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Expresiones, conversión de expresiones.

Expresiones de poder (expresiones con poderes) y su transformación.

En este artículo hablaremos sobre la conversión de expresiones con potencias. Primero, nos centraremos en las transformaciones que se realizan con expresiones de cualquier tipo, incluidas expresiones de poder, como abrir paréntesis y traer términos similares. Y luego analizaremos las transformaciones inherentes específicamente a expresiones con grados: trabajando con la base y el exponente, utilizando las propiedades de los grados, etc.

Navegación de páginas.

¿Qué son las expresiones de poder?

El término "expresiones de poder" prácticamente no aparece en los libros de texto de matemáticas escolares, pero aparece con bastante frecuencia en colecciones de problemas, especialmente aquellos destinados a la preparación para el Examen Estatal Unificado y el Examen Estatal Unificado, por ejemplo. Después de analizar las tareas en las que es necesario realizar alguna acción con expresiones de poder, queda claro que bajo las expresiones de poder se entienden aquellas que contienen poderes en sus entradas. Por lo tanto, puedes aceptar la siguiente definición por ti mismo:

Definición.

Expresiones de poder son expresiones que contienen grados.

vamos a dar ejemplos de expresiones de poder. Además, los presentaremos según cómo se produce el desarrollo de las opiniones desde un grado con exponente natural hasta un grado con exponente real.

Como es sabido, primero se familiariza con la potencia de un número con exponente natural; en esta etapa, las primeras expresiones de potencia más simples del tipo 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 aparecen −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Un poco más adelante se estudia la potencia de un número con exponente entero, lo que da lugar a la aparición de expresiones de potencia con potencias enteras negativas, como las siguientes: 3 −2, , una −2 +2 segundo −3 +c 2 .

En secundaria regresan a las carreras. Allí se introduce un grado con exponente racional, lo que conlleva la aparición de las correspondientes expresiones de potencia: , , etcétera. Finalmente, se consideran grados con exponentes irracionales y expresiones que los contienen: , .

El asunto no se limita a las expresiones de potencia enumeradas: además, la variable penetra en el exponente y, por ejemplo, surgen las siguientes expresiones: 2 x 2 +1 o . Y después de familiarizarse con , comienzan a aparecer expresiones con potencias y logaritmos, por ejemplo, x 2·lgx −5·x lgx.

Entonces, nos hemos ocupado de la cuestión de qué representan las expresiones de poder. A continuación aprenderemos a transformarlos.

Principales tipos de transformaciones de expresiones de poder.

Con las expresiones de poder, puede realizar cualquiera de las transformaciones de identidad básicas de las expresiones. Por ejemplo, puedes abrir paréntesis, reemplazar expresiones numéricas con sus valores, agregar términos similares, etc. Naturalmente, en este caso es necesario seguir el procedimiento aceptado para realizar acciones. Pongamos ejemplos.

Ejemplo.

Calcula el valor de la expresión de potencia 2 3 ·(4 2 −12) .

Solución.

Según el orden de ejecución de las acciones, primero realice las acciones entre paréntesis. Allí, en primer lugar, reemplazamos la potencia 4 2 con su valor 16 (si es necesario, ver), y en segundo lugar, calculamos la diferencia 16−12=4. Tenemos 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

En la expresión resultante, reemplazamos la potencia 2 3 por su valor 8, luego de lo cual calculamos el producto 8·4=32. Este es el valor deseado.

Entonces, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Respuesta:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Ejemplo.

Simplifica expresiones con potencias. 3 un 4 segundo −7 −1+2 un 4 segundo −7.

Solución.

Obviamente, esta expresión contiene términos similares 3·a 4 ·b −7 y 2·a 4 ·b −7 , y podemos presentarlos: .

Respuesta:

3 un 4 segundo −7 −1+2 un 4 segundo −7 =5 un 4 segundo −7 −1.

Ejemplo.

Expresar una expresión con potencias como producto.

Solución.

Puedes hacer frente a la tarea representando el número 9 como una potencia de 3 2 y luego usando la fórmula de multiplicación abreviada - diferencia de cuadrados:

Respuesta:

También hay una serie de transformaciones idénticas inherentes específicamente a las expresiones de poder. Los analizaremos más a fondo.

Trabajando con base y exponente

Hay grados cuya base y/o exponente no son sólo números o variables, sino algunas expresiones. Como ejemplo, damos las entradas (2+0.3·7) 5−3.7 y (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Cuando trabaje con tales expresiones, puede reemplazar tanto la expresión en la base del grado como la expresión en el exponente con una expresión idénticamente igual en la ODZ de sus variables. En otras palabras, de acuerdo con las reglas que conocemos, podemos transformar por separado la base del grado y por separado el exponente. Está claro que como resultado de esta transformación se obtendrá una expresión idénticamente igual a la original.

Tales transformaciones nos permiten simplificar expresiones con potencias o lograr otros objetivos que necesitemos. Por ejemplo, en la expresión de potencia mencionada anteriormente (2+0.3 7) 5−3.7, puedes realizar operaciones con los números en la base y el exponente, lo que te permitirá moverte a la potencia 4.1 1.3. Y después de abrir los corchetes y llevar términos similares a la base del grado (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), obtenemos una expresión potencia de una forma más simple a 2·(x+ 1).

Usando propiedades de grado

Una de las principales herramientas para transformar las expresiones con potencias son las igualdades que reflejan. Recordemos los principales. Para cualquier número positivo a y b y números reales arbitrarios r y s, siguientes propiedades grados:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Tenga en cuenta que para exponentes naturales, enteros y positivos, las restricciones sobre los números a y b pueden no ser tan estrictas. Por ejemplo, para números naturales m y n la igualdad a m ·a n =a m+n es cierta no sólo para a positivo, sino también para a negativo, y para a=0.

En la escuela, el foco principal a la hora de transformar expresiones de poder está en la capacidad de elegir la propiedad adecuada y aplicarla correctamente. En este caso, las bases de los grados suelen ser positivas, lo que permite utilizar las propiedades de los grados sin restricciones. Lo mismo se aplica a la transformación de expresiones que contienen variables en las bases de potencias: el rango de valores permitidos de las variables suele ser tal que las bases solo toman valores positivos, lo que le permite utilizar libremente las propiedades de las potencias. . En general, es necesario preguntarse constantemente si es posible utilizar alguna propiedad de los títulos en este caso, porque el uso incorrecto de las propiedades puede provocar una reducción del valor educativo y otros problemas. Estos puntos se analizan en detalle y con ejemplos en el artículo transformación de expresiones usando propiedades de potencias. Aquí nos limitaremos a considerar algunos ejemplos sencillos.

Ejemplo.

Expresa la expresión a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 como una potencia de base a.

Solución.

Primero, transformamos el segundo factor (a 2) −3 usando la propiedad de elevar una potencia a una potencia: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. La expresión de potencia original tomará la forma a 2,5 ·a −6:a −5,5. Obviamente, queda usar las propiedades de multiplicación y división de potencias con la misma base, tenemos
a 2.5 ·a −6:a −5.5 =
a 2.5−6:a −5.5 =a −3.5:a −5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Respuesta:

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 =a 2.

Las propiedades de las potencias al transformar expresiones de potencia se utilizan tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda.

Ejemplo.

Encuentra el valor de la expresión de potencia.

Solución.

La igualdad (a·b) r =a r ·b r, aplicada de derecha a izquierda, nos permite pasar de la expresión original a un producto de la forma y más. Y al multiplicar potencias con las mismas bases, los exponentes suman: .

Fue posible transformar la expresión original de otra forma:

Respuesta:

.

Ejemplo.

Dada la expresión de potencia a 1.5 −a 0.5 −6, introduce una nueva variable t=a 0.5.

Solución.

El grado a 1.5 se puede representar como a 0.5 3 y luego, con base en la propiedad del grado al grado (a r) s = a r s, aplicada de derecha a izquierda, transformarlo a la forma (a 0.5) 3. De este modo, a 1.5 −a 0.5 −6=(a 0.5) 3 −a 0.5 −6. Ahora es fácil introducir una nueva variable t=a 0.5, obtenemos t 3 −t−6.

Respuesta:

t3 −t−6 .

Convertir fracciones que contienen potencias

Las expresiones de potencias pueden contener o representar fracciones con potencias. Cualquiera de las transformaciones básicas de fracciones inherentes a fracciones de cualquier tipo es totalmente aplicable a dichas fracciones. Es decir, las fracciones que contienen potencias se pueden reducir, reducir a un nuevo denominador, trabajar por separado con su numerador y por separado con el denominador, etc. Para ilustrar estas palabras, considere soluciones a varios ejemplos.

Ejemplo.

Simplifique la expresión de poder .

Solución.

Esta expresión de potencia es una fracción. Trabajemos con su numerador y denominador. En el numerador abrimos los corchetes y simplificamos la expresión resultante usando las propiedades de las potencias, y en el denominador presentamos términos similares:

Y también cambiemos el signo del denominador poniendo un menos delante de la fracción: .

Respuesta:

.

La reducción de fracciones que contienen potencias a un nuevo denominador se lleva a cabo de manera similar a la reducción de fracciones racionales a un nuevo denominador. En este caso, también se encuentra un factor adicional y se multiplica por él el numerador y el denominador de la fracción. Al realizar esta acción conviene recordar que la reducción a un nuevo denominador puede provocar un estrechamiento del VA. Para evitar que esto suceda, es necesario que el factor adicional no llegue a cero para ningún valor de las variables de las variables ODZ para la expresión original.

Ejemplo.

Reducir las fracciones a un nuevo denominador: a) al denominador a, b) al denominador.

Solución.

a) En este caso, es bastante fácil determinar qué multiplicador adicional ayuda a lograr el resultado deseado. Este es un multiplicador de a 0,3, ya que a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Tenga en cuenta que en el rango de valores permitidos de la variable a (este es el conjunto de todos los números reales positivos), la potencia de a 0,3 no desaparece, por lo tanto, tenemos derecho a multiplicar el numerador y el denominador de un dado fracción por este factor adicional:

b) Observando más de cerca el denominador, encontrarás que

y multiplicar esta expresión por dará la suma de cubos y , es decir, . Y este es el nuevo denominador al que debemos reducir la fracción original.

Así encontramos un factor adicional. En el rango de valores permitidos de las variables x e y, la expresión no desaparece, por lo tanto, podemos multiplicar el numerador y denominador de la fracción por ella:

Respuesta:

A) , b) .

Tampoco hay nada nuevo en reducir fracciones que contienen potencias: el numerador y el denominador se representan como una serie de factores, y los mismos factores del numerador y el denominador se reducen.

Ejemplo.

Reducir la fracción: a) , b) .

Solución.

a) En primer lugar, el numerador y el denominador se pueden reducir por los números 30 y 45, que es igual a 15. Obviamente también es posible realizar una reducción de x 0,5 +1 y de . Esto es lo que tenemos:

b) En este caso, los factores idénticos en el numerador y el denominador no son inmediatamente visibles. Para obtenerlos, tendrás que realizar transformaciones preliminares. En este caso consisten en factorizar el denominador mediante la fórmula de diferencia de cuadrados:

Respuesta:

A)

b) .

La conversión de fracciones a un nuevo denominador y la reducción de fracciones se utilizan principalmente para hacer cosas con fracciones. Las acciones se realizan de acuerdo con reglas conocidas. Al sumar (restar) fracciones, se reducen a un denominador común, después de lo cual se suman (restan) los numeradores, pero el denominador sigue siendo el mismo. El resultado es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. La división por una fracción es la multiplicación por su inverso.

Ejemplo.

Sigue los pasos .

Solución.

Primero, restamos las fracciones entre paréntesis. Para ello, los llevamos a un denominador común, que es , después de lo cual restamos los numeradores:

Ahora multiplicamos las fracciones:

Obviamente, es posible reducir a una potencia de x 1/2, después de lo cual tenemos .

También puedes simplificar la expresión de potencia en el denominador usando la fórmula de diferencia de cuadrados: .

Respuesta:

Ejemplo.

Simplifique la expresión de poder .

Solución.

Obviamente, esta fracción se puede reducir en (x 2,7 +1) 2, esto da la fracción . Está claro que es necesario hacer algo más con los poderes de X. Para ello, transformamos la fracción resultante en un producto. Esto nos da la oportunidad de aprovechar la propiedad de dividir poderes con las mismas bases: . Y al final del proceso pasamos del último producto a la fracción.

Respuesta:

.

Y agreguemos también que es posible, y en muchos casos deseable, trasladar factores con exponentes negativos del numerador al denominador o del denominador al numerador, cambiando el signo del exponente. Estas transformaciones a menudo simplifican acciones futuras. Por ejemplo, una expresión de poder se puede reemplazar por .

Convertir expresiones con raíces y potencias.

A menudo, en expresiones en las que se requieren algunas transformaciones, junto con las potencias también están presentes raíces con exponentes fraccionarios. Para transformar una expresión de este tipo en la forma deseada, en la mayoría de los casos basta con acudir sólo a las raíces o sólo a las potencias. Pero como es más conveniente trabajar con potencias, normalmente pasan de las raíces a las potencias. Sin embargo, es aconsejable realizar dicha transición cuando la ODZ de variables para la expresión original permite reemplazar las raíces con potencias sin necesidad de consultar el módulo o dividir la ODZ en varios intervalos (discutimos esto en detalle en el artículo transición de raíces a potencias y viceversa Después de familiarizarse con el grado con exponente racional se introduce un grado con exponente irracional, lo que nos permite hablar de un grado con exponente real arbitrario. En esta etapa, la escuela comienza a estudiar funcion exponencial, que analíticamente está dado por una potencia, cuya base es un número y el exponente es una variable. Entonces nos enfrentamos a expresiones de potencia que contienen números en la base de la potencia y en el exponente, expresiones con variables y, naturalmente, surge la necesidad de realizar transformaciones de tales expresiones.

Cabe decir que la transformación de expresiones del tipo indicado normalmente hay que realizarla al resolver ecuaciones exponenciales Y desigualdades exponenciales , y estas conversiones son bastante simples. En la inmensa mayoría de los casos, se basan en las propiedades de la titulación y tienen como objetivo, en su mayor parte, introducir una nueva variable en el futuro. La ecuación nos permitirá demostrarlos. 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

En primer lugar, las potencias, en cuyos exponentes está la suma de una determinada variable (o expresión con variables) y un número, se sustituyen por productos. Esto se aplica al primer y último término de la expresión del lado izquierdo:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

A continuación, ambos lados de la igualdad se dividen por la expresión 7 2 x, que en la ODZ de la variable x para la ecuación original toma solo valores positivos (esta es una técnica estándar para resolver ecuaciones de este tipo, no estamos Hablando de eso ahora, así que concéntrese en las transformaciones posteriores de expresiones con potencias):

Ahora podemos cancelar fracciones con potencias, lo que da .

Finalmente, la relación de potencias con los mismos exponentes se reemplaza por potencias de relaciones, dando como resultado la ecuación , que es equivalente . Las transformaciones realizadas nos permiten introducir una nueva variable, que reduce la solución de la ecuación exponencial original a la solución de una ecuación cuadrática.

I. V. Boykov, L. D. Romanova Colección de tareas para la preparación del Examen Estatal Unificado. Parte 1. Penza 2003.

Una expresión literal (o expresión variable) es una expresión matemática que consta de números, letras y símbolos matemáticos. Por ejemplo, la siguiente expresión es literal:

a+b+4

Mediante el uso expresiones literales Puedes escribir leyes, fórmulas, ecuaciones y funciones. La capacidad de manipular expresiones de letras es la clave para un buen conocimiento de álgebra y matemáticas superiores.

Cualquier problema serio en matemáticas se reduce a resolver ecuaciones. Y para poder resolver ecuaciones, debes poder trabajar con expresiones literales.

Para trabajar con expresiones literales, es necesario conocer bien la aritmética básica: suma, resta, multiplicación, división, leyes básicas de las matemáticas, fracciones, operaciones con fracciones, proporciones. Y no sólo estudiar, sino comprender a fondo.

Contenido de la lección

variables

Las letras que están contenidas en expresiones literales se llaman variables. Por ejemplo, en la expresión a+b+ 4 variables son letras a Y b. Si sustituimos cualquier número en lugar de estas variables, entonces la expresión literal a+b+ 4 se convertirá en una expresión numérica cuyo valor se puede encontrar.

Los números que sustituyen a las variables se llaman valores de variables. Por ejemplo, cambiemos los valores de las variables. a Y b. El signo igual se utiliza para cambiar valores.

un = 2, segundo = 3

Hemos cambiado los valores de las variables. a Y b. Variable a asignado un valor 2 , variable b asignado un valor 3 . Como resultado, la expresión literal a+b+4 se convierte en una expresión numérica regular 2+3+4 cuyo valor se puede encontrar:

Cuando las variables se multiplican, se escriben juntas. Por ejemplo, registrar ab significa lo mismo que la entrada a×b. Si sustituimos las variables a Y b números 2 Y 3 , entonces obtenemos 6

También podéis escribir juntos la multiplicación de un número por una expresión entre paréntesis. Por ejemplo, en lugar de a×(b + c) se puede escribir a(b+c). Aplicando la ley de distribución de la multiplicación, obtenemos a(b + c)=ab+ac.

Impares

En las expresiones literales a menudo se puede encontrar una notación en la que un número y una variable se escriben juntos, por ejemplo 3a. En realidad, esta es una abreviatura de multiplicar el número 3 por una variable. a y esta entrada parece 3×a .

En otras palabras, la expresión 3a es el producto del número 3 y la variable a. Número 3 en este trabajo lo llaman coeficiente. Este coeficiente muestra cuántas veces se incrementará la variable. a. Esta expresión se puede leer como " a tres veces" o "tres veces A", o "aumentar el valor de una variable a tres veces", pero más a menudo se lee como "tres a«

Por ejemplo, si la variable a igual a 5 , entonces el valor de la expresión 3a será igual a 15.

3 × 5 = 15

En términos simples, el coeficiente es el número que aparece antes de la letra (antes de la variable).

Puede haber varias letras, por ejemplo. 5abc. Aquí el coeficiente es el número. 5 . Este coeficiente muestra que el producto de variables a B C aumenta cinco veces. Esta expresión se puede leer como " a B C cinco veces" o "aumentar el valor de la expresión a B C cinco veces" o "cinco a B C «.

Si en lugar de variables a B C sustituye los números 2, 3 y 4, luego el valor de la expresión 5abc será igual 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Puedes imaginar mentalmente cómo se multiplicaron por primera vez los números 2, 3 y 4 y el valor resultante se quintuplicó:

El signo del coeficiente se refiere únicamente al coeficiente y no se aplica a las variables.

Considere la expresión −6b. Menos antes del coeficiente 6 , se aplica sólo al coeficiente 6 , y no pertenece a la variable b. Comprender este hecho le permitirá no cometer errores en el futuro con las señales.

Encontremos el valor de la expresión. −6b en segundo = 3.

−6b −6×b. Para mayor claridad, escribamos la expresión −6b en forma expandida y sustituir el valor de la variable b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Ejemplo 2. Encuentra el valor de una expresión. −6b en segundo = −5

Escribamos la expresión. −6b en forma expandida

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Ejemplo 3. Encuentra el valor de una expresión. −5a+b en un = 3 Y segundo = 2

−5a+b esta es una forma corta para −5 × a + b, entonces para mayor claridad escribimos la expresión −5×a+b en forma expandida y sustituir los valores de las variables a Y b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

A veces las letras se escriben sin coeficiente, por ejemplo a o ab. En este caso, el coeficiente es la unidad:

pero tradicionalmente la unidad no se escribe, por lo que simplemente escriben a o ab

Si hay un menos antes de la letra, entonces el coeficiente es un número −1 . Por ejemplo, la expresión −un en realidad parece −1a. Este es el producto de menos uno y la variable. a. Resultó así:

−1 × a = −1a

Aquí hay un pequeño inconveniente. en expresión −un signo menos delante de la variable a en realidad se refiere a una "unidad invisible" en lugar de una variable a. Por lo tanto, debes tener cuidado al resolver problemas.

Por ejemplo, si se le da la expresión −un y se nos pide encontrar su valor en un = 2, luego en la escuela sustituimos un dos en lugar de una variable a y recibi una respuesta −2 , sin centrarse demasiado en cómo quedó. De hecho, menos uno se multiplicó por el número positivo 2.

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Si se le da la expresión −un y necesitas encontrar su valor en un = −2, entonces sustituimos −2 en lugar de una variable a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Para evitar errores, al principio las unidades invisibles se pueden escribir explícitamente.

Ejemplo 4. Encuentra el valor de una expresión. a B C en un=2 , segundo=3 Y c=4

Expresión a B C 1×a×b×c. Para mayor claridad, escribamos la expresión a B C a, b Y C

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Ejemplo 5. Encuentra el valor de una expresión. a B C en a=-2, b=-3 Y c=-4

Escribamos la expresión. a B C en forma expandida y sustituir los valores de las variables a, b Y C

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Ejemplo 6. Encuentra el valor de una expresión. − a B C en a=3, b=5 yc=7

Expresión − a B C esta es una forma corta para −1×a×b×c. Para mayor claridad, escribamos la expresión − a B C en forma expandida y sustituir los valores de las variables a, b Y C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Ejemplo 7. Encuentra el valor de una expresión. − a B C en a=−2, b=−4 yc=−3

Escribamos la expresión. − a B C en forma ampliada:

−abc = −1 × a × b × c

Sustituyamos los valores de las variables. a , b Y C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Cómo determinar el coeficiente

A veces necesitas resolver un problema en el que necesitas determinar el coeficiente de una expresión. En principio, esta tarea es muy sencilla. Basta con saber multiplicar números correctamente.

Para determinar el coeficiente en una expresión, debe multiplicar por separado los números incluidos en esta expresión y multiplicar las letras por separado. El factor numérico resultante será el coeficiente.

Ejemplo 1. 7m×5a×(-3)×n

La expresión consta de varios factores. Esto se puede ver claramente si escribes la expresión en forma desarrollada. Es decir, funciona 7m Y 5a escríbelo en el formulario 7×m Y 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Apliquemos la ley asociativa de la multiplicación, que permite multiplicar factores en cualquier orden. Es decir, multiplicaremos los números por separado y multiplicaremos las letras (variables) por separado:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105hombre

El coeficiente es −105 . Una vez finalizada, es recomendable organizar la parte de las letras en orden alfabético:

−105 am

Ejemplo 2. Determine el coeficiente en la expresión: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

El coeficiente es 6.

Ejemplo 3. Determine el coeficiente en la expresión:

Multipliquemos números y letras por separado:

El coeficiente es −1. Tenga en cuenta que la unidad no está escrita, ya que es costumbre no escribir el coeficiente 1.

Estas tareas aparentemente más simples pueden jugarnos una broma muy cruel. A menudo resulta que el signo del coeficiente está configurado incorrectamente: falta el menos o, por el contrario, se estableció en vano. Para evitar estos molestos errores hay que estudiarlo a buen nivel.

Sumas en expresiones literales

Al sumar varios números se obtiene la suma de estos números. Los números que se suman se llaman sumandos. Puede haber varios términos, por ejemplo:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Cuando una expresión consta de términos, es mucho más fácil de evaluar porque sumar es más fácil que restar. Pero la expresión puede contener no solo suma, sino también resta, por ejemplo:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

En esta expresión, los números 3 y 5 son sustraendos, no sumandos. Pero nada nos impide sustituir la resta por la suma. Luego obtenemos nuevamente una expresión que consta de términos:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

No importa que los números −3 y −5 ahora tengan un signo menos. Lo principal es que todos los números en esta expresión están conectados por un signo de suma, es decir, la expresión es una suma.

Ambas expresiones 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Y 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) igual al mismo valor - menos uno

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Por lo tanto, el significado de la expresión no se verá afectado si reemplazamos la resta con la suma en alguna parte.

También puedes reemplazar la resta con la suma en expresiones literales. Por ejemplo, considere la siguiente expresión:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Para cualquier valor de variable. a B C D Y s expresiones 7a + 6b - 3c + 2d - 4s Y 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) será igual al mismo valor.

Debes estar preparado para el hecho de que un profesor de escuela o un profesor de instituto pueda llamar números pares (o variables) que no sean sumandos.

Por ejemplo, si la diferencia está escrita en la pizarra un - segundo, entonces el profesor no dirá eso a es un minuendo, y b- restable. Llamará a ambas variables con una palabra común: términos. Y todo porque la expresión de la forma. un - segundo el matemático ve cómo la suma a+(-b). En este caso, la expresión se convierte en una suma y las variables a Y (-b) convertirse en términos.

Términos similares

Términos similares- estos son términos que tienen la misma parte de letras. Por ejemplo, considere la expresión 7a + 6b + 2a. Componentes 7a Y 2a tener la misma parte de letra - variable a. Entonces los términos 7a Y 2a son similares.

Normalmente, se agregan términos similares para simplificar una expresión o resolver una ecuación. Esta operación se llama trayendo términos similares.

Para obtener términos similares, debe sumar los coeficientes de estos términos y multiplicar el resultado por la parte de letras común.

Por ejemplo, presentemos términos similares en la expresión 3a + 4a + 5a. En este caso, todos los términos son similares. Sumemos sus coeficientes y multipliquemos el resultado por la parte de letras común, por la variable. a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Generalmente se recuerdan términos similares y el resultado se anota inmediatamente:

3a + 4a + 5a = 12a

Además, se puede razonar de la siguiente manera:

Había 3 variables a, se les agregaron 4 variables a más y 5 variables a más. Como resultado, obtuvimos 12 variables por

Veamos varios ejemplos de cómo traer términos similares. Teniendo en cuenta que este tema Es muy importante, al principio anotaremos cada pequeño detalle detalladamente. Aunque aquí todo es muy sencillo, la mayoría de la gente comete muchos errores. Principalmente por falta de atención, no por desconocimiento.

Ejemplo 1. 3un+ 2un+ 6un+ 8a

Sumemos los coeficientes de esta expresión y multipliquemos el resultado resultante por la parte de letras común:

3un+ 2un+ 6un+ 8un =(3 + 2 + 6 + 8)× un = 19a

Construcción (3+2+6+8) × un No es necesario que lo escribas, así que escribiremos la respuesta de inmediato.

3 un+ 2 un+ 6 un+ 8 un = 19 a

Ejemplo 2. Dar términos similares en la expresión. 2a+a

Segundo período a escrito sin coeficiente, pero en realidad hay un coeficiente delante 1 , que no vemos porque no está grabado. Entonces la expresión se ve así:

2a + 1a

Ahora presentemos términos similares. Es decir, sumamos los coeficientes y multiplicamos el resultado por la parte de letras común:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Anotemos brevemente la solución:

2a + a = 3a

2a+a, puedes pensar diferente:

Ejemplo 3. Dar términos similares en la expresión. 2a-a

Reemplacemos la resta con la suma:

2a + (-a)

Segundo período (-un) escrito sin coeficiente, pero en realidad parece (-1a). Coeficiente −1 nuevamente invisible debido a que no está registrado. Entonces la expresión se ve así:

2a + (-1a)

Ahora presentemos términos similares. Sumemos los coeficientes y multipliquemos el resultado por la parte de letras común:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Generalmente escrito más corto:

2a - una = una

Dando términos similares en la expresión. 2a-a Puedes pensar diferente:

Había 2 variables a, restamos una variable a, y como resultado solo quedó una variable a

Ejemplo 4. Dar términos similares en la expresión. 6a-3a + 4a-8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Ahora presentemos términos similares. Sumemos los coeficientes y multipliquemos el resultado por la parte total de letras.

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Anotemos brevemente la solución:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Hay expresiones que contienen varios grupos diferentes de términos similares. Por ejemplo, 3a + 3b + 7a + 2b. Para tales expresiones se aplican las mismas reglas que para las demás, es decir, sumar los coeficientes y multiplicar el resultado por la parte común de las letras. Pero para evitar errores conviene resaltar distintos grupos de términos con líneas diferentes.

Por ejemplo, en la expresión 3a + 3b + 7a + 2b aquellos términos que contienen una variable a, se pueden subrayar con una línea, y aquellos términos que contengan una variable b, se puede enfatizar con dos líneas:

Ahora podemos presentar términos similares. Es decir, suma los coeficientes y multiplica el resultado resultante por la parte total de letras. Esto debe hacerse para ambos grupos de términos: para términos que contienen una variable a y para términos que contienen una variable b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Nuevamente, repetimos, la expresión es simple y se pueden tener en cuenta términos similares:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Ejemplo 5. Dar términos similares en la expresión. 5a − 6a −7b + segundo

Reemplacemos la resta con la suma cuando sea posible:

5a − 6a −7b + segundo = 5a + (−6a) + (−7b) + segundo

Subrayemos términos similares con líneas diferentes. Términos que contienen variables a subrayamos con una línea, y los términos que contienen variables b, subrayado con dos líneas:

Ahora podemos presentar términos similares. Es decir, suma los coeficientes y multiplica el resultado resultante por la parte de letras común:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Si la expresión contiene números ordinarios sin factores de letras, se suman por separado.

Ejemplo 6. Dar términos similares en la expresión. 4a + 3a - 5 + 2b + 7

Reemplacemos la resta con la suma cuando sea posible:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Presentemos términos similares. Números −5 Y 7 no tienen factores de letras, pero son términos similares; solo es necesario sumarlos. y el término 2b permanecerá sin cambios, ya que es el único en esta expresión que tiene un factor de letra b, y no hay nada con qué agregarlo:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Anotemos brevemente la solución:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Los términos se pueden ordenar de manera que aquellos términos que tengan la misma parte de letras queden ubicados en la misma parte de la expresión.

Ejemplo 7. Dar términos similares en la expresión. 5t+2x+3x+5t+x

Dado que la expresión es una suma de varios términos, esto nos permite evaluarla en cualquier orden. Por lo tanto, los términos que contienen la variable t, se puede escribir al principio de la expresión, y los términos que contienen la variable X al final de la expresión:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Ahora podemos presentar términos similares:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Anotemos brevemente la solución:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

La suma de los números opuestos es cero. Esta regla también funciona para expresiones literales. Si la expresión contiene términos idénticos, pero con signos opuestos, puede deshacerse de ellos en la etapa de reducción de términos similares. En otras palabras, simplemente elimínelos de la expresión, ya que su suma es cero.

Ejemplo 8. Dar términos similares en la expresión. 3t - 4t - 3t + 2t

Reemplacemos la resta con la suma cuando sea posible:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Componentes 3t Y (-3t) son opuestos. La suma de los términos opuestos es cero. Si eliminamos este cero de la expresión, el valor de la expresión no cambiará, por lo que lo eliminaremos. Y lo eliminaremos simplemente tachando los términos. 3t Y (-3t)

Como resultado, nos quedará la expresión (−4t) + 2t. En esta expresión, puedes agregar términos similares y obtener la respuesta final:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Anotemos brevemente la solución:

Simplificar expresiones

"simplifica la expresión" y debajo está la expresión que necesita ser simplificada. Simplificar una expresión significa hacerlo más simple y más corto.

De hecho, ya hemos estado simplificando expresiones cuando reducimos fracciones. Después de la reducción, la fracción se volvió más corta y más fácil de entender.

Considere el siguiente ejemplo. Simplifica la expresión.

Esta tarea se puede entender literalmente de la siguiente manera: "Aplique cualquier acción válida a esta expresión, pero hágala más simple". .

En este caso, puedes reducir la fracción, es decir, dividir el numerador y el denominador de la fracción entre 2:

¿Qué más puedes hacer? Puedes calcular la fracción resultante. Luego obtenemos la fracción decimal 0,5.

Como resultado, la fracción se simplificó a 0,5.

La primera pregunta que debe hacerse al resolver este tipo de problemas debe ser "¿Qué se puede hacer?" . Porque hay acciones que puedes hacer y hay acciones que no puedes hacer.

Otro punto importante a recordar es que el significado de la expresión no debe cambiar después de simplificarla. Volvamos a la expresión. Esta expresión representa una división que se puede realizar. Habiendo realizado esta división, obtenemos el valor de esta expresión, que es igual a 0,5

Pero simplificamos la expresión y obtuvimos una nueva expresión simplificada. El valor de la nueva expresión simplificada sigue siendo 0,5.

Pero también intentamos simplificar la expresión calculándola. Como resultado, recibimos una respuesta final de 0,5.

Por lo tanto, no importa cómo simplifiquemos la expresión, el valor de las expresiones resultantes sigue siendo igual a 0,5. Esto significa que la simplificación se llevó a cabo correctamente en cada etapa. Esto es exactamente por lo que debemos esforzarnos al simplificar expresiones: el significado de la expresión no debe verse afectado por nuestras acciones.

A menudo es necesario simplificar expresiones literales. Se les aplican las mismas reglas de simplificación que para las expresiones numéricas. Puede realizar cualquier acción válida, siempre que el valor de la expresión no cambie.

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1. Simplificar una expresión 5,21 s × t × 2,5

Para simplificar esta expresión, puedes multiplicar los números por separado y multiplicar las letras por separado. Esta tarea es muy similar a la que vimos cuando aprendimos a determinar el coeficiente:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Entonces la expresión 5,21 s × t × 2,5 simplificado a 13.025º.

Ejemplo 2. Simplificar una expresión −0,4 × (−6,3b) × 2

Segunda pieza (-6,3b) se puede traducir a una forma comprensible para nosotros, es decir, escrito en la forma ( −6,3)×b , luego multiplica los números por separado y multiplica las letras por separado:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Entonces la expresión −0,4 × (−6,3b) × 2 simplificado a 5.04b

Ejemplo 3. Simplificar una expresión

Escribamos esta expresión con más detalle para ver claramente dónde están los números y dónde están las letras:

Ahora multipliquemos los números por separado y multipliquemos las letras por separado:

Entonces la expresión simplificado a −abc. Esta solución se puede escribir brevemente:

Al simplificar expresiones, las fracciones se pueden reducir durante el proceso de solución, y no al final, como hicimos con las fracciones ordinarias. Por ejemplo, si durante la resolución nos encontramos con una expresión de la forma , entonces no es necesario calcular el numerador y el denominador y hacer algo como esto:

Una fracción se puede reducir seleccionando un factor tanto en el numerador como en el denominador y reduciendo estos factores por su máximo común divisor. Es decir, uso en el que no describimos detalladamente en qué se dividían el numerador y el denominador.

Por ejemplo, en el numerador el factor es 12 y en el denominador el factor 4 se puede reducir a 4. Mantenemos el cuatro en nuestra mente, y dividiendo 12 y 4 entre este cuatro, anotamos las respuestas al lado de estos números, habiéndolos tachado primero

Ahora puedes multiplicar los pequeños factores resultantes. En este caso son pocos y puedes multiplicarlos mentalmente:

Con el tiempo, es posible que al resolver un problema en particular las expresiones comiencen a “engordar”, por lo que es recomendable acostumbrarse a los cálculos rápidos. Lo que se puede calcular en la mente debe calcularse en la mente. Lo que puede reducirse rápidamente debe reducirse rápidamente.

Ejemplo 4. Simplificar una expresión

Entonces la expresión simplificado a

Ejemplo 5. Simplificar una expresión

Multipliquemos los números por separado y las letras por separado:

Entonces la expresión simplificado a Minnesota.

Ejemplo 6. Simplificar una expresión

Escribamos esta expresión con más detalle para ver claramente dónde están los números y dónde están las letras:

Ahora multipliquemos los números por separado y las letras por separado. Para facilitar el cálculo, la fracción decimal −6,4 y un número mixto se pueden convertir en fracciones ordinarias:

Entonces la expresión simplificado a

La solución para este ejemplo se puede escribir mucho más breve. Se verá así:

Ejemplo 7. Simplificar una expresión

Multipliquemos números por separado y letras por separado. Para facilitar el cálculo, los números mixtos y las fracciones decimales 0,1 y 0,6 se pueden convertir a fracciones ordinarias:

Entonces la expresión simplificado a a B C D. Si omite los detalles, esta solución se puede escribir mucho más breve:

Observa cómo se ha reducido la fracción. También se permite reducir los nuevos factores que se obtienen como resultado de la reducción de factores anteriores.

Ahora hablemos de qué no hacer. Al simplificar expresiones, está estrictamente prohibido multiplicar números y letras si la expresión es una suma y no un producto.

Por ejemplo, si quieres simplificar la expresión 5a+4b, entonces no puedes escribirlo así:

Esto es lo mismo que si nos pidieran sumar dos números y los multiplicamos en lugar de sumarlos.

Al sustituir cualquier valor de variable a Y b expresión 5a+4b se convierte en una expresión numérica ordinaria. Supongamos que las variables a Y b tienen los siguientes significados:

a = 2, b = 3

Entonces el valor de la expresión será igual a 22.

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Primero se realiza la multiplicación y luego se suman los resultados. Y si intentáramos simplificar esta expresión multiplicando números y letras, obtendríamos lo siguiente:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Resulta un significado completamente diferente de la expresión. En el primer caso funcionó 22 , en el segundo caso 120 . Esto significa que simplificando la expresión 5a+4b se realizó incorrectamente.

Después de simplificar la expresión, su valor no debería cambiar con los mismos valores de las variables. Si, al sustituir cualquier valor de variable en la expresión original, se obtiene un valor, luego de simplificar la expresión, se debe obtener el mismo valor que antes de la simplificación.

Con expresión 5a+4b Realmente no hay nada que puedas hacer. No lo simplifica.

Si una expresión contiene términos similares, entonces se pueden agregar si nuestro objetivo es simplificar la expresión.

Ejemplo 8. Simplificar una expresión 0.3a−0.4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

o más corto: 0,3a − 0,4a + una = 0.9a

Entonces la expresión 0.3a−0.4a+a simplificado a 0.9a

Ejemplo 9. Simplificar una expresión −7,5a − 2,5b + 4a

Para simplificar esta expresión, podemos agregar términos similares:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

o más corto −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Término (-2,5 mil millones) permaneció sin cambios porque no había nada con qué ponerlo.

Ejemplo 10. Simplificar una expresión

Para simplificar esta expresión, podemos agregar términos similares:

El coeficiente fue para facilitar el cálculo.

Entonces la expresión simplificado a

Ejemplo 11. Simplificar una expresión

Para simplificar esta expresión, podemos agregar términos similares:

Entonces la expresión simplificado a .

EN en este ejemplo Sería más apropiado sumar primero el primer y el último coeficiente. En este caso tendríamos una solución corta. Se vería así:

Ejemplo 12. Simplificar una expresión

Para simplificar esta expresión, podemos agregar términos similares:

Entonces la expresión simplificado a .

El término se mantuvo sin cambios, ya que no había nada que agregarle.

Esta solución se puede escribir mucho más breve. Se verá así:

La solución corta omitió los pasos de reemplazar la resta con la suma y detallar cómo se redujeron las fracciones a un denominador común.

Otra diferencia es que en la solución detallada la respuesta se ve así , pero en resumen como . De hecho, son la misma expresión. La diferencia es que en el primer caso, la resta se reemplaza por la suma, porque al principio, cuando escribimos la solución en forma detallada, reemplazamos la resta por la suma siempre que fue posible, y este reemplazo se conservó para la respuesta.

Identidades. Expresiones idénticamente iguales

Una vez que hemos simplificado cualquier expresión, se vuelve más simple y corta. Para comprobar si la expresión simplificada es correcta, basta con sustituir cualquier valor de variable primero en la expresión anterior que debía simplificarse y luego en la nueva que se simplificó. Si el valor en ambas expresiones es el mismo, entonces la expresión simplificada es verdadera.

Veamos un ejemplo sencillo. Sea necesario simplificar la expresión. 2a×7b. Para simplificar esta expresión, puedes multiplicar números y letras por separado:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Comprobemos si simplificamos la expresión correctamente. Para hacer esto, sustituyamos cualquier valor de las variables. a Y b primero en la primera expresión que necesitaba simplificarse, y luego en la segunda, que estaba simplificada.

Deja que los valores de las variables. a , b será el siguiente:

a = 4, b = 5

Sustituyémoslos en la primera expresión. 2a×7b

Ahora sustituyamos los mismos valores de variables en la expresión resultante de la simplificación. 2a×7b, concretamente en la expresión 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Vemos que cuando un=4 Y b=5 valor de la primera expresión 2a×7b y el significado de la segunda expresión 14ab igual

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Lo mismo ocurrirá con cualquier otro valor. Por ejemplo, dejemos un=1 Y segundo=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Así, para cualquier valor de las variables de expresión. 2a×7b Y 14ab son iguales al mismo valor. Este tipo de expresiones se denominan idénticamente igual.

Concluimos que entre las expresiones 2a×7b Y 14ab puedes ponerle signo igual porque son iguales al mismo valor.

2a × 7b = 14ab

Una igualdad es cualquier expresión que esté conectada por un signo igual (=).

Y la igualdad de la forma. 2a×7b = 14ab llamado identidad.

Una identidad es una igualdad que es verdadera para cualquier valor de las variables.

Otros ejemplos de identidades:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ca

a(bc) = (ab)c

Sí, las leyes de las matemáticas que estudiamos son identidades.

Las verdaderas igualdades numéricas también son identidades. Por ejemplo:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Al resolver un problema complejo, para facilitar el cálculo, se reemplaza la expresión compleja por una expresión más simple que es idénticamente igual a la anterior. Este reemplazo se llama transformación idéntica de la expresión o simplemente transformando la expresión.

Por ejemplo, simplificamos la expresión. 2a×7b y obtuve una expresión más simple 14ab. Esta simplificación se puede llamar transformación de identidad.

A menudo puedes encontrar una tarea que dice "demostrar que la igualdad es una identidad" y luego se da la igualdad que hay que demostrar. Por lo general, esta igualdad consta de dos partes: las partes izquierda y derecha de la igualdad. Nuestra tarea es realizar transformaciones de identidad con una de las partes de la igualdad y obtener la otra parte. O realice transformaciones idénticas en ambos lados de la igualdad y asegúrese de que ambos lados de la igualdad contengan las mismas expresiones.

Por ejemplo, demostremos que la igualdad 0,5a × 5b = 2,5ab es una identidad.

Simplifiquemos el lado izquierdo de esta igualdad. Para ello, multiplica los números y las letras por separado:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5 ab = 2,5 ab

Como resultado de una pequeña transformación de identidad, el lado izquierdo de la igualdad se volvió igual al lado derecho de la igualdad. Entonces hemos demostrado que la igualdad 0,5a × 5b = 2,5ab es una identidad.

A partir de transformaciones idénticas aprendimos a sumar, restar, multiplicar y dividir números, reducir fracciones, sumar términos semejantes y también simplificar algunas expresiones.

Pero no todas las transformaciones que existen en matemáticas son idénticas. Hay muchas más transformaciones idénticas. Veremos esto más de una vez en el futuro.

Tareas para solución independiente:

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Programa del curso optativo “Conversión de expresiones numéricas y alfabéticas”

Nota explicativa

EN últimos años La calidad de la educación matemática escolar se verifica mediante MMC, cuya mayor parte de las tareas se ofrecen en forma de prueba. Esta forma de prueba se diferencia del examen clásico y requiere una preparación específica. Una característica de las pruebas en la forma que se ha desarrollado hasta la fecha es la necesidad de responder a un gran número de preguntas en un período de tiempo limitado, es decir Se requiere no sólo responder correctamente a las preguntas planteadas, sino también hacerlo con la suficiente rapidez. Por lo tanto, es importante que los estudiantes dominen diversas técnicas y métodos que les permitan lograr el resultado deseado.

Al resolver casi cualquier problema matemático escolar, es necesario realizar algunas transformaciones. A menudo, su complejidad está enteramente determinada por el grado de complejidad y la cantidad de transformación que debe realizarse. No es raro que un estudiante no pueda resolver un problema, no porque no sepa cómo se resuelve, sino porque no puede realizar todas las transformaciones y cálculos necesarios en el tiempo asignado sin cometer errores.

Los ejemplos de conversión de expresiones numéricas son importantes no en sí mismos, sino como medio para desarrollar técnicas de conversión. Con cada año de escolaridad, el concepto de número se expande de natural a real, y en la escuela secundaria se estudian transformaciones de potencia, expresiones logarítmicas y trigonométricas. Este material es bastante difícil de estudiar, ya que contiene muchas fórmulas y reglas de transformación.

Para simplificar una expresión, realizar las acciones requeridas o calcular el valor de una expresión, necesita saber en qué dirección debe "moverse" a lo largo del camino de transformaciones que conducen a la respuesta correcta por la "ruta" más corta. La elección de un camino racional depende en gran medida de la posesión de todo el volumen de información sobre los métodos de transformación de expresiones.

En la escuela secundaria existe la necesidad de sistematizar y profundizar conocimientos y habilidades prácticas en el trabajo con expresiones numéricas. Las estadísticas muestran que alrededor del 30% de los errores cometidos al postularse a las universidades son de naturaleza computacional. Por lo tanto, al considerar temas relevantes en la escuela media y al repetirlos en la escuela secundaria, es necesario prestar más atención al desarrollo de las habilidades informáticas en los escolares.

Por lo tanto, para ayudar a los profesores que enseñan en el 11º grado de una escuela especializada, podemos ofrecer curso electivo"Convertir expresiones numéricas y alfabéticas en curso escolar matemáticas."

Grados:== 11

Tipo de curso optativo:

Curso sistematizador, generalizador y de profundización.

Número de horas:

34 (por semana – 1 hora)

Área educativa:

matemáticas

Metas y objetivos del curso:

Sistematización, generalización y ampliación del conocimiento de los estudiantes sobre los números y operaciones con ellos; - formación de interés por el proceso informático; - desarrollo de la independencia, el pensamiento creativo y el interés cognitivo de los estudiantes; - adaptación de los estudiantes a las nuevas normas de admisión a las universidades.

Organización del estudio del curso.

El curso optativo “Conversión de expresiones numéricas y alfabéticas” amplía y profundiza el plan de estudios básico de matemáticas en escuela secundaria y está diseñado para estudiar en el 11º grado. El curso propuesto tiene como objetivo desarrollar habilidades computacionales y agudeza de pensamiento. El curso está estructurado según un plan de lecciones clásico, con énfasis en ejercicios prácticos. Está diseñado para estudiantes con un nivel alto o medio de preparación matemática y está diseñado para ayudarlos a prepararse para la admisión a las universidades y facilitar la continuación de una educación matemática seria.

Resultados previstos:

Conocimiento de la clasificación de números;

Mejorar las habilidades y destrezas de conteo rápido;

Capacidad para utilizar herramientas matemáticas al resolver diversos problemas;

Desarrollo pensamiento lógico, promoviendo la continuación de una educación matemática seria.

Contenidos de la asignatura optativa “Transformación de expresiones numéricas y alfabéticas”

Números enteros (4h): Serie numérica. Teorema fundamental de la aritmética. GCD y NOC. Signos de divisibilidad. Método de inducción matemática.

Números racionales (2h): Definición de número racional. La propiedad principal de una fracción. Fórmulas de multiplicación abreviadas. Definición de fracción periódica. La regla para convertir de una fracción periódica decimal a una fracción ordinaria.

Numeros irracionales. Radicales. Grados. Logaritmos (6h): Definición de un número irracional. Prueba de la irracionalidad de un número. Deshacerse de la irracionalidad en el denominador. Numeros reales. Propiedades de grado. Propiedades de una raíz aritmética enésimo grado. Definición de logaritmo. Propiedades de los logaritmos.

Funciones trigonométricas (4h): Círculo numérico. Valores numéricos Funciones trigonométricas de ángulos básicos. Convertir valores de ángulos de medida de grado a radianes y viceversa. Fórmulas trigonométricas básicas. Fórmulas de reducción. Funciones trigonométricas inversas. Operaciones trigonométricas sobre funciones de arco. Relaciones básicas entre funciones de arco.

Números complejos (2h): El concepto de número complejo. Acciones con números complejos. Formas trigonométricas y exponenciales de números complejos.

Prueba intermedia (2h)

Comparación de expresiones numéricas (4h): Desigualdades numéricas sobre el conjunto de los números reales. Propiedades de las desigualdades numéricas. Apoyar las desigualdades. Métodos para demostrar desigualdades numéricas.

Expresiones literales (8h): Reglas para convertir expresiones con variables: polinomios; fracciones algebraicas; expresiones irracionales; expresiones trigonométricas y otras. Pruebas de identidades y desigualdades. Simplificando expresiones.

Plan educativo y temático.

El plan es válido por 34 horas. Está diseñado teniendo en cuenta el tema de la tesis, por lo que se consideran dos partes separadas: expresiones numéricas y alfabéticas. A criterio del profesor, se podrán considerar expresiones alfabéticas junto con expresiones numéricas en los temas apropiados.

№	Tema de la lección	Número de horas
1.1	números enteros	2
1.2	Método de inducción matemática.	2
2.1	Numeros racionales	1
2.2	Fracciones periódicas decimales	1
3.1	Numeros irracionales	2
3.2	Raíces y grados	2
3.3	Logaritmos	2
4.1	Funciones trigonométricas	2
4.2	Funciones trigonométricas inversas	2
5	Números complejos	2
	Prueba sobre el tema "Expresiones numéricas".	2
6	Comparar expresiones numéricas	4
7.1	Convertir expresiones con radicales	2
7.2	Conversión de expresiones de potencia y logarítmicas	2
7.3	Convertir expresiones trigonométricas	2
	Examen final	2
	Total	34

Escribir las condiciones de los problemas utilizando la notación aceptada en matemáticas conduce a la aparición de las llamadas expresiones matemáticas, que simplemente se denominan expresiones. En este artículo hablaremos en detalle sobre expresiones numéricas, alfabéticas y variables: daremos definiciones y daremos ejemplos de expresiones de cada tipo.

Navegación de páginas.

Expresiones numéricas: ¿qué son?

El conocimiento de las expresiones numéricas comienza casi desde las primeras lecciones de matemáticas. Pero oficialmente adquieren su nombre (expresiones numéricas) un poco más tarde. Por ejemplo, si sigues el curso de M.I. Moro, esto sucede en las páginas de un libro de texto de matemáticas de segundo grado. Allí, la idea de expresiones numéricas se da de la siguiente manera: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1, etc. - esto es todo expresiones numéricas, y si realizamos las acciones indicadas en la expresión, encontraremos valor de expresión.

Podemos concluir que en esta etapa del estudio de las matemáticas las expresiones numéricas son registros con un significado matemático formado por números, paréntesis y signos de suma y resta.

Un poco más tarde, tras familiarizarse con la multiplicación y la división, los registros de expresiones numéricas empiezan a contener los signos “·” y “:”. Pongamos algunos ejemplos: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3, etc.

Y en la escuela secundaria, la variedad de grabaciones de expresiones numéricas crece como una bola de nieve que rueda montaña abajo. Contienen fracciones ordinarias y decimales, números mixtos y números negativos, potencias, raíces, logaritmos, senos, cosenos, etc.

Resumamos toda la información en la definición de una expresión numérica:

Definición.

expresión numérica- es una combinación de números, signos operaciones aritmeticas, líneas fraccionarias, signos de raíz (radicales), logaritmos, notaciones para funciones trigonométricas, trigonométricas inversas y otras, así como paréntesis y otros símbolos matemáticos especiales, compilados de acuerdo con las reglas aceptadas en matemáticas.

Expliquemos todos los componentes de la definición establecida.

Las expresiones numéricas pueden implicar absolutamente cualquier número: desde natural hasta real, e incluso complejo. Es decir, en expresiones numéricas se puede encontrar

Con los signos de las operaciones aritméticas, todo está claro: estos son los signos de suma, resta, multiplicación y división, que tienen respectivamente la forma "+", "-", "·" y ":". Las expresiones numéricas pueden contener uno de estos signos, algunos de ellos o todos a la vez, o incluso varias veces. Aquí hay ejemplos de expresiones numéricas con ellos: 3+6, 2.2+3.3+4.4+5.5, 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

En cuanto a los paréntesis, existen tanto expresiones numéricas que contienen paréntesis como expresiones sin ellos. Si hay paréntesis en una expresión numérica, entonces son básicamente

Y a veces los corchetes en expresiones numéricas tienen algún propósito especial específico, indicado por separado. Por ejemplo, puede encontrar corchetes que denotan la parte entera de un número, por lo que la expresión numérica +2 significa que el número 2 se suma a la parte entera del número 1,75.

De la definición de una expresión numérica también queda claro que la expresión puede contener notaciones , , log , ln , lg , etc. Aquí hay ejemplos de expresiones numéricas con ellos: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 y .

La división en expresiones numéricas se puede indicar con . En este caso se producen expresiones numéricas con fracciones. Aquí hay ejemplos de tales expresiones: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 y .

Como símbolos y notaciones matemáticas especiales que se pueden encontrar en expresiones numéricas, presentamos. Por ejemplo, mostremos una expresión numérica con el módulo .

¿Qué son las expresiones literales?

El concepto de expresiones alfabéticas se da casi inmediatamente después de familiarizarse con las expresiones numéricas. Se ingresa aproximadamente así. En una determinada expresión numérica no se escribe uno de los números, sino que se coloca un círculo (o cuadrado, o algo parecido), y se dice que se puede sustituir el círculo por un determinado número. Por ejemplo, veamos la entrada. Si pones, por ejemplo, el número 2 en lugar de un cuadrado, obtienes la expresión numérica 3+2. Entonces en lugar de círculos, cuadrados, etc. Acordó escribir letras, y tales expresiones con letras se llamaron expresiones literales. Volvamos a nuestro ejemplo, si en esta entrada ponemos la letra a en lugar de un cuadrado, obtenemos una expresión literal de la forma 3+a.

Entonces, si permitimos en una expresión numérica la presencia de letras que denotan ciertos números, obtenemos la llamada expresión literal. Demos la definición correspondiente.

Definición.

Una expresión que contiene letras que representan ciertos números se llama expresión literal.

De esta definición queda claro que una expresión literal se diferencia fundamentalmente de una expresión numérica en que puede contener letras. Normalmente, las letras minúsculas del alfabeto latino (a, b, c, ...) se utilizan en expresiones de letras, y las letras minúsculas del alfabeto griego (α, β, γ, ...) se utilizan para denotar ángulos.

Así, las expresiones literales pueden estar compuestas por números, letras y contener todos los símbolos matemáticos que pueden aparecer en expresiones numéricas, como paréntesis, signos de raíz, logaritmos, funciones trigonométricas y otras, etc. Destacamos por separado que una expresión literal contiene al menos una letra. Pero también puede contener varias letras iguales o diferentes.

Ahora demos algunos ejemplos de expresiones literales. Por ejemplo, a+b es una expresión literal con las letras a y b. Aquí hay otro ejemplo de la expresión literal 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. Y aquí hay un ejemplo de una expresión literal compleja: .

Expresiones con variables

Si en una expresión literal una letra denota una cantidad que no toma un valor específico, pero puede tomar diferentes significados, entonces esta carta se llama variable y la expresión se llama expresión con variable.

Definición.

Expresión con variables es una expresión literal en la que las letras (todas o algunas) denotan cantidades que toman valores diferentes.

Por ejemplo, supongamos que la letra x en la expresión x 2 −1 tome cualquier valor natural del intervalo de 0 a 10, entonces x es una variable y la expresión x 2 −1 es una expresión con la variable x.

Vale la pena señalar que puede haber varias variables en una expresión. Por ejemplo, si consideramos que xey son variables, entonces la expresión es una expresión con dos variables x e y.

En general, la transición del concepto de expresión literal a una expresión con variables se produce en el 7º grado, cuando se comienza a estudiar álgebra. Hasta este punto, las expresiones de letras modelaron algunas tareas específicas. En álgebra, comienzan a observar la expresión de manera más general, sin hacer referencia a un problema específico, entendiendo que esta expresión se adapta a una gran cantidad de problemas.

Para concluir este punto, prestemos atención a un punto más: según apariencia Es imposible saber a partir de una expresión literal si las letras que contiene son variables o no. Por tanto, nada nos impide considerar estas letras como variables. En este caso, desaparece la diferencia entre los términos “expresión literal” y “expresión con variables”.

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