Igualdad de polinomios. El valor de los polinomios. Lección "Polinomio. Cálculo de los valores de polinomios" Ejemplos de ecuaciones algebraicas
Dos polinomios f (x) y g (x) se consideran iguales si sus coeficientes son iguales a las mismas potencias de la variable x y los términos libres (o, en definitiva, sus coeficientes correspondientes son iguales). En este caso escriben: F (X) = g (X).
Por ejemplo, los polinomios f (x) = x3 + 2x2-3x + 1 y g (x) = 2x2-3x + 1 no son iguales, porque el primero de ellos tiene un coeficiente en x3 igual a 1, y el segundo tiene cero (según las convenciones aceptadas, podemos escribir: g (x) \u003d 0x3 + 2x2-3x + 1. En este caso, escribimos: f (x) ?g (x) Polinomios h (x) \u003d 2x2-3x + 5, s (x) no son iguales \u003d 2x2 + 3x + 5, ya que sus coeficientes en x son diferentes Pero los polinomios f1 (x) \u003d 2x5 + 3x3 + bx + 3 y g1 (x) \u003d 2x5 + ax3-2x + 3 son iguales si y solo si cuando a=3 y b=-2.
Sea polinomio dado F (X) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 y algún número de Número F (C) =ancn+an-1cn-1+... +a1c+a0 se llama el valor del polinomio f (x) para x=s.
Por lo tanto, para encontrar f (c), en lugar de x, debe sustituir c en el polinomio y realizar los cálculos necesarios. Por ejemplo, si f (x) =2x3+3x2-x+5, entonces f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2- (-2) +5=3.
Considere el polinomio f (x) =a y encuentre, por ejemplo, f (2). Para ello, en lugar de x, sustituye el número 2 en el polinomio y realiza los cálculos necesarios. Sin embargo, en nuestro caso, f (x) = a y no hay una variable explícita x. Recuerda que el polinomio en consideración puede escribirse como f (x) =0x+a. Ahora que todo está en orden, puedes sustituir el valor x=2: f (2) =02+a=a. Tenga en cuenta que para un polinomio dado f (c) = a para cualquier c. En particular, el polinomio cero toma el valor igual a cero para cualquier c.
En términos generales, para diferentes valores de la variable x, el polinomio puede tomar varios significados. Sin embargo, a menudo nos interesarán aquellos valores de x para los cuales el polinomio toma el valor 0. El número c se llama raíz del polinomio f (x) si f (c) \u003d 0.
Por ejemplo, si f (x) =x2-3x+2, entonces los números 1 y 2 son las raíces de este polinomio, porque f (1) =0 y f (2) =0. Pero el polinomio f (x) \u003d 5 no tiene raíces. De hecho, para cualquier valor de x, toma el valor 5, lo que significa que nunca toma el valor 0. Para un polinomio cero, como puedes ver fácilmente, cada número es una raíz.
Encontrar las raíces de polinomios es uno de los problemas más importantes en álgebra. En la escuela se enseña a encontrar las raíces de binomios lineales y trinomios cuadrados. En cuanto a los polinomios de grados superiores, para ellos ese problema es muy difícil y no siempre tiene solución. En el futuro, lo trataremos repetidamente. Y ahora solo notamos que para encontrar las raíces del polinomio F (X) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0 y resuelve la ecuacion anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0=0 son tareas equivalentes. Por lo tanto, habiendo aprendido a encontrar las raíces de un polinomio, aprenderemos a resolver las ecuaciones correspondientes y viceversa.
Prestemos atención a la diferencia entre las dos afirmaciones: "el polinomio f (x) es igual a cero (o, lo que es lo mismo, el polinomio f (x) es cero)" y "el valor del polinomio f ( x) en x=c es igual a cero". Por ejemplo, el polinomio f (x) \u003d x2-1 no es igual a cero, porque tiene coeficientes distintos de cero, y su valor en x \u003d 1 es igual a cero. En resumen, f (x) ?0, yf (1) =0.
Existe una estrecha relación entre los conceptos de igualdad de polinomios y el valor de un polinomio. Si se dan dos polinomios iguales f(x) y g(x), entonces sus respectivos coeficientes son iguales, por lo que f(c) = g(c) para todo número c. En otras palabras, si f(c) = g(c) para todo número c, ¿son iguales los polinomios f(x) y g(x)? Intentemos responder a esta pregunta en el caso especial cuando f (x) = px2 + qx + r y g (x) = kx + m. Como f (c) = g (c) para cada número c, entonces, en particular, f (0) = g (0), f (1) = g (1), f (-1) = g (- uno ).
Calculando los valores de los polinomios considerados que aparecen en estas igualdades, obtenemos el sistema
De este sistema se sigue que p = 0, q = k, r = m, y por lo tanto f (x) = g (x).
Así, para el ejemplo considerado, la respuesta a la pregunta planteada es positiva. Resulta que esto también es cierto en el caso general, después de familiarizarse con algunos otros conceptos y declaraciones de la teoría de polinomios.
Un polinomio (también llamado polinomio) es la suma algebraica de dos o más monomios. Vale la pena explicar qué constituye un monomio elemental. Un monomio (monomio) es una construcción algebraica básica, que es una determinada variable en grado positivo que tiene un coeficiente numérico (que puede ser negativo o positivo). En este caso, el coeficiente de la variable puede ser igual a uno; luego, la variable en sí es un monomio, dado, con mayor frecuencia, en letras latinas desde el final del alfabeto: x, y, z.
Por otro lado, a menudo hay ejemplos de monomios a partir de un solo coeficiente numérico. Algunos libros de texto antiguos de matemáticas dicen que un monomio es una expresión algebraica que no contiene signos de suma o resta. En este caso, la multiplicación y la fracción pueden estar en el mismo monomio. Esta definición no es tan correcta, pero describe de manera más realista los ejemplos reales de monomios.
Varios monomios forman polinomios, cadenas de expresiones algebraicas básicas. Si hay dos monomios, entonces se forma un binomio, si hay tres o más, entonces un polinomio. Los polinomios son el segundo nivel de expresiones matemáticas elementales, después de los monomios.
Es importante tener en cuenta que con la ayuda de polinomios, no solo se construyen numerosos problemas de álgebra, sino que también se realizan más complicaciones de las construcciones matemáticas más simples. A través del concepto de "polinomio" se derivan definiciones para "ecuación" y "función algebraica". Por lo tanto, este videotutorial está dedicado a trabajar con polinomios. La rápida solución de problemas con su participación le permitirá aprender mejor muchos temas relacionados.
Considere una expresión como:
3a 2 + 4c 3 - a 2 + 2c 3
Este ejemplo es un polinomio algebraico que consta de cuatro monomios diferentes. Cada elemento monomio individual de un polinomio se denomina "miembro polinomial". La expresión se descompone fácilmente por los signos de suma y resta, formando cuatro monomios separados:
3a 2, 4c 3, un 2, 2c 3
Se suman (algebraicamente) y dan el polinomio original. Igualar una expresión a cualquier valor numérico u otro polinomio forma una ecuación, sin embargo, este es un tema para otro video tutorial.
Para encontrar el valor de un polinomio, uno debe comprender los principios básicos de este proceso. La solución de un polinomio es su simplificación: la reducción máxima, matemáticamente real, en el número de miembros de la expresión. Vale la pena señalar que para una solución compleja de muchos problemas, es bastante necesario poder llevar el polinomio a una forma ventajosa. Y no siempre es el polinomio más corto. Si la expresión está destinada a trabajos posteriores, entonces la forma a la que deberá reducirse debe depender de los detalles de las próximas operaciones matemáticas.
Para resolver simplemente un polinomio, debe descomponerlo en grupos separados que constan de elementos algebraicos similares. El requisito principal para estos elementos es la capacidad de operar rápidamente dentro de su grupo. Por ejemplo, todo individuo valores numéricos se sacan en un grupo: las acciones entre ellos se llevan a cabo mediante operaciones matemáticas elementales. Las mismas variables, los cuadrados de tales variables, etc. también se distinguen fácilmente.
Al agrupar los miembros de un polinomio, vale la pena recordar la regla de conservar los signos más y menos antes de la expresión. Son el atributo más importante y esencial del monomio, y su pérdida conducirá a resultados incorrectos.
3a 2 + 4c 3 - a 2 + 2c 3 \u003d 3a 2 - a 2 + 4c 3 + 2c 3 \u003d 2a 2 + 6c 3
Como vemos en nuestra lección, resolver polinomios es una tarea bastante simple que solo requiere cuidado y un estricto cumplimiento de las reglas algebraicas elementales.
INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEL ESTADO DE LA REGIÓN DE OMSK
"ESCUELA INTEGRAL TARDE (TURNO) №2"
SOLUCIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS
(APÉNDICE 3)
Material didáctico de carácter de aprendizaje, desarrollo y control.
desarrollo del profesor de matematicas
Definición de una ecuación algebraica
Ecuación algebraica (ecuación polinómica) - una ecuación de la forma
donde es un polinomio en variables , que se llaman incógnitas.
Los coeficientes de un polinomio generalmente se toman de algún campo, y luego la ecuación se llama ecuación algebraica sobre un campo.
El grado de una ecuación algebraica se llama grado de un polinomio.
Por ejemplo, la ecuación
es una ecuación algebraica de séptimo grado en tres variables (con tres incógnitas) sobre el campo de los números reales.
Definiciones relacionadas
Los valores de las variables, que al sustituirse en una ecuación algebraica la convierten en una identidad, se denominan raíces de esta ecuación algebraica.
Ejemplos de ecuaciones algebraicas
Ecuaciones algebraicas resueltas por factorizaciónEjemplo de solución Ejemplo: x3 - 3x - 2 = 0. Puedes adivinar que el número x1 \u003d -1 es la raíz de esta ecuación, ya que -1 + 3 - 2 \u003d 0. x3 - 3x - 2x + 1 х3 + х2 х2 –х–2 – x2–3x–2 (x + 1) (x2 – x–2) = 0; x + 1 = 0 o x2 – x–2 = 0; х1 = –1 х2.3 = ; x2 = -1, x3 = 2 Responder. -uno; 2. Ejemplo: x3 - 3x - 2 = 0. x3 + x2 - x2 - x - 2x - 2 = 0; (x3 + x2) - (x2 + x) - 2(x + 1) = 0; x2(x + 1) - x(x + 1) - 2(x + 1) = 0; (x + 1) (x2 – x–2) = 0; (x + 1) (x + 1) (x -2) = 0; x1 = -1, x2 = 2 Responder. -uno; 2. | X3 - x2 - 8x + 6 = 0; x4 + x3– 4x2 – 2x + 4 = 0; 6x3 + 11x2 - 3x - 2=0. Fórmulas básicas: ax2 + bx + c = 0 fórmulas vieta ax2 + bx + c = 0, entonces |
Ecuaciones que se reducen a algebraicas
Ecuaciones Bicuadráticas
Definición. Las ecuaciones de la forma ax4 + bx2 + c = 0 se llaman bicuadráticas, donde
a, b, c son números dados, con a ≠ 0.
método de solución
Una ecuación bicuadrática se reduce a una ecuación cuadrática usando sustitución.
Una nueva ecuación cuadrática para la variable : .
Resolviendo esta ecuación, obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática
Resolviendo estas dos ecuaciones ( y ) con respecto a la variable , obtenemos las raíces de esta ecuación bicuadrada.
Procedimiento para resolver ecuaciones bicuadráticas
Ingrese una nueva variable Sustituya esta variable en la ecuación original Resuelva la ecuación cuadrática con respecto a la nueva variable Después de encontrar las raíces () sustitúyalas en nuestra variable y encuentre las raíces originales de la ecuación bicuadrática
Ejemplo de solución Ejemplo: x4 - 8x2 - 9 = 0. Sea y = x2, donde y 0; y2 - 8y - 9 = 0; Según las fórmulas de Vieta: y1 = –1; y2 = 9; Descartamos la primera solución (en 0), y del segundo encontramos x1 = –3; x2 = 3. Responder. x1 = -3; x2 = 3. | Decide por tu cuenta o sigue un patrón
|
Fórmulas básicas: ax2 + bx + c = 0 fórmulas vieta Si x1, x2 son las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, entonces Para la ecuación x2 + px + q = 0
|
Considere la solución de ecuaciones simétricas usando el ejemplo de ecuaciones simétricas de tercer grado.
Una ecuación simétrica de tercer grado es una ecuación de la forma
ax3 + bx2 + bx + a = 0, donde a, b son números dados.
Para resolver con éxito ecuaciones de este tipo, es útil conocer y poder utilizar las siguientes propiedades simples de las ecuaciones simétricas:
10. Cualquier ecuación simétrica de grado impar siempre tiene una raíz igual a -1.
De hecho, si agrupamos los términos del lado izquierdo de la siguiente manera: a(x3 + 1) + bx(x + 1) = 0, entonces es posible sacar un factor común, es decir
(x + 1)(ax2 + (b - a)x + a) = 0, por lo tanto,
x + 1 = 0 o ax2 + (b - a)x + a = 0,
la primera ecuación prueba el enunciado que nos interesa.
20. La ecuación simétrica no tiene raíces cero.
30. Al dividir un polinomio de grado impar por (x + 1), el cociente vuelve a ser un polinomio simétrico.
Ecuaciones de retorno
Una ecuación de la forma anxn + an - 1 xn - 1 + ... + a1x + a0 = 0
se llama recurrente si sus coeficientes se encuentran en simétrica
las posiciones son iguales, es decir, si
an – 1 = ak, para k = 0, 1, … , n.
Considere una ecuación recíproca de cuarto grado de la forma
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,
donde a, b y c son algunos números, y a ≠ 0.
Es un caso especial de la ecuación.
ax4 + bx3 + cx2 + kbx + k2a = 0 para k = 1.
Procedimiento para resolver ecuaciones recíprocas
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0:
- dividir los lados izquierdo y derecho de la ecuación por x2 ≠ 0. En este caso, no hay pérdida de la solución, ya que x = 0 no es la raíz de la ecuación original; agrupando llevar la ecuación resultante a la forma
a(x2 + ) + b(x + ) + c = 0;
t2 = x2 + 2 + , es decir, x2 + = t2 - 2;
en variables nuevas, la ecuación considerada es cuadrática:
at2 + bt + c – 2a = 0;
- resolverlo para t, volver a la variable original.
Ejemplo de solución Ejemplo: 2x4 - 3x3 - 7x2 -15x + 50 = 0. Dividiendo por x2, obtenemos
Presentamos el reemplazo entonces 2t2 – 3t – 27 = 0;
Responder. 2; . | Decide por tu cuenta o sigue un patrón. ; x4–2x3–9x2–6x+9=0; 5x4 +5x3–14x2–10x+12=0Fórmulas básicas: ax2 + bx + c = 0 fórmulas vieta Si x1, x2 son las raíces de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, entonces Para la ecuación x2 + px + q = 0 |
Ecuaciones racionales.
Definición. Las ecuaciones racionales se denominan ecuaciones, cuyos miembros son fracciones racionales, en las que los numeradores y denominadores son polinomios.
Procedimiento para resolver ecuaciones racionales
Multiplica la ecuación por el denominador común de las fracciones incluidas en esta ecuación; Reducir la ecuación resultante a una algebraica y resolverla; Comprobar para qué valores encontrados de la incógnita los denominadores de las fracciones incluidas en la ecuación no son iguales a cero.