V currículum escolar En el curso de la estereometría, el estudio de figuras volumétricas generalmente comienza con un cuerpo geométrico simple: un poliedro de un prisma. El papel de sus bases lo realizan 2 polígonos iguales que se encuentran en planos paralelos. Un caso especial es un prisma cuadrangular regular. Sus bases son 2 cuadrángulos regulares idénticos, a los que los lados laterales son perpendiculares, en forma de paralelogramos (o rectángulos si el prisma no está inclinado).

Como se ve un prisma

Un prisma cuadrangular regular se llama hexágono, en cuyas bases hay 2 cuadrados y las caras laterales están representadas por rectángulos. Otro nombre para esta figura geométrica es un paralelepípedo recto.

A continuación se muestra un dibujo que muestra un prisma cuadrilátero.

La imagen también puede ver los elementos más importantes que componen un cuerpo geométrico... Es costumbre referirse a ellos:

A veces, en problemas de geometría se puede encontrar el concepto de sección. La definición sonará así: una sección son todos los puntos de un cuerpo volumétrico que pertenecen a un plano de corte. La sección es perpendicular (interseca los bordes de la forma en un ángulo de 90 grados). Para un prisma rectangular también se considera una sección diagonal (el número máximo de secciones que se pueden construir es 2), pasando por 2 aristas y diagonales de la base.

Si la sección se dibuja de modo que el plano de corte no sea paralelo a las bases ni a las caras laterales, el resultado es un prisma truncado.

Se utilizan varias relaciones y fórmulas para encontrar los elementos prismáticos reducidos. Algunos de ellos se conocen por el curso de la planimetría (por ejemplo, para encontrar el área de la base de un prisma, basta con recordar la fórmula del área de un cuadrado).

Superficie y volumen

Para determinar el volumen de un prisma usando la fórmula, necesita conocer su área de base y altura:

V = S principal h

Dado que la base de un prisma tetraédrico regular es un cuadrado con un lado a, puedes escribir la fórmula con más detalle:

V = a² h

Si estamos hablando de un cubo, un prisma regular con la misma longitud, ancho y alto, el volumen se calcula de la siguiente manera:

Para comprender cómo encontrar el área de la superficie lateral de un prisma, debe imaginar su despliegue.

El dibujo muestra que la superficie lateral está compuesta por 4 rectángulos iguales. Su área se calcula como el producto del perímetro de la base y la altura de la figura:

Lateral = P principal h

Teniendo en cuenta que el perímetro del cuadrado es P = 4a, la fórmula toma la forma:

Lateral = 4a h

Para un cubo:

Lateral = 4a²

Para calcular el área de superficie total del prisma, agregue 2 áreas de base al área lateral:

S completo = lado S + 2 S principal

Con respecto a un prisma regular cuadrangular, la fórmula es:

S total = 4a · h + 2a²

Para el área de la superficie de un cubo:

S total = 6a²

Conociendo el volumen o el área de la superficie, puede calcular los elementos individuales del cuerpo geométrico.

Encontrar elementos de prisma

A menudo hay problemas en los que se da el volumen o se conoce el valor del área de la superficie lateral, donde es necesario determinar la longitud del lado de la base o la altura. En tales casos, las fórmulas se pueden derivar:

• longitud del lado de la base: a = lado S / 4h = √ (V / h);
• largo de altura o nervadura lateral: h = lado S / 4a = V / a²;
• área de la base: Sosn = V / h;
• área de la cara lateral: Lado S. gr = lado S / 4.

Para determinar qué área tiene una sección diagonal, necesita saber la longitud de la diagonal y la altura de la figura. Por un cuadrado d = a√2. Por lo tanto:

Sdiag = ah√2

Para calcular la diagonal del prisma, use la fórmula:

dprize = √ (2a² + h²)

Para comprender cómo aplicar las proporciones anteriores, puede practicar y resolver algunas tareas simples.

Ejemplos de tareas con soluciones

Estas son algunas de las tareas que se encuentran en los exámenes finales estatales de matemáticas.

Ejercicio 1.

La arena se vierte en una caja en forma de prisma cuadrangular regular. La altura de su nivel es de 10 cm ¿Cuál será el nivel de arena si lo colocas en un recipiente de la misma forma, pero con una base 2 veces más larga?

Debe razonarse de la siguiente manera. La cantidad de arena en el primer y segundo recipiente no cambió, es decir, su volumen en ellos coincide. Puede designar la longitud de la base para a... En este caso, para el primer recuadro, el volumen de la sustancia será:

V₁ = ha² = 10a²

Para la segunda caja, la longitud base es 2a, pero se desconoce la altura del nivel de arena:

V₂ = h (2a) ² = 4ha²

En la medida en V₁ = V₂, puedes equiparar expresiones:

10a² = 4ha²

Después de cancelar ambos lados de la ecuación por a², obtenemos:

Como resultado, el nuevo nivel de arena será h = 10/4 = 2,5 cm.

Tarea 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ es el prisma correcto. Se sabe que BD = AB₁ = 6√2. Calcula el área de superficie total del cuerpo.

Para que sea más fácil comprender qué elementos se conocen, puede representar una figura.

Como estamos hablando del prisma correcto, podemos concluir que en la base hay un cuadrado con una diagonal de 6√2. La diagonal de la cara lateral tiene el mismo tamaño, por lo tanto, la cara lateral también tiene la forma de un cuadrado igual a la base. Resulta que las tres dimensiones (largo, ancho y alto) son iguales. Se puede concluir que ABCDA₁B₁C₁D₁ es un cubo.

La longitud de cualquier borde se determina mediante la diagonal conocida:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

El área de superficie total se calcula mediante la fórmula de un cubo:

S total = 6a² = 6 6² = 216

Tarea 3.

La habitación está siendo renovada. Se sabe que su piso tiene forma de cuadrado con una superficie de 9 m². La altura de la habitación es de 2,5 m ¿Cuál es el costo más bajo de empapelar una habitación si 1 m² cuesta 50 rublos?

Dado que el piso y el techo son cuadrados, es decir, cuadrángulos regulares, y sus paredes son perpendiculares a las superficies horizontales, podemos concluir que es un prisma regular. Es necesario determinar el área de su superficie lateral.

La longitud de la habitación es a = √9 = 3 metro.

El papel tapiz se pegará sobre el área. Lateral = 4 · 3 · 2,5 = 30 m².

El costo más bajo de papel tapiz para esta habitación será 50 30 = 1500 rublos.

Así, para resolver problemas sobre un prisma rectangular, basta con saber calcular el área y el perímetro de un cuadrado y un rectángulo, así como fórmulas propias para encontrar el volumen y el área de la superficie.

Cómo encontrar el área de un cubo

Un prisma triangular es un sólido tridimensional formado al conectar rectángulos y triángulos. En este tutorial, aprenderá a encontrar el tamaño dentro (volumen) y fuera (área de superficie) de un prisma triangular.

Prisma triangular Es un pentaedro formado por dos planos paralelos en los que se ubican dos triángulos, formando dos caras del prisma, y ​​las tres caras restantes son paralelogramos formados por los co-lados de los triángulos.

Elementos de prisma triangular

Los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 son bases de prisma .

Los cuadrángulos A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 y A 1 C 1 CA son caras laterales del prisma .

Los lados de las caras son costillas de prisma(A 1 B 1, A 1 C 1, C 1 B 1, AA 1, CC 1, BB 1, AB, BC, AC), un prisma triangular tiene 9 caras en total.

La altura del prisma es el segmento perpendicular que conecta las dos caras del prisma (en la figura es h).

Una diagonal de prisma es un segmento que tiene extremos en dos vértices de un prisma que no pertenecen a la misma cara. Tal diagonal no se puede dibujar en un prisma triangular.

Área de la base Es el área de la faceta triangular del prisma.

Es la suma de las áreas de las caras cuadrangulares del prisma.

Tipos de prismas triangulares

Hay dos tipos de prisma triangular: recto y oblicuo.

Un prisma recto tiene rectángulos en las caras laterales y en una cara lateral inclinada: paralelogramos (ver Fig.)

Un prisma, cuyos bordes laterales son perpendiculares a los planos de las bases, se llama línea recta.

Un prisma, cuyos bordes laterales están inclinados a los planos de las bases, se llama inclinado.

Fórmulas básicas para calcular un prisma triangular.

Volumen del prisma triangular

Para encontrar el volumen de un prisma triangular, multiplique el área de su base por la altura del prisma.

Volumen del prisma = área de la base x altura

V = S principal. h

Superficie lateral del prisma

Para encontrar el área de la superficie lateral de un prisma triangular, multiplique el perímetro de su base por la altura.

Área de la superficie lateral de un prisma triangular = perímetro de la base x altura

Lado S = P principal. h

Superficie total del prisma

Para encontrar el área de superficie total de un prisma, sume sus áreas de base y el área de superficie lateral.

ya que el lado S = P principal. h, obtenemos:

S completo p. = P principal. h + 2S básico

Prisma correcto - un prisma recto, cuya base es un polígono regular.

Propiedades del prisma:

Las bases superior e inferior del prisma son polígonos iguales.
Las caras laterales del prisma tienen la forma de un paralelogramo.
Los bordes laterales del prisma son paralelos e iguales.

Consejo: al calcular un prisma triangular, debe prestar atención a las unidades utilizadas. Por ejemplo, si el área de la base se indica en cm 2, entonces la altura debe expresarse en centímetros y el volumen en cm 3. Si el área de la base está en mm 2, entonces la altura debe expresarse en mm y el volumen en mm 3, etc.

Ejemplo de prisma

En este ejemplo:
- ABC y DEF forman bases de prismas triangulares
- ABED, BCFE y ACFD son caras laterales rectangulares
- Los bordes laterales DA, EB y FC corresponden a la altura del prisma.
- Los puntos A, B, C, D, E, F son los vértices del prisma.

Tareas para calcular un prisma triangular

Problema 1... La base de un prisma triangular recto es un triángulo rectángulo con catetos 6 y 8, el borde lateral es 5. Calcula el volumen del prisma.
Solución: El volumen del prisma recto es V = Sh, donde S es el área de la base y h es el borde lateral. El área de la base en este caso es el área de un triángulo rectángulo (su área es igual a la mitad del área de un rectángulo con lados 6 y 8). Por tanto, el volumen es igual a:

V = 1/2 6 8 5 = 120.

Objetivo 2.

Se dibuja un plano paralelo a la nervadura lateral a través de la línea media de la base del prisma triangular. El volumen del prisma triangular recortado es 5. Halla el volumen del prisma original.

Solución:

El volumen del prisma es igual al producto del área de la base por la altura: V = S principal · h.

El triángulo en la base del prisma original es similar al triángulo en la base del prisma recortado. El coeficiente de similitud es 2, ya que la sección se dibuja a través de la línea media (las dimensiones lineales del triángulo más grande son el doble de las dimensiones lineales del más pequeño). Se sabe que las áreas de tales figuras están relacionadas como el cuadrado del coeficiente de similitud, es decir, S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1.

El área de la base de todo el prisma es 4 veces mayor que el área de la base del prisma cortado. Las alturas de ambos prismas son iguales, por lo que el volumen de todo el prisma es 4 veces el volumen del prisma recortado.

Por tanto, el volumen requerido es 20.

Definición.

Este es un hexágono, cuyas bases son dos cuadrados iguales y las caras laterales son rectángulos iguales.

Costilla lateral es el lado común de dos caras laterales adyacentes

Altura del prisma es un segmento perpendicular a las bases del prisma

Prisma diagonal- un segmento que conecta dos vértices de las bases que no pertenecen a la misma cara

Plano diagonal- un plano que pasa por la diagonal del prisma y sus bordes laterales

Sección diagonal- los límites de la intersección del prisma y el plano diagonal. La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo

Sección perpendicular (sección ortogonal) es la intersección de un prisma y un plano dibujado perpendicular a sus bordes laterales

Elementos de un prisma cuadrangular regular

La figura muestra dos prismas cuadrangulares regulares, que se designan con las letras correspondientes:

• Las bases ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1 son iguales y paralelas entre sí
• Caras laterales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C y CC 1 D 1 D, cada una de las cuales es un rectángulo
• Superficie lateral: la suma de las áreas de todas las caras laterales del prisma.
• Superficie completa: la suma de las áreas de todas las bases y caras laterales (la suma del área de la superficie lateral y las bases)
• Costillas laterales AA 1, BB 1, CC 1 y DD 1.
• Diagonal B 1 D
• Diagonal base BD
• Sección diagonal BB 1 D 1 D
• Sección perpendicular A 2 B 2 C 2 D 2.

Propiedades de un prisma cuadrangular regular

• Las bases son dos cuadrados iguales
• Las bases son paralelas entre sí.
• Las caras laterales son rectángulos
• Las caras laterales son iguales entre sí
• Las caras laterales son perpendiculares a las bases.
• Las nervaduras laterales son paralelas e iguales.
• Sección perpendicular perpendicular a todos los bordes laterales y paralela a las bases
• Las esquinas de la sección perpendicular son rectas.
• La sección diagonal de un prisma cuadrangular regular es un rectángulo
• Perpendicular (sección ortogonal) paralela a las bases

Fórmulas para un prisma cuadrangular regular

Instrucciones para resolver problemas

Al resolver problemas sobre el tema " prisma cuadrangular regular"se entiende que:

Prisma correcto- un prisma en la base del cual se encuentra un polígono regular, y los bordes laterales son perpendiculares a los planos de la base. Es decir, un prisma cuadrangular regular contiene en su base cuadrado... (vea las propiedades anteriores de un prisma cuadrangular regular) Nota... Esta es parte de la lección con problemas de geometría (sección estereometría - prisma). Aquí están las tareas que causan dificultades para resolverlas. Si necesitas resolver un problema de geometría que no está aquí, escríbelo en el foro.. Para denotar la acción de extraer una raíz cuadrada en soluciones de problemas, el símbolo√ .

Tarea.

En un prisma cuadrangular regular, el área de la base es de 144 cm 2 y la altura es de 14 cm Calcula la diagonal del prisma y el área de la superficie total.

Solución.
Un cuadrilátero regular es un cuadrado.
En consecuencia, el lado de la base será igual a

√144 = 12 cm.
De donde la diagonal de la base de un prisma rectangular regular será
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

La diagonal de un prisma regular forma un triángulo rectángulo con la diagonal de la base y la altura del prisma. En consecuencia, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la diagonal de un prisma cuadrangular regular dado será igual a:
√ ((12√2) 2 + 14 2) = 22 cm

Respuesta: 22 cm

Tarea

Determine la superficie completa de un prisma cuadrangular regular si su diagonal es de 5 cm y la diagonal de la cara lateral es de 4 cm.

Solución.
Dado que hay un cuadrado en la base de un prisma cuadrangular regular, encontraremos el lado de la base (denotado como a) por el teorema de Pitágoras:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

La altura de la cara lateral (indicada como h) será entonces igual a:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3.5

El área de la superficie total será igual a la suma del área de la superficie lateral y el doble del área de la base.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12.5 * √3.5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7 * 25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Respuesta: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.