Construya un ángulo lineal de un ángulo diedro. Ángulo diedro. Medida en grados del ángulo diedro

Algunas de las formas espaciales más simples son los ángulos poliédricos.

Un ángulo diedro es una figura formada por dos semiplanos que tienen una recta común que los limita. Los semiplanos se denominan bordes de la esquina y la línea común se denomina borde de la esquina. Los grados de un ángulo diedro son la medida del ángulo lineal correspondiente.

El ángulo lineal de un diedro es el ángulo formado por dos semilíneas a lo largo del cual el plano, perpendicular al borde del diedro, se cruza con este diedro. La medida del ángulo diedro es independiente de la elección del ángulo lineal.

Una esquina triangular es una forma formada por tres esquinas planas.

Las caras de una esquina triangular son esquinas planas, los bordes son los lados de las esquinas planas y el vértice de una esquina triangular es el vértice común de las esquinas planas.

Los ángulos diedros formados por las caras del ángulo triangular se denominan ángulos diedros del ángulo triangular.

Cada esquina plana de una esquina triédrica es menor que la suma de sus otros dos ángulos planos.

Un poliedro es un cuerpo cuya superficie consta de un número finito de polígonos planos.

La cara de un poliedro es la superficie de cada polígono plano.

Los bordes del poliedro son los lados de las caras, los vértices del poliedro son los vértices de las caras.

El ángulo diedro en un borde de un poliedro está determinado por sus caras, en las que se encuentra este borde.

Un poliedro convexo se denomina poliedro que se encuentra en un lado del plano de cada uno de los polígonos planos en su superficie.

Cada cara de un politopo convexo es un polígono convexo. El plano que pasa por el punto interior del poliedro convexo lo corta y forma un polígono convexo en sección.

Es interesante. Una de las partes de la geometría formó una ciencia separada llamada topología. Estudia las propiedades topológicas de las figuras, es decir, las que se almacenan durante las deformaciones continuas de las figuras "sin huecos ni pegamentos".

El teorema de Euler, el gran matemático, físico y astrónomo, formula la propiedad topológica de los poliedros: para cualquier poliedro convexo, la suma del número de sus vértices y el número de caras sin tener en cuenta el número de sus aristas es igual a 2.

Concepto de ángulo diedro

Para introducir el concepto de ángulo diedro, primero recordamos uno de los axiomas de la estereometría.

Cualquier plano se puede dividir en dos semiplanos de la línea recta $ a $ que se encuentra en este plano. Además, los puntos que se encuentran en un semiplano están en un lado de la línea recta $ a $, y los puntos que se encuentran en diferentes semiplanos están en lados opuestos de la línea recta $ a $ (Fig. 1).

Foto 1.

El principio de construir un ángulo diedro se basa en este axioma.

Definición 1

La figura se llama diedro si consta de una recta y dos semiplanos de esta recta que no pertenecen al mismo plano.

En este caso, los semiplanos del ángulo diedro se denominan facetas, y la línea que separa los semiplanos - borde de un diedro(Figura 1).

Figura 2. Ángulo diedro

Medida en grados del ángulo diedro

Definición 2

Elija un punto arbitrario $ A $ en el borde. El ángulo entre dos líneas rectas que se encuentran en diferentes semiplanos perpendiculares al borde y que se cruzan en el punto $ A $ se llama ángulo diedro lineal(Fig. 3).

Figura 3.

Obviamente, cada diedro tiene un número infinito de ángulos lineales.

Teorema 1

Todos los ángulos lineales de un ángulo diedro son iguales entre sí.

Prueba.

Considere dos ángulos lineales $ AOB $ y $ A_1 (OB) _1 $ (Fig. 4).

Figura 4.

Dado que los rayos $ OA $ y $ (OA) _1 $ se encuentran en el mismo semiplano $ \ alpha $ y son perpendiculares a una línea recta, son codireccionales. Dado que los rayos $ OB $ y $ (OB) _1 $ se encuentran en el mismo semiplano $ \ beta $ y son perpendiculares a una línea recta, son codireccionales. Por eso

\ [\ ángulo AOB = \ ángulo A_1 (OB) _1 \]

Debido a la arbitrariedad de la elección de ángulos lineales. Todos los ángulos lineales de un ángulo diedro son iguales entre sí.

Se demuestra el teorema.

Definición 3

La medida en grados del ángulo diedro es la medida en grados del ángulo lineal del ángulo diedro.

Ejemplos de tareas

Ejemplo 1

Supongamos dos planos no perpendiculares $ \ alpha $ y $ \ beta $ que se cruzan a lo largo de la línea recta $ m $. El punto $ A $ pertenece al plano $ \ beta $. $ AB $ - perpendicular a la línea $ m $. $ AC $ es la perpendicular al plano $ \ alpha $ (el punto $ C $ pertenece a $ \ alpha $). Demuestre que el ángulo $ ABC $ es el ángulo lineal del ángulo diedro.

Prueba.

Hagamos un dibujo de acuerdo con la condición del problema (Fig. 5).

Figura 5.

Para la demostración, recuerde el siguiente teorema

Teorema 2: Una línea recta que pasa por la base de la inclinada, perpendicular a ella, perpendicular a su proyección.

Dado que $ AC $ es la perpendicular al plano $ \ alpha $, el punto $ C $ es la proyección del punto $ A $ sobre el plano $ \ alpha $. Por lo tanto, $ BC $ es la proyección del $ AB $ oblicuo. Según el teorema 2, $ BC $ es perpendicular al borde del ángulo diedro.

Entonces, el ángulo $ ABC $ satisface todos los requisitos para determinar el ángulo lineal de un ángulo diedro.

Ejemplo 2

El ángulo diedro es $ 30 ^ \ circ $. En una de las caras se encuentra el punto $ A $, que está a una distancia de $ 4 $ cm de la otra cara Halla la distancia desde el punto $ A $ al borde del ángulo diedro.

Solución.

Consideraremos la Figura 5.

Por hipótesis, tenemos $ AC = 4 \ cm $.

Por la definición de la medida en grados del ángulo diedro, tenemos que el ángulo $ ABC $ es igual a $ 30 ^ \ circ $.

El triángulo $ ABC $ es un triángulo rectángulo. Por definición del seno de un ángulo agudo

\ [\ frac (AC) (AB) = sin (30) ^ 0 \] \ [\ frac (5) (AB) = \ frac (1) (2) \] \

En geometría, se utilizan dos características importantes para estudiar figuras: las longitudes de los lados y los ángulos entre ellos. Para las figuras espaciales, se agregan ángulos diedros a estas características. Considere lo que es y también describa el método para determinar estos ángulos usando el ejemplo de una pirámide.

Concepto de ángulo diedro

Todo el mundo sabe que dos líneas rectas que se cruzan forman un ángulo con el vértice en el punto de su intersección. Puede medir este ángulo con un transportador o usar funciones trigonométricas para calcularlo. El ángulo formado por dos ángulos rectos se llama lineal.

Ahora imagina que en el espacio tridimensional hay dos planos que se cruzan en línea recta. Se muestran en la figura.

Un ángulo diedro es el ángulo entre dos planos que se cruzan. Al igual que el lineal, se mide en grados o radianes. Si en cualquier punto de la línea recta a lo largo de la cual se cruzan los planos, se restauran dos perpendiculares que se encuentran en estos planos, entonces el ángulo entre ellos será el diedro requerido. Determinar este ángulo es más fácil si usa las ecuaciones de los planos en general.

Ecuación de planos y fórmula del ángulo entre ellos.

La ecuación general de cualquier plano en el espacio se escribe de la siguiente manera:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Aquí x, y, z son las coordenadas de los puntos que pertenecen al plano, los coeficientes A, B, C, D son algunos números conocidos. La conveniencia de esta igualdad para calcular ángulos diedros es que contiene explícitamente las coordenadas del vector de dirección del plano. Lo denotaremos por n¯. Luego:

El vector n¯ es perpendicular al plano. El ángulo entre dos planos es igual al ángulo entre sus n 1 ¯ y n 2 ¯. Se sabe por las matemáticas que el ángulo formado por dos vectores se determina únicamente a partir de su producto escalar. Esto le permite escribir una fórmula para calcular el ángulo diedro entre dos planos:

φ = arcos (| (n 1 ¯ × n 2 ¯) | / (| n 1 ¯ | × | n 2 ¯ |)).

Si sustituye las coordenadas de los vectores, la fórmula se escribirá explícitamente:

φ = arcos (| A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√ (A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √ (A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

El signo de módulo en el numerador se usa para definir un ángulo agudo solamente, ya que el ángulo diedro es siempre menor o igual a 90 °.

Pirámide y sus esquinas

Una pirámide es una figura que está formada por un n-gon y n triángulos. Aquí n es un número entero igual al número de lados del polígono que es la base de la pirámide. Esta figura espacial es un poliedro o poliedro, ya que consta de caras planas (lados).

El poliedro piramidal puede ser de dos tipos:

• entre la base y el lado (triángulo);
• entre los dos lados.

Si la pirámide se considera correcta, entonces los ángulos nombrados para ella son fáciles de determinar. Para hacer esto, usando las coordenadas de tres puntos conocidos, debes componer la ecuación de los planos y luego usar la fórmula dada en el párrafo anterior para el ángulo φ.

A continuación se muestra un ejemplo en el que mostraremos cómo encontrar los ángulos diedros en la base de una pirámide regular rectangular.

Cuadrangular y ángulo en su base

Suponga que le dan una pirámide regular con una base cuadrada. La longitud del lado del cuadrado es a, la altura de la figura es h. Encuentra el ángulo entre la base de la pirámide y su lado.

Coloque el origen del sistema de coordenadas en el centro del cuadrado. Entonces las coordenadas de los puntos A, B, C, D que se muestran en la figura serán iguales:

A = (a / 2; -a / 2; 0);

B = (a / 2; a / 2; 0);

C = (-a / 2; a / 2; 0);

Considere los aviones ACB y ADB. Obviamente, el vector de dirección n 1 ¯ para el plano ACB será igual a:

Para determinar el vector de dirección n 2 ¯ del plano ADB, proceda de la siguiente manera: encuentre dos vectores arbitrarios que le pertenezcan, por ejemplo, AD¯ y AB¯, luego calcule su producto cruzado. Su resultado dará las coordenadas n 2 ¯. Tenemos:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a / 2; -a / 2; 0) = (-a / 2; a / 2; h);

AB¯ = B - A = (a / 2; a / 2; 0) - (a / 2; -a / 2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a / 2; a / 2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2/2).

Dado que la multiplicación y división de un vector por un número no cambia su dirección, transformamos el n 2 ¯ resultante, dividiendo sus coordenadas por -a, obtenemos:

Hemos determinado los vectores de dirección n 1 ¯ y n 2 ¯ para los planos de la base ACB y el lado lateral de la ADB. Queda por usar la fórmula para el ángulo φ:

φ = arccos (| (n 1 ¯ × n 2 ¯) | / (| n 1 ¯ | × | n 2 ¯ |)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2/4)).

Transformemos la expresión resultante y reescribamos así:

φ = arcos (a / √ (a 2 + 4 × h 2)).

Hemos obtenido una fórmula para el ángulo diedro en la base de una pirámide cuadrangular regular. Conociendo la altura de la figura y la longitud de su lado, puedes calcular el ángulo φ. Por ejemplo, para la pirámide de Keops, cuyo lado de la base es de 230,4 metros y la altura inicial era de 146,5 metros, el ángulo φ será de 51,8 o.

También puede determinar el ángulo diedro de una pirámide regular cuadrangular utilizando el método geométrico. Para ello, basta con considerar un triángulo rectángulo formado por la altura h, la mitad de la longitud de la base a / 2 y la apotema del triángulo isósceles.

Esta lección está destinada al estudio independiente del tema "Ángulo diedro". En esta lección, los estudiantes se familiarizarán con una de las formas geométricas más importantes, el ángulo diedro. También en la lección tenemos que aprender a determinar el ángulo lineal de la figura geométrica en cuestión y cuál es el ángulo diedro en la base de la figura.

Repitamos qué es un ángulo en un plano y cómo se mide.

Arroz. 1. Avión

Considere el plano α (Fig. 1). Desde el punto O dos rayos emanan - OV y OA.

Definición... Una figura formada por dos rayos que emanan de un punto se llama ángulo.

El ángulo se mide en grados y radianes.

Recordemos qué es un radián.

Arroz. 2. Radian

Si tenemos un ángulo central cuya longitud de arco es igual al radio, entonces dicho ángulo central se llama ángulo de 1 radianes. , ∠ cualquier otro negocio= 1 rad (figura 2).

Relación entre radianes y grados.

contento.

Lo entendemos, me alegro. (). Luego,

Definición. Ángulo diedro se llama figura formada por una línea recta a y dos semiplanos con un límite común a que no pertenecen al mismo plano.

Arroz. 3. Semiplanos

Considere dos semiplanos α y β (figura 3). Su frontera común es a... La figura especificada se llama ángulo diedro.

Terminología

Los semiplanos α y β son las caras del ángulo diedro.

Derecho a es el borde del ángulo diedro.

En un borde común a del ángulo diedro, elegimos un punto arbitrario O(figura 4). En el semiplano α desde el punto O restaurar la perpendicular OA a derecho a... Desde el mismo punto O en el segundo semiplano β, restauramos la perpendicular OV a la costilla a... Tengo una esquina cualquier otro negocio, que se llama ángulo lineal del ángulo diedro.

Arroz. 4. Medida del ángulo diedro

Demostremos la igualdad de todos los ángulos lineales para un ángulo diedro dado.

Supongamos que tenemos un ángulo diedro (Fig. 5). Escojamos un punto O y punto Alrededor de 1 en linea recta a... Construya un ángulo lineal correspondiente al punto O, es decir, dibuja dos perpendiculares OA y OV en los planos α y β, respectivamente, hasta el borde a... Obtenemos el ángulo cualquier otro negocio es el ángulo lineal del ángulo diedro.

Arroz. 5. Ilustración de prueba

Desde el punto Alrededor de 1 dibuja dos perpendiculares OA 1 y ОВ 1 a la costilla a en los planos α y β, respectivamente, y obtenemos el segundo ángulo lineal A 1 O 1 B 1.

Vigas О 1 А 1 y OA codireccionales, ya que se encuentran en el mismo semiplano y son paralelas entre sí como dos perpendiculares a la misma línea recta a.

Asimismo, los rayos Aproximadamente 1 en 1 y OV codirigido, significa ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 como ángulos con lados codirigidos, según sea necesario.

El plano del ángulo lineal es perpendicular al borde del ángulo diedro.

Probar: a ⊥ CUALQUIER OTRO NEGOCIO.

Arroz. 6. Ilustración de prueba

Prueba:

OA ⊥ a por construcción, OV ⊥ a por construcción (Fig. 6).

Entendemos que la linea recta a perpendicular a dos rectas que se cruzan OA y OV fuera de plano cualquier otro negocio, entonces una línea recta a perpendicular al plano OAV, según sea necesario.

Un ángulo diedro se mide por su ángulo lineal. Esto significa que tantos grados radianes están contenidos en un ángulo lineal, el mismo número de grados radianes están contenidos en su ángulo diedro. De acuerdo con esto, se distinguen los siguientes tipos de ángulos diedros.

Afilado (fig.6)

Un ángulo diedro es agudo si su ángulo lineal es agudo, es decir ...

Recto (fig.7)

Ángulo diedro de una línea recta cuando su ángulo lineal es de 90 ° - Obtuso (Fig.8)

Un ángulo diedro es obtuso cuando su ángulo lineal es obtuso, es decir .

Arroz. 7. Ángulo recto

Arroz. 8. Ángulo obtuso

Ejemplos de construcción de ángulos lineales en figuras reales.

A B CD es un tetraedro.

1. Construya un ángulo lineal de un ángulo diedro con una arista. AB.

Arroz. 9. Ilustración del problema

Edificio:

Es un ángulo diedro formado por un borde AB y caras ABD y A B C(figura 9).

Dibujemos una linea recta DH perpendicular al plano A B C, H- la base de la perpendicular. Dibujemos un oblicuo DMETRO perpendicular a recto AB,METRO- la base está inclinada. Por el teorema de las tres perpendiculares, concluimos que la proyección de una oblicua Nuevo Méjico también perpendicular a la línea recta AB.

Es decir, desde el punto METRO restauró dos perpendiculares a la costilla AB en dos lados ABD y A B C... Tenemos un angulo lineal DMinnesota.

Darse cuenta de AB, el borde del ángulo diedro, perpendicular al plano del ángulo lineal, es decir, el plano DMinnesota... El problema ha sido resuelto.

Comentario... El ángulo diedro se puede designar de la siguiente manera: DA B C, dónde

AB- un borde y puntos D y CON se encuentran en diferentes bordes de la esquina.

2. Construya un ángulo lineal de un ángulo diedro con una arista. COMO.

Dibujemos una perpendicular DH al avion A B C y oblicuo Dnorte perpendicular a recto C.A. Por el teorema de las tres perpendiculares, obtenemos НN- proyección oblicua Dnorte en el avión A B C, también perpendicular a la línea recta C.A.DNН- ángulo lineal de un ángulo diedro con un borde COMO.

En un tetraedro DA B C todos los bordes son iguales. Punto METRO- mitad de la costilla COMO... Demuestre que el ángulo DMV- ángulo lineal del ángulo diedro USTEDD, es decir, un ángulo diedro con un borde COMO... Una faceta de la misma - COMOD, el segundo es ASV(figura 10).

Arroz. 10. Ilustración del problema

Solución:

Triángulo ADC- equilátero, DM- la mediana y, por tanto, la altura. Medio, DMETRO ⊥ C.A. Del mismo modo, triángulo AVC- equilátero, VMETRO es la mediana y, por tanto, la altura. Medio, VM ⊥ C.A.

Entonces desde el punto METRO costillas COMOángulo diedro restaurado dos perpendiculares DM y VM a este borde en las caras del ángulo diedro.

Por lo tanto, ∠ DMV es el ángulo lineal del ángulo diedro, según se requiera.

Entonces, hemos definido el diedro, el ángulo lineal del diedro.

En la próxima lección, consideraremos la perpendicularidad de líneas y planos, luego aprenderemos qué es un ángulo diedro en la base de las figuras.

Referencias sobre el tema "Ángulo diedro", "Ángulo diedro en la base de figuras geométricas"

1. Geometría. Grado 10-11: libro de texto para instituciones de educación general / Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: Ill.
2. Geometría. Grado 10: libro de texto para instituciones educativas con un estudio profundo y especializado de las matemáticas / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ª edición, estereotipo. - M.: Avutarda, 2008 .-- 233 p.: Enfermo.

1. Yaklass.ru ().
2. E-science.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru ().
4. Tutoronline.ru ().

Trabajo en casa sobre el tema "Ángulo diedro", determinando el ángulo diedro en la base de las figuras.

Geometría. Grado 10-11: un libro de texto para estudiantes de instituciones educativas (niveles básico y de perfil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª edición, revisada y complementada - M .: Mnemozina, 2008. - 288 p.: Ill.

Tareas 2, 3 p. 67.

¿Cuál es el ángulo lineal de un ángulo diedro? ¿Cómo construirlo?

A B CD es un tetraedro. Construya un ángulo lineal de un ángulo diedro con una arista:

a) VD B) DCON.

A B CDA 1 B 1 C 1 D 1 - cachorro. Trazar un ángulo lineal de un ángulo diedro A 1 ABC con una costilla AB... Determine su medida de grado.

\ (\ blacktriangleright \) Ángulo diedro: el ángulo formado por dos semiplanos y la línea recta \ (a \), que es su límite común.

\ (\ blacktriangleright \) Para encontrar el ángulo entre los planos \ (\ xi \) y \ (\ pi \), necesitas encontrar el ángulo lineal (además picante o derecho) del ángulo diedro formado por los planos \ (\ xi \) y \ (\ pi \):

Paso 1: sea \ (\ xi \ cap \ pi = a \) (línea de intersección de planos). En el plano \ (\ xi \) marcamos un punto arbitrario \ (F \) y dibujamos \ (FA \ perp a \);

Paso 2: ejecutar \ (FG \ perp \ pi \);

Paso 3: por TTP (\ (FG \) - perpendicular, \ (FA \) - inclinado, \ (AG \) - proyección) tenemos: \ (AG \ perp a \);

Paso 4: El ángulo \ (\ angle FAG \) se llama ángulo lineal del diedro formado por los planos \ (\ xi \) y \ (\ pi \).

Tenga en cuenta que el triángulo \ (AG \) tiene un ángulo recto.
Note también que el plano \ (AFG \) construido de esta manera es perpendicular a ambos planos \ (\ xi \) y \ (\ pi \). Por tanto, podemos decir de otra forma: ángulo entre planos\ (\ xi \) y \ (\ pi \) es el ángulo entre dos líneas rectas que se cruzan \ (c \ in \ xi \) y \ (b \ in \ pi \), formando un plano perpendicular ay \ (\ xi \) y \ (\ pi \).

Tarea 1 # 2875

Nivel de asignación: más difícil que el USO

Se le da una pirámide cuadrangular, todos los bordes son iguales, y la base es un cuadrado. Encuentra \ (6 \ cos \ alpha \), donde \ (\ alpha \) es el ángulo entre sus caras laterales adyacentes.

Sea \ (SABCD \) una pirámide dada (\ (S \) es un vértice) cuyas aristas son iguales a \ (a \). Por lo tanto, todas las caras laterales son triángulos equiláteros iguales. Encuentra el ángulo entre las caras \ (SAD \) y \ (SCD \).

Dibujemos \ (CH \ perp SD \). Porque \ (\ triángulo SAD = \ triángulo SCD \) entonces \ (AH \) también tendrá una altura de \ (\ triangle SAD \). Por lo tanto, por definición, \ (\ angle AHC = \ alpha \) es el ángulo lineal del ángulo diedro entre las caras \ (SAD \) y \ (SCD \).
Dado que la base es un cuadrado, entonces \ (AC = a \ sqrt2 \). Tenga en cuenta también que \ (CH = AH \) es la altura de un triángulo equilátero de lado \ (a \), por lo tanto \ (CH = AH = \ frac (\ sqrt3) 2a \).
Entonces, por el teorema del coseno de \ (\ triangle AHC \): \ [\ cos \ alpha = \ dfrac (CH ^ 2 + AH ^ 2-AC ^ 2) (2CH \ cdot AH) = - \ dfrac13 \ quad \ Rightarrow \ quad 6 \ cos \ alpha = -2. \]

Respuesta: -2

Misión 2 # 2876

Nivel de asignación: más difícil que el USO

Los planos \ (\ pi_1 \) y \ (\ pi_2 \) se intersecan en un ángulo cuyo coseno es \ (0,2 \). Los planos \ (\ pi_2 \) y \ (\ pi_3 \) se intersecan en ángulos rectos, y la línea de intersección de los planos \ (\ pi_1 \) y \ (\ pi_2 \) es paralela a la línea de intersección del planos \ (\ pi_2 \) y \ (\ pi_3 \). Encuentra el seno del ángulo entre los planos \ (\ pi_1 \) y \ (\ pi_3 \).

Deje que la línea de intersección \ (\ pi_1 \) y \ (\ pi_2 \) sea una línea recta \ (a \), la línea de intersección \ (\ pi_2 \) y \ (\ pi_3 \) sea una línea recta \ (b \), y la línea de intersección \ (\ pi_3 \) y \ (\ pi_1 \) - recta \ (c \). Desde \ (a \ paralelo b \), entonces \ (c \ paralelo a \ paralelo b \) (según el teorema de la sección de la referencia teórica “Geometría en el espacio” \ (\ rightarrow \) “Introducción a la geometría sólida , paralelismo ”).

Marca los puntos \ (A \ en a, B \ en b \) de modo que \ (AB \ perp a, AB \ perp b \) (esto es posible, ya que \ (a \ paralelo b \)). Marcamos \ (C \ in c \) de modo que \ (BC \ perp c \), por lo tanto \ (BC \ perp b \). Entonces \ (AC \ perp c \) y \ (AC \ perp a \).
De hecho, dado que \ (AB \ perp b, BC \ perp b \), entonces \ (b \) es perpendicular al plano \ (ABC \). Dado que \ (c \ paralelo a \ paralelo b \), las líneas rectas \ (a \) y \ (c \) también son perpendiculares al plano \ (ABC \), y por lo tanto cualquier línea recta desde este plano, en particular , la línea recta \ (AC \).

De ahí se sigue que \ (\ angle BAC = \ angle (\ pi_1, \ pi_2) \), \ (\ angle ABC = \ angle (\ pi_2, \ pi_3) = 90 ^ \ circ \), \ (\ angle BCA = \ angle (\ pi_3, \ pi_1) \)... Resulta que \ (\ triangle ABC \) es rectangular, lo que significa \ [\ sin \ angle BCA = \ cos \ angle BAC = 0.2. \]

Respuesta: 0.2

Misión 3 # 2877

Nivel de asignación: más difícil que el USO

Dadas las líneas \ (a, b, c \), que se cruzan en un punto, y el ángulo entre dos de ellas es \ (60 ^ \ circ \). Encuentra \ (\ cos ^ (- 1) \ alpha \), donde \ (\ alpha \) es el ángulo entre el plano formado por las líneas rectas \ (a \) y \ (c \) y el plano formado por la líneas rectas \ (b \) y \ (c \). Da tu respuesta en grados.

Deje que las líneas se crucen en el punto \ (O \). Dado que el ángulo entre dos de ellos es \ (60 ^ \ circ \), entonces las tres líneas no pueden estar en el mismo plano. Marca el punto \ (A \) en la línea \ (a \) y dibuja \ (AB \ perp b \) y \ (AC \ perp c \). Luego \ (\ triángulo AOB = \ triángulo AOC \) como rectangular en hipotenusa y ángulo agudo. Por lo tanto, \ (OB = OC \) y \ (AB = AC \).
Dibujemos \ (AH \ perp (BOC) \). Entonces, por el teorema de las tres perpendiculares, \ (HC \ perp c \), \ (HB \ perp b \). Dado que \ (AB = AC \), entonces \ (\ triángulo AHB = \ triángulo AHC \) como rectangular a lo largo de la hipotenusa y el cateto. Por lo tanto, \ (HB = HC \). Por tanto, \ (OH \) es la bisectriz del ángulo \ (BOC \) (ya que el punto \ (H \) es equidistante de los lados del ángulo).

Nótese que de esta manera también construimos el ángulo lineal del ángulo diedro formado por el plano formado por las rectas \ (a \) y \ (c \) y el plano formado por las rectas \ (b \) y \ (C \). Este es el ángulo \ (ACH \).

Busquemos este rincón. Dado que elegimos el punto \ (A \) arbitrariamente, entonces elegímoslo de manera que \ (OA = 2 \). Luego, en \ (\ triangle AOC \) rectangular: \ [\ sin 60 ^ \ circ = \ dfrac (AC) (OA) \ quad \ Rightarrow \ quad AC = \ sqrt3 \ quad \ Rightarrow \ quad OC = \ sqrt (OA ^ 2-AC ^ 2) = 1. \ ] Dado que \ (OH \) es una bisectriz, entonces \ (\ angle HOC = 30 ^ \ circ \), por lo tanto, en \ (\ triangle HOC \) rectangular: \ [\ mathrm (tg) \, 30 ^ \ circ = \ dfrac (HC) (OC) \ quad \ Rightarrow \ quad HC = \ dfrac1 (\ sqrt3). \] Luego, desde el \ (\ triángulo ACH \) rectangular: \ [\ cos \ angle \ alpha = \ cos \ angle ACH = \ dfrac (HC) (AC) = \ dfrac13 \ quad \ Rightarrow \ quad \ cos ^ (- 1) \ alpha = 3. \]

Respuesta: 3

Misión 4 # 2910

Nivel de asignación: más difícil que el USO

Los planos \ (\ pi_1 \) y \ (\ pi_2 \) se cruzan a lo largo de la línea recta \ (l \), en la que se encuentran los puntos \ (M \) y \ (N \). Los segmentos \ (MA \) y \ (MB \) son perpendiculares a la línea recta \ (l \) y se encuentran en los planos \ (\ pi_1 \) y \ (\ pi_2 \), respectivamente, y \ (MN = 15 \), \ (AN = 39 \), \ (BN = 17 \), \ (AB = 40 \). Encuentra \ (3 \ cos \ alpha \), donde \ (\ alpha \) es el ángulo entre los planos \ (\ pi_1 \) y \ (\ pi_2 \).

Triángulo \ (AMN \) rectangular, \ (AN ^ 2 = AM ^ 2 + MN ^ 2 \), de donde \ El triángulo \ (BMN \) es rectangular, \ (BN ^ 2 = BM ^ 2 + MN ^ 2 \), de donde \ Escribimos el teorema del coseno para el triángulo \ (AMB \): \ Luego \ Dado que el ángulo \ (\ alpha \) entre los planos es un ángulo agudo y \ (\ angle AMB \) es obtuso, entonces \ (\ cos \ alpha = \ dfrac5 (12) \). Luego \

Respuesta: 1,25

Misión 5 # 2911

Nivel de asignación: más difícil que el USO

\ (ABCDA_1B_1C_1D_1 \) - paralelepípedo, \ (ABCD \) - cuadrado con lado \ (a \), punto \ (M \) - base de perpendicular caída desde el punto \ (A_1 \) al plano \ ((ABCD) \) , además, \ (M \) es el punto de intersección de las diagonales del cuadrado \ (ABCD \). Se sabe que \ (A_1M = \ dfrac (\ sqrt (3)) (2) a \)... Encuentra el ángulo entre los planos \ ((ABCD) \) y \ ((AA_1B_1B) \). Dé su respuesta en grados.

Construya \ (MN \) perpendicular a \ (AB \) como se muestra en la figura.

Como \ (ABCD \) es un cuadrado de lado \ (a \) y \ (MN \ perp AB \) y \ (BC \ perp AB \), entonces \ (MN \ paralelo BC \). Dado que \ (M \) es el punto de intersección de las diagonales del cuadrado, \ (M \) es el punto medio de \ (AC \), por lo tanto, \ (MN \) es la línea media y \ (MN = \ frac12BC = \ frac (1) (2) a \).
\ (MN \) es la proyección de \ (A_1N \) sobre el plano \ ((ABCD) \), y \ (MN \) es perpendicular a \ (AB \), entonces por el teorema de las tres perpendiculares \ (A_1N \ ) es perpendicular a \ (AB \) y el ángulo entre los planos \ ((ABCD) \) y \ ((AA_1B_1B) \) es \ (\ angle A_1NM \).
\ [\ mathrm (tg) \, \ angle A_1NM = \ dfrac (A_1M) (NM) = \ dfrac (\ frac (\ sqrt (3)) (2) a) (\ frac (1) (2) a) = \ sqrt (3) \ qquad \ Rightarrow \ qquad \ angle A_1NM = 60 ^ (\ circ) \]

Respuesta: 60

Tarea 6 # 1854

Nivel de asignación: más difícil que el USO

En el cuadrado \ (ABCD \): \ (O \) - el punto de intersección de las diagonales; \ (S \) - no se encuentra en el plano del cuadrado, \ (SO \ perp ABC \). Encuentra el ángulo entre los planos \ (ASD \) y \ (ABC \), si \ (SO = 5 \) y \ (AB = 10 \).

Los triángulos rectangulares \ (\ triangle SAO \) y \ (\ triangle SDO \) son iguales en dos lados y el ángulo entre ellos (\ (SO \ perp ABC \) \ (\ Rightarrow \) \ (\ ángulo SOA = \ ángulo SOD = 90 ^ \ circ \); \ (AO = DO \), porque \ (O \) es el punto de intersección de las diagonales del cuadrado, \ (SO \) es el lado común) \ (\ Rightarrow \) \ (AS = SD \) \ (\ Rightarrow \) \ (\ triangle ASD \) es isósceles. El punto \ (K \) es el medio de \ (AD \), entonces \ (SK \) es la altura en el triángulo \ (\ triangle ASD \) y \ (OK \) es la altura en el triángulo \ (AOD \ ) \ (\ Rightarrow \) plano \ (SOK \) es perpendicular a los planos \ (ASD \) y \ (ABC \) \ (\ Rightarrow \) \ (\ angle SKO \) es un ángulo lineal igual al diedro requerido ángulo.

En \ (\ triángulo SKO \): \ (OK = \ frac (1) (2) \ cdot AB = \ frac (1) (2) \ cdot 10 = 5 = SO \)\ (\ Rightarrow \) \ (\ triangle SOK \) - triángulo rectángulo isósceles \ (\ Rightarrow \) \ (\ angle SKO = 45 ^ \ circ \).

Respuesta: 45

Misión 7 # 1855

Nivel de asignación: más difícil que el USO

En el cuadrado \ (ABCD \): \ (O \) - el punto de intersección de las diagonales; \ (S \) - no se encuentra en el plano del cuadrado, \ (SO \ perp ABC \). Encuentra el ángulo entre los planos \ (ASD \) y \ (BSC \), si \ (SO = 5 \) y \ (AB = 10 \).

Los triángulos rectangulares \ (\ triangle SAO \), \ (\ triangle SDO \), \ (\ triangle SOB \) y \ (\ triangle SOC \) son iguales en dos lados y el ángulo entre ellos (\ (SO \ perp ABC \) \ (\ Flecha derecha \) \ (\ ángulo SOA = \ ángulo SOD = \ ángulo SOB = \ ángulo SOC = 90 ^ \ circ \); \ (AO = OD = OB = OC \), porque \ (O \) es el punto de intersección de las diagonales del cuadrado, \ (SO \) es el lado común) \ (\ Rightarrow \) \ (AS = DS = BS = CS \) \ (\ Rightarrow \) \ (\ triangle ASD \) y \ (\ triangle BSC \) son isósceles. El punto \ (K \) es el medio de \ (AD \), entonces \ (SK \) es la altura en el triángulo \ (\ triangle ASD \) y \ (OK \) es la altura en el triángulo \ (AOD \ ) \ (\ Rightarrow \) plano \ (SOK \) es perpendicular al plano \ (ASD \). Punto \ (L \) - punto medio \ (BC \), luego \ (SL \) - altura en el triángulo \ (\ triangle BSC \) y \ (OL \) - altura en el triángulo \ (BOC \) \ (\ El plano de la flecha derecha \) \ (SOL \) (también conocido como plano \ (SOK \)) es perpendicular al plano \ (BSC \). Por lo tanto, obtenemos que \ (\ angle KSL \) es un ángulo lineal igual al ángulo diedro requerido.

\ (KL = KO + OL = 2 \ cdot OL = AB = 10 \)\ (\ Flecha derecha \) \ (OL = 5 \); \ (SK = SL \) - alturas en triángulos isósceles iguales, que se pueden encontrar mediante el teorema de Pitágoras: \ (SL ^ 2 = SO ^ 2 + OL ^ 2 = 5 ^ 2 + 5 ^ 2 = 50 \)... Puedes ver eso \ (SK ^ 2 + SL ^ 2 = 50 + 50 = 100 = KL ^ 2 \)\ (\ Rightarrow \) para triángulo \ (\ triangle KSL \) el teorema inverso de Pitágoras es verdadero \ (\ Rightarrow \) \ (\ triangle KSL \) - triángulo rectángulo \ (\ Rightarrow \) \ (\ angle KSL = 90 ^ \ circ \).

Respuesta: 90

La preparación de los estudiantes para el USO en matemáticas, como regla, comienza con la repetición de las fórmulas básicas, incluidas aquellas que le permiten determinar el ángulo entre los planos. A pesar de que esta sección de geometría se cubre con suficiente detalle dentro del marco del plan de estudios de la escuela, muchos graduados necesitan revisar el material básico. Al comprender cómo encontrar el ángulo entre los planos, los estudiantes de secundaria podrán calcular rápidamente la respuesta correcta en el curso de la resolución del problema y esperar recibir puntos decentes basados ​​en los resultados de aprobar el examen estatal unificado.

Matices básicos

Para que la cuestión de cómo encontrar un ángulo diedro no le cause ninguna dificultad, le recomendamos que siga el algoritmo de solución que le ayudará a afrontar las tareas USE.

Primero, debe determinar la línea recta a lo largo de la cual se cruzan los planos.

Luego, en esta línea, debe seleccionar un punto y dibujar dos perpendiculares a él.

El siguiente paso es encontrar la función trigonométrica del ángulo diedro, que está formado por las perpendiculares. Es más conveniente hacer esto con la ayuda del triángulo resultante, del cual la esquina es parte.

La respuesta será el valor del ángulo o su función trigonométrica.

Prepararse para el examen de prueba junto con Shkolkovo es la clave de su éxito

En el proceso de clases en vísperas de aprobar el examen, muchos escolares se enfrentan al problema de encontrar definiciones y fórmulas que le permitan calcular el ángulo entre 2 planos. El libro de texto escolar no siempre está a mano exactamente cuando se necesita. Y encontrar las fórmulas necesarias y los ejemplos de su correcta aplicación, incluida la búsqueda del ángulo entre los planos en Internet en línea, a veces lleva mucho tiempo.

El portal matemático Shkolkovo ofrece un nuevo enfoque para prepararse para el examen estatal. Las clases en nuestro sitio ayudarán a los estudiantes a identificar las secciones más difíciles por sí mismos y llenar los vacíos de conocimiento.

Hemos preparado y expresado claramente todo el material necesario. Las definiciones y fórmulas básicas se presentan en la sección "Referencia teórica".

Para asimilar mejor el material, también sugerimos practicar los ejercicios correspondientes. En la sección "Catálogo" se presenta una gran selección de tareas de diversos grados de complejidad, por ejemplo, en. Todas las tareas contienen un algoritmo detallado para encontrar la respuesta correcta. La lista de ejercicios en el sitio se completa y actualiza constantemente.

Al practicar la resolución de problemas en los que se requiere encontrar el ángulo entre dos planos, los estudiantes tienen la oportunidad de guardar cualquier tarea en el modo en línea "Favoritos". Esto les permitirá volver a él tantas veces como sea necesario y discutir el avance de su decisión con el profesor o tutor de la escuela.