Función. El alcance y alcance de la función. Gráficos de funciones. Resolver problemas típicos ¿Qué es un conjunto de valores?

Muchas tareas nos llevan a buscar un conjunto de valores de funciones en un determinado segmento o en todo el dominio de definición. Tales tareas incluyen varias evaluaciones de expresiones, la solución de desigualdades.

En este artículo, definiremos el rango de una función, consideraremos métodos para encontrarlo y analizaremos en detalle la solución de ejemplos desde simples hasta más complejos. Todo el material se proporcionará con ilustraciones gráficas para mayor claridad. Así que este artículo es una respuesta detallada a la pregunta de cómo encontrar el rango de una función.

Definición.

El conjunto de valores de la función y = f(x) en el intervalo X llama al conjunto de todos los valores de la función que toma al iterar sobre todos.

Definición.

El rango de la función y = f(x) Se llama al conjunto de todos los valores de la función que toma al iterar sobre todas las x del dominio de definición.

El rango de la función se denota como E(f) .

El rango de una función y el conjunto de valores de una función no son lo mismo. Estos conceptos se considerarán equivalentes si el intervalo X al encontrar el conjunto de valores de la función y = f(x) coincide con el dominio de la función.

Además, no confunda el rango de la función con la variable x para la expresión del lado derecho de la ecuación y=f(x) . El área de valores permitidos de la variable x para la expresión f(x) es el área de la definición de la función y=f(x) .

La figura muestra algunos ejemplos.

Los gráficos de funciones se muestran con líneas azules en negrita, las líneas rojas delgadas son asíntotas, los puntos rojos y las líneas en el eje Oy muestran el rango de la función correspondiente.

Como puedes ver, el rango de la función se obtiene proyectando la gráfica de la función sobre el eje y. Puede ser un solo número (primer caso), un conjunto de números (segundo caso), un segmento (tercer caso), un intervalo (cuarto caso), un rayo abierto (quinto caso), una unión (sexto caso), etc. .

Entonces, ¿qué necesitas hacer para encontrar el rango de la función?

Comencemos con el caso más simple: mostraremos cómo determinar el conjunto de valores de una función continua y = f(x) en el intervalo.

Se sabe que una función continua sobre un segmento alcanza sus valores máximo y mínimo en él. Así, el conjunto de valores de la función original sobre el segmento será el segmento . Por tanto, nuestra tarea se reduce a encontrar los valores mayor y menor de la función en el intervalo.

Por ejemplo, busquemos el rango de la función arcoseno.

Ejemplo.

Especifique el rango de la función y = arcsenx.

Solución.

El dominio de definición del arcoseno es el segmento [-1; una] . Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función en este segmento.

La derivada es positiva para todo x del intervalo (-1; 1), es decir, la función arcoseno crece en todo el dominio de definición. Por lo tanto, toma el valor más pequeño en x = -1 y el más grande en x = 1.

Obtuvimos el rango de la función arcoseno .

Ejemplo.

Encuentra el conjunto de valores de la función. en el segmento.

Solución.

Encuentra el valor más grande y más pequeño de la función en el segmento dado.

Definamos los puntos extremos pertenecientes al segmento:

Calculamos los valores de la función original en los extremos del segmento y en los puntos :

Por tanto, el conjunto de valores de la función sobre el segmento es el segmento .

Ahora mostraremos cómo encontrar el conjunto de valores de una función continua y = f(x) en los intervalos (a; b) , .

Primero, determinamos los puntos extremos, los extremos de la función, los intervalos de aumento y disminución de la función en un intervalo dado. A continuación, calculamos en los extremos del intervalo y (o) los límites en el infinito (es decir, estudiamos el comportamiento de la función en los límites del intervalo o en el infinito). Esta información es suficiente para encontrar el conjunto de valores de la función en dichos intervalos.

Ejemplo.

Determine el conjunto de valores de la función en el intervalo (-2; 2) .

Solución.

Encontremos los puntos extremos de la función que se encuentran en el intervalo (-2; 2) :

Punto x = 0 es el punto máximo, ya que la derivada cambia de signo de más a menos al pasar por él, y la gráfica de la función va de creciente a decreciente.

es el máximo correspondiente de la función.

Averigüemos el comportamiento de la función cuando x tiende a -2 por la derecha y cuando x tiende a 2 por la izquierda, es decir, encontramos límites unilaterales:

Lo que obtuvimos: cuando el argumento cambia de -2 a cero, los valores de la función aumentan de menos infinito a menos un cuarto (el máximo de la función en x = 0), cuando el argumento cambia de cero a 2, la función los valores disminuyen a menos infinito. Así, el conjunto de valores de la función en el intervalo (-2; 2) es .

Ejemplo.

Especifique el conjunto de valores de la función tangente y = tgx en el intervalo.

Solución.

La derivada de la función tangente en el intervalo es positiva , lo que indica un aumento en la función. Estudiamos el comportamiento de la función en los límites del intervalo:

Así, cuando el argumento cambia de a, los valores de la función aumentan de menos infinito a más infinito, es decir, el conjunto de valores tangentes en este intervalo es el conjunto de todos los números reales.

Ejemplo.

Encuentre el rango de la función de logaritmo natural y = lnx.

Solución.

La función logaritmo natural se define para valores positivos del argumento . En este intervalo la derivada es positiva , esto indica un aumento en la función en él. Encontremos el límite unilateral de la función cuando el argumento tiende a cero desde la derecha, y el límite cuando x tiende a más infinito:

Vemos que cuando x cambia de cero a más infinito, los valores de la función aumentan de menos infinito a más infinito. Por lo tanto, el rango de la función logaritmo natural es el conjunto completo de números reales.

Ejemplo.

Solución.

Esta función está definida para todos los valores reales de x. Determinemos los puntos extremos, así como los intervalos de crecimiento y decremento de la función.

Por lo tanto, la función decrece en , crece en , x = 0 es el punto máximo, el máximo correspondiente de la función.

Veamos el comportamiento de la función en el infinito:

Así, en el infinito, los valores de la función se aproximan asintóticamente a cero.

Encontramos que cuando el argumento cambia de menos infinito a cero (punto máximo), los valores de la función aumentan de cero a nueve (hasta el máximo de la función), y cuando x cambia de cero a más infinito, el los valores de la función disminuyen de nueve a cero.

Mira el dibujo esquemático.

Ahora se ve claramente que el rango de la función es .

Encontrar el conjunto de valores de la función y = f(x) en intervalos requiere estudios similares. No nos detendremos ahora en estos casos en detalle. Los veremos en los siguientes ejemplos.

Sea el dominio de la función y = f(x) la unión de varios intervalos. Al encontrar el rango de dicha función, se determinan los conjuntos de valores en cada intervalo y se toma su unión.

Ejemplo.

Encuentre el rango de la función.

Solución.

El denominador de nuestra función no debe ir a cero, es decir, .

Primero, encontremos el conjunto de valores de la función en el rayo abierto.

Derivada de función es negativa en este intervalo, es decir, la función decrece en él.

Encontramos que como el argumento tiende a menos infinito, los valores de la función se acercan asintóticamente a la unidad. Cuando x cambia de menos infinito a dos, los valores de la función disminuyen de uno a menos infinito, es decir, en el intervalo considerado, la función toma un conjunto de valores. No incluimos la unidad, ya que los valores de la función no la alcanzan, sino que solo tienden asintóticamente a ella en menos infinito.

Actuamos de manera similar para una viga abierta.

La función también decrece en este intervalo.

El conjunto de valores de la función en este intervalo es el conjunto.

Así, el rango deseado de valores de la función es la unión de los conjuntos y .

Ilustración gráfica.

Por separado, debemos detenernos en las funciones periódicas. El rango de funciones periódicas coincide con el conjunto de valores en el intervalo correspondiente al período de esta función.

Ejemplo.

Encuentre el rango de la función seno y = senx.

Solución.

Esta función es periódica con un período de dos pi. Tomemos un segmento y definamos el conjunto de valores en él.

El segmento contiene dos puntos extremos y .

Calculamos los valores de la función en estos puntos y en los límites del segmento, elegimos los valores más pequeños y más grandes:

Como consecuencia, .

Ejemplo.

Encontrar el rango de una función .

Solución.

Sabemos que el rango del arcocoseno es el segmento de cero a pi, es decir, o en otra publicación. Función se puede obtener de arccosx desplazando y estirando a lo largo del eje x. Tales transformaciones no afectan el rango, por lo tanto, . Función viene de extendiéndose tres veces a lo largo del eje Oy, es decir, . Y la última etapa de las transformaciones es un desplazamiento de cuatro unidades hacia abajo a lo largo del eje y. Esto nos lleva a una doble desigualdad.

Por lo tanto, el rango de valores deseado es .

Demos solución a otro ejemplo, pero sin explicaciones (no son necesarias, ya que son completamente similares).

Ejemplo.

Definir rango de función .

Solución.

Escribimos la función original en la forma . El rango de la función exponencial es el intervalo . Es decir, . Luego

Como consecuencia, .

Para completar el cuadro, deberíamos hablar de encontrar el rango de una función que no es continua en el dominio de definición. En este caso, el dominio de definición se divide por puntos de ruptura en intervalos, y encontramos los conjuntos de valores en cada uno de ellos. Combinando los conjuntos de valores obtenidos, obtenemos el rango de valores de la función original. Recomendamos recordar 3 a la izquierda, los valores de la función tienden a menos uno, y cuando x tiende a 3 a la derecha, los valores de la función tienden a más infinito.

Así, el dominio de definición de la función se divide en tres intervalos.

En el intervalo tenemos la función . Desde entonces

Así, el conjunto de valores de la función original en el intervalo es [-6;2] .

En el semiintervalo tenemos una función constante y = -1. Es decir, el conjunto de valores de la función original sobre el intervalo consta de un solo elemento.

La función se define para todos los valores válidos del argumento. Halla los intervalos de aumento y disminución de la función.

La derivada se anula en x=-1 y x=3. Marcamos estos puntos en el eje real y determinamos los signos de la derivada en los intervalos obtenidos.

La función decrece en , aumenta en [-1; 3] , x=-1 punto mínimo, x=3 punto máximo.

Calculamos las funciones mínima y máxima correspondientes:

Comprobemos el comportamiento de la función en el infinito:

El segundo límite se calculó a partir de .

Hagamos un dibujo esquemático.

Cuando el argumento cambia de menos infinito a -1, los valores de la función disminuyen de más infinito a -2e, cuando el argumento cambia de -1 a 3, los valores de la función aumentan de -2e a, cuando el argumento cambia de 3 a más infinito, los valores de la función disminuyen de cero, pero no llegan a cero.

La dependencia de una variable con otra se llama dependencia funcional. Dependencia de variables y de una variable X llamado función, si cada valor X coincide con un solo valor y.

Designacion:

variable X llamada variable independiente o argumento, y la variable y- dependiente. Ellos dijeron eso y es una función de X. Sentido y correspondiente al valor dado X, llamado valor de la función.

Todos los valores que toma X, formulario alcance de la función; todos los valores que toma y, formulario conjunto de valores de función.

Designaciones:

D(f)- valores de argumento. mi(f)- valores de función. Si la función viene dada por una fórmula, entonces se considera que el dominio de definición está formado por todos los valores de la variable para los que tiene sentido esta fórmula.

Gráfico de función se llama el conjunto de todos los puntos en el plano de coordenadas, cuyas abscisas son iguales a los valores del argumento, y las ordenadas son iguales a los valores correspondientes de la función. Si algún valor x=x0 hacer coincidir varios valores (no solo uno) y, entonces tal correspondencia no es una función. Para que el conjunto de puntos del plano coordenado sea la gráfica de alguna función, es necesario y suficiente que toda recta paralela al eje Oy corte a la gráfica en no más de un punto.

Formas de configurar una función

1) La función se puede configurar analíticamente en forma de fórmula. Por ejemplo,

2) La función se puede definir mediante una tabla de muchos pares. (x; y).

3) La función se puede configurar gráficamente. Pares de valores (x; y) se muestra en el plano de coordenadas.

monotonicidad de la función

Función f(x) llamado creciente en un intervalo numérico dado, si un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función. Imagina que cierto punto se mueve a lo largo del gráfico de izquierda a derecha. Luego, el punto "subirá" en el gráfico.

Función f(x) llamado menguante en un intervalo numérico dado, si un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función. Imagina que cierto punto se mueve a lo largo del gráfico de izquierda a derecha. Entonces el punto, por así decirlo, "rodará" hacia abajo en el gráfico.

Una función que solo es creciente o solo decreciente en un intervalo numérico dado se llama monótono en este intervalo.

Función ceros e intervalos de constancia

Valores X, en el cual y=0, se llama función ceros. Estas son las abscisas de los puntos de intersección de la gráfica de la función con el eje x.

Tales rangos de valores X, sobre el cual los valores de la función y se llaman solo positivos o solo negativos intervalos de constancia de signo de la función.

funciones pares e impares

Función uniforme
1) El dominio de definición es simétrico con respecto al punto (0; 0), es decir, si el punto a pertenece al dominio de definición, entonces el punto -a también pertenece al dominio de la definición.
2) Por cualquier valor X f(-x)=f(x)
3) La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje Oy.

Función impar tiene las siguientes propiedades:
1) El dominio de definición es simétrico con respecto al punto (0; 0).
2) por cualquier valor X, que pertenece al dominio de definición, la igualdad f(-x)=-f(x)
3) La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen (0; 0).

No todas las funciones son pares o impares. Funciones vista general no son ni pares ni impares.

Funciones periódicas

Función F se llama periódico si existe un número tal que para cualquier X del dominio de definición la igualdad f(x)=f(x-T)=f(x+T). T es el periodo de la función.

Toda función periódica tiene un número infinito de periodos. En la práctica, se suele considerar el período positivo más pequeño.

Los valores de la función periódica se repiten después de un intervalo igual al período. Esto se utiliza cuando se trazan gráficos.

D(f)- aquellos valores que puede tomar el argumento, es decir alcance de la función.

mi(f)- aquellos valores que puede tomar la función, es decir conjunto de valores de función.

Métodos para encontrar los rangos de funciones.

búsqueda secuencial de valores de argumentos de funciones complejas;

método de puntuación/límite;

uso de las propiedades de continuidad y monotonicidad de una función;

uso de un derivado;

utilizando los valores mayor y menor de la función;

método gráfico;

método de introducción de parámetros;

método de la función inversa.

Consideremos algunos de ellos.

Usando la derivada

Enfoque general encontrar el conjunto de valores de una función continua f(x) es encontrar los valores mayor y menor de la función f(x) en su dominio (o demostrar que uno o ambos no existen) .

Si necesitas encontrar el conjunto de valores de una función en el segmento:

encuentre la derivada de la función dada f "(x);

encontrar los puntos críticos de la función f(x) y elegir los que pertenecen al segmento dado;

calcular los valores de la función en los extremos del segmento y en los puntos críticos seleccionados;

entre los valores encontrados, seleccione los valores más pequeños y más grandes;

El conjunto de valores de la función se concluye entre estos valores.

Si el alcance de la función es intervalo, entonces se usa el mismo esquema, pero en lugar de los valores en los extremos, se usan los límites de la función cuando el argumento tiende a los extremos del intervalo. Los valores límite de no están incluidos en el conjunto de valores.

Método de límite/puntuación

Para encontrar el conjunto de valores de función, primero encuentre el conjunto de valores de argumento y luego encuentre los valores mínimo y máximo correspondientes de la función función. Usando desigualdades - determina los límites.

El punto es estimar la función continua desde abajo y desde arriba y demostrar que la función alcanza los límites inferior y superior de las estimaciones. En este caso, la coincidencia del conjunto de valores de la función con el intervalo desde el límite inferior de la estimación hasta el superior está determinada por la continuidad de la función y la ausencia de otros valores para ella.

Propiedades de una función continua

Otra opción es transformar la función en una función monótona continua, luego usando las propiedades de las desigualdades se estima el conjunto de valores de la función recién obtenida.

Encontrar secuencialmente valores de argumentos de funciones complejas

Basado en la búsqueda secuencial del conjunto de valores de funciones intermedias que componen la función

Rangos de funciones elementales básicas

Función	muchos valores
$y = kx+ b$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = x^(2n)$	E(y) =
$y = \cos(x)$	E(y) = [-1;1]
$y = (\rmtg)\,x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = (\rm ctg)\, x$	E(y) = (-∞;+∞)
$y = \arcsen(x)$	E(y) = [-π/2; π/2]
$y = \arcos(x)$	E(y) =
$y = (\rm arctg)\, x$	E(y) = (-π/2; π/2)
$y = (\rm arcctg)\, x$	E(y) = (0; π)

Ejemplos

Encuentre el conjunto de valores de la función:

Usando la derivada

Encuentre el dominio de definición: D(f)=[-3;3], porque $9-x^(2)\geq 0$

Encuentra la derivada: $f"(x)=-\frac(x)(\sqrt(9-x^(2)))$

f"(x) = 0 si x = 0. f"(x) no existe si $\sqrt(9-x^(2))=0$ es decir, para x = ±3. Obtenemos tres puntos críticos: x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d 3, dos de los cuales coinciden con los extremos del segmento. Calcula: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Por lo tanto, el valor más pequeño de f(x) es 0, el valor más grande es 3.

Respuesta: E(f) = .

NO usar derivada

Encuentre los valores mayor y menor de la función:

Desde $
f(x) = 1-\cos^(2)(x)+\cos(x)-\frac(1)(2) =
= 1-\frac(1)(2)+\frac(1)(4)-(\cos^(2)(x)-2\cdot\cos(x)\cdot\frac(1)(2) +(\frac(1)(2))^2) =
= \frac(3)(4)-(\cos(x)-\frac(1)(2))^(2) $ , entonces:

$f(x)\leq \frac(3)(4)$ para todo x;

$f(x)\geq \frac(3)(4)-(\frac(3)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$ para todo x(porque $|\cos (x)|\leq 1$);

$f(\frac(\pi)(3))= \frac(3)(4)-(\cos(\frac(\pi)(3))-\frac(1)(2))^(2 )=\frac(3)(4)$;

$f(\pi)= \frac(3)(4)-(\cos(\pi)-\frac(1)(2))^(2)=-\frac(3)(2)$;

Respuesta: $\frac(3)(4)$ y $-\frac(3)(2)$

Si resuelve este problema con la ayuda de derivadas, deberá superar los obstáculos asociados con el hecho de que la función f (x) no está definida en un segmento, sino en toda la línea real.

Uso del método de límites/estimaciones

De la definición de seno se sigue que $-1\leq\sin(x)\leq 1$. A continuación, usamos las propiedades de las desigualdades numéricas.

$-4\leq - 4\sin(x)\leq 4$, (multiplique las tres partes de la doble desigualdad por -4);

$1\leq 5 - 4\sin(x)\leq 9$ (sumado a las tres partes de la doble desigualdad 5);

Dado que esta función es continua en todo el dominio de definición, el conjunto de sus valores se encuentra entre su valor más pequeño y más grande en todo el dominio de definición, si lo hay.

En este caso, el conjunto de valores de la función $y = 5 - 4\sin(x)$ es el conjunto.

De las desigualdades $$ \\ -1\leq\cos(7x)\leq 1 \\ -5\leq 5\cos(x)\leq 5 $$ obtenemos la estimación $$\\ -6\leq y\ leq 6$ $

Para x = p y x = 0, la función toma los valores -6 y 6, es decir alcanza los límites inferior y superior. Como combinación lineal de las funciones continuas cos(7x) y cos(x), la función y es continua a lo largo de todo el eje numérico, por lo que por la propiedad de una función continua toma todos los valores de -6 a 6 inclusive, y solo ellos, ya que por las desigualdades $- 6\leq y\leq 6$ le son imposibles otros valores.

Por lo tanto, E(y) = [-6;6].

$$ \\ -1\leq\sin(x)\leq 1 \\ 0\leq\sin^(2)(x)\leq 1 \\ 0\leq2\sin^(2)(x)\leq 2 \\ 1\leq1+2\sin^(2)(x)\leq 3 $$ Respuesta: E(f) = .

$$ \\ -\infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ -\infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

Transformemos la expresión $$ \\ \sin(x) + \cos(x) = \sin(x) + \sin(\frac(\pi)(2) - x) = \\ 2\sin\left ((\ frac(x + \frac(\pi)(2) - x)(2)) \right)\cos\left ((\frac(x + \frac(\pi)(2) + x)( 2)) \right) \\ = 2\sin(\frac(\pi)(4))cos(x +\frac(\pi)(4)) = \sqrt(2)cos(x +\frac( \pi) (4)) $$.

La definición de coseno implica $$ \\ -1\leq\cos(x)\leq 1; \\ -1\leq \cos((x + \frac(\pi)(4)))\leq 1; \\ -\sqrt(2)\leq \sqrt(2)\cos((x +\frac(\pi)(4)))\leq\sqrt(2); $$

Dado que esta función es continua en todo el dominio de definición, entonces el conjunto de sus valores está encerrado entre su valor más pequeño y más grande, si lo hay, el conjunto de valores de la función $y =\sqrt(2)\ cos((x +\frac(\pi)(4 )))$ es el conjunto $[-\sqrt(2);\sqrt(2)]$.

$$\\ E(3^(x)) = (0;+∞), \\ E(3^(x)+ 1) = (1;+∞), \\ E(-(3^(x) )+ 1)^(2) = (-∞;-1), \\ E(5 – (3^(x)+1)^(2)) = (-∞;4) $$

Indica $t = 5 – (3^(x)+1)^(2)$, donde -∞≤t≤4. Así, el problema se reduce a encontrar el conjunto de valores de la función $y = \log_(0,5)(t)$ sobre el rayo (-∞;4). Como la función $y = \log_(0,5)(t)$ está definida solo para t > 0, su conjunto de valores sobre el rayo (-∞;4) coincide con el conjunto de valores de la función en el intervalo (0;4) que representa es la intersección del rayo (-∞;4) con el dominio de definición (0;+∞) de la función logarítmica. En el intervalo (0;4) esta función es continua y decreciente. Para t > 0 tiende a +∞, y para t = 4 toma el valor -2, por lo que E(y) = (-2, +∞).

Utilizamos una técnica basada en una representación gráfica de una función.

Después de las transformaciones de la función, tenemos: y 2 + x 2 = 25, y y ≥ 0, |x| ≤ 5.

Cabe recordar que $x^(2)+y^(2)=r^(2)$ es la ecuación de una circunferencia de radio r.

Bajo estas restricciones, la gráfica de esta ecuación es la semicircunferencia superior con centro en el origen y radio igual a 5. Es obvio que E(y) = .

Respuesta: E(y) = .

Referencias

El alcance de las funciones en las tareas del Examen Estatal Unificado, Minyuk Irina Borisovna

Consejos para encontrar el conjunto de valores de función, Belyaeva I., Fedorova S.

Encontrar el conjunto de valores de la función

Cómo resolver problemas de matemáticas en los exámenes de ingreso, I.I. Melnikov, I.N. Sergeev

La función es el modelo. Definamos X como un conjunto de valores de una variable independiente // independiente significa cualquiera.

Una función es una regla por la cual, para cada valor de la variable independiente del conjunto X, se puede encontrar el único valor de la variable dependiente. // es decir. por cada x hay una y.

De la definición se deduce que hay dos conceptos: una variable independiente (que denotamos por x y puede tomar cualquier valor) y una variable dependiente (que denotamos por y o f (x) y se calcula a partir de la función cuando sustituimos x).

POR EJEMPLO y=5+x

1. Independiente es x, entonces tomamos cualquier valor, sea x = 3

2. y ahora calculamos y, entonces y \u003d 5 + x \u003d 5 + 3 \u003d 8. (y depende de x, porque lo que sustituimos x, obtenemos tal y)

Decimos que la variable y es funcionalmente dependiente de la variable x y esto se denota de la siguiente manera: y = f (x).

POR EJEMPLO.

1.y=1/x. (llamada hipérbole)

2. y=x^2. (llamada parábola)

3.y=3x+7. (llamada línea recta)

4. y \u003d √ x. (llamada la rama de la parábola)

La variable independiente (que denotamos por x) se llama argumento de la función.

Alcance de la función

El conjunto de todos los valores que toma el argumento de una función se denomina dominio de la función y se denota por D(f) o D(y).

Considere D(y) para 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) y (0;+∞) //el conjunto completo de números reales excepto el cero.

2. D (y) \u003d (∞; +∞) / / todos los muchos números reales

3. D (y) \u003d (∞; +∞) / / todos los muchos números reales

4. D (y) \u003d)