Matemáticas es la expectativa de una función a partir de una variable aleatoria. Propiedades de la expectativa matemática. Fórmulas básicas para la expectativa matemática.
Expectativa matemática (media) variable aleatoria X, dado en un espacio de probabilidad discreto, se llama el número m = M [X] = ∑x i p i si la serie converge absolutamente.
Propósito del servicio... Usar el servicio en línea se calculan la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar(ver ejemplo). Además, se traza un gráfico de la función de distribución F (X).
Propiedades de la expectativa matemática de una variable aleatoria
- La expectativa matemática de un valor constante es igual a él mismo: M [C] = C, C es una constante;
- M = C M [X]
- La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: M = M [X] + M [Y]
- La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: M = M [X] M [Y], si X e Y son independientes.
Propiedades de dispersión
- La varianza de la constante es cero: D (c) = 0.
- El factor constante se puede sacar del signo de varianza elevándolo al cuadrado: D (k * X) = k 2 D (X).
- Si las variables aleatorias X e Y son independientes, entonces la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas: D (X + Y) = D (X) + D (Y).
- Si las variables aleatorias X e Y son dependientes: D (X + Y) = DX + DY + 2 (X-M [X]) (Y-M [Y])
- La fórmula de cálculo es válida para la variación:
D (X) = M (X 2) - (M (X)) 2
Un ejemplo. Se conocen las expectativas matemáticas y las varianzas de dos variables aleatorias independientes X e Y: M (x) = 8, M (Y) = 7, D (X) = 9, D (Y) = 6. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de la variable aleatoria Z = 9X-8Y + 7.
Solución. Basado en las propiedades de la expectativa matemática: M (Z) = M (9X-8Y + 7) = 9 * M (X) - 8 * M (Y) + M (7) = 9 * 8 - 8 * 7 + 7 = 23 ...
Según las propiedades de dispersión: D (Z) = D (9X-8Y + 7) = D (9X) - D (8Y) + D (7) = 9 ^ 2D (X) - 8 ^ 2D (Y) + 0 = 81 * 9 - 64 * 6 = 345
Algoritmo para calcular el valor esperado
Propiedades de las variables aleatorias discretas: todos sus valores se pueden volver a numerar con números naturales; asigne una probabilidad distinta de cero a cada valor.- Multiplicamos los pares: x i por p i a su vez.
- Suma el producto de cada par x i p i.
Por ejemplo, para n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Ejemplo 1.
| x yo | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| Pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Encontramos la expectativa matemática por la fórmula m = ∑x i p i.
Expectativa matemática M [X].
M [x] = 1 * 0,1 + 3 * 0,2 + 4 * 0,1 + 7 * 0,3 + 9 * 0,3 = 5,9
Encontramos la varianza por la fórmula d = ∑x 2 i p i - M [x] 2.
Dispersión D [X].
D [X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Desviación estándar σ (x).
σ = raíz cuadrada (D [X]) = raíz cuadrada (7.69) = 2.78
Ejemplo No. 2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente serie de distribución:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | a | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Solución. Encontramos el valor a de la relación: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 o 0,24 = 3 a, de donde a = 0,08
Ejemplo No. 3. Determine la ley de distribución de una variable aleatoria discreta si se conoce su varianza, y x 1
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 = 0,3
d (x) = 12,96
Solución.
Aquí debe componer una fórmula para encontrar la varianza d (x):
d (x) = x 1 2 p 1 + x 2 2 p 2 + x 3 2 p 3 + x 4 2 p 4 -m (x) 2
donde la expectativa m (x) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Para nuestros datos
m (x) = 6 * 0.3 + 9 * 0.3 + x 3 * 0.1 + 15 * 0.3 = 9 + 0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3 + 9 2 0,3 + x 3 2 0,1 + 15 2 0,3- (9 + 0,1x 3) 2
o -9/100 (x 2 -20x + 96) = 0
En consecuencia, es necesario encontrar las raíces de la ecuación, y habrá dos de ellas.
x 3 = 8, x 3 = 12
Elegimos el que cumple la condición x 1
Ley de distribución de una variable aleatoria discreta
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p 2 = 0,3; p 3 = 0,1; p 4 = 0,3
Características numéricas básicas de variables aleatorias discretas y continuas: expectativa matemática, varianza y desviación estándar. Sus propiedades y ejemplos.
La ley de distribución (función de distribución y serie de distribución o densidad de probabilidad) describe completamente el comportamiento de una variable aleatoria. Pero en una serie de problemas, basta con conocer algunas de las características numéricas de la cantidad investigada (por ejemplo, su valor medio y la posible desviación del mismo) para dar respuesta a la pregunta planteada. Consideremos las principales características numéricas de las variables aleatorias discretas.
Definición 7.1.Expectativa matemática una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de sus valores posibles por las probabilidades correspondientes:
METRO(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p.(7.1)
Si el número de valores posibles de una variable aleatoria es infinito, entonces si la serie resultante converge absolutamente.
Observación 1. La expectativa matemática a veces se llama peso promedio, ya que es aproximadamente igual a la media aritmética de los valores observados de la variable aleatoria para un gran número de experimentos.
Observación 2. De la definición de la expectativa matemática se deduce que su valor no es menor que el valor más pequeño posible de una variable aleatoria y no más que el mayor.
Observación 3. La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es sin coincidencia(constante. En lo que sigue, veremos que lo mismo ocurre con las variables aleatorias continuas.
Ejemplo 1. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria X- el número de piezas estándar entre tres, seleccionadas de un lote de 10 piezas, de las cuales 2 están defectuosas. Compongamos una serie de distribución para X... Del planteamiento del problema se deduce que X puede tomar los valores 1, 2, 3. Entonces
Ejemplo 2. Determinar la expectativa matemática de una variable aleatoria X- el número de lanzamientos de monedas antes de la primera aparición del escudo de armas. Este valor puede tomar un número infinito de valores (el conjunto de valores posibles es un conjunto de números naturales). Su serie de distribución es la siguiente:
| X | … | PAGS | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)PAGS | … |
+ (al calcular, la fórmula para la suma de una progresión geométrica infinitamente decreciente se usó dos veces :, de donde).
Propiedades de la expectativa matemática.
1) La expectativa matemática de una constante es igual a la más constante:
METRO(CON) = CON.(7.2)
Prueba. Considerando CON como una variable aleatoria discreta que toma solo un valor CON con probabilidad R= 1, entonces METRO(CON) = CON?1 = CON.
2) El factor constante se puede sacar del signo de la expectativa matemática:
METRO(SH) = CM(X). (7.3)
Prueba. Si una variable aleatoria X dado por una serie de distribución
Entonces METRO(SH) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p p = CON(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p p) = CM(X).
Definición 7.2. Dos variables aleatorias se llaman independiente, si la ley de distribución de uno de ellos no depende de los valores que tomó el otro. De lo contrario, las variables aleatorias dependiente.
Definición 7.3. Llamemos producto de variables aleatorias independientes X y Y variable aleatoria XY, cuyos valores posibles son iguales a los productos de todos los valores posibles X para todos los valores posibles Y, y las probabilidades correspondientes son iguales a los productos de las probabilidades de los factores.
3) La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
METRO(XY) = METRO(X)METRO(Y). (7.4)
Prueba. Para simplificar los cálculos, nos limitamos al caso en que X y Y tomar solo dos valores posibles:
Por eso, METRO(XY) = X 1 y 1 ?pags 1 gramo 1 + X 2 y 1 ?pags 2 gramo 1 + X 1 y 2 ?pags 1 gramo 2 + X 2 y 2 ?pags 2 gramo 2 = y 1 gramo 1 (X 1 pags 1 + X 2 pags 2) + + y 2 gramo 2 (X 1 pags 1 + X 2 pags 2) = (y 1 gramo 1 + y 2 gramo 2) (X 1 pags 1 + X 2 pags 2) = METRO(X)?METRO(Y).
Observación 1. De manera similar, esta propiedad se puede demostrar para un mayor número de posibles valores de los factores.
Observación 2. La propiedad 3 es válida para el producto de cualquier número de variables aleatorias independientes, que se demuestra mediante el método de inducción matemática.
Definición 7.4. Definimos suma de variables aleatorias X y Y como una variable aleatoria X + Y, cuyos valores posibles son iguales a las sumas de cada valor posible X con todos los valores posibles Y; las probabilidades de tales sumas son iguales a los productos de las probabilidades de los términos (para las variables aleatorias dependientes, los productos de la probabilidad de un término y la probabilidad condicional del segundo).
4) La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias (dependientes o independientes) es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:
METRO (X + Y) = METRO (X) + METRO (Y). (7.5)
Prueba.
Considere nuevamente las variables aleatorias dadas por la serie de distribución dada en la prueba de la propiedad 3. Luego, los valores posibles X + Y son X 1 + en 1 , X 1 + en 2 , X 2 + en 1 , X 2 + en 2. Denotemos sus probabilidades, respectivamente, como R 11 , R 12 , R 21 y R 22. Encontrar METRO(X+Y) = (X 1 + y 1)pags 11 + (X 1 + y 2)pags 12 + (X 2 + y 1)pags 21 + (X 2 + y 2)pags 22 =
= X 1 (pags 11 + pags 12) + X 2 (pags 21 + pags 22) + y 1 (pags 11 + pags 21) + y 2 (pags 12 + pags 22).
Demostremos que R 11 + R 22 = R una . De hecho, el evento que X + Y tomará valores X 1 + en 1 o X 1 + en 2 y cuya probabilidad es R 11 + R 22 coincide con el hecho de que X = X 1 (su probabilidad es R una). Asimismo, se prueba que pags 21 + pags 22 = R 2 , pags 11 + pags 21 = gramo 1 , pags 12 + pags 22 = gramo 2. Medio,
METRO(X + Y) = X 1 pags 1 + X 2 pags 2 + y 1 gramo 1 + y 2 gramo 2 = METRO (X) + METRO (Y).
Comentario... La propiedad 4 implica que la suma de cualquier número de variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos.
Ejemplo. Encuentre la expectativa matemática de la suma de la cantidad de puntos lanzados al lanzar cinco dados.
Encontremos la expectativa matemática de la cantidad de puntos que se pierden al lanzar un dado:
METRO(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) El mismo número es igual a la expectativa matemática del número de puntos arrojados en cualquier dado. Por lo tanto, por Propiedad 4 METRO(X)=
Dispersión.
Para tener una idea del comportamiento de una variable aleatoria, no basta con conocer solo su expectativa matemática. Considere dos variables aleatorias: X y Y dado por la serie de distribución de la forma
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| pags | 0,5 | 0,5 |
Encontrar METRO(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, METRO(Y) = 0? 0,5 + 100? 0,5 = 50. Como puede ver, las expectativas matemáticas de ambas cantidades son iguales, pero si para HM(X) describe bien el comportamiento de una variable aleatoria, siendo su valor posible más probable (además, los otros valores no son muy diferentes de 50), entonces los valores Y significativamente lejos de METRO(Y). Por lo tanto, junto con la expectativa matemática, es deseable saber cuánto se desvían de ella los valores de la variable aleatoria. La varianza se utiliza para caracterizar este indicador.
Definición 7.5.Dispersión (dispersión) una variable aleatoria se llama la expectativa matemática del cuadrado de su desviación de su expectativa matemática:
D(X) = METRO (X - M(X)) ². (7,6)
Encuentra la varianza de la variable aleatoria X(el número de piezas estándar entre las seleccionadas) en el ejemplo 1 de esta conferencia. Calculemos los valores de la desviación al cuadrado de cada valor posible de la expectativa matemática:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Por eso,
Observación 1. Al determinar la varianza, no es la desviación de la media en sí lo que se evalúa, sino su cuadrado. Esto se hace para que las desviaciones de diferentes signos no se compensen entre sí.
Observación 2. De la definición de varianza se deduce que esta cantidad solo adquiere valores no negativos.
Observación 3. Existe una fórmula más conveniente para calcular la varianza, cuya validez se demuestra en el siguiente teorema:
Teorema 7.1.D(X) = METRO(X²) - METRO²( X). (7.7)
Prueba.
Usando que METRO(X) es una constante, y las propiedades de la expectativa matemática, transformamos la fórmula (7.6) a la forma:
D(X) = METRO(X - M(X))² = METRO(X² - 2 X? M(X) + METRO²( X)) = METRO(X²) - 2 METRO(X)?METRO(X) + METRO²( X) =
= METRO(X²) - 2 METRO²( X) + METRO²( X) = METRO(X²) - METRO²( X), según sea necesario.
Ejemplo. Calculamos las varianzas de variables aleatorias X y Y discutido al principio de esta sección. METRO(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
METRO(Y) = (0 2? 0.5 + 100²? 0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Entonces, la varianza de la segunda variable aleatoria es varios miles de veces mayor que la varianza de la primera. Por lo tanto, incluso sin conocer las leyes de distribución de estas cantidades, podemos afirmar a partir de los valores de dispersión conocidos que X se desvía poco de su expectativa matemática, mientras que para Y esta desviación es bastante significativa.
Propiedades de dispersión.
1) Dispersión de constante CON es igual a cero:
D (C) = 0. (7.8)
Prueba. D(C) = METRO((CM(C))²) = METRO((C - C)²) = METRO(0) = 0.
2) El factor constante se puede sacar del signo de varianza elevándolo al cuadrado:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Prueba. D(CX) = METRO((CX - M(CX))²) = METRO((CX - CM(X))²) = METRO(C²( X - M(X))²) =
= C² D(X).
3) La varianza de la suma de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas:
D(X + Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Prueba. D(X + Y) = METRO(X² + 2 XY + Y²) - ( METRO(X) + METRO(Y))² = METRO(X²) + 2 METRO(X)METRO(Y) +
+ METRO(Y²) - METRO²( X) - 2METRO(X)METRO(Y) - METRO²( Y) = (METRO(X²) - METRO²( X)) + (METRO(Y²) - METRO²( Y)) = D(X) + D(Y).
Corolario 1. La varianza de la suma de varias variables aleatorias independientes entre sí es igual a la suma de sus varianzas.
Corolario 2. La varianza de la suma de una constante y una variable aleatoria es igual a la varianza de la variable aleatoria.
4) La varianza de la diferencia de dos variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas:
D(X - Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Prueba. D(X - Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1) ² D(Y) = D(X) + D(X).
La varianza da la media del cuadrado de la desviación de una variable aleatoria de la media; para estimar la desviación en sí, se usa una cantidad llamada desviación estándar.
Definición 7.6.Desviación cuadrática mediaσ de una variable aleatoria X llamada raíz cuadrada de la varianza:
Ejemplo. En el ejemplo anterior, las desviaciones estándar X y Y iguales respectivamente
Como ya se sabe, la ley de distribución caracteriza completamente a la variable aleatoria. Sin embargo, la ley de distribución a menudo se desconoce y uno tiene que limitarse a menos información. A veces es incluso más rentable usar números que describen una variable aleatoria en total; tales números se llaman características numéricas de una variable aleatoria. La expectativa matemática es una de las características numéricas importantes.
La expectativa matemática, como se mostrará a continuación, es aproximadamente igual al valor promedio de la variable aleatoria. Para resolver muchos problemas, basta con conocer la expectativa matemática. Por ejemplo, si se sabe que la expectativa matemática del número de puntos eliminados por el primer tirador es mayor que la del segundo, entonces el primer tirador, en promedio, elimina más puntos que el segundo y, por lo tanto, dispara mejor que el segundo. Aunque la expectativa matemática da mucha menos información acerca de una variable aleatoria que la ley de su distribución, pero para resolver problemas como el dado anteriormente y muchos otros, el conocimiento de la expectativa matemática resulta ser suficiente.
§ 2. Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta
Expectativa matemática una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles por sus probabilidades.
Deje que la variable aleatoria X solo puede tomar valores X 1 , X 2 , ..., X PAGS , cuyas probabilidades son respectivamente iguales R 1 , R 2 , . . ., R PAGS . Entonces el valor esperado METRO(X) variable aleatoria X se define por la igualdad
METRO(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + X norte pags norte .
Si una variable aleatoria discreta X toma un conjunto contable de valores posibles, luego
METRO(X)=
además, la expectativa matemática existe si la serie en el lado derecho de la igualdad converge absolutamente.
Comentario. De la definición se deduce que la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es un valor no aleatorio (constante). Le recomendamos que recuerde esta declaración, ya que se utilizará muchas veces a continuación. A continuación, se mostrará que la expectativa matemática de una variable aleatoria continua también es una constante.
Ejemplo 1. Encuentre la expectativa matemática de una variable aleatoria X, conociendo la ley de su distribución:
Solución. La expectativa matemática deseada es igual a la suma de los productos de todos los valores posibles de la variable aleatoria por sus probabilidades:
METRO(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Ejemplo 2. Encuentre el número esperado de ocurrencias de un evento A en un ensayo, si la probabilidad de un evento A es igual a R.
Solución. Valor aleatorio X - el número de ocurrencias del evento A en una prueba: solo puede tomar dos valores: X 1 = 1 (evento A vino) con probabilidad R y X 2 = 0 (evento A no vino) con probabilidad q= 1 -R. La expectativa matemática deseada
METRO(X)= 1* pags+ 0* q= pags
Entonces, la expectativa matemática del número de ocurrencias de un evento en un ensayo es igual a la probabilidad de este evento. Este resultado se utilizará a continuación.
§ 3. El significado probabilístico de la expectativa matemática
Deja que se produzca PAGS pruebas en las que la variable aleatoria X aceptado T 1 por el valor X 1 , T 2 por el valor X 2 ,...,metro k por el valor X k , es más T 1 + T 2 + ... + t A = p. Entonces la suma de todos los valores tomados X, es igual a
X 1 T 1 + X 2 T 2 + ... + X A T A .
Encuentra la media aritmética 
de todos los valores aceptados como variable aleatoria, para lo cual dividimos la suma encontrada por el número total de pruebas:
=
(X 1 T 1
+
X 2 T 2 +
... +
X A T A)/PAGS,
=
X 1
(metro 1 /
norte)
+
X 2
(metro 2 /
norte)
+ ... +
X A
(T A /PAGS).
(*)
Notando que la actitud metro 1 / norte- Frecuencia relativa W 1 significado X 1 , metro 2 / norte - Frecuencia relativa W 2 significado X 2 etc., escribimos la razón (*) de la siguiente manera:
=X 1
W 1
+
X 2 W 2
+ ..
. + X A W k .
(**)
Supongamos que el número de ensayos es lo suficientemente grande. Entonces, la frecuencia relativa es aproximadamente igual a la probabilidad de que ocurra el evento (esto se demostrará en el Capítulo IX, § 6):
W 1
pags 1 ,
W 2
pags 2 ,
…,
W k
pags k .
Reemplazando las frecuencias relativas en la razón (**) con las probabilidades correspondientes, obtenemos
X 1 pags 1
+
X 2 R 2
+ … +
X A R A .
El lado derecho de esta igualdad aproximada es METRO(X). Entonces,
METRO(X).
El significado probabilístico del resultado obtenido es el siguiente: la expectativa matemática es aproximadamente igual a(cuanto más precisa, mayor es la cantidad de pruebas) la media aritmética de los valores observados de una variable aleatoria.
Observación 1. Es fácil darse cuenta de que la expectativa matemática es mayor que el menor y menor que el mayor valor posible. En otras palabras, en el eje numérico, los valores posibles se ubican a la izquierda y a la derecha de la expectativa matemática. En este sentido, la expectativa matemática caracteriza la ubicación de la distribución y, por lo tanto, a menudo se la llama centro de distribucion.
Este término se toma prestado de la mecánica: si las masas R 1 , R 2 , ..., R PAGS ubicado en puntos con abscisas X 1 ,
X 2 ,
...,
X norte, y 
luego la abscisa del centro de gravedad
X C =
.
Teniendo en cuenta que
=
METRO
(X)
y 
obtener METRO(X)= x Con .
Entonces, la expectativa matemática es la abscisa del centro de gravedad del sistema de puntos materiales, cuyas abscisas son iguales a los valores posibles de la variable aleatoria y las masas son iguales a sus probabilidades.
Observación 2. El origen del término "expectativa matemática" está asociado con el período inicial del surgimiento de la teoría de la probabilidad (siglos XVI-XVII), cuando el ámbito de su aplicación se limitaba a los juegos de azar. El jugador estaba interesado en el valor promedio de la recompensa esperada o, en otras palabras, la recompensa esperada.
A las características numéricas de r.v. incluyen: expectativa matemática, varianza, momentos de diferentes órdenes, etc.
Valor esperado.
Sea un r.v. discreto tomando valores 
con probabilidades 
respectivamente.
Expectativa matemática(Páramo promedio s.v. 
llamó al número
(1.1)
bajo el supuesto de que esta serie converge absolutamente.
Si la serie 
diverge, entonces dicen que r.v. 
no tiene una m finita.
Si 
, luego su mes. definido por la integral
(1.2)
siempre que converja absolutamente.
Dejar 
- r.v. discreto con la ley de distribución (2.1) (Tema: Variables aleatorias escalares), y 
¿Es la función de este r.v. Entonces la ley de distribución de r.v. 
tiene forma de mesa. 7.1 (Tema: Variables aleatorias escalares). Según igualdad (1.1), m.o. variable aleatoria 
está definido por la fórmula
.
Si 
- r.v. continuo con una densidad de probabilidad 
, luego, generalizando el razonamiento anterior, obtenemos una fórmula para m.o. variable aleatoria 
como
.
(1.3)
Ejemplo 1.1. Hay 200 billetes emitidos en la lotería en efectivo. Hay un premio por la cantidad de 50 rublos, dos - 25 rublos cada uno, diez - 1 rublos cada uno. Encuentre las ganancias promedio si se compra un boleto.
D Según el ejemplo 2.1 (Tema: Variables aleatorias escalares), la ley de distribución de r.v. 
- pago - tiene la forma (2.2) (Tema: Variables aleatorias escalares).
Según la fórmula (1.1), la recompensa media
Entonces, la ganancia promedio de lotería es de 55 kopeks. ▲
Ejemplo 1.2.
La densidad de la distribución de probabilidad r.v. 
tiene la forma
Encontrar 
.
D Por fórmula (1.3) 
.
▲
Descubramos las propiedades básicas de la expectativa matemática.
10. MES. el número de ocurrencias del evento 
en un ensayo es igual a la probabilidad 
este evento.
veinte . MES. valor constante no aleatorio 
es igual a 
.
treinta . Multiplicador constante no aleatorio 
se puede sacar por el signo de la expectativa matemática.
4 0. Para cualquier variable aleatoria (dependiente o independiente) m.o. cantidades de d.v. 
y 
es igual a la suma de m. estos valores:
50. Para variables aleatorias independientes m.o. obras de s.v. 
y 
es igual al producto de m. estos r.v., es decir
Ejemplo 1.3. Encuentra m. la suma del número de puntos que pueden caer al lanzar dos dados.
D Deje 
y 
- el número de puntos caídos en el primer y segundo dado, respectivamente. RV discreto 
y 
tomar los valores 1, 2, 3, 4, 5 y 6 con la misma probabilidad 
... Luego, mediante las fórmulas (1.4) y (1.1), el m.o.
Dispersión.
MES. caracteriza el valor medio de r.v. Por desviación s.v. 
de su expectativa matemática (valor medio) se llama r.v. 
... A menudo la magnitud 
llamado r.v. centrado
Dispersión o dispersión
variable aleatoria 
es la expectativa matemática del cuadrado de la desviación de una variable aleatoria 
de su expectativa matemática:
La raíz cuadrada de la varianza se llama cuadrado medio
(cuadrático) desviación de r.v. 
y denotado 
, entonces 
.
Para un r.v. discreto 
tomando los valores 
con probabilidad 
,
, la varianza está determinada por la igualdad
,
(2.2)
donde 
.
Para r.v. continuo 
la varianza se define por la igualdad
,
(2.3)
si esta integral existe. Aquí 
¿Es la densidad de probabilidad de r.v. 
.
De las propiedades de mo. y la definición de varianza que tenemos
Entonces, para un r.v. discreto 
.
(2.4)
Para r.v. continuo 
la igualdad (2.4) tiene la forma
.
(2.5)
Las fórmulas (2.4) y (2.5) son más convenientes para calcular la varianza.
Comentario... De la definición de varianza (2.1) r.v. 
sigue que 
... Si la varianza es pequeña, entonces cada término de la suma (2.2) también es pequeño. De ahí el valor 
en el cual 
grande, debería tener una probabilidad baja. En otras palabras, con baja varianza, grandes desviaciones de r.v. 
de su M.O. 
improbable. Igualdad 
significa que 
por esos valores 
, probabilidad 
que es cero. En otras palabras, 
significa que 
con una probabilidad igual a uno.
Ejemplo 2.1.
Encuentre la varianza de la r.v. 
dada por la ley de distribución de probabilidad
|
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|
D Buscar mo :. Dado que la ley de distribución de r.v. 
tiene la forma
|
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|
|
luego, y por la fórmula (2.4) 
.
▲
Ejemplo 2.2.
Encuentre la varianza de la r.v. 
, cuya función de distribución
D Halla la densidad de probabilidad
Por la fórmula (2.5), la varianza deseada
.
▲
Establezcamos las propiedades de la varianza.
10. La varianza de una cantidad constante no aleatoria es cero.
En realidad, .
veinte . Multiplicador constante no aleatorio 
se puede quitar del signo de dispersión cuadrándolo: 
.
Por supuesto,
treinta . Dispersión de la suma o diferencia de r.v. independientes 
y 
es igual a la suma de las varianzas de estos valores :.
D Desde 
y 
r.v. independiente, entonces y, en consecuencia,
.
Entonces, . De esto y de la propiedad 2 0 de la varianza, obtenemos
Un valor aleatorio Se denomina variable que, como resultado de cada prueba, adquiere un valor previamente desconocido, dependiendo de causas aleatorias. Las variables aleatorias se indican con letras latinas mayúsculas: $ X, \ Y, \ Z, \ \ dots $ Por su tipo, las variables aleatorias pueden ser discreto y continuo.
Variable aleatoria discreta es una variable aleatoria cuyos valores no pueden ser más que contables, es decir, finitos o contables. Contabilidad significa que los valores de una variable aleatoria se pueden numerar.
Ejemplo 1 ... A continuación, se muestran algunos ejemplos de variables aleatorias discretas:
a) el número de impactos en el objetivo con $ n $ disparos, aquí los valores posibles son $ 0, \ 1, \ \ puntos, \ n $.
b) el número de escudos de armas arrojados cuando se lanza la moneda, aquí los valores posibles son $ 0, \ 1, \ \ dots, \ n $.
c) el número de barcos que llegan a bordo (conjunto de valores contables).
d) el número de llamadas que llegan a la centralita (conjunto de valores contables).
1. La ley de distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta.
La variable aleatoria discreta $ X $ puede tomar los valores $ x_1, \ dots, \ x_n $ con probabilidades $ p \ left (x_1 \ right), \ \ dots, \ p \ left (x_n \ right) $. La correspondencia entre estos valores y sus probabilidades se llama la ley de distribución de una variable aleatoria discreta... Como regla general, esta correspondencia se establece mediante una tabla, en la primera línea de la cual se indican los valores $ x_1, \ dots, \ x_n $, y en la segunda línea las probabilidades $ p_1, \ dots, \ p_n $ correspondiente a estos valores.
$ \ begin (matriz) (| c | c |)
\ hline
X_i & x_1 & x_2 & \ dots & x_n \\
\ hline
p_i & p_1 & p_2 & \ dots & p_n \\
\ hline
\ end (matriz) $
Ejemplo 2 ... Deje que la variable aleatoria $ X $ sea el número de puntos caídos al lanzar un dado. Tal variable aleatoria $ X $ puede tomar los siguientes valores $ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6 $. Las probabilidades de todos estos valores son $ 1/6 $. Entonces la ley de distribución de probabilidad para la variable aleatoria $ X $:
$ \ begin (matriz) (| c | c |)
\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ hline
\ hline
\ end (matriz) $
Comentario... Dado que en la ley de distribución de una variable aleatoria discreta $ X $ eventos $ 1, \ 2, \ \ puntos, \ 6 $ forman un grupo completo de eventos, la suma de las probabilidades debe ser igual a uno, es decir, $ \ sum (p_i) = 1 $.
2. Expectativa matemática de una variable aleatoria discreta.
La expectativa matemática de una variable aleatoria establece su significado "central". Para una variable aleatoria discreta, la expectativa se calcula como la suma de los productos de los valores $ x_1, \ dots, \ x_n $ por las probabilidades correspondientes $ p_1, \ dots, \ p_n $, es decir: $ M \ izquierda (X \ derecha) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. En la literatura en lengua inglesa, se usa una notación diferente, $ E \ left (X \ right) $.
Propiedades de la expectativa matemática$ M \ left (X \ right) $:
- $ M \ left (X \ right) $ se encierra entre los valores más pequeño y más grande de la variable aleatoria $ X $.
- La expectativa matemática de una constante es igual a la constante misma, es decir $ M \ left (C \ right) = C $.
- El factor constante puede tomarse fuera del signo de expectativa matemática: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
- La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
- La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.
Ejemplo 3 ... Encontremos la expectativa matemática de la variable aleatoria $ X $ del ejemplo $ 2 $.
$$ M \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) = 1 \ cdot ((1) \ over (6)) + 2 \ cdot ((1) \ over (6) ) +3 \ cdot ((1) \ over (6)) + 4 \ cdot ((1) \ over (6)) + 5 \ cdot ((1) \ over (6)) + 6 \ cdot ((1 ) \ sobre (6)) = 3.5. $$
Podemos notar que $ M \ left (X \ right) $ está encerrado entre los valores más pequeño ($ 1 $) y más grande ($ 6 $) de la variable aleatoria $ X $.
Ejemplo 4 ... Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $ X $ es igual a $ M \ left (X \ right) = 2 $. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $ 3X + 5 $.
Usando las propiedades anteriores, obtenemos $ M \ left (3X + 5 \ right) = M \ left (3X \ right) + M \ left (5 \ right) = 3M \ left (X \ right) + 5 = 3 \ cdot 2 + 5 = 11 $.
Ejemplo 5 ... Se sabe que la expectativa matemática de la variable aleatoria $ X $ es igual a $ M \ left (X \ right) = 4 $. Encuentre la expectativa matemática de la variable aleatoria $ 2X-9 $.
Usando las propiedades anteriores obtenemos $ M \ left (2X-9 \ right) = M \ left (2X \ right) -M \ left (9 \ right) = 2M \ left (X \ right) -9 = 2 \ cdot 4-9 = -1 $.
3. Dispersión de una variable aleatoria discreta.
Los posibles valores de las variables aleatorias con las mismas expectativas matemáticas pueden dispersarse de diferentes formas alrededor de sus valores medios. Por ejemplo, en dos grupos de estudiantes, el puntaje promedio para el examen en teoría de la probabilidad fue 4, pero en un grupo todos resultaron ser buenos, y en el otro grupo, solo C y A. Por lo tanto, existe la necesidad de tal característica numérica de una variable aleatoria, que mostraría la dispersión de los valores de la variable aleatoria alrededor de su expectativa matemática. Esta característica es la varianza.
Dispersión de una variable aleatoria discreta$ X $ es igual a:
$$ D \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_i (\ left (x_i-M \ left (X \ right) \ right)) ^ 2). \ $$
En la literatura inglesa, se usa la notación $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Muy a menudo, la varianza $ D \ left (X \ right) $ se calcula mediante la fórmula $ D \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_ix ^ 2_i) - (\ left (M \ izquierda (X \ derecha) \ derecha)) ^ 2 $.
Propiedades de dispersión$ D \ left (X \ right) $:
- La varianza es siempre mayor o igual a cero, es decir $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
- La varianza de la constante es igual a cero, es decir $ D \ left (C \ right) = 0 $.
- El factor constante puede sacarse del signo de varianza, siempre que sea al cuadrado, es decir $ D \ left (CX \ right) = C ^ 2D \ left (X \ right) $.
- La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
- La varianza de la diferencia de variables aleatorias independientes es igual a la suma de sus varianzas, es decir $ D \ left (X-Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
Ejemplo 6 ... Calculemos la varianza de la variable aleatoria $ X $ del ejemplo $ 2 $.
$$ D \ left (X \ right) = \ sum ^ n_ (i = 1) (p_i (\ left (x_i-M \ left (X \ right) \ right)) ^ 2) = ((1) \ over (6)) \ cdot (\ left (1-3.5 \ right)) ^ 2 + ((1) \ over (6)) \ cdot (\ left (2-3.5 \ right)) ^ 2+ \ dots + ( (1) \ over (6)) \ cdot (\ left (6-3.5 \ right)) ^ 2 = ((35) \ over (12)) \ approx 2.92. $$
Ejemplo 7 ... Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $ X $ es igual a $ D \ left (X \ right) = 2 $. Encuentre la varianza de la variable aleatoria $ 4X + 1 $.
Usando las propiedades anteriores, encontramos $ D \ left (4X + 1 \ right) = D \ left (4X \ right) + D \ left (1 \ right) = 4 ^ 2D \ left (X \ right) + 0 = 16D \ izquierda (X \ derecha) = 16 \ cdot 2 = 32 $.
Ejemplo 8 ... Se sabe que la varianza de la variable aleatoria $ X $ es igual a $ D \ left (X \ right) = 3 $. Encuentre la varianza de la variable aleatoria $ 3-2X $.
Usando las propiedades anteriores, encontramos $ D \ left (3-2X \ right) = D \ left (3 \ right) + D \ left (2X \ right) = 0 + 2 ^ 2D \ left (X \ right) = 4D \ izquierda (X \ derecha) = 4 \ cdot 3 = 12 $.
4. Función de distribución de una variable aleatoria discreta.
La forma de representar una variable aleatoria discreta en forma de serie de distribución no es la única y, lo que es más importante, no es universal, ya que una variable aleatoria continua no se puede especificar mediante una serie de distribución. Hay otra forma de representar una variable aleatoria: la función de distribución.
Función de distribución de la variable aleatoria $ X $ se llama la función $ F \ left (x \ right) $, que determina la probabilidad de que la variable aleatoria $ X $ tome un valor menor que algún valor fijo $ x $, es decir, $ F \ left (x \ right) = P \ left (X< x\right)$
Propiedades de la función de distribución:
- $ 0 \ le F \ left (x \ right) \ le 1 $.
- La probabilidad de que la variable aleatoria $ X $ tome valores del intervalo $ \ left (\ alpha; \ \ beta \ right) $ es igual a la diferencia entre los valores de la función de distribución en los extremos de este intervalo: $ P \ left (\ alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $ F \ left (x \ right) $ - no decreciente.
- $ (\ mathop (lim) _ (x \ to - \ infty) F \ left (x \ right) = 0 \), \ (\ mathop (lim) _ (x \ to + \ infty) F \ left (x \ right) = 1 \) $.
Ejemplo 9 ... Encontremos la función de distribución $ F \ left (x \ right) $ para la ley de distribución de la variable aleatoria discreta $ X $ del ejemplo $ 2 $.
$ \ begin (matriz) (| c | c |)
\ hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\ hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\ hline
\ end (matriz) $
Si $ x \ le 1 $, entonces, obviamente, $ F \ left (x \ right) = 0 $ (incluido para $ x = 1 $ $ F \ left (1 \ right) = P \ left (X< 1\right)=0$).
Si $ 1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Si $ 2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Si $ 3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Si $ 4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Si $ 5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Si $ x> 6 $, entonces $ F \ left (x \ right) = P \ left (X = 1 \ right) + P \ left (X = 2 \ right) + P \ left (X = 3 \ right) + P \ left (X = 4 \ right) + P \ left (X = 5 \ right) + P \ left (X = 6 \ right) = 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 $.
Entonces $ F (x) = \ left \ (\ begin (matrix)
0, \ para \ x \ le 1, \\
1/6, para \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ por \ 2< x\le 3,\\
1/2, por \ 3< x\le 4,\\
2/3, \ para \ 4< x\le 5,\\
5/6, \ por \ 4< x\le 5,\\
1, \ para \ x> 6.
\ end (matriz) \ right. $