Anuiteti

Većina suvremenih komercijalnih transakcija ne uključuje jednokratna plaćanja, već niz novčanih primitaka (ili, obrnuto, plaćanja) tijekom određenog razdoblja. Ovaj niz se zove tijek plaćanja.

Tijek plaćanja, čiji su svi elementi raspoređeni u vremenu tako da su intervali između bilo koja dva uzastopna plaćanja konstantni, naziva se anuitet, ili financijska renta.

Anuitet za koji se plaćanja vrše na početku odgovarajućih intervala naziva se anuitet prenumerando; ako se uplate izvrše na kraju intervala, dobivamo anuitet postnumerando (običan anuity) možda je najčešći slučaj. Takav anuitet uključuje primanje ili plaćanje jednakih iznosa tijekom cijelog razdoblja poslovanja na kraju svakog razdoblja (godina, polugodište, tromjesečje, mjesec itd.).

Uvedimo sljedeću oznaku:

R– iznos svake pojedinačne uplate;

ja s– složenu kamatnu stopu po kojoj se obračunava kamata;

S k– povećan iznos za kth

S– obračunati (budući) iznos cjelokupnog postnumerando anuiteta (tj. zbroj svih plaćanja s kamatama);

A k– moderna vrijednost do plaćanje rente postnumerando;

A– moderna vrijednost cjelokupne postnumerando rente.

P– broj uplata.

Post-numerando anuitet s godišnjim plaćanjima R tijekom n godina za koje se kamata obračunava po složenoj godišnjoj stopi ja c .

Glavne kvantitativne karakteristike postnumerando anuiteta:

1. Ukupni akumulirani iznos određuje se formulom:

Gdje k i , n– koeficijent povećanja u obliku pogodnom za izračun jednak je:

Za određivanje koeficijenata povećanja i smanjenja običnog anuiteta postoje tablice koje su prikladne za korištenje u praktičnim izračunima. Mora se imati na umu da n u ovom slučaju, ne broj godina, već broj razdoblja istog trajanja (dan, mjesec, tromjesečje itd.) u kojima je određena kamatna stopa prihvaćena. Stoga, ako je dana godišnja kamatna stopa, možete pronaći ekvivalentnu stopu za kraći interval i dalje razmotriti P kao broj takvih intervala.

Tablica 3. Stope rasta anuiteta

Tablica 4. Faktori pretvorbe anuiteta

_____________________________________________________________

2. Trenutna vrijednost cjelokupnog anuiteta određena je formulom

3. Moderne vrijednosti svakog plaćanja ( A do) određuju se formulom:

Primjer 13. Za otplatu paketa obveznica koje je izdao Intercom OJSC na 5 godina, stvara se fond za otkup. Godišnja plaćanja poduzeća iznose 150.000 rubalja, na koje se na kraju svake godine obračunavaju kamate po stopi od 7%. Odredite konačni akumulirani iznos sredstava, modernu vrijednost cjelokupnog anuiteta i modernu vrijednost svake uplate.

Riješenje. Za izračun buduće vrijednosti otkupnog fonda koristimo formulu

Koeficijent povećanja određuje se formulom

Sličan rezultat dobivamo iz tablice. Konačni akumulirani iznos bit će jednak S = P ∙150 000 ∙ 5,7507 = 862605 rub.

Trenutnu vrijednost cjelokupnog anuiteta određujemo pomoću formule

Veličina sljedećeg plaćanja može se odrediti pomoću formula:

Moderne vrijednosti svake uplate ( A do) određuje se formulom:

U ovom članku nastavit ćemo govoriti o diskontiranju novčanih tokova, a ovaj put ćemo govoriti o anuitetnim novčanim tokovima.

Što je anuitet?

Anuitet je niz jednakih plaćanja putem isto vremenskim razdobljima. To mogu biti godišnje, tromjesečne, mjesečne uplate. Na primjer, fiksni iznos plaće, plaćanje stanarine, plaćanje kredita banci itd.

Anuiteti mogu biti pre-numerando i post-numerando. Ovi uvjeti označavaju trenutak plaćanja. Termin prenumerando znači plaćanja na početku svakog razdoblja, postnumerando- na kraju vremenskog razdoblja.

Formula rente

Novčani tokovi rente mogu se i diskontirati, odnosno odrediti njihova trenutna vrijednost. Na primjer, to je potrebno kada trebamo birati između dvije mogućnosti koje su nam ponuđene za primanje novca.

Diskontiranje anuitetskih plaćanja

PRIMJER 1. Morate odabrati najprofitabilniju opciju:

(B) 5 puta 10.000 USD na kraju svake od sljedećih 5 godina.

Stopa banke za dobivanje kredita za ovo razdoblje je 10%.

Na prvi pogled, opcija (B) bolja je ukupno (5 x 10 000 = 50 000) od 40 000 USD. Ali je li ovo stvarno istina? Uostalom, znamo da novac također ima "vremensku" vrijednost. Da bismo te dvije opcije međusobno usporedili, potrebno ih je dovesti u jednu točku u vremenu (u trenutak "sada"), budući da je vrijednost novca u različitim točkama u vremenu različita. U ovom slučaju potrebno je diskontirati anuitetni novčani tok (B), tj. izračunajte njegovu današnju vrijednost.

Prvo se prisjetimo kako izgleda formula za popust:

PV = FV x 1/(1+R) n

Buduća vrijednost (FV) - buduća vrijednost Sadašnja vrijednost (PV) - trenutna (diskontirana/sadašnja) vrijednost. R - kamatna stopa (stopa povrata koju zahtijeva investitor), N - broj godina od datuma u budućnosti do sadašnjeg trenutka

Faktori popusta korišteni za naš primjer 1/(1+R)n- ovo je 0,9091, 0,8264, itd. Samo će se ti izračuni morati ponoviti 5 puta i dodati. Ako diskontujete (odnosno dovedete na trenutni trenutak) svaki iznos posebno, dobit ćete sljedeću tablicu:

10.000 x 0.9091 = 9.091
10.000 x 0.8264 = 8.264
10.000 x 0.7513 = 7.513
10.000 x 0.6830 = 6.830
10.000 x 0.6209 = 6.209
Ukupno: 37.907

Ovdje se iznos uplate množi s faktorom popusta koji odgovara svakoj godini. Ukupno, pet isplata od 10.000 USD na kraju svake godine nakon popusta vrijede 37.907 USD, nešto manje od današnjih 40.000 USD. Stoga bi uz kamatu od 10% današnjih 40.000 USD bilo bolje od petogodišnjeg anuiteta ponuđenog od 10.000 USD.

Formula Diskontirana vrijednost anuiteta može se napisati na sljedeći način:

PV = PMT x= 10.000 x (0.9091+0.8264+0.7513+0.6830+0.6209) = 10.000 x 3.7907 = 37.907

Gdje PMT (od engleskog plaćanja) je iznos isplate anuiteta.

Kao što ste mogli primijetiti, umjesto diskontiranja svakog iznosa zasebno, možete zbrojiti sve faktore popusta i pomnožiti samo jednom. Rezultat zbrajanja diskontnih faktora tijekom 5 godina naziva se koeficijent rente. U ovom primjeru koeficijent rente je 3,7907 .

Dakle, da bismo pronašli trenutnu vrijednost anuiteta, potrebno je jednokratnu uplatu pomnožiti s koeficijentom anuiteta (10.000 * 3.7907 = 37.907).

Dakle, pogledali smo primjer s isplatama anuiteta na kraju svake godine (postnumerando).

PRIMJER 2. Promijenimo malo uvjete našeg primjera. Morate odabrati najprofitabilniju opciju:

A) danas primiti 40 000 dolara ili

B) 5 puta 10.000 USD na početku svake od sljedećih 5 godina.

To će biti takozvani anuitet prenumerando.

U ovoj situaciji, budući da se prva uplata vrši na početku godine, najvažnija nijansa koju treba imati na umu jest da prvu uplatu ne treba diskontirati (tj. dovesti do sadašnjeg trenutka). Drugim riječima, kod prve uplate koristi se faktor popusta jedan. Ali potrebno je diskontirati preostala 4 plaćanja, jer kasne na vrijeme. Za ilustraciju, napravimo sljedeću tablicu:

10 000 x 1 000 = 10 000
10 000 x 0,9091 = 9,091
10 000 x 0,8264 = 8,264
10 000 x 0,7513 = 7,513
10.000 x 0.6830 = 6.830
Ukupno: 41.698

Stoga će predloženi anuitet od 5 godina na 10.000 na početku godine biti isplativiji od 40.000 danas po stopi od 10%.

Formula diskontirana vrijednost anuiteta:

PV = PMT + PMT x= 10 000 + 10 000 x (0,9091+0,8264+0,7513+0,6830) = 10 000 + 10 000 x 3,1698 = 41 698

Imajte na umu da smo u ovom primjeru odredili faktor anuiteta za četiri odgođena plaćanja, a ne za pet, i nismo diskontirali prvu uplatu.

Kao što se može vidjeti iz ovih primjera, od velike je važnosti trenutak u kojem se isplaćuju: na početku ili na kraju razdoblja. Stoga, ako trebate izračunati diskontiranu vrijednost novčanih tokova anuiteta, preporučljivo je nacrtati vremensku ljestvicu na kojoj ćete zabilježiti iznose i koeficijente koji odgovaraju svakom razdoblju.

Obračunati iznos anuiteta	Moderno značenje
godišnji
= S (1 + i)	Ä = A (1 + i)
godišnje, kamate se obračunavaju m puta godišnje
= S (1 + ) m	D = A (1 + ) m
p-term, kamata se obračunava jednom godišnje
= S (1 + i)	Ä = A (1 + i)
p-term, kamate obračunate m puta godišnje (m = p)
= S (1 + )	Ä = A (1 + )

Primjer 23.

Iznos od 25 tisuća rubalja deponira se u mirovinski fond godišnje na početku godine, na koji se obračunavaju složene kamate po stopi od 3% godišnje. Odredite iznos akumuliran u fondu nakon 10 godina i iznos obračunate kamate.

Riješenje:

Najam prenumerand, godišnji, kamata se obračunava jednom godišnje. Koristimo formulu

S = S (1 + i) = 25000 1,03 = 295194 (rub.)

I = 295194 – 25000 = 270194 (rub.)

Izračun suvremene vrijednosti financijskih anuiteta od veće je praktične važnosti od izračuna obračunate vrijednosti. Razmotrimo zadatak ocjenjivanja investicijskog projekta.

Primjer 24.

U roku od 4 godine očekuju se prihodi od projekta u iznosu od 2 milijuna rubalja. na kraju svakog polugodišta. Jednokratna ulaganja u projekt na početku prve godine iznosila su 10 milijuna rubalja. Hoće li ovo ulaganje biti gubitak ili dobitak uz godišnju kamatnu stopu od 6%.

Riješenje:

Primici u iznosu od 2 milijuna rubalja. očekuje se u roku od četiri godine. Budući da se radi o višekratnim uplatama, potrebno ih je donijeti na isti datum. Procijenimo trošak ovih plaćanja na početku prve godine. Da bismo to učinili, koristimo se formulom za modernu vrijednost post-numerando p-term anuiteta s kamatama koje se obračunavaju jednom godišnje (pogledajte imenik, tablica "Post-numerando anuitet.")

Teorija moderne vrijednosti anuiteta našla je primjenu u problemima otplate duga s jednakim rokovima plaćanja. Gore u 1. poglavlju već smo govorili o izradi plana otplate kredita u jednakim iznosima. U ovom poglavlju usredotočit ćemo se na problem otplate duga korištenjem formule financijske rente. Ekonomska formulacija problema je sljedeća. Dug na početku roka utvrđen je u iznosu A, mora se vratiti u jednakim hitnim ratama R, koje uključuju obračunate kamate po stopi i. Očito je da se ovaj problem može riješiti pomoću formula za suvremenu vrijednost financijske rente.

Primjer 25.

Neka trenutni dug bude 250.000 rubalja. Predlaže se otplata duga u roku od 5 godina uz kamatnu stopu od 30% godišnje. Dug se otplaćuje u jednakim obrocima uključujući i pripadajuće kamate.Izraditi plan otplate duga.

Riješenje:

Očito je trenutni dug 250.000 rubalja. predstavlja modernu vrijednost financijskog anuiteta s godišnjim isplatama R. Izračunajmo terminske isplate R na temelju formule za suvremenu vrijednost godišnjeg anuiteta post-numerando (Vidi Priručnik, tablica “Anuitet - post-numerando”) .

Iznosi 102645 rub. isplaćuju se godišnje tijekom pet godina i uključuju obračunate kamate. Izračunajmo obračunate kamate za prvu godinu:

Iznos otplate duga u prvoj godini je:

102645-75000=27645 (rub.)

U drugoj godini stanje duga je:

250000-27645=222355 (rub.)

Kamata se obračunava na ovaj iznos u drugoj godini:

Iznos koji dospijeva u drugoj godini je jednak.

Tema 4. Konstantne financijske rente

4.1. Obilježja tokova plaćanja

4.1.1. Osnovni koncepti

Operacije s pojedinačnim novčanim iznosima temelje se na složenijim operacijama - operacijama s sekvencama takvih iznosa raspoređenim u vremenu, odnosno s tokovima plaćanja.

Tijek plaćanja je niz novčanih iznosa ograničen na određene točke u vremenu. Pozivaju se pojedinačni iznosi novca koji su članovi niza članovi niti .

Tokovi nastaju, primjerice, pri provedbi investicijskog projekta, pri otplati duga u ratama, pri primanju prihoda od dionica ili drugih vrijednosnih papira, pri isplati mirovina itd.

Platni tokovi se dijele na redovite i neredovite. Opcije toka su grafički prikazane na sl. 4.1-4.3.

U nepravilan protok vremenski intervali između članova niti mogu imati različito trajanje. Osim toga, članovi takvog toka mogu imati različite predznake. Pozitivni pojmovi obično odgovaraju novčanim primicima, a negativni troškovima.

U redoviti protok vremenski razmaci između susjednih plaćanja iste su duljine i termini toka imaju isti predznak. Redoviti tokovi se također nazivaju financijske rente .

Riža. 4.1. Nepravilan tijek plaćanja

Riža. 4.2. Redoviti tok plaćanja (slučaj stalnog financijskog anuiteta)

Riža. 4.3. Redoviti tok plaćanja (slučaj varijabilnog financijskog anuiteta)

Imajte na umu da se uvjeti financijske rente u općem slučaju mogu razlikovati po veličini. Ako su isti, onda govore o tome konstantno financijska renta. Ako se razlikuju, onda o varijabla financijska renta. Te razlike mogu biti podložne određenoj pravilnosti (na primjer, anuiteti s konstantnim apsolutnim ili relativnim porastom članova) ili biti nesustavne.

Glavni parametri koji karakteriziraju najam uključuju:

• član rente — iznos posebnog plaćanja;
• anuitetsko razdoblje — duljina vremenskog intervala između susjednih plaćanja;
• rok rente — duljina vremenskog intervala od početka prvog razdoblja do kraja posljednjeg razdoblja;
• kamatna stopa — kamatnu stopu na temelju koje se provodi analiza najamnine.

Pri analizi pojedinih anuiteta koriste se i druge karakteristike i parametri, na primjer, učestalost obračuna kamata (ako se obračunavaju nekoliko puta godišnje), vjerojatnost isplate (ako je riječ o isplatama osiguranja) itd.

Anuiteti mogu i ne moraju imati unaprijed određeno razdoblje. U potonjem slučaju govore o vječna renta .

Anuiteti se razlikuju u vremenu isplate unutar razdoblja. Ako se uplate izvrše na kraju razdoblja, tada se poziva anuitet renta postnumerando (i obična renta ). Ako se plaćanja vremenski podudaraju s početkom razdoblja, tada se poziva anuitet renta prenumerando .

4.1.2. Opće karakteristike tokova plaćanja

Dva financijska tijeka mogu biti različito vremenski raspoređena, imati različito trajanje, različit broj članova i razlikovati se po veličini članova.

Njihova usporedba, analiza i odabir mogućnosti protoka provode se na temelju općih karakteristika koje omogućuju svođenje cijele raznolikosti protoka na mali broj osnovnih pokazatelja.

Glavna karakteristika toka je njegova sadašnja vrijednost (smanjeno vrednovanje). Omogućuje vam da "sažmite" cijeli protok raspoređen kroz vrijeme u jedan broj.

Pod, ispod sadašnja vrijednost shvaća se kao zbroj svih uvjeta tijeka s obračunatom kamatom, smanjen (diskontiran) na neku zadanu točku u vremenu. Obično se takva vremenska točka odabire kao trenutak početka prvog razdoblja toka ili trenutak kraja njegovog posljednjeg razdoblja. U prvom slučaju govorimo o moderna vrijednost (moderna procjena ) protok, u drugom - o akumulirana vrijednost (akumulirani iznos ) teći.

Ponekad se moderna procjena tijeka ne veže za njegov početak, već za neku raniju točku u vremenu. Na primjer, ako se danas tokovi analiziraju prema opcijama za investicijske projekte, čija bi provedba trebala započeti nakon nekog vremena, tada se moderna procjena obično ne veže za početak tokova (različite opcije mogu imati različite polazne točke), već do danas.

4.1.3. Izračun sadašnje vrijednosti protoka

Formulirajmo definiciju sadašnje vrijednosti protoka u općem slučaju.

Neka se tok sastoji od članova Rk, ograničenih na trenutke vremena tk. Odredimo cijenu tog toka, svedenu na proizvoljan trenutak u vremenu t.

Razmotrimo proizvoljan protočni član Rk. Ako se odgovarajući trenutak vremena tk dogodi prije trenutka smanjenja t,

tk< t,

onda kada se ponovno izračunava procjena vrijednosti Rk u trenutku t, treba je povećati množenjem s koeficijentom rasta jednakim . Ovaj koeficijent pokazuje koliko će se puta promijeniti vrijednost Rk pri složenoj kamatnoj stopi i tijekom vremena (t - tk) koje dijeli trenutak tk od trenutka t.

Drugim riječima, kada bi se novčani iznos Rk položio na depozitni račun uz uvjete za obračun složene kamate po stopi i, tada bi tijekom vremena (t - tk) vrijednost Rk porasla na vrijednost Rk. Eksponent je pozitivan, tako da je koeficijent veći od 1, vrijednost Rk raste s množenjem.

Ako vrijeme tk nastupi kasnije od t,

tk >t,

tada se pri ponovnom izračunavanju procjene vrijednosti Rk u trenutku t mora pomnožiti s odgovarajućim diskontnim faktorom. Formula za ovaj koeficijent je ista kao i za prethodni koeficijent rasta, tj. Međutim, eksponent je sada negativan, pa će koeficijent automatski biti manji od 1. Vrijednost Rk se smanjuje kada se pomnoži takvim koeficijentom.

Dakle, bez obzira na to kako su momenti t i tk međusobno smješteni, pri dovođenju strujnog člana Rk na trenutak t treba ga pomnožiti s istim izrazom jednakim .

U jednoj situaciji to dovodi do povećanja Rk, u drugoj - do smanjenja. U svim situacijama to dovodi do ispravnog ponovnog izračuna vrijednosti Rk, do njezinog svođenja na vrijeme t.

Sadašnja vrijednost cjelokupnog toka St, umanjena u trenutku t po složenoj kamatnoj stopi i, određena je zbrojem rezultata smanjenja svih članova toka, tj. formulom

Formula vam omogućuje određivanje sadašnje vrijednosti protoka za bilo koji trenutak vremena t. Konkretno, ako je t trenutak početka protoka, tada ova formula određuje trenutni trošak protoka. Ako je t trenutak isteka protoka, formula određuje akumulirani iznos protoka.

4.1.4. Odnos između rezultata redukcije na različite točke u vremenu

Razmotrimo kako se vrijednost sadašnje vrijednosti mijenja kada se prenese u drugi trenutak.

Neka t bude još jedan moment redukcije. Tada, kada se svede na trenutak t, dobivamo vrijednost:

Veličine St i St povezane su relacijom

Razmotrimo omjer danih procjena:

Iz ovoga nalazimo da će vrijednost sadašnje vrijednosti biti veća kada se prenese na kasniju točku. Doista, ako

t>t,

odakle slijedi da

St > St.

Omjer zadanih procjena St / St izražava se vrijednošću koja ne ovisi o konkretnom protoku. Ovisi samo o razlici (t - t) momenata redukcije i o odabranoj kamatnoj stopi za redukciju.

To omogućuje usporedbu različitih protoka na temelju njihove sadašnje vrijednosti, bez obzira na izbor određene točke smanjenja.

Doista, neka su i troškovi dva toka kada su dovedeni u vrijeme t, i i su troškovi istih tokova kada su dovedeni u vrijeme t. Tada su omjeri ovih procjena jednaki:

Ako se sadašnja vrijednost jednog toka pokaže m puta većom od sadašnje vrijednosti drugog kad se oba toka dovedu u jednu vremensku točku, tada će isti odnos između tokova ostati isti kad se dovedu u bilo koju drugu točku u vremenu .

4.2. Obilježja trajne financijske rente

4.2.1. Izračun obilježja trajne rente

Gore dobivena formula za sadašnju vrijednost protoka prikladna je za izračune s bilo kojim protokom. U nekim važnim posebnim slučajevima može se znatno pojednostaviti. Tako ćemo za najčešći tip toka - konstantnu financijsku rentu - dobiti znatno jednostavnije formule za izračun. Jednostavne formule također se mogu dobiti za varijabilne anuitete s jednostavnim uzorkom promjena u uvjetima anuiteta.

Razmotrimo konstantni anuitet koji sadrži n članova iste vrijednosti R (slika 4.4). Razmak između članova anuiteta je isti. Pretpostavimo da je to 1 godina (ovaj anuitet se zove anuitet ). Neka ovo bude post-numerando najam.

Dakle, imamo niz od n identičnih plaćanja veličine R svaka. Ukupno trajanje anuiteta je n godina. Sljedeća isplata je na kraju godine. Prva isplata je na kraju prve godine, posljednja na kraju n-te godine. Kraj trajanja ukupnog anuiteta poklapa se s trenutkom zadnje uplate.

Riža. 4.4. Stalna financijska renta

Odredimo akumuliranu konačnu vrijednost anuiteta S, tj. vrijednost anuiteta na kraju njegovog roka (konačna vrijednost se ponekad označava i sa FV - Budućnost Vrijednost).

Smanjenje treba izvršiti na kraju razdoblja anuiteta. Razmotrimo uvjete anuiteta jedan po jedan, od posljednjeg prema prvom.

Posljednji, n-ti rok anuiteta tijekom smanjenja ostaje nepromijenjen, budući da se trenutak smanjenja poklapa s trenutkom zadnje uplate. Kao rezultat transformacije, zadržava svoju R vrijednost.

Pretposljednji, (n-1) član pretvara se u vrijednost R(1 + i).

Pretposljednji, (n-2) član se pretvara u .

Nastavljajući razmišljanje, nalazimo da se proizvoljni k-ti član transformira u .

Konkretno, prvi izraz se pretvara u .

Zbrajanjem dobivene n-člane geometrijske progresije s prvim članom R i nazivnikom (1+i), dolazimo do formule

Ovo je formula za konačni akumulirani zbroj konstantnog n-ročnog anuiteta post-numerando.

Okrenimo se formuli za početnu, modernu vrijednost anuiteta A, koja odgovara redukciji na početni trenutak trajanja anuiteta (ova se vrijednost također označava s PV - Sadašnja vrijednost). Ova se formula može dobiti na dva načina.

Jedan je provesti razmišljanje slično gore navedenim podacima za formulu akumuliranog zbroja, ali usmjereno na njegovo dovođenje na drugu točku u vremenu. Drugi je diskontirati već primljenu vrijednost akumuliranog iznosa na početni trenutak trajanja anuiteta, tj. koristiti jednakost

Drugi način vam omogućuje da odmah napišete konačnu formulu

Koristeći ove formule, možete izvršiti izračune za bilo koju pozitivnu kamatnu stopu i. Ne rade samo kada je i = 0, tj. kada se ne uzima u obzir rast uloženog novca. Međutim, u ovom slučaju, sadašnja i buduća procjena fonda su iste i obje su jednake jednostavnom zbroju uvjeta anuiteta:

4.2.2. Vječna renta

U nekim slučajevima može se smatrati da anuitet traje neograničeno, odnosno da ima neograničen broj članova. Ova situacija nastaje kada razdoblje anuiteta nije unaprijed određeno. Na primjer, redovite isplate obveznica s neograničenim rokom trajanja.

Anuiteti s neograničenim rokom nazivaju se vječne rente .

Nemoguće je utvrditi obračunati iznos trajnog anuiteta, budući da se takav iznos mora dovesti do kraja trajanja anuiteta. Međutim, moguće je odrediti sadašnju vrijednost trajnog anuiteta. Da biste to učinili, dovoljno je zbrojiti beskonačnu opadajuću geometrijsku progresiju.

Ako u gore dobivenoj formuli za modernu vrijednost anuiteta s članom n pustimo da n teži beskonačnosti, dobit ćemo:

Dakle, suvremena vrijednost trajnog anuiteta određena je jednostavnim pravilom: suvremena vrijednost jednaka je omjeru vrijednosti roka anuiteta i kamatne stope.

4.2.3. Odnos između parametara anuiteta

Imajte na umu da je brojnik u posljednjoj formuli negativan (izraz sublog je manji od 1), tako da znak minus ispred formule vraća pozitivnu vrijednost n.

Za razliku od R i n, izračun kamatne stope i ne može se provesti u obliku izračuna pomoću gotove formule. Kamatna stopa se utvrđuje jednom od metoda aproksimativnih izračuna (npr. metodom linearne interpolacije - metodom tetiva ili Newtonovom metodom - metodom tangente).

4.2.4. Anuiteti prenumerando i postnumerando

Pre-numerando anuitet, kada se dovede do kraja roka, razlikuje se od post-numerando anuiteta po pomicanju za jedno vremensko razdoblje od kraja. Stoga, prilikom smanjivanja, sve njegove članove treba dodatno pomnožiti istom vrijednošću (1 + i). Kao rezultat toga, formula za obračunati iznos anuiteta prenumerando poprimit će oblik

Formula za suvremenu vrijednost najamnine promijenit će se na sličan način:

Odgovarajuće promjene dogodit će se u formulama koje određuju vrijednost stalnog roka i trajanja za prenumerando anuitet:

Rezultirajuće formule mogu se smatrati formulama za post-numerando anuitet, ali s novom procjenom sadašnje vrijednosti (procjena S ili A), smanjenom (1+ i) puta.

Formula za rok rente n, izražen akumuliranim iznosom S, ima oblik

Slična formula za član anuiteta n, izražen kroz modernu vrijednost anuiteta A, ima oblik

Dobivene formule odgovaraju formulama za postnumerando najamninu, ali s novom vrijednošću pojma najamnine R, uvećanom za (1+ i) puta.

U budućnosti ćemo konstruirati formule za post-numerando anuitet, imajući na umu da se one mogu lako pretvoriti u formule za pre-numerando anuitet.

4.3. Plaćanja i kamate

4.3.1. Uzimajući u obzir značajke obračuna kamata

Razmotrimo situaciju u kojoj se kamate na članove anuiteta obračunavaju ne jednom, već nekoliko puta tijekom razdoblja primitka uplata.

Neka se kamate obračunavaju na nove članove stalnog anuiteta postnumerando m puta godišnje (na primjer, kvartalno). Razmotrimo dvije opcije za pretvaranje godišnje stope u tromjesečnu.

1. Neka se pretvorba godišnje stope i u tromjesečnu stopu j dogodi prema formuli složene kamatne stope, tj. prema formuli

Općenito, kada se godina podijeli na m jednakih razdoblja, ova formula ima oblik

U ovom slučaju, stopa i i stopa j ispravno su konzistentne jedna s drugom, a sve formule za izračun povezane s anuitetom ostaju iste.

2. Neka se pretvorba godišnje stope i u tromjesečnu stopu j dogodi prema formuli jednostavne kamatne stope, tj. prema formuli

ili, u slučaju podjele godine na m razdoblja, prema formuli

j = i/m.

U ovoj situaciji multiplikator rasta doprinosa za godinu jednak je

Pri konstruiranju zadane procjene najamnine njezini članovi, kao iu izvornom slučaju, tvore geometrijsku progresiju, ali s drugačijim nazivnikom - s nazivnikom jednakim faktoru rasta. Dakle, za akumulirani iznos dobivamo:

Za moderni trošak protoka dobivamo formulu

4.3.2. Računovodstvo potvrda o plaćanju

Razmatrali smo opciju kada je razdoblje obračuna kamate kraće od razdoblja primitka uplate. Razmotrimo sada suprotan slučaj, kada je razdoblje za primitak uplata kraće od razdoblja za obračun kamata.

Neka se kamate obračunavaju godišnje, a uplate primaju u jednakim obrocima, periodički, p puta godišnje (na primjer, mjesečno). Ako je iznos godišnje uplate još uvijek jednak R, tada je pojedinačna uplata sada jednaka vrijednosti R / p. Ukupan broj članova anuiteta za n godina sada je jednak nxp.

Za svakog člana anuiteta, prilikom utvrđivanja obračunatog iznosa, kamata se obračunava za cijelo vrijeme preostalo do isteka roka anuiteta.

Redoslijed uvjeta takvog anuiteta s obračunatim kamatama opet je geometrijska progresija. Prvi član progresije (računajući, kao i prije, od kraja primitka uplata) jednak je R/p. Broj članova je np. Nazivnik progresije je

Akumulirani zbroj S je zbroj članova ove progresije i određuje se formulom

Moderna vrijednost rente određena je formulom

4.3.3. Uzimajući u obzir značajke obračuna kamata i primanja uplata

Razmotrimo opciju anuiteta, kada se i obračun kamata i primitak uplata događaju nekoliko puta godišnje. Obično se u takvim situacijama oba događaja događaju jednako često. Na primjer, najamnina se prima mjesečno, a kamate se obračunavaju mjesečno.

Izračuni za takav anuitet svode se na izračune pomoću izvorne formule s godišnjim razdobljem zamijenjenim novim razdobljem (na primjer, mjesečnim). U tom slučaju broj članova anuiteta je višekratnik broja godina, a kamata se mijenja sukladno novom razdoblju.

zaključke

Financijska renta je niz plaćanja koja se odvijaju u redovitim intervalima. Ako je visina plaćanja financijske rente ista, tada se najamnina naziva stalnom financijskom rentom.

Postoje post-numerando anuiteti (plaćanja se primaju na kraju vremenskih razdoblja) i prije-numerando anuiteti (plaćanja se primaju na početku vremenskih razdoblja).

Konačna vrijednost anuiteta S i početna vrijednost anuiteta A određuju se dovođenjem svih plaćanja do konačnog ili početnog trenutka po složenoj kamatnoj stopi. Konačne formule dobivene su zbrajanjem geometrijske progresije. Za post-numerando anuitet, formule imaju oblik

Formula za početnu vrijednost anuiteta također je primjenjiva za trajni anuitet koji sadrži beskonačan broj plaćanja:

Pitanja za samotestiranje

1. Definirajte pojam tijeka plaćanja.
2. Koje podatke trebam dati za postavljanje tijeka plaćanja?
3. Koja je razlika između redovitih i neredovitih tokova plaćanja?
4. Koji se tok plaćanja naziva financijskom rentom?
5. Koja je razlika između stalnih i promjenjivih financijskih anuiteta?
6. Što je trajni anuitet?
7. Koja je razlika između post-numerando i prije-numerando anuiteta?
8. Koja je sadašnja vrijednost toka plaćanja?
9. Kako se izračunava sadašnja vrijednost toka plaćanja?
10. Koja je formula za sadašnju vrijednost tijeka plaćanja?
11. Kako se mijenja rezultat izračuna sadašnje vrijednosti protoka kada se mijenja moment redukcije?
12. Što se može reći o omjeru troškova protoka kada se mijenja moment redukcije?
13. Koja je formula za konačnu vrijednost stalne rente?
14. Koja je formula za početnu vrijednost trajne rente?
15. Kako su početna i konačna vrijednost anuiteta međusobno povezane?
16. Koja je formula za početnu vrijednost trajne trajne rente?
17. Koja je formula za stalni rok anuiteta?
18. Koja je formula za trajanje stalne rente?
19. Kako su formule za postnumerando anuitet i prenumerando anuitet međusobno povezane?
20. Koje su formule za vrijednost anuiteta kada se kamata obračunava češće nego što se uplate primaju?
21. Koje su značajke formule vrijednosti anuiteta pri izračunu kamate po složenoj stopi?
22. Koje su značajke formule vrijednosti anuiteta pri izračunavanju kamata po jednostavnoj stopi?
23. Koje su formule za vrijednost anuiteta kada se uplate primaju češće od kamata?

Bibliografija

1. Brigham Y., Gapensky L. Financijski menadžment: u 2 sv., St. Petersburg, 1997.
2. Kapitonenko V.V. Financijska matematika i njezine primjene. M., 1998. (monografija).
3. Kutukov V. B. Osnove financijske i osigurateljne matematike. Metode za izračun kreditnih, investicijskih, mirovinskih i osiguravajućih programa. M., 1998. (monografija).
4. Lukasevich I. Ya. Analiza financijskih transakcija. Metode, modeli, računalne tehnike. M., 1998. (monografija).
5. Malykhin V. I. Financijska matematika. M., 1999. (monografija).
6. Watsham T.J., Parramow K. Kvantitativne metode u financijama. M., 1999. (monografija).

anotacija

Pojam i karakteristike novčanog toka

$1000 $1000 $1000 $1000

Obično se označava element novčanog toka CF k (Cash Flow), gdje k - broj razdoblja u kojem se promatra novčani tijek. Prikazana je sadašnja vrijednost novčanog toka PV (Sadašnja vrijednost), a buduća vrijednost je F.V. (Buduća vrijednost).

Buduća vrijednost novčanog toka, za sve elemente iz 0 prije m dobivamo:

Primjer 1: Nakon provedbe mjera za smanjenje administrativnih troškova, tvrtka očekuje uštedu od 1000 dolara na kraju svake godine. Ušteđeni novac trebao bi biti položen na depozitni račun (uz 5% godišnje) kako bi se nakon 5 godina akumulirani novac mogao koristiti za investicije. Koliki će iznos biti na bankovnom računu tvrtke?

Dakle, u 5 godina tvrtka će akumulirati 5.526 dolara koje može investirati.

Dakle, novčani tokovi su tokovi plaćanja (gotovina), koji se odnose na raspodjelu tijekom vremena novčanih tokova koji nastaju kao rezultat ekonomskih aktivnosti subjekta.

Nadalje, novčani tokovi se shvaćaju kao slijed plaćanja i primitaka raspoređenih tijekom vremena koje stvara određena imovina, portfelj imovine ili operacija investicijskog projekta.

Uobičajeno je da se uz svaki investicijski projekt povezuje novčani tijek (Cash Flow), čiji su elementi ili neto odljevi (Net Cash Outflow) ili neto novčani priljevi (Net Cash Inflow).

Pod, ispod neto odljev u k-toj godini shvaća se kao višak tekućih novčanih izdataka za projekt nad tekućim novčanim primicima (kod suprotnog omjera postoji neto priljev).

Tijek plaćanja, čiji su svi elementi raspoređeni u vremenu tako da su intervali između bilo koja dva uzastopna plaćanja konstantni, naziva se financijska renta ili anuitet.

Anuitet ima dva važna svojstva:

1) svi njegovi n-elementi su međusobno jednaki: CF1 = CF2 ...= CFn = CF ;

2) vremenski periodi između plaćanja (primanja iznosa) CF su isti.

Buduća vrijednost jednostavnog anuiteta predstavlja zbroj svih plaćanja svojih komponenti s obračunatim kamatama na kraju transakcijskog razdoblja.

Pod, ispod sadašnja vrijednost novčanog toka razumjeti zbroj svih njegovih komponenti plaćanja, diskontiranih na početku transakcije.

Trenutna vrijednost anuiteta je sljedeća:

Izraz u uglatim zagradama predstavlja multiplikator jednak sadašnjoj vrijednosti anuiteta jedne novčane jedinice.

Dijeljenjem modernog troška PV novčani tijek za navedeni multiplikator, možete dobiti iznos periodične isplate ekvivalentnog anuiteta.

Jednostavna shema diskontiranja anuiteta.

Primjer 2:

Mirovinski fond mora godišnje uplaćivati ​​100 novčanih jedinica tijekom tri godine. Koji iznos će osigurati navedene isplate ako je stopa na oročene depozite trenutno 8% godišnje.

0 100 100 100

Ukupni iznos je 257,7.

Prenumerando procjena protoka

Renta prenumerando- Engleski Dužni anuitet je niz isplata koje se vrše periodički isprva svako razdoblje (na primjer, mjesec, kvartal, polugodište ili godina). Ova vrsta instrumenta može biti ulaganje ili zajam, ovisno o namjeni i vlasniku anuiteta. Primjeri anuiteta uključuju štedne račune, police osiguranja, hipoteke i druga slična ulaganja. Ključna značajka prenumerando anuiteta je da se sva plaćanja vrše na početku svakog razdoblja.

Shema za povećanje novčanih tokova elemenata prenumerando

gdje je A iznos plaćanja;

i – kamatna stopa razdoblja;

N – broj perioda.

Na primjer, investitor namjerava položiti 500 USD na depozit mjesečno. na 2 godine uz 7% godišnje, pod uvjetom da se svaki doprinos plaća na početku svakog mjeseca. Za izračun iznosa koji će biti na raspolaganju investitoru koristit ćemo se gornjom formulom. No, prvo je potrebno godišnju kamatu dovesti na mjesečnu koja će iznositi 0,583% (7%/12). U ovom slučaju, broj mjesečnica bit će 24 (24 mjeseca).

Tako će ulagač za dvije godine imati na raspolaganju iznos od 12.914,87 USD.

Za inverzni problem, shema diskontiranja, tj. dovođenje svih elemenata izvornog toka u točku 0, može se prikazati na slici.

Shema diskontiranja za elemente novčanog toka prenumerando

Za izračun sadašnja vrijednost rente prenumerando mora se koristiti sljedeća formula.

Ova se formula, na primjer, može koristiti za izračun veličine anuiteta na kredit. Recimo da zajmoprimac namjerava uzeti zajam od banke u iznosu od 25.000 USD. na rok od 5 godina uz 17% godišnje uz mjesečnu otplatu kredita. Da biste izračunali iznos plaćanja, morate koristiti formulu za sadašnju vrijednost anuiteta prenumerando, izražavajući plaćanje (A) iz nje.

Za korištenje dobivene formule za izračun isplate anuiteta potrebno je uskladiti izvorne podatke.

1) Sadašnja vrijednost anuiteta bit će 25.000 USD.

2) Godišnju kamatnu stopu potrebno je preračunati u mjesečnu koja će iznositi 1,4167% (17%/12).

3) Broj razdoblja bit će 60 (5 godina s 12 uplata.)

Dakle, veličina mjesečne otplate anuiteta na kredit bit će 621,31 USD.