Extremos de funciones. Resolvemos los problemas B14 a partir de las Coordenadas de Examen de Estado Unificado de la parte superior de la parábola

En la tarea B14 de USE en matemáticas, debe encontrar el valor más pequeño o más grande de una función de una variable. Esta es una tarea bastante trivial del análisis matemático, y es por ello que todo egresado puede y debe aprender a resolverla con normalidad. escuela secundaria. Analicemos algunos ejemplos que los escolares resolvieron en el trabajo de diagnóstico en matemáticas, que tuvo lugar en Moscú el 7 de diciembre de 2011.

Dependiendo del intervalo en el que se requiera encontrar el valor máximo o mínimo de la función, se utiliza uno de los siguientes algoritmos estándar para resolver este problema.

I. Algoritmo para encontrar el valor mayor o menor de una función en un segmento:

Encuentra la derivada de una función.
Seleccione de los puntos sospechosos de un extremo aquellos que pertenecen a un segmento dado y al dominio de la función.
Calcular valores funciones(¡no un derivado!) en estos puntos.
Entre los valores obtenidos, elija el mayor o el menor, será el deseado.

Ejemplo 1 Encuentra el valor más pequeño de una función.
y = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 en el segmento .

Solución: actuamos de acuerdo con el algoritmo para encontrar el valor más pequeño de una función en un segmento:

El alcance de la función no está limitado: D(año) = r
La derivada de la función es: tu = 3X 2 – 36X+ 81. El alcance de la derivada de una función tampoco está limitado: D(y') = r
Ceros de la derivada: tu = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, entonces X 2 – 12X+ 27 = 0, de donde X= 3 y X= 9, nuestro intervalo incluye solo X= 9 (un punto sospechoso para un extremo).
Encontramos el valor de la función en un punto sospechoso de un extremo y en los bordes del intervalo. Para facilitar los cálculos, representamos la función de la forma: y = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
- y(8) \u003d 8 (8-9) 2 +23 \u003d 31;
- y(9) = 9 (9-9) 2 +23 = 23;
- y(13) = 13 (13-9) 2 +23 = 231.

Entonces, de los valores obtenidos, el más pequeño es 23. Respuesta: 23.

II. El algoritmo para encontrar el valor más grande o más pequeño de una función:

Encuentre el alcance de la función.
Encuentra la derivada de una función.
Determine los puntos que son sospechosos de un extremo (aquellos puntos en los que la derivada de la función se anula y los puntos en los que no hay derivada finita bilateral).
Marca estos puntos y el dominio de la función en la recta numérica y determina los signos derivado(¡no funciones!) en los intervalos resultantes.
Definir valores funciones(¡no es una derivada!) en los puntos mínimos (aquellos puntos en los que el signo de la derivada cambia de menos a más), el menor de estos valores será el menor valor de la función. Si no hay puntos mínimos, entonces la función no tiene un valor mínimo.
Definir valores funciones(¡no es una derivada!) en los puntos máximos (aquellos puntos en los que el signo de la derivada cambia de más a menos), el mayor de estos valores será el mayor valor de la función. Si no hay puntos máximos, entonces la función no tiene un valor máximo.

Ejemplo 2 Encuentra el mayor valor de la función.

En la práctica, es bastante común usar la derivada para calcular el valor mayor y menor de una función. Realizamos esta acción cuando averiguamos cómo minimizar costos, aumentar ganancias, calcular la carga óptima en la producción, etc., es decir, en aquellos casos en que es necesario determinar el valor óptimo de un parámetro. Para resolver tales problemas correctamente, uno debe tener una buena comprensión de cuál es el valor más grande y más pequeño de una función.

Usualmente definimos estos valores dentro de algún intervalo x, que a su vez puede corresponder a todo el alcance de la función o parte de ella. Puede ser un segmento [ a ; b ] , e intervalo abierto (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) , intervalo infinito (a ; b) , (a ; b ] , [ a ; b) o intervalo infinito - ∞ ; un , (- ∞ ; un ] , [ un ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

En este artículo, describiremos cómo se calcula el valor mayor y menor de una función dada explícitamente con una variable y=f(x) y = f(x).

Definiciones basicas

Comenzamos, como siempre, con la formulación de las principales definiciones.

Definición 1

El mayor valor de la función y = f (x) en algún intervalo x es el valor maxy = f (x 0) x ∈ X , que, para cualquier valor xx ∈ X , x ≠ x 0, hace que la desigualdad f (x ) ≤ f (x 0) .

Definición 2

El valor más pequeño de la función y = f (x) en algún intervalo x es el valor minx ∈ X y = f (x 0) , que, para cualquier valor x ∈ X , x ≠ x 0, hace que la desigualdad f(X f (x) ≥ f (x0) .

Estas definiciones son bastante obvias. Puede ser aún más simple decir esto: el valor más grande de una función es su valor más grande en un intervalo conocido en la abscisa x 0, y el más pequeño es el valor más pequeño aceptado en el mismo intervalo en x 0.

Definición 3

Los puntos estacionarios son tales valores del argumento de la función en los que su derivada se convierte en 0.

¿Por qué necesitamos saber qué son los puntos estacionarios? Para responder a esta pregunta, debemos recordar el teorema de Fermat. De ello se deduce que un punto estacionario es un punto en el que se encuentra el extremo de una función diferenciable (es decir, su mínimo o máximo local). En consecuencia, la función tomará el valor más pequeño o más grande en un cierto intervalo exactamente en uno de los puntos estacionarios.

Otra función puede tomar el valor más grande o más pequeño en aquellos puntos en los que la función misma es definida y su primera derivada no existe.

La primera pregunta que surge al estudiar este tema es: en todos los casos, ¿podemos determinar el valor máximo o mínimo de una función en un intervalo dado? No, no podemos hacer esto cuando los límites del intervalo dado coincidirán con los límites del dominio de definición, o si estamos tratando con un intervalo infinito. También sucede que una función en un intervalo dado o en el infinito tomará valores infinitamente pequeños o infinitamente grandes. En estos casos, no es posible determinar el valor mayor y/o menor.

Estos momentos serán más comprensibles después de la imagen en los gráficos:

La primera figura nos muestra una función que toma los valores mayor y menor (m a x y y m i n y) en puntos estacionarios ubicados en el intervalo [ - 6 ; 6].

Examinemos en detalle el caso indicado en el segundo gráfico. Cambiemos el valor del segmento a [ 1 ; 6] y obtenemos que el valor más grande de la función se logrará en el punto con la abscisa en el límite derecho del intervalo, y el más pequeño, en el punto estacionario.

En la tercera figura, las abscisas de los puntos representan los puntos límite del segmento [ - 3 ; 2]. Corresponden al valor mayor y menor de la función dada.

Ahora veamos la cuarta imagen. En él, la función toma m a x y (el valor más grande) y m i n y (el valor más pequeño) en puntos estacionarios en el intervalo abierto (-6; 6).

Si tomamos el intervalo [ 1 ; 6), entonces podemos decir que el valor más pequeño de la función en él se alcanzará en un punto estacionario. No sabremos el valor máximo. La función podría tomar el mayor valor en x igual a 6 si x = 6 perteneciera al intervalo. Este es el caso que se muestra en la Figura 5.

En el gráfico 6, esta función adquiere el valor más pequeño en el borde derecho del intervalo (- 3 ; 2 ] , y no podemos sacar conclusiones definitivas sobre el valor más grande.

En la figura 7, vemos que la función tendrá m a x y en el punto estacionario, teniendo una abscisa igual a 1 . La función alcanza su valor mínimo en el límite del intervalo del lado derecho. En menos infinito, los valores de la función se aproximarán asintóticamente a y = 3.

Si tomamos un intervalo x ∈ 2 ; + ∞ , entonces veremos que la función dada no tomará ni el valor más pequeño ni el más grande. Si x tiende a 2, entonces los valores de la función tenderán a menos infinito, ya que la recta x = 2 es una asíntota vertical. Si la abscisa tiende a más infinito, entonces los valores de la función se aproximarán asintóticamente a y = 3. Este es el caso que se muestra en la Figura 8.

En este párrafo, daremos una secuencia de acciones que se deben realizar para encontrar el valor más grande o más pequeño de una función en un cierto intervalo.

Primero, encontremos el dominio de la función. Verifiquemos si el segmento especificado en la condición está incluido en ella.
Ahora calculemos los puntos contenidos en este segmento en los que no existe la primera derivada. La mayoría de las veces, se pueden encontrar en funciones cuyo argumento está escrito bajo el signo del módulo, o en funciones de potencia, cuyo exponente es un número racional fraccionario.
A continuación, averiguamos qué puntos estacionarios caen en un segmento determinado. Para hacer esto, debe calcular la derivada de la función, luego igualarla a 0 y resolver la ecuación resultante, y luego elegir las raíces apropiadas. Si no obtenemos un solo punto estacionario o no caen en un segmento dado, continuamos con el siguiente paso.
Determinemos qué valores tomará la función en los puntos estacionarios dados (si corresponde), o en aquellos puntos donde no existe la primera derivada (si corresponde), o calculamos los valores para x = a y x = segundo
5. Tenemos una serie de valores de función, de los cuales ahora debemos elegir el mayor y el menor. Estos serán los valores mayor y menor de la función que necesitamos encontrar.

Veamos cómo aplicar correctamente este algoritmo al resolver problemas.

Ejemplo 1

Condición: se da la función y = x 3 + 4 x 2. Determine su valor mayor y menor en los segmentos [ 1 ; 4] y [-4; - una ] .

Solución:

Comencemos por encontrar el dominio de esta función. En este caso, será el conjunto de todos los números reales excepto el 0. En otras palabras, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; +∞. Ambos segmentos especificados en la condición estarán dentro del área de definición.

Ahora calculamos la derivada de la función según la regla de derivación de una fracción:

y "= x 3 + 4 x 2" = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 xx 4 = x 3 - 8 x3

Aprendimos que la derivada de la función existirá en todos los puntos de los segmentos [ 1 ; 4] y [-4; - una ] .

Ahora necesitamos determinar los puntos estacionarios de la función. Hagamos esto con la ecuación x 3 - 8 x 3 = 0. Sólo tiene una raíz real, que es 2. Será un punto estacionario de la función y caerá en el primer segmento [ 1 ; 4 ] .

Calculemos los valores de la función en los extremos del primer segmento y en el punto dado, es decir para x = 1, x = 2 y x = 4:

y(1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y(2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y(4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Hemos obtenido que el mayor valor de la función m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se logrará en x = 1 , y el menor m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – en x = 2 .

El segundo segmento no incluye ningún punto estacionario, por lo que debemos calcular los valores de la función solo en los extremos del segmento dado:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Por lo tanto, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , metro yo norte y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Respuesta: Para el segmento [ 1 ; 4 ] - metro un X y X ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , metro yo norte y X ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , para el segmento [ - 4 ; - 1 ] - metro un x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , metro yo norte y X ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Ver imagen:

Antes de aprender este método, te recomendamos que revises cómo calcular correctamente el límite lateral y el límite en el infinito, así como aprender los métodos básicos para encontrarlos. Para encontrar el valor mayor y/o menor de una función en un intervalo abierto o infinito, realizamos los siguientes pasos en secuencia.

Primero debe verificar si el intervalo dado será un subconjunto del dominio de la función dada.
Determinemos todos los puntos que están contenidos en el intervalo requerido y en los que no existe la primera derivada. Por lo general, ocurren en funciones donde el argumento está encerrado en el signo del módulo y en funciones de potencia con un exponente fraccionalmente racional. Si faltan estos puntos, puede continuar con el siguiente paso.
Ahora determinamos qué puntos estacionarios caen en un intervalo dado. Primero, igualamos la derivada a 0, resolvemos la ecuación y encontramos las raíces adecuadas. Si no tenemos un solo punto estacionario o no se encuentran dentro del intervalo especificado, inmediatamente procedemos a otras acciones. Están determinados por el tipo de intervalo.

Si el intervalo se ve como [ a ; b), entonces necesitamos calcular el valor de la función en el punto x = a y el límite unilateral lím x → b - 0 f (x) .
Si el intervalo tiene la forma (a ; b ] , entonces necesitamos calcular el valor de la función en el punto x = b y el límite lateral lím x → a + 0 f (x) .
Si el intervalo tiene la forma (a ; b) , entonces necesitamos calcular los límites unilaterales lím x → b - 0 f (x) , lím x → a + 0 f (x) .
Si el intervalo se ve como [ a ; + ∞), entonces es necesario calcular el valor en el punto x = a y el límite a más infinito lim x → + ∞ f (x) .
Si el intervalo se parece a (- ∞ ; b ] , calculamos el valor en el punto x = b y el límite en menos infinito lim x → - ∞ f (x) .
Si - ∞ ; b , entonces consideramos el límite unilateral lim x → b - 0 f (x) y el límite en menos infinito lim x → - ∞ f (x)
Si - ∞ ; + ∞ , entonces consideramos los límites a menos y más infinito lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Al final, debe sacar una conclusión basada en los valores obtenidos de la función y los límites. Hay muchas opciones aquí. Entonces, si el límite lateral es igual a menos infinito o más infinito, entonces queda claro de inmediato que no se puede decir nada sobre el valor más pequeño y más grande de la función. A continuación consideraremos un ejemplo típico. Descripciones detalladas ayudarle a entender qué es qué. Si es necesario, puede volver a las figuras 4 - 8 en la primera parte del material.

Ejemplo 2

Condición: dada una función y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calcular su valor mayor y menor en los intervalos - ∞ ; -4, -∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; +∞) .

Solución

En primer lugar, encontramos el dominio de la función. El denominador de la fracción es un trinomio cuadrado, que no debe ir a 0:

x 2 + x - 6 = 0 re = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ re (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Hemos obtenido el alcance de la función, al que pertenecen todos los intervalos especificados en la condición.

Ahora diferenciamos la función y obtenemos:

y "= 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4" = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " == 3 e 1 x 2 + x - 6 1 "x 2 + x - 6 - 1 x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 (2 x + 1) e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

En consecuencia, las derivadas de una función existen en todo el dominio de su definición.

Pasemos a encontrar puntos estacionarios. La derivada de la función se convierte en 0 en x = - 1 2 . Este es un punto estacionario que está en los intervalos (- 3 ; 1 ] y (- 3 ; 2) .

Calculemos el valor de la función en x = - 4 para el intervalo (- ∞ ; - 4 ] , así como el límite en menos infinito:

y (- 4) \u003d 3 mi 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 \u003d 3 mi 1 6 - 4 ≈ - 0. 456 lím x → - ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Como 3 e 1 6 - 4 > - 1 , entonces maxyx ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 . Esto no nos permite determinar de forma única el valor más pequeño de la función. Solo podemos concluir que hay un límite por debajo de -1, ya que es a este valor al que la función se acerca asintóticamente en menos infinito.

Una característica del segundo intervalo es que no tiene un solo punto estacionario ni un solo límite estricto. Por lo tanto, no podemos calcular ni el valor más grande ni el más pequeño de la función. Al definir el límite en menos infinito y como el argumento tiende a - 3 en el lado izquierdo, obtenemos solo el rango de valores:

lím x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lím x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 y 0 - 4 = - 1

Esto quiere decir que los valores de la función estarán ubicados en el intervalo -1; +∞

Para encontrar el valor máximo de la función en el tercer intervalo, determinamos su valor en el punto estacionario x = - 1 2 si x = 1 . También necesitamos saber el límite unilateral para el caso en que el argumento tiende a - 3 en el lado derecho:

y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 mi 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lím x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (- 0) - 4 = 3 mi - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Resultó que la función tomará el valor más grande en un punto estacionario maxyx ∈ (3 ; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. En cuanto al valor más pequeño, no podemos determinarlo. Todo lo que saber, es la presencia de un límite inferior a -4.

Para el intervalo (- 3 ; 2), tomemos los resultados del cálculo anterior y una vez más calculemos a qué es igual el límite lateral cuando tiende a 2 desde el lado izquierdo:

y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lím x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lím x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Por lo tanto, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 , y el valor más pequeño no se puede determinar, y los valores de la función están acotados desde abajo por el número - 4 .

Con base en lo que hicimos en los dos cálculos anteriores, podemos afirmar que en el intervalo [ 1 ; 2) la función tomará el valor más grande en x = 1, y es imposible encontrar el más pequeño.

En el intervalo (2 ; + ∞), la función no alcanzará ni el valor más grande ni el más pequeño, es decir tomará valores del intervalo -1; +∞.

lím x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lím x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (+ 0) - 4 = 3 mi + ∞ - 4 = + ∞ lím x → + ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Habiendo calculado cuál será el valor de la función en x = 4 , encontramos que m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , y la función dada en más infinito se aproximará asintóticamente a la línea y = - 1 .

Comparemos lo que obtuvimos en cada cálculo con la gráfica de la función dada. En la figura, las asíntotas se muestran con líneas de puntos.

Eso es todo lo que queríamos hablar sobre encontrar el valor más grande y más pequeño de una función. Esas secuencias de acciones que te hemos dado te ayudarán a realizar los cálculos necesarios de la forma más rápida y sencilla posible. Pero recuerde que a menudo es útil averiguar primero en qué intervalos la función disminuirá y en cuáles aumentará, después de lo cual se pueden sacar más conclusiones. Para que pueda determinar con mayor precisión el valor mayor y menor de la función y justificar los resultados.

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En julio de 2020, la NASA lanza una expedición a Marte. La nave espacial entregará a Marte un soporte electrónico con los nombres de todos los miembros registrados de la expedición.

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Otra víspera de Año Nuevo... clima helado y copos de nieve en el cristal de la ventana... Todo esto me llevó a escribir de nuevo sobre... fractales y lo que Wolfram Alpha sabe al respecto. En esta ocasión, hay un artículo interesante en el que hay ejemplos de estructuras fractales bidimensionales. Aquí consideraremos ejemplos más complejos de fractales tridimensionales.

Un fractal puede representarse (describirse) visualmente como una figura o cuerpo geométrico (lo que significa que ambos son un conjunto, en este caso, un conjunto de puntos), cuyos detalles tienen la misma forma que la figura original. Es decir, es una estructura autosimilar, teniendo en cuenta los detalles de los cuales, cuando se amplía, veremos la misma forma que sin aumento. Mientras que en el caso de una figura geométrica regular (no fractal), al hacer zoom veremos detalles que tienen una forma más simple que la propia figura original. Por ejemplo, con un aumento suficientemente alto, parte de una elipse parece un segmento de línea recta. Esto no sucede con los fractales: con cualquier aumento en ellos, volveremos a ver la misma forma compleja, que con cada aumento se repetirá una y otra vez.

Benoit Mandelbrot, el fundador de la ciencia de los fractales, en su artículo Fractals and Art for Science escribió: "Los fractales son formas geométricas que son tan complejas en sus detalles como en su forma general. Es decir, si parte del fractal ampliado al tamaño del conjunto, se verá como el conjunto, o exactamente, o tal vez con una ligera deformación.

Desde un punto de vista práctico, lo más interesante es el uso de la derivada para encontrar el valor mayor y menor de una función. ¿Con qué está conectado? Maximizar beneficios, minimizar costes, determinar la carga óptima de los equipos... En otras palabras, en muchos ámbitos de la vida hay que resolver el problema de optimizar algunos parámetros. Y este es el problema de encontrar los valores mayor y menor de la función.

Cabe señalar que el valor mayor y menor de una función generalmente se busca en algún intervalo X, que es todo el dominio de la función o parte del dominio. El intervalo X en sí mismo puede ser un segmento de línea, un intervalo abierto , un intervalo infinito .

En este artículo, hablaremos sobre cómo encontrar los valores más grandes y más pequeños de una función explícitamente dada de una variable y=f(x) .

Navegación de página.

El valor más grande y más pequeño de una función: definiciones, ilustraciones.

Detengámonos brevemente en las principales definiciones.

El mayor valor de la función. , que para cualquier la desigualdad es verdadera.

El valor más pequeño de la función. y=f(x) en el intervalo X se llama tal valor , que para cualquier la desigualdad es verdadera.

Estas definiciones son intuitivas: el valor mayor (menor) de una función es el valor mayor (menor) aceptado en el intervalo considerado con la abscisa.

Puntos estacionarios son los valores del argumento en los que se anula la derivada de la función.

¿Por qué necesitamos puntos estacionarios al encontrar los valores más grandes y más pequeños? La respuesta a esta pregunta viene dada por el teorema de Fermat. De este teorema se deduce que si una función derivable tiene un extremo (mínimo local o máximo local) en algún punto, entonces ese punto es estacionario. Por lo tanto, la función a menudo toma su valor máximo (menor) en el intervalo X en uno de los puntos estacionarios de este intervalo.

Además, una función a menudo puede tomar los valores más grandes y más pequeños en los puntos donde la primera derivada de esta función no existe y la función en sí está definida.

Respondamos de inmediato una de las preguntas más comunes sobre este tema: "¿Siempre es posible determinar el valor más grande (más pequeño) de una función"? No, no siempre. A veces los límites del intervalo X coinciden con los límites del dominio de la función, o el intervalo X es infinito. Y algunas funciones en el infinito y en los límites del dominio de definición pueden tomar valores infinitamente grandes e infinitamente pequeños. En estos casos, no se puede decir nada sobre el valor mayor y menor de la función.

Para mayor claridad, damos una ilustración gráfica. Mire las imágenes, y mucho se aclarará.

en el segmento

En la primera figura, la función toma los valores mayor (max y ) y menor (min y ) en puntos estacionarios dentro del segmento [-6;6] .

Considere el caso que se muestra en la segunda figura. Cambia el segmento a . En este ejemplo, el valor más pequeño de la función se logra en un punto estacionario y el más grande, en un punto con una abscisa que corresponde al límite derecho del intervalo.

En la figura No. 3, los puntos límite del segmento [-3; 2] son las abscisas de los puntos correspondientes al mayor y menor valor de la función.

en el campo abierto

En la cuarta figura, la función toma los valores mayor (max y ) y menor (min y ) en puntos estacionarios dentro del intervalo abierto (-6;6).

En el intervalo , no se pueden sacar conclusiones sobre el valor más grande.

en el infinito

En el ejemplo que se muestra en la séptima figura, la función toma el valor más grande (max y ) en un punto estacionario con la abscisa x=1, y el valor más pequeño (min y ) se alcanza en el límite derecho del intervalo. En menos infinito, los valores de la función se aproximan asintóticamente a y=3.

En el intervalo, la función no alcanza ni el valor más pequeño ni el más grande. Como x=2 tiende a la derecha, los valores de la función tienden a menos infinito (la recta x=2 es asíntota vertical), y como la abscisa tiende a más infinito, los valores de la función se aproximan asintóticamente a y=3. En la Figura 8 se muestra una ilustración gráfica de este ejemplo.

Algoritmo para encontrar los valores mayor y menor de una función continua sobre el segmento.

Escribimos un algoritmo que nos permite encontrar el valor más grande y más pequeño de una función en un segmento.

Encontramos el dominio de la función y verificamos si contiene el segmento completo.
Encontramos todos los puntos en los que no existe la primera derivada y que están contenidos en el segmento (por lo general, tales puntos ocurren en funciones con un argumento bajo el signo del módulo y en funciones de potencia con un exponente fraccionario-racional). Si no hay tales puntos, entonces vaya al siguiente punto.
Determinamos todos los puntos estacionarios que caen en el segmento. Para ello, lo igualamos a cero, resolvemos la ecuación resultante y elegimos las raíces adecuadas. Si no hay puntos estacionarios o ninguno de ellos cae en el segmento, vaya al siguiente paso.
Calculamos los valores de la función en los puntos estacionarios seleccionados (si los hay), en los puntos donde no existe la primera derivada (si los hay), y también en x=a y x=b.
De los valores obtenidos de la función, seleccionamos el más grande y el más pequeño; serán los valores máximo y más pequeño deseados de la función, respectivamente.

Analicemos el algoritmo al resolver un ejemplo para encontrar los valores más grandes y más pequeños de una función en un segmento.

Ejemplo.

Encuentra el valor mayor y menor de una función

en el segmento;
en el intervalo [-4;-1] .

Solución.

El dominio de la función es todo el conjunto de los números reales, excepto el cero, es decir, . Ambos segmentos caen dentro del dominio de la definición.

Encontramos la derivada de la función con respecto a:

Obviamente, la derivada de la función existe en todos los puntos de los segmentos y [-4;-1] .

Los puntos estacionarios se determinan a partir de la ecuación. La única raíz real es x=2. Este punto estacionario cae en el primer segmento.

Para el primer caso, calculamos los valores de la función en los extremos del segmento y en un punto estacionario, es decir, para x=1, x=2 y x=4:

Por lo tanto, el mayor valor de la función se alcanza en x=1, y el valor más pequeño – en x=2 .

Para el segundo caso, calculamos los valores de la función solo en los extremos del segmento [-4;-1] (ya que no contiene un solo punto estacionario):

Solución.

Comencemos con el alcance de la función. El trinomio cuadrado en el denominador de una fracción no debe desaparecer:

Es fácil comprobar que todos los intervalos de la condición del problema pertenecen al dominio de la función.

Diferenciamos la función:

Obviamente, la derivada existe en todo el dominio de la función.

Encontremos puntos estacionarios. La derivada se anula en . Este punto estacionario cae dentro de los intervalos (-3;1] y (-3;2) .

Y ahora puedes comparar los resultados obtenidos en cada punto con la gráfica de la función. Las líneas punteadas azules indican las asíntotas.

Esto puede terminar con encontrar el valor más grande y más pequeño de la función. Los algoritmos discutidos en este artículo le permiten obtener resultados con un mínimo de acciones. Sin embargo, puede ser útil determinar primero los intervalos de aumento y disminución de la función y solo después sacar conclusiones sobre el valor más grande y más pequeño de la función en cualquier intervalo. Esto da una imagen más clara y una justificación rigurosa de los resultados.

Las siguientes figuras muestran dónde la función puede alcanzar su valor más pequeño y más grande. En la figura de la izquierda, el más pequeño y mayor valor se fijan en los puntos mínimo y máximo locales de la función. En la figura de la derecha, en los extremos del segmento.

Si la función y = F(X) continua en el segmento [ a, B] , luego llega a este segmento menos y valores más altos . Esto, como ya se mencionó, puede ocurrir en puntos extremos o en los extremos del segmento. Por lo tanto, para encontrar menos y los valores más grandes de la función , continua en el intervalo [ a, B] , necesitas calcular sus valores en todos puntos críticos y en los extremos del segmento, y luego elige el más pequeño y el más grande de ellos.

Supongamos, por ejemplo, que se requiere determinar el valor máximo de la función F(X) en el segmento [ a, B] . Para hacer esto, encuentre todos sus puntos críticos sobre [ a, B] .

punto crítico se llama el punto en el que función definida, y ella derivado es cero o no existe. Luego debes calcular los valores de la función en los puntos críticos. Y, finalmente, se deben comparar los valores de la función en los puntos críticos y en los extremos del segmento ( F(a) y F(B) ). El mayor de estos números será el mayor valor de la función en el segmento [a, B] .

El problema de encontrar los valores más pequeños de la función .

Estamos buscando los valores más pequeños y más grandes de la función juntos

Ejemplo 1. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento [-1, 2] .

Solución. Encontramos la derivada de esta función. Iguale la derivada a cero () y obtenga dos puntos críticos: y . Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, basta con calcular sus valores en los extremos del segmento y en el punto, ya que el punto no pertenece al segmento [-1, 2] . Estos valores de función son los siguientes: , , . Resulta que valor de función más pequeño(marcado en rojo en el gráfico siguiente), igual a -7, se alcanza en el extremo derecho del segmento - en el punto , y mayor(también rojo en el gráfico), es igual a 9, - en el punto crítico.

Si la función es continua en un cierto intervalo y este intervalo no es un segmento (pero es, por ejemplo, un intervalo; la diferencia entre un intervalo y un segmento: los puntos de la frontera del intervalo no están incluidos en el intervalo, pero el los puntos límite del segmento están incluidos en el segmento), entonces entre los valores de la función puede no haber el más pequeño y el más grande. Entonces, por ejemplo, la función representada en la siguiente figura es continua en ]-∞, +∞[ y no tiene el valor más grande.

Sin embargo, para cualquier intervalo (cerrado, abierto o infinito), se cumple la siguiente propiedad de las funciones continuas.

Para la autocomprobación durante los cálculos, puede utilizar calculadora de derivados en línea .

Ejemplo 4. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento [-1, 3] .

Solución. Encontramos la derivada de esta función como la derivada del cociente:

Igualamos la derivada a cero, lo que nos da un punto crítico: . Pertenece al intervalo [-1, 3] . Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Comparemos estos valores. Conclusión: igual a -5/13, en el punto y el mayor valor igual a 1 en el punto .

Seguimos buscando juntos los valores más pequeños y más grandes de la función

Hay docentes que en el tema de encontrar los valores menor y mayor de una función, no dan a los alumnos ejemplos más complicados que los recién considerados, es decir, aquellos en los que la función es un polinomio o una fracción, el numerador. y denominador de los cuales son polinomios. Pero no nos limitaremos a tales ejemplos, ya que entre los profesores hay amantes de hacer pensar a los estudiantes en su totalidad (tabla de derivados). Por lo tanto, se utilizará el logaritmo y la función trigonométrica.

Ejemplo 8. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento .

Solución. Encontramos la derivada de esta función como derivado del producto :

Igualamos la derivada a cero, lo que da un punto crítico: . Pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

El resultado de todas las acciones: la función alcanza su valor mínimo, igual a 0, en un punto y en un punto y el mayor valor igual a mi², en el punto.

Para la autocomprobación durante los cálculos, puede utilizar calculadora de derivados en línea .

Ejemplo 9. Encuentra los valores más pequeño y más grande de una función en el segmento .

Solución. Encontramos la derivada de esta función:

Igualar la derivada a cero:

El único punto crítico pertenece al segmento. Para encontrar los valores más pequeños y más grandes de una función en un segmento dado, encontramos sus valores en los extremos del segmento y en el punto crítico encontrado:

Conclusión: la función alcanza su valor mínimo, igual a , en el punto y el mayor valor, igual a , en el punto .

En problemas extremos aplicados, encontrar los valores de función más pequeños (más grandes), por regla general, se reduce a encontrar el mínimo (máximo). Pero no son los mínimos o máximos en sí mismos los que tienen mayor interés práctico, sino los valores del argumento en el que se logran. Al resolver problemas aplicados, surge una dificultad adicional: la compilación de funciones que describen el fenómeno o proceso en consideración.

Ejemplo 10 Se debe estañar un tanque de capacidad para 4 personas, que tenga forma de paralelepípedo de base cuadrada y abierto en la parte superior. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque para cubrirlo con la menor cantidad de material?

Solución. Dejar X- lado base h- altura del tanque, S- su superficie sin cubierta, V- su volumen. El área de superficie del tanque se expresa mediante la fórmula, es decir. es una función de dos variables. Para expresar S como una función de una variable, usamos el hecho de que , de donde . Sustituyendo la expresión encontrada h en la fórmula para S:

Examinemos esta función para un extremo. Está definida y diferenciable en todas partes en ]0, +∞[ , y

Igualamos la derivada a cero () y encontramos el punto crítico. Además, en , la derivada no existe, pero este valor no está incluido en el dominio de definición y por lo tanto no puede ser un punto extremo. Entonces, - el único punto crítico. Verifiquemos la presencia de un extremo usando el segundo criterio suficiente. Encontremos la segunda derivada. Cuando la segunda derivada es mayor que cero (). Esto significa que cuando la función alcanza un mínimo . Porque esto mínimo - el único extremo de esta función, es su valor más pequeño. Entonces, el lado de la base del tanque debe ser igual a 2 my su altura.