Cómo se descompone la fórmula la diferencia de cubos. Fórmulas de multiplicación abreviadas. Aplicar la diferencia de cubos en la dirección opuesta.
Fórmulas de multiplicación abreviadas.
Estudio de fórmulas de multiplicación abreviadas: el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia de dos expresiones; diferencia de cuadrados de dos expresiones; el cubo de la suma y el cubo de la diferencia de dos expresiones; suma y diferencia de cubos de dos expresiones.
Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas al resolver ejemplos.
Para simplificar expresiones, factorizar polinomios y convertir los polinomios en una forma estándar, se utilizan fórmulas de multiplicación abreviadas. Las fórmulas de multiplicación abreviadas deben conocerse de memoria.
Sea a, b R. Entonces:
1. El cuadrado de la suma de las dos expresiones es el cuadrado de la primera expresión más el doble del producto de la primera expresión por la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. La diferencia al cuadrado de las dos expresiones es el cuadrado de la primera expresión menos el doble del producto de la primera expresión por la segunda más el cuadrado de la segunda expresión.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Diferencia de cuadrados dos expresiones es igual al producto de la diferencia entre estas expresiones y su suma.
a 2 - b 2 = (a -b) (a + b)
4. Suma cubo de dos expresiones es igual al cubo de la primera expresión más tres veces el cuadrado de la primera expresión y la segunda más tres veces el producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda más el cubo de la segunda expresión.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Cubo de diferencia dos expresiones es igual al cubo de la primera expresión menos tres veces el cuadrado de la primera expresión y la segunda más tres veces el producto de la primera expresión y el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda expresión.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Suma de cubos dos expresiones es igual al producto de la suma de la primera y la segunda expresión por el cuadrado incompleto de la diferencia de estas expresiones.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Diferencia de cubos dos expresiones es igual al producto de la diferencia de la primera y la segunda expresión por el cuadrado incompleto de la suma de estas expresiones.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Aplicación de fórmulas de multiplicación abreviadas al resolver ejemplos.
Ejemplo 1.
Calcular
a) Usando la fórmula para el cuadrado de la suma de dos expresiones, tenemos
(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Usando la fórmula para el cuadrado de la diferencia de dos expresiones, obtenemos
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604
Ejemplo 2.
Calcular
Usando la fórmula para la diferencia entre los cuadrados de las dos expresiones, obtenemos
Ejemplo 3.
Simplifica la expresión
(x - y) 2 + (x + y) 2
Usamos las fórmulas para el cuadrado de la suma y el cuadrado de la diferencia de dos expresiones
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Fórmulas de multiplicación abreviadas en una tabla:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
En las lecciones anteriores, analizamos dos formas de factorizar un polinomio en factores: paréntesis y agrupación.
En esta lección, veremos otra forma de factorizar un polinomio usando fórmulas de multiplicación abreviadas.
Recomendamos recetar cada fórmula al menos 12 veces. Para una mejor memorización, escriba todas las fórmulas para la multiplicación abreviada en una pequeña hoja de trucos.
Recordemos cómo se ve la fórmula para la diferencia de cubos.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)La fórmula para la diferencia entre cubos no es muy fácil de memorizar, por lo que recomendamos utilizar una forma especial de memorizarla.
Es importante comprender que cualquier fórmula para la multiplicación abreviada también funciona en reverso.
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3Veamos un ejemplo. Es necesario factorizar la diferencia entre los cubos.
Tenga en cuenta que "27a 3" es "(3a) 3", lo que significa que para la fórmula de la diferencia entre cubos, en lugar de "a" usamos "3a".
Usamos la fórmula para la diferencia de cubos. En el lugar "a 3" tenemos "27a 3", y en el lugar "b 3", como en la fórmula, hay "b 3".
Aplicar la diferencia de cubos en la dirección opuesta.
Veamos otro ejemplo. Quieres convertir el producto de polinomios a la diferencia de cubos usando la fórmula de multiplicación abreviada.
Tenga en cuenta que el producto de polinomios "(x - 1) (x 2 + x + 1)" se asemeja al lado derecho de la fórmula para la diferencia entre cubos "", solo que en lugar de "a" hay "x", y en su lugar de "b" hay "1" ...
Usamos para "(x - 1) (x 2 + x + 1)" la fórmula para la diferencia de cubos en la dirección opuesta.
Veamos un ejemplo más complicado. Se requiere simplificar el producto de polinomios.
Si comparamos "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" con el lado derecho de la fórmula de diferencia de cubos
« a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Entonces puedes entender que en el lugar" a "del primer corchete está" y 2, y en el lugar "b" hay "1".
Las fórmulas de multiplicación abreviadas (ACF) se utilizan para exponenciar y multiplicar números y expresiones. A menudo, estas fórmulas le permiten hacer cálculos más compactos y rápidos.
En este artículo, enumeraremos las fórmulas básicas de la multiplicación abreviada, las agruparemos en una tabla, consideraremos ejemplos del uso de estas fórmulas y también analizaremos los principios de las pruebas de las fórmulas de multiplicación abreviadas.
Por primera vez, el tema de FSU se considera en el marco del curso "Álgebra" para el 7º grado. A continuación se muestran 7 fórmulas básicas.
Fórmulas de multiplicación abreviadas
- la fórmula para el cuadrado de la suma: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- la fórmula para el cuadrado de la diferencia: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
- fórmula suma del cubo: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- fórmula del cubo de diferencia: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- fórmula de diferencia de cuadrados: a 2 - b 2 = a - b a + b
- la fórmula para la suma de cubos: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
- la fórmula para la diferencia de cubos: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2
Las letras a, b, c en estas expresiones pueden ser cualquier número, variable o expresión. Para facilitar su uso, es mejor aprender de memoria las siete fórmulas básicas. Resumámoslos en una tabla y presentémoslos a continuación, rodeándolos con un marco.
Las primeras cuatro fórmulas le permiten calcular, respectivamente, el cuadrado o el cubo de la suma o diferencia de dos expresiones.
La quinta fórmula calcula la diferencia de los cuadrados de las expresiones por el producto de su suma y la diferencia.
Las fórmulas sexta y séptima son, respectivamente, la multiplicación de la suma y la diferencia de expresiones por un cuadrado incompleto de la diferencia y un cuadrado incompleto de la suma.
La fórmula de multiplicación abreviada a veces también se denomina identidades de multiplicación abreviada. Esto no es sorprendente, ya que toda igualdad es una identidad.
Al resolver ejemplos prácticos, a menudo se utilizan fórmulas de multiplicación abreviadas con los lados izquierdo y derecho reorganizados. Esto es especialmente útil cuando tiene lugar la factorización de un polinomio.
Fórmulas de multiplicación abreviadas adicionales
No nos limitaremos al curso de séptimo grado en álgebra y agregaremos algunas fórmulas más a nuestra tabla FSU.
Primero, considere la fórmula binomial de Newton.
una + segundo norte = C norte 0 una norte + Do norte 1 una norte - 1 segundo + Do norte 2 una norte - 2 segundo 2 +. ... + C norte norte - 1 una segundo norte - 1 + C norte norte segundo norte
Aquí C n k son coeficientes binomiales que están en la fila n en el triángulo pascal. Los coeficientes binomiales se calculan mediante la fórmula:
C n k = n! k! (N - k)! = norte (norte - 1) (norte - 2). ... (n - (k - 1)) k!
Como puede ver, el FSE para el cuadrado y el cubo de la diferencia y la suma es un caso especial de la fórmula binomial de Newton para n = 2 y n = 3, respectivamente.
Pero, ¿qué pasa si hay más de dos términos en la suma para elevarse al poder? La fórmula para el cuadrado de la suma de tres, cuatro o más términos será útil.
un 1 + un 2 +. ... + una norte 2 = una 1 2 + una 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 una 1 una norte + 2 una 2 una 3 + 2 una 2 una 4 +. ... + 2 una 2 una norte + 2 una norte - 1 una norte
Otra fórmula que puede resultar útil es la fórmula para la diferencia entre las n-ésimas potencias de dos términos.
una norte - segundo norte = una - segundo norte - 1 + una norte - 2 segundo + una norte - 3 segundo 2 +. ... + a 2 segundo norte - 2 + segundo norte - 1
Esta fórmula generalmente se divide en dos fórmulas: para grados pares e impares, respectivamente.
Para indicadores pares 2 m:
una 2 m - segundo 2 m = una 2 - segundo 2 una 2 m - 2 + una 2 m - 4 segundo 2 + una 2 m - 6 segundo 4 +. ... + b 2 m - 2
Para exponentes impares 2m + 1:
una 2 m + 1 - segundo 2 m + 1 = una 2 - segundo 2 una 2 m + una 2 m - 1 segundo + una 2 m - 2 segundo 2 +. ... + b 2 m
Las fórmulas para la diferencia de cuadrados y la diferencia de cubos, lo adivinaste, son casos especiales de esta fórmula para n = 2 y n = 3, respectivamente. Para la diferencia de cubos, b también se reemplaza por - b.
¿Cómo leer fórmulas de multiplicación abreviadas?
Daremos las formulaciones adecuadas para cada fórmula, pero primero entenderemos el principio de lectura de fórmulas. La forma más conveniente de hacerlo es con el ejemplo. Tomemos la primera fórmula para el cuadrado de la suma de dos números.
a + segundo 2 = a 2 + 2 a segundo + segundo 2.
Dicen: el cuadrado de la suma de dos expresiones ayb es igual a la suma del cuadrado de la primera expresión, el producto duplicado de las expresiones y el cuadrado de la segunda expresión.
Todas las demás fórmulas se leen de la misma forma. Para el cuadrado de la diferencia a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 escribimos:
el cuadrado de la diferencia entre las dos expresiones ayb es igual a la suma de los cuadrados de estas expresiones menos el doble del producto de la primera y la segunda expresión.
Lea la fórmula a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. El cubo de la suma de dos expresiones ayb es igual a la suma de los cubos de estas expresiones, tres veces el cuadrado de la primera expresión por la segunda y tres veces el cuadrado de la segunda expresión por la primera expresión.
Procedemos a leer la fórmula para la diferencia entre los cubos a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. El cubo de la diferencia de dos expresiones ayb es igual al cubo de la primera expresión menos tres veces el cuadrado de la primera expresión y la segunda, más tres veces el cuadrado de la segunda expresión y la primera expresión, menos el cubo de la segunda expresión.
La quinta fórmula a 2 - b 2 = a - b a + b (diferencia de cuadrados) dice lo siguiente: la diferencia de los cuadrados de dos expresiones es igual al producto de la diferencia y la suma de las dos expresiones.
Expresiones como a 2 + a b + b 2 y a 2 - a b + b 2 por conveniencia se denominan, respectivamente, el cuadrado incompleto de la suma y el cuadrado incompleto de la diferencia.
Teniendo esto en cuenta, las fórmulas para la suma y la diferencia de los cubos se leerán de la siguiente manera:
La suma de los cubos de dos expresiones es igual al producto de la suma de estas expresiones por el cuadrado incompleto de su diferencia.
La diferencia entre los cubos de dos expresiones es igual al producto de la diferencia entre estas expresiones y el cuadrado incompleto de su suma.
Prueba de FSO
Es bastante fácil probar el FSO. Según las propiedades de la multiplicación, multiplicamos las partes de las fórmulas entre paréntesis.
Por ejemplo, considere la fórmula para el cuadrado de la diferencia.
a - segundo 2 = a 2 - 2 a segundo + segundo 2.
Para elevar una expresión a la segunda potencia, debe multiplicar esta expresión por sí misma.
a - b 2 = a - b a - b.
Expandamos los corchetes:
a - segundo a - segundo = a 2 - a segundo - segundo a + segundo 2 = a 2 - 2 a segundo + segundo 2.
La fórmula está probada. El resto de los OIA se prueban de manera similar.
Ejemplos de aplicación de FSU
El propósito de utilizar fórmulas de multiplicación abreviadas es multiplicar y exponenciar expresiones de forma rápida y concisa. Sin embargo, este no es todo el alcance del OIA. Se utilizan ampliamente para abreviar expresiones, reducir fracciones, factorizar polinomios. Aquí hay unos ejemplos.
Ejemplo 1. FSO
Simplifica la expresión 9 y - (1 + 3 y) 2.
Aplicamos la fórmula para la suma de cuadrados y obtenemos:
9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1-6 y - 9 y 2 = 3 y - 1-9 y 2
Ejemplo 2. FSO
Reducir la fracción 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.
Tenga en cuenta que la expresión en el numerador es la diferencia entre los cubos y el denominador es la diferencia en los cuadrados.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Acortamos y obtenemos:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
Los FSO también ayudan a calcular los valores de las expresiones. Lo principal es poder notar dónde aplicar la fórmula. Demostremos esto con un ejemplo.
Elevemos el número 79 al cuadrado. En lugar de cálculos engorrosos, escribimos:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Parecería que un cálculo complejo se llevó a cabo rápidamente con solo usar las fórmulas de multiplicación abreviadas y la tabla de multiplicar.
Otro punto importante es la selección del cuadrado del binomio. La expresión 4 x 2 + 4 x - 3 se puede convertir a 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2-4 = 2 x + 1 2-4. Estas transformaciones se utilizan ampliamente en la integración.
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Diferencia de cuadrados
Derivemos la fórmula para la diferencia de cuadrados $ a ^ 2-b ^ 2 $.
Para hacer esto, recuerde la siguiente regla:
Si sumamos cualquier monomio a la expresión y restamos el mismo monomio, obtenemos la identidad correcta.
Suma a nuestra expresión y resta el monomio $ ab $:
Total, obtenemos:
Es decir, la diferencia entre los cuadrados de dos monomios es igual al producto de su diferencia por su suma.
Ejemplo 1
Representar como producto $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $
\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 = ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \]
\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 = \ left (2x-y \ right) (2x + y) \]
Suma de cubos
Derivamos la fórmula para la suma de cubos $ a ^ 3 + b ^ 3 $.
Factoriza los factores comunes:
Saquemos $ \ left (a + b \ right) $ fuera de los corchetes:
Total, obtenemos:
Es decir, la suma de los cubos de dos monomios es igual al producto de su suma por el cuadrado incompleto de su diferencia.
Ejemplo 2
Representar como un producto $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $
Esta expresión se puede reescribir de la siguiente manera:
\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 = ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \]
Usando la fórmula para la diferencia de cuadrados, obtenemos:
\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 = \ left (2x + y \ right) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \]
Diferencia de cubos
Derivemos la fórmula para la diferencia de cubos $ a ^ 3-b ^ 3 $.
Para ello, usaremos la misma regla que la anterior.
Suma a nuestra expresión y resta los monomios $ a ^ 2b \ y \ (ab) ^ 2 $:
Factoriza los factores comunes:
Saquemos $ \ left (a-b \ right) $ fuera de los corchetes:
Total, obtenemos:
Es decir, la diferencia entre los cubos de dos monomios es igual al producto de su diferencia por el cuadrado incompleto de su suma.
Ejemplo 3
Representar como producto $ (8x) ^ 3-y ^ 3 $
Esta expresión se puede reescribir de la siguiente manera:
\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 = ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \]
Usando la fórmula para la diferencia de cuadrados, obtenemos:
\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 = \ left (2x-y \ right) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \]
Un ejemplo de problemas usando las fórmulas para la diferencia de cuadrados y la suma y diferencia de cubos
Ejemplo 4
Factor.
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
Solución:
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
\ [(((a + 5)) ^ 2-9 = (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \]
Aplicando la fórmula para la diferencia de cuadrados, obtenemos:
\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 = \ left (a + 5-3 \ right) \ left (a + 5 + 3 \ right) = \ left (a + 2 \ right) (a +8) \]
Escribamos esta expresión en la forma:
Apliquemos la fórmula de los cubos kuma:
c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
Escribamos esta expresión en la forma:
\ [- x ^ 3 + \ frac (1) (27) = (\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ 3-x ^ 3 \]
Apliquemos la fórmula de los cubos kuma:
\ [(\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ 3-x ^ 3 = \ left (\ frac (1) (3) -x \ right) \ left (\ frac (1) ( 9) + \ frac (x) (3) + x ^ 2 \ right) \]