 4x. Luego f(x) = t + 9/t + 3, donde 0< t ≤ 4 , так как показательная функция непрерывно возрастает на луче (-∞;1] и стремится к нулю при х → -∞. Тем самым множество значений функции f(x) sobre el rayo (-∞;1] coincide con el conjunto de valores de la función g(t) = t + 9/t + 3, en el intervalo (0;4], que encontramos usando la derivada g'(t) \u003d 1 - 9 / t 2. En el intervalo (0;4] la derivada g'(t) se define y se desvanece allí en t=3. en 0<t<3 она отрицательна, а при 3<t<4 положительна. Следовательно, в интервале (0;3) функция g(t) decrece, y en el intervalo (3;4) aumenta, permaneciendo continua en todo el intervalo (0;4), por lo que g (3)= 9 - el valor más pequeño de esta función en el intervalo (0; 4], mientras que su valor más grande no existe, por lo que cuando t→0 función correcta g(t)→+∞. Entonces, por la propiedad de una función continua, el conjunto de valores de la función g(t) en el intervalo (0;4], y por lo tanto el conjunto de valores f(x) en (-∞;-1], habrá un rayo .
Ahora, al combinar los intervalos, los conjuntos de valores de función f(f(x)), denota t = f(x). Luego f(f(x)) = pie), donde t función pie)= 2cos( x-1) 1/2+ 7 y nuevamente toma todos los valores de 5 a 9 inclusive, es decir rango E(f²) = E(f(f(x))) =.
Del mismo modo, denotando z = f(f(x)), puedes encontrar el rango E(f3) funciones f(f(f(x))) = f(z), donde 5 ≤ z ≤ 9, etc. Asegúrate de eso E(f3) = .
El método más universal para encontrar el conjunto de valores de la función es usar los valores mayor y menor de la función en un intervalo dado.
Ejemplo 8. Para qué valores del parámetro R desigualdad 8 x - pag ≠ 2x+1 – 2x vale para todo -1 ≤ x< 2.
denotar t = 2x, escribimos la desigualdad como pag ≠ t 3 - 2t 2 + t. Porque t = 2x es una función continuamente creciente en R, entonces para -1 ≤ x< 2 переменная
2 -1 ≤ t<2 2 ↔
0,5 ≤ t< 4, и исходное неравенство выполняется для всех -1 ≤ x < 2 тогда и только тогда, когда R diferente de los valores de la función f(t) \u003d t 3 - 2t 2 + t a 0,5 ≤ t< 4.
Primero encontremos el conjunto de valores de la función pie) en el intervalo donde tiene una derivada en todas partes f'(t) = 3t 2 - 4t + 1. Como consecuencia, pie) es diferenciable y, por lo tanto, continua en el segmento . De la ecuación f'(t) = 0 encontrar los puntos críticos de la función t=1/3, t=1, el primero de los cuales no pertenece al segmento , y el segundo pertenece a él. Porque f(0,5) = 1/8, f(1) = 0, f(4) = 36, entonces, por la propiedad de una función diferenciable, 0 es el valor más pequeño y 36 es el valor más grande de la función pie) en el segmento. Luego pie), como función continua, toma en el segmento todos los valores de 0 a 36 inclusive, y el valor 36 toma solo cuando t=4, entonces para 0.5 ≤ t< 4,
она принимает все значения из промежутка
. Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función en este segmento.
La derivada es positiva para todos. X del intervalo (-1; 1)
, es decir, la función arcoseno aumenta en todo el dominio de definición. Por lo tanto, toma el valor más pequeño en x=-1, y el más grande en x=1.
Obtuvimos el rango de la función arcoseno 
.
Encuentra el conjunto de valores de la función. 
en el segmento
.
Solución.
Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función en el segmento dado.
Determinemos los puntos extremos pertenecientes al segmento
:
Muchas tareas nos llevan a buscar un conjunto de valores de funciones en un determinado segmento o en todo el dominio de definición. Tales tareas incluyen varias evaluaciones de expresiones, la solución de desigualdades.
En este artículo, definiremos el rango de una función, consideraremos métodos para encontrarlo y analizaremos en detalle la solución de ejemplos desde simples hasta más complejos. Todo el material se proporcionará con ilustraciones gráficas para mayor claridad. Así que este artículo es una respuesta detallada a la pregunta de cómo encontrar el rango de una función.
Definición.
El conjunto de valores de la función y = f(x) en el intervalo X llama al conjunto de todos los valores de la función que toma al iterar sobre todos.
Definición.
El rango de la función y = f(x) Se llama al conjunto de todos los valores de la función que toma al iterar sobre todas las x del dominio de definición.
El rango de la función se denota como E(f) .
El rango de una función y el conjunto de valores de una función no son lo mismo. Estos conceptos se considerarán equivalentes si el intervalo X al encontrar el conjunto de valores de la función y = f(x) coincide con el dominio de la función.
Además, no confunda el rango de la función con la variable x para la expresión del lado derecho de la ecuación y=f(x) . El área de valores permitidos de la variable x para la expresión f(x) es el área de la definición de la función y=f(x) .
La figura muestra algunos ejemplos.
Los gráficos de funciones se muestran mediante líneas azules en negrita, las líneas rojas delgadas son asíntotas, los puntos rojos y las líneas en el eje Oy muestran el rango de la función correspondiente.
Como puedes ver, el rango de la función se obtiene proyectando la gráfica de la función sobre el eje y. Puede ser un solo número (primer caso), un conjunto de números (segundo caso), un segmento (tercer caso), un intervalo (cuarto caso), un rayo abierto (quinto caso), una unión (sexto caso), etc. .
Entonces, ¿qué necesitas hacer para encontrar el rango de la función?
Comencemos con el caso más simple: mostraremos cómo determinar el conjunto de valores de una función continua y = f(x) en el intervalo.
Se sabe que una función continua sobre un segmento alcanza sus valores máximo y mínimo en él. Así, el conjunto de valores de la función original sobre el segmento será el segmento 
. Por tanto, nuestra tarea se reduce a encontrar los valores mayor y menor de la función en el intervalo.
Por ejemplo, busquemos el rango de la función arcoseno.
Ejemplo.
Especifique el rango de la función y = arcsenx.
Solución.
El dominio de definición del arcoseno es el segmento [-1; una] . Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función en este segmento. 
La derivada es positiva para todo x del intervalo (-1; 1), es decir, la función arcoseno crece en todo el dominio de definición. Por lo tanto, toma el valor más pequeño en x = -1 y el más grande en x = 1. 
Obtuvimos el rango de la función arcoseno 
.
Ejemplo.
Encuentra el conjunto de valores de la función. 
en el segmento.
Solución.
Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función en el segmento dado.
Definamos los puntos extremos pertenecientes al segmento: 
Calculamos los valores de la función original en los extremos del segmento y en los puntos 
:
Por tanto, el conjunto de valores de la función sobre el segmento es el segmento 
.
Ahora mostraremos cómo encontrar el conjunto de valores de una función continua y = f(x) en los intervalos (a; b) , .
Primero, determinamos los puntos extremos, los extremos de la función, los intervalos de aumento y disminución de la función en un intervalo dado. A continuación, calculamos en los extremos del intervalo y (o) los límites en el infinito (es decir, estudiamos el comportamiento de la función en los límites del intervalo o en el infinito). Esta información es suficiente para encontrar el conjunto de valores de la función en dichos intervalos.
Ejemplo.
Determine el conjunto de valores de la función en el intervalo (-2; 2) .
Solución.
Encontremos los puntos extremos de la función que se encuentran en el intervalo (-2; 2) : 
Punto x = 0 es el punto máximo, ya que la derivada cambia de signo de más a menos al pasar por él, y la gráfica de la función va de creciente a decreciente. 
es el máximo correspondiente de la función.
Averigüemos el comportamiento de la función cuando x tiende a -2 por la derecha y cuando x tiende a 2 por la izquierda, es decir, encontramos límites unilaterales: 
Lo que obtuvimos: cuando el argumento cambia de -2 a cero, los valores de la función aumentan de menos infinito a menos un cuarto (el máximo de la función en x = 0), cuando el argumento cambia de cero a 2, la función los valores disminuyen a menos infinito. Así, el conjunto de valores de la función en el intervalo (-2; 2) es .
Ejemplo.
Especifique el conjunto de valores de la función tangente y = tgx en el intervalo.
Solución.
La derivada de la función tangente en el intervalo es positiva 
, lo que indica un aumento en la función. Estudiamos el comportamiento de la función en los límites del intervalo: 
Así, cuando el argumento cambia de a, los valores de la función aumentan de menos infinito a más infinito, es decir, el conjunto de valores tangentes en este intervalo es el conjunto de todos los números reales.
Ejemplo.
Encuentre el rango de la función de logaritmo natural y = lnx.
Solución.
La función logaritmo natural se define para valores positivos del argumento 
. En este intervalo la derivada es positiva 
, esto indica un aumento en la función en él. Encontremos el límite unilateral de la función cuando el argumento tiende a cero desde la derecha, y el límite cuando x tiende a más infinito: 
Vemos que cuando x cambia de cero a más infinito, los valores de la función aumentan de menos infinito a más infinito. Por lo tanto, el rango de la función logaritmo natural es el conjunto completo de números reales.
Ejemplo.
Solución.
Esta función está definida para todos los valores reales de x. Determinemos los puntos extremos, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. 
Por lo tanto, la función decrece en , crece en , x = 0 es el punto máximo, 
el máximo correspondiente de la función.
Veamos el comportamiento de la función en el infinito: 
Así, en el infinito, los valores de la función se aproximan asintóticamente a cero.
Encontramos que cuando el argumento cambia de menos infinito a cero (punto máximo), los valores de la función aumentan de cero a nueve (hasta el máximo de la función), y cuando x cambia de cero a más infinito, el los valores de la función disminuyen de nueve a cero.
Mira el dibujo esquemático.
Ahora se ve claramente que el rango de la función es .
Encontrar el conjunto de valores de la función y = f(x) en intervalos requiere estudios similares. No nos detendremos ahora en estos casos en detalle. Los veremos en los siguientes ejemplos.
Sea el dominio de la función y = f(x) la unión de varios intervalos. Al encontrar el rango de dicha función, se determinan los conjuntos de valores en cada intervalo y se toma su unión.
Ejemplo.
Encuentre el rango de la función.
Solución.
El denominador de nuestra función no debe ir a cero, es decir, .
Primero, encontremos el conjunto de valores de la función en el rayo abierto.
Derivada de función 
es negativa en este intervalo, es decir, la función decrece en él. 
Encontramos que como el argumento tiende a menos infinito, los valores de la función se acercan asintóticamente a la unidad. Cuando x cambia de menos infinito a dos, los valores de la función disminuyen de uno a menos infinito, es decir, en el intervalo considerado, la función toma un conjunto de valores. No incluimos la unidad, ya que los valores de la función no la alcanzan, sino que solo tienden asintóticamente a ella en menos infinito.
Actuamos de manera similar para una viga abierta.
La función también decrece en este intervalo. 
El conjunto de valores de la función en este intervalo es el conjunto.
Así, el rango deseado de valores de la función es la unión de los conjuntos y .
Ilustración gráfica.
Por separado, debemos detenernos en las funciones periódicas. El rango de funciones periódicas coincide con el conjunto de valores en el intervalo correspondiente al período de esta función.
Ejemplo.
Encuentre el rango de la función seno y = senx.
Solución.
Esta función es periódica con un período de dos pi. Tomemos un segmento y definamos el conjunto de valores en él. 
El segmento contiene dos puntos extremos y .
Calculamos los valores de la función en estos puntos y en los límites del segmento, elegimos los valores más pequeños y más grandes: 
Como consecuencia, 
.
Ejemplo.
Encontrar el rango de una función 
.
Solución.
Sabemos que el rango del arcocoseno es el segmento de cero a pi, es decir, 
o en otra publicación. Función 
se puede obtener de arccosx desplazando y estirando a lo largo del eje x. Tales transformaciones no afectan el rango, por lo tanto, 
. Función 
viene de extendiéndose tres veces a lo largo del eje Oy, es decir, 
. Y la última etapa de las transformaciones es un desplazamiento de cuatro unidades hacia abajo a lo largo del eje y. Esto nos lleva a una doble desigualdad. 
Por lo tanto, el rango de valores deseado es 
.
Demos solución a otro ejemplo, pero sin explicaciones (no son necesarias, ya que son completamente similares).
Ejemplo.
Definir rango de función 
.
Solución.
Escribimos la función original en la forma 
. El rango de la función exponencial es el intervalo . Es decir, . Luego 
Como consecuencia, 
.
Para completar el cuadro, deberíamos hablar de encontrar el rango de una función que no es continua en el dominio de definición. En este caso, el dominio de definición se divide por puntos de ruptura en intervalos, y encontramos los conjuntos de valores en cada uno de ellos. Combinando los conjuntos de valores obtenidos, obtenemos el rango de valores de la función original. Recomendamos recordar 3 a la izquierda, los valores de la función tienden a menos uno, y cuando x tiende a 3 a la derecha, los valores de la función tienden a más infinito.
Así, el dominio de definición de la función se divide en tres intervalos.
En el intervalo tenemos la función 
. Desde entonces 
Así, el conjunto de valores de la función original en el intervalo es [-6;2] .
En el semiintervalo tenemos una función constante y = -1. Es decir, el conjunto de valores de la función original sobre el intervalo consta de un solo elemento.
La función se define para todos los valores válidos del argumento. Halla los intervalos de aumento y disminución de la función.
La derivada se anula en x=-1 y x=3. Marcamos estos puntos en el eje real y determinamos los signos de la derivada en los intervalos obtenidos. 
La función decrece en 
, aumenta en [-1; 3] , x=-1 punto mínimo, x=3 punto máximo.
Calculamos las funciones mínima y máxima correspondientes: 
Comprobemos el comportamiento de la función en el infinito: 
El segundo límite se calculó a partir de .
Hagamos un dibujo esquemático.
Cuando el argumento cambia de menos infinito a -1, los valores de la función disminuyen de más infinito a -2e, cuando el argumento cambia de -1 a 3, los valores de la función aumentan de -2e a, cuando el argumento cambia de 3 a más infinito, los valores de la función disminuyen de cero, pero no llegan a cero.
Página 1
Lección 3
"rango de función"
Objetivos: - Aplicar el concepto de rango de valores a la solución de un problema específico;
resolución de problemas típicos.
Desde hace varios años han aparecido regularmente problemas en exámenes en los que se requiere seleccionar de una familia de funciones dada aquellas cuyos conjuntos de valores satisfagan las condiciones declaradas.
Consideremos tales tareas.
Actualización de conocimientos.
¿Qué queremos decir con el conjunto de valores de función?
¿Qué es el conjunto de valores de una función?
¿A partir de qué datos podemos encontrar el conjunto de valores de la función? (Según la notación analítica de la función o su gráfica)
(ver asignaciones USE, parte A)
¿Qué valores de funciones conocemos? (Las funciones principales se enumeran con su escritura en la pizarra; para cada una de las funciones, se escribe su conjunto de valores). Como resultado, en la pizarra y en los cuadernos de los alumnos
|
Función |
muchos valores |
|
y = X 2 y = X 3 y=| X| y=
|
MI( y) = MI( y) = [- 1, 1] MI( y) = (– ∞, + ∞) MI( y) = (– ∞, + ∞) MI( y) = (– ∞, + ∞) MI( y) = (0, + ∞) |
¿Podemos, usando este conocimiento, encontrar inmediatamente los conjuntos de valores de las funciones escritas en la pizarra? (ver tabla 2).
¿Qué puede ayudar a responder esta pregunta? (Gráficas de estas funciones).
¿Cómo trazar la primera función? (Bajar la parábola 4 unidades hacia abajo).
|
Función |
muchos valores |
|
|
y = X 2 – 4 |
MI( y) = [-4, + ∞) |
|
|
y = + 5 |
MI( y) = |
|
|
y = – 5cos X |
MI( y) = [- 5, 5] |
|
|
y= tg( x + / 6) – 1 |
MI( y) = (– ∞, + ∞) |
|
|
y= pecado( x + / 3) – 2 |
MI( y) = [- 3, - 1] |
|
|
y=| X – 1 | + 3 |
MI( y) = |
|
|
y=| ctg X| |
MI( y) = |
|
|
y =  = | cos(x + /4) | |
MI( y) = |
|
|
y=(X- 5) 2 + 3 |
MI( y) = . Encuentre el conjunto de valores de la función:   . 
Introducción de un algoritmo para resolver problemas para encontrar el conjunto de valores de funciones trigonométricas. Veamos cómo podemos aplicar nuestra experiencia para resolver varias tareas incluidas en las opciones para un solo examen. 1. Encontrar los valores de las funciones para un valor dado del argumento. Ejemplo. Encuentra el valor de la función y = 2 porque(π/2+ π/4 ) – 1, si x = -π/2. Solución. y(-π/2) = 2 porque(- π/2 – π/4 )- 1= 2 porque(π/2 + π/4 )- 1 = - 2 pecadoπ/4 – 1 = - 2  – 1 =
= – 2. Encontrar el rango de funciones trigonométricas
1≤ pecadoX≤ 1 2 ≤ 2 pecadoX≤ 2 9 ≤ 11+2pecadoX≤ 13 3 ≤ Escribamos los valores enteros de la función en el intervalo. Este número es 3. Respuesta: 3.
en= pecado 2 X- 2 3 pecadox + 3 2 - 3 2 + 8, en= (pecadoX- 3) 2 -1. mi ( pecadoX) = [-1;1]; mi ( pecadoX -3) = [-4;-2]; mi ( pecadoX -3) 2 = ; mi ( en) = . Responder: .
¿Podemos encontrar un conjunto de valores para esta función? (No.) ¿Lo que debe hacerse? (Reducido a una función.) ¿Cómo hacerlo? (Utilice la fórmula cos 2 X= 1-sen 2 X.) Entonces, en= 1-sen 2 X+2sen X –2, y= -sen 2 X+2sen X –1, en= -(pecado X –1) 2 . Bueno, ahora podemos encontrar un conjunto de valores y elegir el más pequeño de ellos. 1 ≤ pecado X ≤ 1, 2 ≤ pecado X – 1 ≤ 0, 0 ≤ (pecado X – 1) 2 ≤ 4, 4 ≤ -(pecado X -1) 2 ≤ 0. Entonces el valor más pequeño de la función en contratar= -4. Respuesta: -4.
Solución. en= 1-cos 2 X+ porque X + 1,5, en= -cos 2 X+ 2∙0.5∙cos X - 0,25 + 2,75, en= -(cos X- 0,5) 2 + 2,75. E(cos X) = [-1;1], E(cos X – 0,5) = [-1,5;0,5], E(cos X – 0,5) 2 = , E(-(porque X-0,5) 2) = [-2,25;0], MI( en) = . El mayor valor de la función. en ingenuo= 2,75; valor más pequeño en contratar= 0,5. Encontremos el producto del mayor y el menor valor de la función: en ingenuo ∙en contratar = 0,5∙2,75 = 1,375. Respuesta: 1.375. Solución. Reescribamos la función en la forma en =, en = Busquemos ahora el conjunto de valores de la función. E(pecado X) = [-1, 1], E(6sen X) = [-6, 6], E(6sen X + 1) = [-5, 7], E((6sen X + 1) 2) = , E(– (6sen X + 1) 2) = [-49, 0], E(– (6sen X + 1) 2 + 64) = , MI( y) = [ Encontremos la suma de los valores enteros de la función: 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30. Respuesta: 30.  Solución. 1) 2) Por lo tanto, 2 X pertenecen al segundo trimestre. 3) En el segundo cuarto, la función seno decrece y es continua. Entonces esta función 4) Calcula estos valores:
Responder :
 Solución. 1) Dado que un seno toma valores de -1 a 1, entonces el conjunto de valores de diferencia 2) El arcocoseno es una función monótonamente decreciente y continua. Por lo tanto, el conjunto de valores de la expresión es un segmento 3) Al multiplicar este segmento por Responder:  Solución. Como el arco tangente es una función creciente, entonces 2) Al aumentar X desde 3) Al aumentar de 4) Usando la fórmula que expresa el seno en términos de la tangente de un medio ángulo, encontramos que
Por lo tanto, el conjunto de valores deseado es la unión de segmentos Responder: en= a sen x + b cos x o en= un pecado(Rx) + bcos(RX).
Solución. Encontremos el valor Transformemos la expresión 15 sen 2x + 20 cos 2x = 25 ( 25 sen (2x + El conjunto de valores de función y \u003d sin (2x + Entonces el conjunto de valores de la función original -25 Responder:
[-25; 25].
Función en= control X es decreciente en el segmento [π/4; π/2], por lo tanto, la función tomará el valor más pequeño en x =π/2, es decir en(π/2) = сtg π/2 = 0; y el mayor valor está en x=π/4, es decir en(π/4) = сtg π/4 = 1. Respuesta: 1, 0.  . Solución. Separados en igualdad De ello se deduce que la gráfica de la función f(x) es una hipérbola (à≠ 0) o una línea recta sin punto. Además, si a; 2a) y (2a; Si a \u003d 0, entonces f (x) \u003d -2 en todo el dominio de definición x ≠ 0. Por lo tanto, es obvio que los valores deseados del parámetro no son iguales a cero. Como solo nos interesan los valores de la función sobre el segmento [-1; 1], entonces la clasificación de situaciones está determinada por el hecho de que la asíntota x = 2a de la hipérbola (a≠0) se ubica relativa a este segmento. Caso 1. Todos los puntos del intervalo [-1; 1] están a la derecha de la asíntota vertical x = 2a, es decir, cuando 2a Caso 2. La asíntota vertical corta el intervalo [-1; 1], y la función decrece (como en el caso 1), es decir, cuando Caso 3. La asíntota vertical corta el intervalo [-1; 1] y la función es creciente, es decir -1 Caso 4. Todos los puntos del intervalo [-1; 1] están a la izquierda de la asíntota vertical, es decir, 1 a > . y segundo Recepción 5. Simplificación de la fórmula que define una función racional fraccionaria Recepción 6. Encontrar el conjunto de valores de las funciones cuadráticas (encontrando el vértice de la parábola y estableciendo la naturaleza del comportamiento de sus ramas). Recepción 7. Introducción de un ángulo auxiliar para encontrar el conjunto de valores de algunas funciones trigonométricas. Hoy, en la lección, nos centraremos en uno de los conceptos básicos de las matemáticas: el concepto de función; Echemos un vistazo más de cerca a una de las propiedades de una función: el conjunto de sus valores. durante las clases Profesor. Al resolver problemas, notamos que a veces es precisamente encontrar el conjunto de valores de una función lo que nos pone en situaciones difíciles. ¿Por qué? Parecería que estudiando la función desde el 7mo grado, sabemos mucho al respecto. Por lo tanto, tenemos todas las razones para hacer un movimiento preventivo. Vamos a "jugar" con muchos valores de funciones hoy para resolver muchas de las preguntas sobre este tema en el próximo examen. Conjuntos de valores de funciones elementales Profesor. Para empezar, es necesario repetir los gráficos, ecuaciones y conjuntos de valores de las funciones elementales básicas en todo el dominio de definición. En la pantalla se proyectan gráficas de funciones: lineales, cuadráticas, fraccionarias-racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, para cada una de ellas se determina verbalmente un conjunto de valores. Preste atención al hecho de que la función lineal E(f) = R o un número, para fracciones lineales Este es nuestro alfabeto. Al agregarle nuestro conocimiento de transformaciones de grafos: traslación paralela, estiramiento, compresión, reflexión, podemos resolver los problemas de la primera parte. USO e incluso un poco más difícil. Vamos a ver. Trabajo independiente En palabras de tarea y sistemas de coordenadas impresos para cada estudiante. 1. Encuentre el conjunto de valores de la función en todo el dominio de definición: pero) y= 3 pecado X ; 2. Encuentra el conjunto de valores de la función y = X 2 en el medio j, si: pero) j = ; 3. Definir una función analíticamente (mediante una ecuación) si el conjunto de sus valores: 1) mi(F(X)) = (–∞ ; 2] y F(X) - función un cuadrado 2) mi(F(X)) = R \{7}. Cuando se habla de una tarea 2trabajo independiente, llamar la atención de los estudiantes sobre el hecho de que, en el caso de monotonicidad y continuidad de la función y=F(X)en un intervalo dado[a;B],el conjunto de sus significados-intervalo,cuyos extremos son los valores f(a)y f(B). Opciones de respuesta para la tarea 3. 1. B) y= -| registro 8 X | + 2, en) y = –| 3 X – 7 | + 2, y = –5 | X | + 3. 2. en) y = 12 – 5X, donde X ≠ 1 . Encontrar el conjunto de valores de una función usando la derivada Profesor. En el décimo grado, nos familiarizamos con el algoritmo para encontrar los extremos de una función continua en un segmento y encontrar su conjunto de valores sin depender del gráfico de la función. ¿Recuerdas cómo lo hicimos? ( Con la ayuda de la derivada.) Recordemos este algoritmo .
Las tareas para la aplicación de este algoritmo se encuentran en las variantes del examen. Por ejemplo, en 2008 se propuso tal tarea. tienes que resolverlo Casas . Tarea C1. Encuentra el mayor valor de una función F(X) = (0,5X + 1) 4 – 50(0,5X + 1) 2 en | X + 1| ≤ 3. Condiciones de tarea impresas para cada estudiante . Hallar el conjunto de valores de una función compleja Profesor. La parte principal de nuestra lección serán tareas no estándar que contienen funciones complejas, cuyas derivadas son expresiones muy complejas. Y las gráficas de estas funciones nos son desconocidas. Por lo tanto, para la solución, utilizaremos la definición de una función compleja, es decir, la dependencia entre las variables en el orden de su anidamiento en esta función y la evaluación de su rango (el intervalo de cambio en sus valores). Los problemas de este tipo se encuentran en la segunda parte del examen. Pasemos a los ejemplos. Ejercicio 1. Para funciones y = F(X) Y y = gramo(X) escribir una función compleja y = F(gramo(X)) y encuentre su conjunto de valores: pero) F(X) = –X 2 + 2X +
3, gramo(X) = pecado X; Solución. a) Una función compleja tiene la forma: y= -sen 2 X+2sen X + 3. Introducción de un argumento intermedio t, podemos escribir esta función así: y= –t 2 + 2t+ 3, donde t= pecado X. En la función interna t= pecado X el argumento toma cualquier valor, y el conjunto de sus valores es el segmento [–1; una]. Así que para la función exterior y = –t 2 +2t+3 hemos aprendido el intervalo de cambio de los valores de su argumento t: t[-una; una]. Veamos la gráfica de la función y = –t 2 +2t + 3.
Tenga en cuenta que la función cuadrática para t[-una; 1] toma los valores menor y mayor en sus extremos: y contratación = y(–1) = 0 y y naib = y(1) = 4. Y como esta función es continua en el intervalo [–1; 1], entonces también toma todos los valores entre ellos. Responder: y . b) La composición de estas funciones nos lleva a una función compleja que, tras introducir un argumento intermedio, se puede representar de la siguiente manera: y= –t 2 + 2t+ 3, donde t= registro 7 X,
Función t= registro 7 X X (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ). Función y = –t 2 + 2t+ 3 (ver gráfico) argumento t toma cualquier valor, y la función cuadrática misma toma todos los valores no mayores a 4. Responder: y (–∞ ; 4]. c) La función compleja tiene la siguiente forma:
Introduciendo un argumento intermedio, obtenemos: donde t = X 2 + 1. Ya que para la función interna X R , pero t . Responder: y (0; 3]. d) La composición de estas dos funciones nos da una función compleja que se puede escribir como
Darse cuenta de Entonces, en donde k Z , t [–1; 0) (0; 1]. Dibujar una gráfica de una función vemos que para estos valores t y(–∞ ; –4] c ; b) sobre todo el dominio de definición. Solución. Primero, examinamos la monotonicidad de esta función. Función t= arcoctg X- continuo y decreciente en R y el conjunto de sus valores (0; π). Función y= registro 5 t está definida en el intervalo (0; π), es continua y crece en él. Esto significa que esta función compleja es decreciente en el conjunto R . Y, como composición de dos funciones continuas, será continua en R . Resolvamos el problema "a". Como la función es continua en toda la recta numérica, lo es en cualquier parte de ella, en particular, en un segmento dado. Y luego en este segmento tiene los valores más pequeños y más grandes y toma todos los valores entre ellos:  F(4) = log 5 arcctg 4. ¿Cuál de los valores resultantes es mayor? ¿Por qué? ¿Y cuál será el conjunto de valores? Responder: Resolvamos el problema "b".
Responder: en(–∞ ; log 5 π) en todo el dominio de la definición. Tarea con parámetro Ahora intentemos componer y resolver una ecuación simple con un parámetro de la forma F(X) = a, donde F(X) - la misma función que en la tarea 4. Tarea 5. Determine el número de raíces de la ecuación log 5 (arcctg X) = pero para cada valor de parámetro pero. Solución. Como ya hemos mostrado en la tarea 4, la función en= log 5 (arcg X) es decreciente y continua en R y toma valores menores que log 5 π. Esta información es suficiente para dar una respuesta. Responder: si pero < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень; si pero≥ log 5 π, entonces no hay raíces. Profesor. Hoy hemos considerado problemas relacionados con encontrar el conjunto de valores de funciones. En este camino, descubrimos un nuevo método para resolver ecuaciones y desigualdades: el método de estimación, por lo que encontrar el conjunto de valores de una función se ha convertido en un medio para resolver problemas de un nivel superior. Al mismo tiempo, vimos cómo se construyen tales problemas y cómo las propiedades de monotonicidad de una función facilitan su solución. Y me gustaría esperar que la lógica que conectó las tareas consideradas hoy lo sorprenda, o al menos lo sorprenda. No puede ser de otra manera: ¡subir a un nuevo pico no deja indiferente a nadie! Notamos y apreciamos bellas pinturas, esculturas, etc. Pero las matemáticas también tienen su propia belleza, atractiva y fascinante: la belleza de la lógica. Los matemáticos dicen que una solución hermosa suele ser una solución correcta, y no es solo una frase. Ahora usted mismo tiene que encontrar tales soluciones, y hoy les hemos indicado una de las formas. ¡Buena suerte para ti! Y recuerda: ¡el camino será dominado por el que camina! |
– 1.
, es decir. mi (y) = .
,
, 8].
es decir X pertenece al primer trimestre.
antes de 
.
. Cuando se multiplica por 
este segmento irá al segmento 
.
.
obtenemos 
.
.
.
antes de 
argumento 2 X aumenta de 
antes de 
. Dado que el seno en dicho intervalo aumenta, la función 
hasta 1.
argumento 2 X aumenta de 
. Como el seno decrece en tal intervalo, la función 
hasta 1.
.
Y 
, es decir, el segmento 
= 
= 25.
) = 25 () =
), donde porque 
pecado (2x + 
) y, si a > 0, aumenta monótonamente en estos rayos.
.
