Y la división de números son las acciones de la segunda etapa.
El orden en que se realizan las acciones al encontrar los valores de las expresiones está determinado por las siguientes reglas:

1. Si no hay corchetes en la expresión y contiene acciones de una sola etapa, entonces se realizan en orden de izquierda a derecha.
2. Si la expresión contiene las acciones de la primera y segunda etapa y no hay corchetes, entonces las acciones de la segunda etapa se realizan primero, luego las acciones de la primera etapa.
3. Si la expresión contiene corchetes, entonces las acciones entre paréntesis se realizan primero (teniendo en cuenta las reglas 1 y 2).

Ejemplo 1 Encuentre el valor de la expresión

a) x + 20 = 37;
b) y + 37 = 20;
c) a - 37 = 20;
d) 20 - m = 37;
e) 37 - c = 20;
f) 20 + k = 0.

636. ¿Restar qué números naturales puede dar como resultado 12? ¿Cuántos pares de tales números? Responde las mismas preguntas para la multiplicación y la división.

637. Se dan tres números: el primero es de tres dígitos, el segundo es el valor del número de seis dígitos dividido por diez y el tercero es 5921. ¿Puedes indicar el mayor y el menor de estos números?

638. Simplifica la expresión:

a) 2a + 612 + 1a + 324;
b) 12 años + 29 años + 781 + 219;

639. Resuelve la ecuación:

a) 8x - 7x + 10 = 12;
b) 13y + 15y- 24 = 60;
c) Zz - 2z + 15 = 32;
d) 6t + 5t - 33 = 0;
e) (x + 59): 42 = 86;
e) 528: k - 24 = 64;
g) p: 38 - 76 = 38;
h) 43m-215 = 473;
i) 89n + 68 = 9057;
j) 5905 - 21 v = 316;
k) 34s - 68 = 68;
m) 54b - 28 = 26.

640. La explotación ganadera proporciona una ganancia de peso de 750 g por animal por día. ¿Qué ganancia recibe el complejo en 30 días para 800 animales?

641. Dos latas grandes y cinco pequeñas contienen 130 litros de leche. ¿Cuánta leche cabe en una lata pequeña si su capacidad es cuatro veces menor que la capacidad de una más grande?

642. El perro vio al dueño cuando estaba a una distancia de 450 m de él, y corrió hacia él a una velocidad de 15 m/s. ¿Cuál es la distancia entre el dueño y el perro después de 4 s; después de 10 s; a través de t s?

643. Resuelve el problema usando la ecuación:

1) Mikhail tiene 2 veces más nueces que Nikolai y Petya tiene 3 veces más nueces que Nikolai. ¿Cuántas nueces tiene cada persona si todos juntos tienen 72 nueces?

2) Tres niñas recogieron 35 conchas en la orilla del mar. Galya encontró 4 veces más que Masha y Lena, 2 veces más que Masha. ¿Cuántas conchas encontró cada niña?

644. Escribe un programa para calcular la expresión

8217 + 2138 (6906 - 6841) : 5 - 7064.

Escriba este programa en forma de diagrama. Encuentra el valor de la expresión.

645. Escribe una expresión según el siguiente programa de cálculo:

1. Multiplica 271 por 49.
2. Divide 1001 entre 13.
3. Multiplica el resultado del comando 2 por 24.
4. Sume los resultados de los comandos 1 y 3.

Encuentra el valor de esta expresión.

646. Escriba una expresión de acuerdo con el esquema (Fig. 60). Escribe un programa para calcularlo y hallar su valor.

647. Resuelve la ecuación:

a) Zx + bx + 96 = 1568;
b) 357z - 1492 - 1843 - 11 469;
c) 2y + 7y + 78 = 1581;
d) 256m - 147m - 1871 - 63 747;
e) 88 880: 110 + x = 809;
f) 6871 + p: 121 = 7000;
g) 3810 + 1206: y = 3877;
h) k + 12 705: 121 = 105.

648. Encuentra un privado:

a) 1 989 680: 187; c) 9 018 009: 1001;
b) 572 163: 709; d) 533.368.000: 83.600.

649. El barco a motor caminó a lo largo del lago durante 3 horas a una velocidad de 23 km/h, y luego durante 4 horas a lo largo del río. ¿Cuántos kilómetros recorrió el barco durante estas 7 horas si se movía a lo largo del río 3 km/h más rápido que a lo largo del lago?

650. Ahora que la distancia entre el perro y el gato es de 30 m, ¿en cuántos segundos alcanzará el perro al gato si la velocidad del perro es de 10 m/sy la velocidad del gato es de 7 m/s?

651. Encuentre en la tabla (Fig. 61) todos los números en orden del 2 al 50. Es útil realizar este ejercicio varias veces; puedes competir con un amigo: ¿quién encontrará todos los números más rápido?

N. Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Matemáticas Grado 5, Libro de texto para instituciones educativas

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hoy hablaremos de orden de ejecución matemático acción. ¿Qué acción tomar primero? Suma y resta, o multiplicación y división. Curiosamente, nuestros hijos tienen problemas para resolver expresiones aparentemente elementales.

Entonces, recuerda que las expresiones entre paréntesis se evalúan primero.

38 – (10 + 6) = 22 ;

orden de acciones:

1) entre paréntesis: 10 + 6 = 16;

2) resta: 38 - 16 \u003d 22.

Si la expresión sin paréntesis incluye solo sumas y restas, o solo multiplicaciones y divisiones, entonces las operaciones se realizan en orden de izquierda a derecha.

10 ÷ 2 × 4 = 20 ;

orden de acciones:

1) de izquierda a derecha, primero la división: 10 ÷ 2 = 5;

2) multiplicación: 5 × 4 = 20;

10 + 4 - 3 \u003d 11, es decir:

1) 10 + 4 = 14 ;

2) 14 – 3 = 11 .

Si en una expresión sin paréntesis no solo hay suma y resta, sino también multiplicación o división, entonces las acciones se realizan en orden de izquierda a derecha, pero la multiplicación y la división tienen la ventaja, se realizan primero, seguidas de la suma y la resta. .

18 ÷ 2 - 2 × 3 + 12 ÷ 3 = 7

El orden de las acciones:

1) 18 ÷ 2 = 9;

2) 2 × 3 = 6;

3) 12 ÷ 3 = 4;

4) 9 - 6 = 3; aquellos. de izquierda a derecha: el resultado de la primera acción menos el resultado de la segunda;

5) 3 + 4 = 7; aquellos. el resultado de la cuarta acción más el resultado de la tercera;

Si la expresión contiene paréntesis, primero se ejecutan las expresiones entre paréntesis, luego la multiplicación y la división, y solo después la suma y la resta.

30 + 6 × (13 - 9) \u003d 54, es decir:

1) expresión entre paréntesis: 13 - 9 = 4;

2) multiplicación: 6 × 4 = 24;

3) suma: 30 + 24 = 54;

Entonces, resumamos. Antes de continuar con el cálculo, es necesario analizar la expresión: ¿contiene corchetes y qué acciones hay en ella? Después de eso, proceda a los cálculos en el siguiente orden:

1) acciones encerradas entre paréntesis;

2) multiplicación y división;

3) suma y resta.

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Enfoques metódicos para el estudio de las reglas del orden de ejecución de acciones en expresiones en clases primarias.

Fedorova Ekaterina Borisovna

Profesor de escuela primaria MBO "Escuela № 8" Nizhnevartovsk

Entre las habilidades que deben dominar los estudiantes que egresan de la escuela primaria, el programa indica la capacidad de calcular el valor de expresiones numéricas que contienen dos o tres acciones. Pero la práctica muestra que los estudiantes cometen errores en el orden en que se realizan las acciones en las expresiones. Sobre todo en expresiones, por ejemplo, que contengan entre paréntesis las acciones de diferentes pasos. Esto también se observa en el 5° grado, donde el número de acciones en las expresiones aumenta significativamente y la estructura de la expresión numérica se vuelve más complicada en comparación con el 4° grado.

Considere la secuencia de estudiar expresiones en el curso inicial de matemáticas en el enfoque de M.I. Moreau. Con las expresiones numéricas más simples (la suma de la forma 2 + 3, la diferencia de la forma 5-1), los niños se encuentran desde los primeros pasos en el estudio de las operaciones aritméticas. Lo más importante es que los niños entiendan que al resolver un problema de la forma: “Hay 2 manzanas en un plato, 5 manzanas en el otro. ¿Cuántas manzanas hay en estos platos? "- puede responder a la pregunta planteada no solo diciendo que hay 7 manzanas en total, sino también así:" En total, hay 2 + 5 manzanas en estos platos. Al continuar la tarea: "Comimos tres manzanas", los niños forman una expresión numérica en dos acciones: 2 + 5-3 Al mismo tiempo, respondiendo a la pregunta: "¿Cuántas manzanas quedan?", Los alumnos de primer grado aprenden distinguir entre los conceptos de "expresión" y "expresiones de valor". Cualquier número también se considera como una expresión. A partir de expresiones, puede componer nuevas expresiones conectándolas con signos de operaciones aritméticas. Para indicar qué expresiones están conectadas, es necesario usar caracteres adicionales: corchetes. Para encontrar el valor de una expresión, es importante conocer las reglas para el orden en que se realizan las acciones en las expresiones.

La preparación para el estudio de tales reglas comienza en el primer grado. A nivel práctico, cuando los niños de primer grado aprenden a sumar o restar dos números en secuencia, por ejemplo: 6+2+1, 7-1-3, los niños aprenden el orden de las acciones en dichas expresiones. Argumentan: "Primero, debes agregar 2 a 6, resulta 8. Agregaré 1 a 8, obtendré 9". En el segundo grado, los estudiantes aprenden la regla:las acciones entre paréntesis se realizan primero.Se considera la tarea de la forma: Restar la suma de los números 6 y 3 del número 10. El profesor explica para enfatizar que la suma de los números debe restarse inmediatamente.

10 - 6+3=1, encierra en un círculo la suma en un óvalo. Retire la parte sobrante del óvalo para que la entrada encaje en la línea. El resto del óvalo se llama paréntesis: 10-(6+3)=1. Se está formando una fórmula.

El orden de ejecución de acciones en expresiones se estudia en el 3er grado, cuando se introducen tres reglas: para expresiones sin corchetes con acciones del mismo nivel, para expresiones sin corchetes con acciones de diferentes niveles y para expresiones con corchetes. Cada regla se puede representar como un modelo. Deslizar

Características de una expresión numérica.

№p\n	Peculiaridades numérico expresiones	Ordenar cumplimiento acción	Modelo
	Contiene solo + o - o solo x o:	En orden (de izquierda a derecha)
	Contiene no solo + y -, sino también x o:	Primero, ejecute en orden (de izquierda a derecha) x y:, y luego + y - (de izquierda a derecha)
	Contiene uno o más pares de paréntesis	Primero, encuentre los valores de las expresiones entre paréntesis y luego realice las acciones de acuerdo con las reglas 1 y 2

Es conveniente presentar la tercera regla en forma algorítmica.

Cuando se encuentra el valor de la expresión, las acciones se realizan en el siguiente orden:

1) acciones escritas entre paréntesis;

2) operaciones de multiplicación y división, en orden de izquierda a derecha;

3) operaciones, suma y resta, en orden de izquierda a derecha.

Las reglas son útiles para ilustrar claramente.

Las expresiones de una estructura compleja de expresiones pueden contener varios pares de corchetes, luego las reglas para el orden de ejecución de las acciones en las expresiones se pueden representar mediante el siguiente modelo: las expresiones más complejas entre paréntesis contienen las cuatro acciones. El orden de las acciones en ellos está convenientemente representado por tal modelo:

Considere el enfoque de N, B, Istomina para el estudio de las reglas para el orden de ejecución de acciones en expresiones. En el manual N.B. Istomina Matemáticas: el programa para los grados 1-4 muestra claramente la formación de actividades educativas, esto se lleva a cabo en el libro de texto al estudiar todas las secciones del curso elemental de matemáticas. Esto incluye la sección "Expresiones". En la sección "Operaciones aritméticas" hay un tema "Expresiones numéricas". En el primer grado, al estudiar el tema "Sumas", los estudiantes se familiarizan con el concepto de "expresiones matemáticas".

En tercer grado, se estudia el tema "Reglas para el orden de ejecución de acciones en expresiones". Además, se considera el tema "Similitudes y diferencias de expresiones numéricas", "Conversión de expresiones numéricas".

N.B. Los libros de texto de Istomina presentan un interesante sistema de tareas de entrenamiento para aplicar las reglas del orden en que se realizan las acciones en las expresiones. Por ejemplo:

1. Resolviendo el problema, los estudiantes inventan expresiones. Discutir, probar y darse cuenta de que el signo "()" es importante. Por ejemplo, 39-1 6+3 5, 39-(1 6+3 5).

2. Ordena el orden de las acciones en cada diagrama y explica qué regla del orden de las acciones en las expresiones usaste:

□-□·(□+□)+□:□-□

(□-□):□-□·(□+□)+□

3. ¿Qué operaciones aritméticas se pueden realizar en el orden especificado?

4. Qué números se pueden insertar en las "ventanas" para obtener las igualdades correctas:

□-□ □+□=72

(□-□)□ □+□=100

La estructura de las expresiones y el material numérico influyen significativamente en la correcta aplicación de las reglas del orden de las acciones. En la estructura de las expresiones, el conjunto, el número y la ubicación de las acciones en las expresiones, la presencia de corchetes en ellas, juegan un papel importante. Caractericemos algunos de ellos. En las expresiones que contienen ambas acciones de la misma etapa, los errores radican en que los estudiantes dan prioridad a la suma sobre la resta y la multiplicación sobre la división, sin prestar atención al orden en que se escriben. Por ejemplo: en la expresión 70:5 * 2 = 7, el niño realiza la primera acción: la multiplicación y la segunda división. Una de las razones de tales errores es la peculiaridad de la percepción y reproducción de los estudiantes de las reglas correspondientes para el orden de acciones. Otra razón de estos errores es la orientación de los estudiantes no a las reglas, sino a la posibilidad de realizar acciones, es decir, al material numérico. Para eliminar tales errores, es útil trabajar con modelos de expresión, donde los números se indican mediante "ventanas" y se indican acciones. Se requiere determinar el orden de su ejecución.

En una expresión de tres acciones, es más probable que los estudiantes cometan errores en el orden de las acciones que en las expresiones de dos acciones, en las que solo se debe seleccionar una acción y a las que solo se puede aplicar una regla de orden de acción. Por ejemplo, al calcular los valores de la expresión 90-48+12:6, hay muchos más errores que al calcular el valor de la expresión 80-43+17. Por lo tanto, basado en el hecho de que los estudiantes son capaces de aplicar la regla del orden de las acciones, no se puede argumentar que serán capaces de aplicarla con igual éxito en expresiones de tres o cuatro acciones. Esto es especialmente evidente en las expresiones entre paréntesis. Todos los estudiantes realizan primero la acción entre paréntesis, por lo que no hay errores en el orden de las acciones en expresiones que contienen solo dos acciones. Por el contrario, hay muchos errores en las expresiones en tres acciones entre paréntesis: 100-(44-24):4=20, es decir, los chicos cometen errores, alegando que primero realizan la acción entre paréntesis y luego el resto. de las acciones en orden de escritura.

Por lo tanto, el papel central en el proceso de formación de conocimientos y habilidades pertenece al sistema de ejercicios, incluidas las tareas de aprendizaje con una complicación constante:

Calcular el valor de la expresión;

Elección de expresiones según sus características estructurales;

Comparar expresiones y el orden en que se realizan las acciones;

Encuentre y explique los errores.

Más complejo es cambiar expresiones y el orden en que se realizan las acciones, completar expresiones y finalmente construir expresiones basadas en una o más condiciones.

lista bibliografica

1. Ivashova O.A. Errores en el orden de realizar operaciones aritméticas y formas de prevenirlos // Escuela Primaria. - 1988. - Nº 4. - S. 26-30.
2. Moro MI y Pyshkalo A.M. Métodos de enseñanza de las matemáticas en los grados I - III. Una guía para el maestro. - M .: "Ilustración", 1978. - p.336.
3. Shadrina IV Sobre el orden de las operaciones en la expresión aritmética // Escuela primaria. - 2000. - Nº 2. - S. 105-107.

Las reglas para el orden de las acciones en expresiones complejas se estudian en el grado 2, pero casi algunas de ellas las usan los niños en el grado 1.

Primero, consideramos la regla sobre el orden en que se realizan las operaciones en expresiones sin paréntesis, cuando los números solo se suman y restan, o solo se multiplican y dividen. La necesidad de introducir expresiones que contengan dos o más operaciones aritméticas del mismo nivel surge cuando los estudiantes se familiarizan con los métodos computacionales de suma y resta hasta 10, a saber:

Del mismo modo: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Dado que, para encontrar los valores de estas expresiones, los escolares recurren a las acciones del sujeto que se realizan en un orden determinado, aprenden fácilmente el hecho de que las operaciones aritméticas (suma y resta) que se realizan en las expresiones se realizan secuencialmente de izquierda a derecha. a derecha.

Con expresiones numéricas que contienen operaciones de suma y resta, así como corchetes, los estudiantes se encuentran por primera vez en el tema "Suma y resta hasta 10". Cuando los niños encuentran tales expresiones en el grado 1, por ejemplo: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; en el 2° grado, por ejemplo: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32 + 18 - 17; 4 * 10: 5, 60: 10 * 3, 36: 9 * 3, el maestro muestra cómo leer y escribir tales expresiones y cómo encontrar su valor (por ejemplo, 4 * 10: 5 lee: 4 por 10 y divide el resultado por 5). Al momento de estudiar el tema “Procedimiento de las acciones” en el grado 2, los estudiantes son capaces de encontrar los significados de expresiones de este tipo. El propósito del trabajo en esta etapa es, con base en las habilidades prácticas de los estudiantes, llamar su atención sobre el orden en que se realizan las acciones en tales expresiones y formular la regla correspondiente. Los estudiantes resuelven de forma independiente ejemplos seleccionados por el profesor y explican en qué orden los realizaron; acciones en cada ejemplo. Luego formulan la conclusión ellos mismos o leen la conclusión del libro de texto: si solo las operaciones de suma y resta (o solo las operaciones de multiplicación y división) se indican en la expresión sin paréntesis, entonces se realizan en el orden en que se escriben (es decir, de izquierda a derecha).

A pesar de que en las expresiones de la forma a + b + c, a + (b + c) y (a + c) + c, la presencia de corchetes no afecta el orden de realización de las acciones debido a la ley asociativa de la suma , en esta etapa es más conveniente orientar a los estudiantes para que la acción entre paréntesis se realice primero. Esto se debe al hecho de que para las expresiones de la forma a - (b + c) y a - (b - c) tal generalización es inaceptable y será bastante difícil para los estudiantes en la etapa inicial navegar por la asignación de paréntesis. para varias expresiones numéricas. Se desarrolla aún más el uso de corchetes en expresiones numéricas que contienen sumas y restas, lo que está asociado con el estudio de reglas tales como sumar una suma a un número, un número a una suma, restar una suma de un número y un número de una suma . Pero cuando se les presenta por primera vez los paréntesis, es importante indicar a los estudiantes que la acción entre paréntesis se realiza primero.

El maestro llama la atención de los niños sobre lo importante que es seguir esta regla al calcular, de lo contrario, puede obtener una igualdad incorrecta. Por ejemplo, los estudiantes explican cómo se obtuvieron los valores de las expresiones: 70 - 36 +10=24, 60:10 - 3 =2, por qué son incorrectas, qué valores tienen realmente estas expresiones. Del mismo modo, estudian el orden de las acciones en expresiones con paréntesis de la forma: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5). Los estudiantes también están familiarizados con tales expresiones y pueden leer, escribir y calcular su significado. Después de explicar el orden de realización de acciones en varias de estas expresiones, los niños formulan una conclusión: en expresiones con corchetes, la primera acción se realiza en los números escritos entre paréntesis. Considerando estas expresiones, es fácil mostrar que las acciones en ellas no se realizan en el orden en que están escritas; para mostrar un orden diferente de ejecución, y se utilizan paréntesis.

A continuación, se introduce una regla para el orden en que se realizan las acciones en expresiones sin paréntesis cuando contienen acciones de la primera y segunda etapa. Dado que las reglas de procedimiento se adoptan por acuerdo, el maestro las comunica a los niños o los estudiantes las conocen del libro de texto. Para que los alumnos aprendan las reglas introducidas, junto con los ejercicios de entrenamiento, incluyen ejemplos de resolución con una explicación del orden en que se realizan sus acciones. Los ejercicios para explicar errores en el orden de realizar acciones también son efectivos. Por ejemplo, de los pares de ejemplos dados, se propone escribir solo aquellos en los que los cálculos se realizan de acuerdo con las reglas del orden de las operaciones:

Después de explicar los errores, puede asignar la tarea: usando corchetes, cambie el orden de las acciones para que la expresión tenga un valor dado. Por ejemplo, para que la primera de las expresiones dadas tenga un valor igual a 10, debes escribirlo así: (20+30):5=10.

Especialmente útiles son los ejercicios de cálculo del valor de una expresión, cuando el alumno tiene que aplicar todas las reglas aprendidas. Por ejemplo, se escribe en la pizarra o en cuadernos la expresión 36:6+3*2. Los estudiantes calculan su valor. Luego, siguiendo las instrucciones del maestro, los niños cambian el orden de las acciones en la expresión usando paréntesis:

• 36:6+3-2
• 36:(6+3-2)
• 36:(6+3)-2
• (36:6+3)-2

Un ejercicio interesante, pero más difícil, es el contrario: ordena los paréntesis para que la expresión tenga el valor dado:

• 72-24:6+2=66
• 72-24:6+2=6
• 72-24:6+2=10
• 72-24:6+2=69

También son interesantes los ejercicios del siguiente tipo:

• 1. Coloca los paréntesis de modo que las igualdades sean verdaderas:
• 25-17:4=2 3*6-4=6
• 24:8-2=4
• 2. Reemplace los asteriscos con signos "+" o "-" para obtener las igualdades correctas:
• 38*3*7=34
• 38*3*7=28
• 38*3*7=42
• 38*3*7=48
• 3. Sustituye los asteriscos por signos de operaciones aritméticas para que las igualdades sean verdaderas:
• 12*6*2=4
• 12*6*2=70
• 12*6*2=24
• 12*6*2=9
• 12*6*2=0

Al hacer tales ejercicios, los estudiantes se convencen de que el significado de una expresión puede cambiar si cambia el orden de las acciones.

Para dominar las reglas del orden de las acciones, es necesario en los grados 3 y 4 incluir expresiones cada vez más complicadas, al calcular los valores de los cuales el estudiante aplicaría cada vez no una, sino dos o tres reglas para el orden de las acciones, por ejemplo:

• 90*8- (240+170)+190,
• 469148-148*9+(30 100 - 26909).

Al mismo tiempo, los números deben seleccionarse de modo que permitan la ejecución de acciones en cualquier orden, lo que crea condiciones para la aplicación consciente de las reglas aprendidas.

Y al calcular los valores de las expresiones, las acciones se realizan en un orden determinado, en otras palabras, debe observar orden de acciones.

En este artículo, descubriremos qué acciones deben realizarse primero y cuáles después. Comencemos con los casos más simples, cuando la expresión contiene solo números o variables conectadas por más, menos, multiplicar y dividir. A continuación, explicaremos qué orden de ejecución de acciones se debe seguir en las expresiones entre paréntesis. Finalmente, considere la secuencia en la que se realizan las acciones en expresiones que contienen potencias, raíces y otras funciones.

Navegación de página.

Primero multiplicación y división, luego suma y resta

La escuela ofrece lo siguiente una regla que determina el orden en que se realizan las acciones en expresiones sin paréntesis:

• las acciones se realizan en orden de izquierda a derecha,
• donde primero se realizan las multiplicaciones y divisiones, y luego las sumas y restas.

La regla indicada se percibe con bastante naturalidad. La realización de acciones en orden de izquierda a derecha se explica por el hecho de que es costumbre que llevemos registros de izquierda a derecha. Y el hecho de que la multiplicación y la división se realicen antes que la suma y la resta se explica por el significado que estas acciones llevan en sí mismas.

Veamos algunos ejemplos de la aplicación de esta regla. Como ejemplos, tomaremos las expresiones numéricas más simples para no distraernos con los cálculos, sino para centrarnos en el orden en que se realizan las acciones.

Ejemplo.

Siga los pasos 7−3+6.

Solución.

La expresión original no contiene paréntesis, ni tampoco contiene multiplicación y división. Por lo tanto, debemos realizar todas las acciones en orden de izquierda a derecha, es decir, primero restamos 3 de 7, obtenemos 4, luego sumamos 6 a la diferencia resultante de 4, obtenemos 10.

Brevemente, la solución se puede escribir de la siguiente manera: 7−3+6=4+6=10 .

Responder:

7−3+6=10 .

Ejemplo.

Indique el orden en que se realizan las acciones en la expresión 6:2·8:3.

Solución.

Para responder a la pregunta del problema, volvamos a la regla que indica el orden en que se realizan las acciones en expresiones sin paréntesis. La expresión original contiene solo las operaciones de multiplicación y división, y de acuerdo con la regla, deben realizarse en orden de izquierda a derecha.

Responder:

Primero 6 dividido por 2, este cociente se multiplica por 8, finalmente, el resultado se divide por 3.

Ejemplo.

Calcula el valor de la expresión 17−5·6:3−2+4:2 .

Solución.

Primero, determinemos en qué orden se deben realizar las acciones en la expresión original. Incluye tanto la multiplicación como la división y la suma y la resta. Primero, de izquierda a derecha, debe realizar multiplicaciones y divisiones. Entonces multiplicamos 5 por 6, obtenemos 30, dividimos este número por 3, obtenemos 10. Ahora dividimos 4 por 2, obtenemos 2. Sustituimos el valor encontrado 10 en lugar de 5 6:3 en la expresión original, y el valor 2 en lugar de 4:2, tenemos 17−5 6:3−2+4:2=17−10−2+2.

No hay multiplicación y división en la expresión resultante, por lo que queda por realizar las acciones restantes en orden de izquierda a derecha: 17−10−2+2=7−2+2=5+2=7 .

Responder:

17−5 6:3−2+4:2=7 .

En un principio, para no confundir el orden de realización de las acciones a la hora de calcular el valor de una expresión, conviene colocar números encima de los signos de las acciones correspondientes al orden en que se realizan. Para el ejemplo anterior, se vería así: .

Se debe seguir el mismo orden de operaciones (primero multiplicación y división, luego suma y resta) cuando se trabaja con expresiones literales.

Pasos 1 y 2

En algunos libros de texto de matemáticas, hay una división de las operaciones aritméticas en operaciones del primer y segundo paso. Lidiemos con esto.

Definición.

Acciones de primer paso se llaman suma y resta, y la multiplicación y división se llaman acciones del segundo paso.

En estos términos, la regla del párrafo anterior, que determina el orden en que se realizan las acciones, quedará redactada de la siguiente manera: si la expresión no contiene corchetes, entonces en orden de izquierda a derecha, las acciones de la segunda etapa ( multiplicación y división) se realizan primero, luego las acciones de la primera etapa (suma y resta).

Orden de ejecución de operaciones aritméticas en expresiones con paréntesis

Las expresiones a menudo contienen paréntesis para indicar el orden en que se deben realizar las acciones. En este caso una regla que especifica el orden en que se realizan las acciones en expresiones entre paréntesis, se formula de la siguiente manera: primero se realizan las acciones entre paréntesis, mientras que también se realizan las multiplicaciones y divisiones en orden de izquierda a derecha, luego las sumas y restas.

Entonces, las expresiones entre paréntesis se consideran componentes de la expresión original, y en ellas se conserva el orden de las acciones que ya conocemos. Considere las soluciones de los ejemplos para mayor claridad.

Ejemplo.

Realice los pasos dados 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Solución.

La expresión contiene paréntesis, así que primero realicemos las acciones en las expresiones encerradas entre estos paréntesis. Comencemos con la expresión 7−2 3 . En él, primero debes realizar la multiplicación, y solo luego la resta, tenemos 7−2 3=7−6=1. Pasamos a la segunda expresión entre paréntesis 6−4 . Aquí solo hay una acción: la resta, la realizamos 6−4=2.

Sustituimos los valores obtenidos en la expresión original: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2. En la expresión resultante, primero realizamos la multiplicación y la división de izquierda a derecha, luego la resta, obtenemos 5+1 2:2=5+2:2=5+1=6 . En esto, todas las acciones se completan, nos adherimos al siguiente orden de su ejecución: 5+(7−2 3) (6−4):2 .

Escribamos una solución corta: 5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2=5+1=6.

Responder:

5+(7−2 3)(6−4):2=6 .

Sucede que una expresión contiene corchetes dentro de corchetes. No debe tener miedo de esto, solo necesita aplicar constantemente la regla de voz para realizar acciones en expresiones con corchetes. Vamos a mostrar una solución de ejemplo.

Ejemplo.

Realiza las acciones de la expresión 4+(3+1+4·(2+3)) .

Solución.

Esta es una expresión entre paréntesis, lo que significa que la ejecución de acciones debe comenzar con la expresión entre paréntesis, es decir, con 3+1+4 (2+3) . Esta expresión también contiene paréntesis, por lo que primero debe realizar acciones en ellos. Hagamos esto: 2+3=5 . Sustituyendo el valor encontrado, obtenemos 3+1+4 5 . En esta expresión, primero realizamos la multiplicación, luego la suma, tenemos 3+1+4 5=3+1+20=24 . El valor inicial, después de sustituir este valor, toma la forma 4+24 , y solo queda para completar las acciones: 4+24=28 .

Responder:

4+(3+1+4 (2+3))=28 .

En general, cuando los paréntesis dentro de paréntesis están presentes en una expresión, a menudo es conveniente comenzar con los paréntesis internos y avanzar hacia los externos.

Por ejemplo, digamos que necesitamos realizar operaciones en la expresión (4+(4+(4−6:2))−1)−1 . Primero, realizamos acciones entre corchetes internos, ya que 4−6:2=4−3=1 , luego la expresión original tomará la forma (4+(4+1)−1)−1 . Nuevamente, realizamos la acción en los corchetes internos, ya que 4+1=5, luego llegamos a la siguiente expresión (4+5−1)−1. De nuevo, realizamos las acciones entre paréntesis: 4+5−1=8 , mientras llegamos a la diferencia 8−1 , que es igual a 7 .