Cómo calcular el área de un segmento y el área de un segmento de una esfera. Geometría de un círculo Área de un segmento y sector

El área de un segmento circular es igual a la diferencia entre el área del sector circular correspondiente y el área del triángulo formado por los radios del sector correspondiente al segmento y la cuerda que limita el segmento.

Ejemplo 1

La longitud de la cuerda que subtiende el círculo es igual al valor a. La medida en grados del arco correspondiente a la cuerda es 60°. Encuentra el área del segmento circular.

Solución

Un triángulo formado por dos radios y una cuerda es isósceles, por lo que la altura trazada desde el vértice del ángulo central hasta el lado del triángulo formado por la cuerda será también la bisectriz del ángulo central, dividiéndolo por la mitad, y la mediana, dividiendo la cuerda por la mitad. Sabiendo que el seno del ángulo es igual a la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, podemos calcular el radio:

Seno 30°= a/2:R = 1/2;

Sc = πR²/360°*60° = πa²/6

S▲=1/2*ah, donde h es la altura trazada desde el vértice del ángulo central hasta la cuerda. Según el teorema de Pitágoras h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.

En consecuencia, S▲=√3/4*a².

El área del segmento, calculada como Sreg = Sc - S▲, es igual a:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a²

Al sustituir el valor de a por un valor numérico, puede calcular fácilmente el valor numérico del área del segmento.

Ejemplo 2

El radio del círculo es igual a a. La medida en grados del arco correspondiente al segmento es 60°. Encuentra el área del segmento circular.

Solución:

El área del sector correspondiente a un ángulo determinado se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

Sc = πа²/360°*60° = πа²/6,

El área del triángulo correspondiente al sector se calcula de la siguiente manera:

S▲=1/2*ah, donde h es la altura trazada desde el vértice del ángulo central hasta la cuerda. Según el teorema de Pitágoras h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.

En consecuencia, S▲=√3/4*a².

Y finalmente, el área del segmento, calculada como Sreg = Sc - S▲, es igual a:

Sreg = πa²/6 - √3/4*a².

Las soluciones en ambos casos son casi idénticas. Por tanto, podemos concluir que para calcular el área de un segmento en el caso más simple, basta con conocer el valor del ángulo correspondiente al arco del segmento y uno de dos parámetros: el radio del círculo o la longitud de la cuerda que subtiende el arco del círculo que forma el segmento.

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El círculo, sus partes, sus tamaños y relaciones son cosas con las que un joyero se topa constantemente. Anillos, pulseras, castas, tubos, bolas, espirales: hay que hacer muchas cosas redondas. ¿Cómo puedes calcular todo esto, especialmente si tuviste la suerte de saltarte las clases de geometría en la escuela?

Primero veamos qué partes tiene un círculo y cómo se llaman.

• Un círculo es una línea que encierra un círculo.
• Un arco es parte de un círculo.
• El radio es un segmento que conecta el centro de un círculo con cualquier punto del círculo.
• Una cuerda es un segmento que conecta dos puntos de una circunferencia.
• Un segmento es parte de un círculo delimitado por una cuerda y un arco.
• Un sector es parte de un círculo delimitado por dos radios y un arco.

Las cantidades que nos interesan y sus designaciones:

Ahora veamos qué problemas relacionados con partes de un círculo hay que resolver.

• Encuentre la longitud del desarrollo de cualquier parte del anillo (pulsera). Dado el diámetro y la cuerda (opción: diámetro y ángulo central), encuentre la longitud del arco.
• Hay un dibujo en un plano, es necesario averiguar su tamaño en proyección después de doblarlo formando un arco. Dadas la longitud y el diámetro del arco, encuentre la longitud de la cuerda.
• Descubra la altura de la pieza obtenida doblando una pieza de trabajo plana formando un arco. Opciones de datos de origen: longitud y diámetro del arco, longitud y cuerda del arco; Encuentre la altura del segmento.

La vida te dará otros ejemplos, pero los di sólo para mostrar la necesidad de establecer dos parámetros para encontrar todos los demás. Esto es lo que haremos. Es decir, tomaremos cinco parámetros del segmento: D, L, X, φ y H. Luego, eligiendo entre ellos todos los pares posibles, los consideraremos como datos iniciales y encontraremos el resto mediante una lluvia de ideas.

Para no sobrecargar innecesariamente al lector, no daré soluciones detalladas, sino que presentaré sólo los resultados en forma de fórmulas (aquellos casos en los que no existe una solución formal, los discutiré a lo largo del camino).

Y una nota más: sobre unidades de medida. Todas las cantidades, excepto el ángulo central, se miden en las mismas unidades abstractas. Esto significa que si, por ejemplo, especifica un valor en milímetros, entonces no es necesario especificar el otro en centímetros y los valores resultantes se medirán en los mismos milímetros (y áreas en milímetros cuadrados). Lo mismo puede decirse de las pulgadas, los pies y las millas náuticas.

Y sólo el ángulo central en todos los casos se mide en grados y nada más. Porque, como regla general, las personas que diseñan algo redondo no tienden a medir ángulos en radianes. La frase “ángulo pi de cuatro” confunde a muchos, mientras que “ángulo de cuarenta y cinco grados” es comprensible para todos, ya que es sólo cinco grados más alto de lo normal. Sin embargo, en todas las fórmulas habrá un ángulo más, α, presente como valor intermedio. En significado, esta es la mitad del ángulo central, medida en radianes, pero no puedes profundizar en este significado.

1. Dado el diámetro D y la longitud del arco L

; longitud de la cuerda ;
altura del segmento ; ángulo central .

2. Dado el diámetro D y la longitud de la cuerda X

; longitud de arco ;
altura del segmento ; ángulo central .

Dado que la cuerda divide el círculo en dos segmentos, este problema no tiene una, sino dos soluciones. Para obtener el segundo, debes reemplazar el ángulo α en las fórmulas anteriores con el ángulo .

3. Dado el diámetro D y el ángulo central φ

; longitud de arco ;
longitud de la cuerda ; altura del segmento .

4. Dado el diámetro D y la altura del segmento H

; longitud de arco ;
longitud de la cuerda ; ángulo central .

6. Dada la longitud del arco L y el ángulo central φ

; diámetro;
longitud de la cuerda ; altura del segmento .

8. Dada la longitud de la cuerda X y el ángulo central φ

; longitud de arco ;
diámetro; altura del segmento .

9. Dada la longitud de la cuerda X y la altura del segmento H

; longitud de arco ;
diámetro; ángulo central .

10. Dado el ángulo central φ y la altura del segmento H

; diámetro ;
longitud de arco ; longitud de la cuerda .

El lector atento no pudo evitar notar que me perdí dos opciones:

5. Dada la longitud del arco L y la longitud de la cuerda X

7. Dada la longitud del arco L y la altura del segmento H

Estos son sólo esos dos casos desagradables en los que el problema no tiene una solución que pueda escribirse en forma de fórmula. Y la tarea no es tan rara. Por ejemplo, tienes una pieza plana de longitud L y quieres doblarla para que su longitud se convierta en X (o su altura se convierta en H). ¿Qué diámetro debo tomar el mandril (barra transversal)?

Este problema se reduce a resolver las ecuaciones:
; - en la opción 5
; - en la opción 7
y aunque no se pueden resolver analíticamente, se pueden resolver fácilmente mediante programación. E incluso sé dónde conseguir dicho programa: en este mismo sitio, bajo el nombre . Ella hace todo lo que les cuento detalladamente aquí en microsegundos.

Para completar el cuadro, agreguemos a los resultados de nuestros cálculos la circunferencia y tres valores de área: círculo, sector y segmento. (Las áreas nos ayudarán mucho a calcular la masa de todas las partes redondas y semicirculares, pero hablaremos más sobre esto en un artículo aparte). Todas estas cantidades se calculan usando las mismas fórmulas:

circunferencia ;
área de un círculo ;
área del sector ;
área del segmento ;

Y para concluir, permítanme recordarles una vez más la existencia de un programa absolutamente gratuito que realiza todos los cálculos anteriores, liberándolos de la necesidad de recordar qué es un arcotangente y dónde buscarlo.

Inicialmente se ve así:

Figura 463.1. a) arco existente, b) determinación de la longitud y altura de la cuerda del segmento.

Así, cuando hay un arco, podemos conectar sus extremos y obtener una cuerda de longitud L. En medio de la cuerda podemos trazar una línea perpendicular a la cuerda y así obtener la altura del segmento H. Ahora, conociendo el longitud de la cuerda y la altura del segmento, primero podemos determinar el ángulo central α, es decir el ángulo entre los radios dibujados desde el principio y el final del segmento (no se muestra en la Figura 463.1), y luego el radio del círculo.

La solución a tal problema se discutió con cierto detalle en el artículo "Cálculo de un dintel arqueado", por lo que aquí solo daré las fórmulas básicas:

tg( a/4) = 2N/L (278.1.2)

A/4 = arctán( 2H/L)

R = h/(1 - porque( a/2)) (278.1.3)

Como puede ver, desde un punto de vista matemático, no hay problemas para determinar el radio de un círculo. Este método le permite determinar el valor del radio del arco con la mayor precisión posible. Ésta es la principal ventaja de este método.

Ahora hablemos de las desventajas.

El problema con este método ni siquiera es que sea necesario recordar fórmulas de un curso de geometría escolar, olvidadas con éxito hace muchos años; para recordar las fórmulas, existe Internet. Y aquí hay una calculadora con funciones arctg, arcsin, etc. No todos los usuarios lo tienen. Y aunque este problema también se puede resolver con éxito a través de Internet, no debemos olvidar que estamos resolviendo un problema bastante aplicado. Aquellos. No siempre es necesario determinar el radio de un círculo con una precisión de 0,0001 mm; una precisión de 1 mm puede ser bastante aceptable.

Además, para encontrar el centro del círculo, es necesario extender la altura del segmento y trazar una distancia en esta línea recta igual al radio. Dado que en la práctica estamos tratando con instrumentos de medición no ideales, a esto debemos agregar el posible error en el marcado, resulta que cuanto menor es la altura del segmento en relación con la longitud de la cuerda, mayor es el error que puede ocurrir. al determinar el centro del arco.

Nuevamente no debemos olvidar que no estamos considerando un caso ideal, es decir Esto es lo que inmediatamente llamamos arco a la curva. En realidad, ésta puede ser una curva descrita por una relación matemática bastante compleja. Por lo tanto, el radio y el centro del círculo encontrado de esta manera pueden no coincidir con el centro real.

En este sentido, quiero ofrecer otro método para determinar el radio de un círculo, que yo mismo uso a menudo, porque este método para determinar el radio de un círculo es mucho más rápido y sencillo, aunque la precisión es mucho menor.

Segundo método para determinar el radio del arco (método de aproximaciones sucesivas)

Así que sigamos considerando la situación actual.

Como todavía necesitamos encontrar el centro del círculo, para empezar dibujaremos al menos dos arcos de radio arbitrario desde los puntos correspondientes al principio y al final del arco. A través de la intersección de estos arcos pasará una línea recta en la que se ubica el centro del círculo deseado.

Ahora necesitas conectar la intersección de los arcos con la mitad de la cuerda. Sin embargo, si no dibujamos un arco desde los puntos indicados, sino dos, entonces esta línea recta pasará por la intersección de estos arcos y entonces no es necesario buscar la mitad de la cuerda.

Si la distancia desde la intersección de los arcos hasta el inicio o final del arco en cuestión es mayor que la distancia desde la intersección de los arcos hasta el punto correspondiente a la altura del segmento, entonces el centro del arco en cuestión es ubicado más abajo en la línea recta trazada a través de la intersección de los arcos y el punto medio de la cuerda. Si es menor, entonces el centro deseado del arco está más alto en la línea recta.

En base a esto, se toma el siguiente punto de la línea recta, presumiblemente correspondiente al centro del arco, y a partir de él se toman las mismas medidas. Luego se acepta el siguiente punto y se repiten las mediciones. Con cada nuevo punto, la diferencia en las medidas será cada vez menor.

Eso es todo. A pesar de una descripción tan larga y complicada, de 1 a 2 minutos son suficientes para determinar el radio del arco de esta manera con una precisión de 1 mm.

En teoría se parece a esto:

Figura 463.2. Determinación del centro del arco por el método de aproximaciones sucesivas.

Pero en la práctica es algo como esto:

Foto 463.1. Marcado de piezas de formas complejas con diferentes radios.

Aquí solo agregaré que a veces tienes que encontrar y dibujar varios radios, porque hay muchas cosas mezcladas en la fotografía.

Definición de un segmento circular

Segmento es una figura geométrica que se obtiene cortando parte de un círculo con una cuerda.

Calculadora online

Esta figura se ubica entre la cuerda y el arco del círculo.

Acorde

Este es un segmento que se encuentra dentro de un círculo y que conecta dos puntos elegidos arbitrariamente en él.

Al cortar parte de un círculo con una cuerda, puedes considerar dos figuras: este es nuestro segmento y un triángulo isósceles, cuyos lados son los radios del círculo.

El área de un segmento se puede encontrar como la diferencia entre las áreas de un sector de un círculo y este triángulo isósceles.

El área de un segmento se puede encontrar de varias formas. Veámoslos con más detalle.

Fórmula para el área de un segmento de círculo usando el radio y la longitud del arco del círculo, la altura y la base del triángulo

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac(1)(2)\cdot h\cdot aS=2 1 ​ ⋅ R⋅s-2 1 ​ ⋅ h⋅a

RR R- radio del círculo;
s s s- longitud de arco;
S.S h- altura de un triángulo isósceles;
un un a- la longitud de la base de este triángulo.

Ejemplo

Dado un círculo, su radio es numéricamente igual a 5 (cm), la altura, que se dibuja hasta la base del triángulo, es igual a 2 (cm), la longitud del arco es 10 (cm). Encuentra el área de un segmento de círculo.

Solución

R=5 R=5 R=5
h = 2 h = 2 h =2
s = 10 s = 10 s =1 0

Para calcular el área solo necesitamos la base del triángulo. Encontrémoslo usando la fórmula:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt(h\cdot(2\cdot R-h))=2\cdot\ raíz cuadrada (2\cdot(2\cdot 5-2))=8un =2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R - h )​ = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) ​ = 8

Ahora puedes calcular el área del segmento:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac(1)(2)\cdot R\cdot s-\frac (1)(2)\cdot h\cdot a=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 10-\frac(1)(2)\cdot 2\cdot 8=17S=2 1 ​ ⋅ R⋅s-2 1 ​ ⋅ h⋅un =2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ​ ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (ver cuadrados)

Respuesta: 17 cm cuadrados.

Fórmula para el área de un segmento de círculo dado el radio del círculo y el ángulo central

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha-\sin(\alpha))S=2 R 2 ​ ⋅ (α − pecado(α))

RR R- radio del círculo;
α\alfa α - el ángulo central entre dos radios que subtienden la cuerda, medido en radianes.

Ejemplo

Encuentra el área de un segmento de círculo si el radio del círculo es de 7 (cm) y el ángulo central es de 30 grados.

Solución

R=7 R=7 R=7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Primero conviertamos el ángulo en grados a radianes. Porque el π\pi π Un radian es igual a 180 grados, entonces:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^(\circ)=30^(\circ)\cdot\frac(\pi)(180^(\circ))=\frac(\pi )(6)3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π ​ = 6 π ​ radián. Entonces el área del segmento es:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0.57 S=\frac(R^2)(2)\cdot(\alpha- \sin(\alpha))=\frac(49)(2)\cdot\Big(\frac(\pi)(6)-\sin\Big(\frac(\pi)(6)\Big)\Big )\aproximadamente 0,57S=2 R 2 ​ ⋅ (α − pecado(α)) =2 4 9 ​ ⋅ ( 6 π ​ − pecado ( 6 π ​ ) ) ≈ 0 . 5 7 (ver cuadrados)

Respuesta: 0,57 cm2