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Ecuación lineal - una ecuación de la forma a x = b, donde x es una variable, ayb son algunos números y a ≠ 0.

Ejemplos de ecuaciones lineales:

1. 3 x = 2

1. 2 7 x = - 5

Las ecuaciones lineales se denominan no solo ecuaciones de la forma a x = b, sino también cualquier ecuación que, mediante transformaciones y simplificaciones, se reduzca a esta forma.

¿Cómo resolver ecuaciones que se reducen a la forma a x = b? Basta con dividir los lados izquierdo y derecho de la ecuación por el valor a. Como resultado, obtenemos la respuesta: x = b a.

¿Cómo saber si una ecuación arbitraria es lineal o no? Es necesario prestar atención a la variable que está presente en él. Si el grado más alto en el que se encuentra la variable es igual a uno, entonces dicha ecuación es una ecuación lineal.

Para resolver la ecuación lineal , es necesario abrir los corchetes (si los hay), transferir la "x" a la izquierda, los números a la derecha y traer términos similares. Obtienes una ecuación de la forma a x = b. La solución a esta ecuación lineal: x = b a.

Ejemplos de resolución de ecuaciones lineales:

1. 2 x + 1 = 2 (x - 3) + 8

Esta es una ecuación lineal ya que la variable está en la primera potencia.

Intentemos convertirlo a la forma a x = b:

Primero, expandamos los corchetes:

2 x + 1 = 4 x - 6 + 8

Todos los términos con x se transfieren al lado izquierdo, los números al derecho:

2 x - 4 x = 2 - 1

Ahora dividamos los lados izquierdo y derecho por el número (-2):

- 2 x - 2 = 1 - 2 = - 1 2 = - 0,5

Respuesta: x = - 0.5

1. x 2 - 1 = 0

Esta ecuación no es una ecuación lineal, ya que la potencia más alta en la que se encuentra la variable x es dos.

1. x (x + 3) - 8 = x - 1

Esta ecuación parece lineal a primera vista, pero después de expandir los paréntesis, el grado más alto se vuelve igual a dos:

x 2 + 3 x - 8 = x - 1

Esta ecuación no es una ecuación lineal.

Casos especiales(en la tarea 4 de la OGE no se cumplieron, pero es útil conocerlos)

Ejemplos:

1. 2 x - 4 = 2 (x - 2)

2 x - 4 = 2 x - 4

2 x - 2 x = - 4 + 4

¿Y cómo busca x aquí si no está allí? Después de realizar las transformaciones, obtuvimos la igualdad (identidad) correcta, que no depende del valor de la variable x. Cualquiera que sea el valor de x que sustituyamos en la ecuación original, el resultado es siempre la igualdad correcta (identidad). Por tanto, x puede ser cualquier número. Escribamos la respuesta a esta ecuación lineal.

Respuesta: x ∈ (- ∞; + ∞)

1. 2 x - 4 = 2 (x - 8)

Esta es una ecuación lineal. Abramos los corchetes, mueva las X a la izquierda, los números a la derecha:

2 x - 4 = 2 x - 16

2 x - 2 x = - 16 + 4

Como resultado de las transformaciones, x se redujo, pero al final obtuvimos una igualdad incorrecta, ya que. Cualquiera que sea el valor de x que sustituyamos en la ecuación original, el resultado siempre será una igualdad incorrecta. Esto significa que no existen tales valores de x para los cuales la igualdad sería verdadera. Escribamos la respuesta a esta ecuación lineal.

En este video, analizaremos un conjunto completo de ecuaciones lineales que se resuelven usando el mismo algoritmo, por eso se las llama las más simples.

Para empezar, definamos: ¿qué es una ecuación lineal y cuál es la más simple de ellas?

Una ecuación lineal es aquella en la que solo hay una variable, y solo en el primer grado.

La ecuación más simple significa la construcción:

Todas las demás ecuaciones lineales se reducen a las más simples usando el algoritmo:

1. Expanda los paréntesis, si los hay;
2. Mueva los términos que contienen una variable a un lado del signo igual y los términos sin una variable al otro;
3. Traiga términos similares a la izquierda y a la derecha del signo igual;
4. Divida la ecuación resultante por el coeficiente de la variable $ x $.

Por supuesto, este algoritmo no siempre ayuda. El hecho es que a veces, después de todas estas manipulaciones, el coeficiente de la variable $ x $ resulta ser cero. En este caso, son posibles dos opciones:

1. La ecuación no tiene ninguna solución. Por ejemplo, cuando obtiene algo como $ 0 \ cdot x = 8 $, es decir, hay un cero a la izquierda y un número distinto de cero a la derecha. En el video a continuación, veremos varias razones a la vez por las que tal situación es posible.
2. La solución son todos los números. El único caso en el que esto es posible: la ecuación se ha reducido a la construcción $ 0 \ cdot x = 0 $. Es bastante lógico que no importa qué $ x $ sustituyamos, seguirá siendo "cero igual a cero", es decir, igualdad numérica correcta.

Ahora veamos cómo funciona todo en el ejemplo de problemas reales.

Ejemplos de resolución de ecuaciones

Hoy se trata de ecuaciones lineales, y solo de las más simples. En general, una ecuación lineal significa cualquier igualdad que contenga exactamente una variable y va solo al primer grado.

Tales construcciones se resuelven aproximadamente de la misma manera:

1. En primer lugar, debe expandir los paréntesis, si los hay (como en nuestro último ejemplo);
2. Entonces trae algo similar
3. Finalmente, aproveche la variable, es decir todo lo que está asociado con una variable, los términos en los que está contenida, debe transferirse en una dirección, y todo lo que queda sin ella debe transferirse al otro lado.

Luego, como regla, debe traer similares a cada lado de la igualdad obtenida, y luego solo queda dividir por el coeficiente en la "x", y obtendremos la respuesta final.

En teoría, esto parece agradable y simple, pero en la práctica, incluso los estudiantes de secundaria experimentados pueden cometer errores ofensivos en ecuaciones lineales bastante simples. Por lo general, se cometen errores al expandir paréntesis o al calcular "más" y "menos".

Además, sucede que una ecuación lineal no tiene ninguna solución, o que la solución es la recta numérica completa, es decir, cualquier número. Analizaremos estas sutilezas en la lección de hoy. Pero comenzaremos, como ya entendiste, con las tareas más simples.

Esquema para resolver las ecuaciones lineales más simples.

Para empezar, permítanme escribir una vez más el esquema completo para resolver las ecuaciones lineales más simples:

1. Expanda los corchetes, si los hay.
2. Secretamos las variables, es decir todo lo que contiene "x" se transfiere a un lado, y sin "x", al otro.
3. Presentamos términos similares.
4. Dividimos todo en el coeficiente en "x".

Por supuesto, este esquema no siempre funciona, hay ciertas sutilezas y trucos en él, y ahora los conoceremos.

Resolver ejemplos de la vida real de ecuaciones lineales simples

Problema número 1

En el primer paso, debemos expandir los corchetes. Pero no están en este ejemplo, así que saltamos esta etapa. En el segundo paso, debemos aprovechar las variables. Tenga en cuenta: estamos hablando solo de términos individuales. Vamos a escribir:

Presentamos términos similares a la izquierda y a la derecha, pero esto ya se ha hecho. Por tanto, pasamos al cuarto paso: dividir por coeficiente:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Entonces obtuvimos la respuesta.

Problema número 2

En este problema, podemos observar los paréntesis, así que expandámoslos:

Tanto a la izquierda como a la derecha, vemos aproximadamente la misma construcción, pero procedamos de acuerdo con el algoritmo, es decir secretamos las variables:

Aquí hay otros similares:

En qué raíces se realiza. Respuesta: para cualquiera. Por lo tanto, podemos escribir que $ x $ es cualquier número.

Problema número 3

La tercera ecuación lineal ya es más interesante:

\ [\ left (6-x \ right) + \ left (12 + x \ right) - \ left (3-2x \ right) = 15 \]

Aquí hay algunos paréntesis, pero no se multiplican por nada, solo tienen diferentes signos delante de ellos. Vamos a abrirlos:

Realizamos el segundo paso que ya conocemos:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Contemos:

Realizamos el último paso: dividimos todo por el coeficiente en "x":

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Cosas para recordar al resolver ecuaciones lineales

Aparte de las tareas demasiado simples, me gustaría decir lo siguiente:

• Como dije anteriormente, no todas las ecuaciones lineales tienen una solución, a veces simplemente no hay raíces;
• Incluso si hay raíces, puede haber cero entre ellas, no hay nada de malo en eso.

El cero es el mismo número que el resto, no debes discriminarlo de ninguna manera ni asumir que si obtienes cero, entonces hiciste algo mal.

Otra característica está relacionada con la expansión de paréntesis. Tenga en cuenta: cuando hay un "menos" delante de ellos, lo eliminamos, pero entre paréntesis cambiamos los signos a opuesto... Y luego podemos abrirlo usando algoritmos estándar: obtenemos lo que vimos en los cálculos anteriores.

Comprender este simple hecho te permitirá evitar errores estúpidos e hirientes en la escuela secundaria, cuando tales acciones se dan por sentado.

Resolver ecuaciones lineales complejas

Pasemos a ecuaciones más complejas. Ahora las construcciones se volverán más complejas y aparecerá una función cuadrática al realizar varias transformaciones. Sin embargo, no debe tener miedo de esto, porque si, de acuerdo con la intención del autor, estamos resolviendo una ecuación lineal, entonces, en el proceso de transformación, todos los monomios que contienen una función cuadrática serán necesariamente cancelados.

Ejemplo 1

Evidentemente, el primer paso es ampliar el paréntesis. Hagámoslo con mucho cuidado:

Ahora para la privacidad:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Aquí hay otros similares:

Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones, por lo que escribiremos la respuesta de la siguiente manera:

\ [\ varnothing \]

o sin raíces.

Ejemplo No. 2

Seguimos los mismos pasos. Primer paso:

Mueve todo con la variable a la izquierda y sin ella a la derecha:

Aquí hay otros similares:

Obviamente, esta ecuación lineal no tiene solución, por lo que la escribiremos de esta forma:

\ [\ varnothing \],

o no hay raíces.

Matices de solución

Ambas ecuaciones están completamente resueltas. Usando estas dos expresiones como ejemplo, una vez más nos aseguramos de que incluso en las ecuaciones lineales más simples todo puede no ser tan simple: puede haber una, o ninguna, o infinitas raíces. En nuestro caso, consideramos dos ecuaciones, en ambas simplemente no hay raíces.

Pero me gustaría llamar su atención sobre otro hecho: cómo trabajar con paréntesis y cómo abrirlos si hay un signo menos delante de ellos. Considere esta expresión:

Antes de divulgar, debe multiplicar todo por "X". Nota: multiplica cada término individual... En el interior hay dos términos, respectivamente, dos términos y multiplicado.

Y solo después de que se realicen estas transformaciones aparentemente elementales, pero muy importantes y peligrosas, puede expandir el paréntesis desde el punto de vista del hecho de que hay un signo menos después de él. Sí, sí: solo ahora, cuando se completan las transformaciones, recordamos que hay un signo menos delante del paréntesis, lo que significa que todo lo que baja solo cambia de signo. Al mismo tiempo, los corchetes desaparecen y, lo que es más importante, el "menos" frontal también desaparece.

Hacemos lo mismo con la segunda ecuación:

No es casualidad que llame la atención sobre estos pequeños hechos aparentemente insignificantes. Porque resolver ecuaciones es siempre una secuencia de transformaciones elementales, donde la incapacidad para realizar acciones simples de manera clara y competente lleva al hecho de que los estudiantes de secundaria vienen a mí y vuelven a aprender a resolver ecuaciones tan simples.

Por supuesto, llegará el día y perfeccionará estas habilidades hasta el automatismo. Ya no tendrás que realizar tantas transformaciones cada vez, escribirás todo en una línea. Pero mientras recién está aprendiendo, debe escribir cada acción por separado.

Resolver ecuaciones lineales aún más complejas

Lo que vamos a resolver ahora, ya es difícil de llamar la tarea más simple, pero el significado sigue siendo el mismo.

Problema número 1

\ [\ left (7x + 1 \ right) \ left (3x-1 \ right) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Multipliquemos todos los elementos de la primera parte:

Hagamos la reclusión:

Aquí hay otros similares:

Realizamos el último paso:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Aquí está nuestra respuesta final. Y, a pesar de que en el proceso de resolver los coeficientes con una función cuadrática, se aniquilaron mutuamente, lo que hace que la ecuación sea exactamente lineal, no cuadrada.

Problema número 2

\ [\ left (1-4x \ right) \ left (1-3x \ right) = 6x \ left (2x-1 \ right) \]

Hagamos el primer paso de forma ordenada: multiplique cada elemento del primer corchete por cada elemento del segundo. En total, debería haber cuatro términos nuevos después de las transformaciones:

Ahora realicemos cuidadosamente la multiplicación en cada término:

Muevamos los términos con "x" a la izquierda y sin - a la derecha:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Aquí hay términos similares:

Una vez más, recibimos la respuesta final.

Matices de solución

La nota más importante sobre estas dos ecuaciones es la siguiente: tan pronto como empezamos a multiplicar los paréntesis en los que hay más de un término, entonces esto se hace de acuerdo con la siguiente regla: tomamos el primer término del primero y multiplica con cada elemento del segundo; luego tomamos el segundo elemento del primero y multiplicamos de manera similar con cada elemento del segundo. Como resultado, obtenemos cuatro términos.

Suma algebraica

Con el último ejemplo, me gustaría recordarles a los estudiantes qué es una suma algebraica. En matemáticas clásicas, por $ 1-7 $ nos referimos a una construcción simple: reste siete de uno. En álgebra, queremos decir con esto lo siguiente: al número "uno" agregamos otro número, a saber, "menos siete". Así es como la suma algebraica se diferencia de la aritmética habitual.

Una vez, al realizar todas las transformaciones, cada suma y multiplicación, comienzas a ver construcciones similares a las descritas anteriormente, simplemente no tendrás ningún problema en álgebra al trabajar con polinomios y ecuaciones.

En conclusión, veamos un par de ejemplos más que serán incluso más complejos que los que acabamos de ver, y para resolverlos tendremos que expandir ligeramente nuestro algoritmo estándar.

Resolver ecuaciones con una fracción

Para resolver este tipo de problemas, tendremos que agregar un paso más a nuestro algoritmo. Pero primero, recordaré nuestro algoritmo:

1. Expanda los corchetes.
2. Variables separadas.
3. Traiga otros similares.
4. Dividir por factor.

Por desgracia, este excelente algoritmo, a pesar de su eficacia, resulta no ser del todo apropiado cuando nos enfrentamos a fracciones. Y en lo que veremos a continuación, tenemos una fracción a la izquierda y a la derecha en ambas ecuaciones.

¿Cómo trabajar en este caso? ¡Todo es muy sencillo! Para hacer esto, debe agregar un paso más al algoritmo, que se puede hacer tanto antes de la primera acción como después de ella, es decir, deshacerse de las fracciones. Así, el algoritmo será el siguiente:

1. Deshazte de las fracciones.
2. Expanda los corchetes.
3. Variables separadas.
4. Traiga otros similares.
5. Dividir por factor.

¿Qué significa "deshacerse de las fracciones"? ¿Y por qué se puede hacer esto antes y después del primer paso estándar? De hecho, en nuestro caso, todas las fracciones son numéricas en términos del denominador, es decir, en todas partes del denominador hay solo un número. Por lo tanto, si multiplicamos ambos lados de la ecuación por este número, nos deshacemos de las fracciones.

Ejemplo 1

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Eliminemos las fracciones en esta ecuación:

\ [\ frac (\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) \ cdot 4) (4) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4 \]

Presta atención: todo se multiplica por "cuatro" una vez, es decir. el hecho de que tenga dos paréntesis no significa que deba multiplicar cada uno de ellos por cuatro. Anotemos:

\ [\ left (2x + 1 \ right) \ left (2x-3 \ right) = \ left (((x) ^ (2)) - 1 \ right) \ cdot 4 \]

Ahora abramos:

Hacemos el aislamiento de la variable:

Realizamos la reducción de plazos similares:

\ [- 4x = -1 \ izquierda | : \ izquierda (-4 \ derecha) \ derecha. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Tenemos la solución final, pasamos a la segunda ecuación.

Ejemplo No. 2

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Aquí realizamos todas las mismas acciones:

\ [\ frac (\ left (1-x \ right) \ left (1 + 5x \ right) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

El problema ha sido resuelto.

Eso, de hecho, es todo lo que quería contar hoy.

Puntos clave

Los hallazgos clave son los siguientes:

• Conoce el algoritmo para resolver ecuaciones lineales.
• Posibilidad de abrir corchetes.
• No se preocupe si tiene funciones cuadráticas en alguna parte, lo más probable es que se reduzcan en el proceso de más transformaciones.
• Las raíces en las ecuaciones lineales, incluso las más simples, son de tres tipos: una raíz única, la recta numérica entera es una raíz y no hay raíces en absoluto.

Espero que esta lección le ayude a dominar un tema simple pero muy importante para comprender mejor todas las matemáticas. Si algo no está claro, vaya al sitio, resuelva los ejemplos que allí se presentan. Estén atentos, ¡hay muchas más cosas interesantes esperando por ustedes!

En el curso de matemáticas de séptimo grado, se reúnen por primera vez con ecuaciones en dos variables, pero se estudian solo en el contexto de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Es por ello que se pierde de vista toda una serie de problemas, en los que se introducen unas condiciones sobre los coeficientes de la ecuación que los limitan. Además, los métodos para resolver problemas como "Resolver una ecuación en números naturales o enteros" también se dejan sin atención, aunque problemas de este tipo se encuentran cada vez más a menudo en los materiales de USE y en las pruebas de acceso.

¿Qué ecuación se llamará ecuación de dos variables?

Entonces, por ejemplo, las ecuaciones 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, o xy = 12 son ecuaciones en dos variables.

Considere la ecuación 2x ​​- y = 1. Se convierte en una verdadera igualdad para x = 2 e y = 3, por lo que este par de valores de las variables es una solución a la ecuación en consideración.

Así, la solución a cualquier ecuación con dos variables es el conjunto de pares ordenados (x; y), los valores de las variables que esta ecuación convierte en una verdadera igualdad numérica.

Una ecuación con dos incógnitas puede:

a) tengo una solución. Por ejemplo, la ecuación x 2 + 5y 2 = 0 tiene una solución única (0; 0);

B) tiene múltiples soluciones. Por ejemplo, (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 = 0 tiene 4 soluciones: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

v) no tengo soluciones. Por ejemplo, la ecuación x 2 + y 2 + 1 = 0 no tiene soluciones;

GRAMO) tienen infinitas soluciones. Por ejemplo, x + y = 3. Las soluciones de esta ecuación serán números, cuya suma es 3. El conjunto de soluciones de esta ecuación se puede escribir en la forma (k; 3 - k), donde k es cualquier Número Real.

Los métodos principales para resolver ecuaciones con dos variables son métodos basados ​​en factorizar expresiones en factores, asignar un cuadrado completo, usar las propiedades de una ecuación cuadrática, expresiones limitadas y métodos evaluativos. La ecuación, por regla general, se transforma en una forma a partir de la cual se puede obtener un sistema para encontrar incógnitas.

Factorización

Ejemplo 1.

Resuelve la ecuación: xy - 2 = 2x - y.

Solución.

Agrupamos los términos con el propósito de factorizar:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Saca el factor común de cada paréntesis:

y (x + 1) - 2 (x + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. Tenemos:

y = 2, x es cualquier número real o x = -1, y es cualquier número real.

De este modo, la respuesta son todos los pares de la forma (x; 2), x € R y (-1; y), y € R.

Igualdad a cero de números no negativos

Ejemplo 2.

Resuelve la ecuación: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12 (x + y).

Solución.

Agrupamos:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Ahora cada paréntesis se puede doblar usando la fórmula de la diferencia al cuadrado.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

La suma de dos expresiones no negativas es cero solo si 3x - 2 = 0 y 2y - 3 = 0.

Esto significa que x = 2/3 e y = 3/2.

Respuesta: (2/3; 3/2).

Método de evaluación

Ejemplo 3.

Resuelve la ecuación: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Solución.

En cada corchete, seleccione un cuadrado completo:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) = 2. Estimar el significado de las expresiones entre paréntesis.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 y (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, entonces el lado izquierdo de la ecuación es siempre al menos 2. La igualdad es posible si:

(x + 1) 2 + 1 = 1 y (y - 2) 2 + 2 = 2, lo que significa x = -1, y = 2.

Respuesta: (-1; 2).

Conozcamos otro método para resolver ecuaciones con dos variables de segundo grado. Este método es que la ecuación se considera como cuadrado con respecto a cualquier variable.

Ejemplo 4.

Resuelve la ecuación: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Solución.

Resuelve la ecuación como un cuadrado con respecto ax. Busquemos el discriminante:

D = 36 - 4 (y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4 (√y - 2) 2. La ecuación tendrá una solución solo para D = 0, es decir, si y = 4. Sustituya el valor de y en la ecuación original y encuentre que x = 3.

Respuesta: (3; 4).

A menudo, en ecuaciones con dos incógnitas, indican restricciones sobre las variables.

Ejemplo 5.

Resuelve la ecuación completa: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Solución.

Reescribe la ecuación como x 2 = -5y 2 + 20x + 2. El lado derecho de la ecuación resultante cuando se divide por 5 da un residuo 2. Por lo tanto, x 2 no es divisible por 5. Pero el cuadrado de un número que no es divisible por 5 da resto 1 o 4. Por lo tanto, la igualdad es imposible y no hay soluciones.

Respuesta: sin raíces.

Ejemplo 6.

Resuelve la ecuación: (x 2-4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Solución.

Seleccione los cuadrados completos en cada corchete:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) = 3. El lado izquierdo de la ecuación es siempre mayor o igual que 3. La igualdad es posible siempre que | x | - 2 = 0 e y + 3 = 0. Por tanto, x = ± 2, y = -3.

Respuesta: (2; -3) y (-2; -3).

Ejemplo 7.

Para cada par de números enteros negativos (x; y) que satisfacen la ecuación
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, calcula la suma (x + y). En la respuesta, indique la menor de las cantidades.

Solución.

Seleccionemos cuadrados completos:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Dado que xey son números enteros, sus cuadrados también son números enteros. La suma de los cuadrados de dos enteros, igual a 37, se obtiene si sumamos 1 + 36. Por tanto:

(x - y) 2 = 36 y (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 y (y + 2) 2 = 36.

Resolviendo estos sistemas y teniendo en cuenta que xey son negativos, encontramos soluciones: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Respuesta: -17.

No se desanime si tiene dificultades para resolver ecuaciones con dos incógnitas. Con un poco de práctica, puede abordar cualquier ecuación.

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Ecuaciones lineales. Solución, ejemplos.

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Para los que son muy "no muy ..."
Y para los que son "muy parejos ...")

Ecuaciones lineales.

Las ecuaciones lineales no son el tema más difícil de las matemáticas escolares. Pero hay algunos trucos que pueden desconcertar incluso a un estudiante capacitado. ¿Lo resolvemos?)

Normalmente, una ecuación lineal se define como una ecuación de la forma:

hacha + B = 0 donde a y B- cualquier número.

2x + 7 = 0. Aquí a = 2, b = 7

0.1x - 2.3 = 0 aquí a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 aquí a = 12, b = 1/2

Nada complicado, ¿verdad? Especialmente si no notas las palabras: "donde ayb son números"... ¿Y si te das cuenta, pero piensas descuidadamente?) Después de todo, si a = 0, b = 0(¿son posibles algunos números?), entonces obtienes una expresión divertida:

¡Pero eso no es todo! Si, digamos, a = 0, a b = 5, resulta algo completamente fuera de lo común:

Lo que tensa y socava la confianza en las matemáticas, sí ...) Especialmente en los exámenes. ¡Pero a partir de estas extrañas expresiones también es necesario encontrar la X! Que no está ahí en absoluto. Y, sorprendentemente, esta X es muy fácil de encontrar. Aprenderemos cómo hacer esto. En este tutorial.

¿Cómo se conoce una ecuación lineal por su apariencia? Depende de la apariencia). El truco es que las ecuaciones lineales se llaman no solo ecuaciones de la forma hacha + B = 0 , pero también cualquier ecuación que se reduzca a esta forma mediante transformaciones y simplificaciones. ¿Y quién sabe si se puede reducir o no?)

En algunos casos, se puede reconocer claramente una ecuación lineal. Digamos, si tenemos una ecuación en la que solo hay incógnitas en el primer grado y números. Y en la ecuación no hay fracciones divididas por desconocido , ¡es importante! Y división por número, o una fracción numérica, ¡por favor! Por ejemplo:

Esta es una ecuación lineal. Aquí hay fracciones, pero no hay x en el cuadrado, en el cubo, etc., y no hay x en los denominadores, es decir, No división por x... Y aqui esta la ecuacion

no se puede llamar lineal. Aquí las x están todas en primer grado, pero hay división por expresión con x... Después de simplificaciones y transformaciones, puede obtener una ecuación lineal y una cuadrática y lo que quiera.

Resulta que es imposible encontrar una ecuación lineal en algún ejemplo complicado hasta que casi la resuelvas. Esto es perturbador. Pero las asignaciones generalmente no preguntan sobre el tipo de ecuación, ¿verdad? En las asignaciones, las ecuaciones se ordenan resolver. Esto me hace feliz.)

Resolver ecuaciones lineales. Ejemplos.

La solución completa de las ecuaciones lineales consta de transformaciones idénticas de las ecuaciones. Por cierto, estas transformaciones (¡hasta dos!) Subyacen a las soluciones todas las ecuaciones de las matemáticas. En otras palabras, la solución ningún la ecuación comienza con estas mismas transformaciones. En el caso de las ecuaciones lineales, (la solución) se basa en estas transformaciones y termina con una respuesta completa. Tiene sentido seguir el enlace, ¿verdad?) Además, también hay ejemplos de resolución de ecuaciones lineales.

Comencemos con el ejemplo más simple. Sin trampas. Suponga que necesitamos resolver esta ecuación.

x - 3 = 2 - 4x

Esta es una ecuación lineal. X es todo en primer grado, no hay división por X. Pero, de hecho, no nos importa qué ecuación sea. Necesitamos resolverlo. El esquema es simple aquí. Recoge todo lo que tenga x en el lado izquierdo de la igualdad, todo lo que no tenga x (número) a la derecha.

Para hacer esto, necesita transferir - 4x a la izquierda, con cambio de signo, claro, pero - 3 - A la derecha. Por cierto, esto es primera transformación idéntica de ecuaciones.¿Estás sorprendido? Entonces, no seguimos el enlace, pero en vano ...) Obtenemos:

x + 4x = 2 + 3

Damos similares, creemos:

¿Qué nos falta para la felicidad completa? ¡Sí, de modo que había una X limpia a la izquierda! El cinco está en el camino. Deshacerse de los cinco primeros con segunda transformación idéntica de ecuaciones. Es decir, dividimos ambos lados de la ecuación entre 5. Obtenemos una respuesta lista:

Un ejemplo elemental, por supuesto. Esto es para el calentamiento.) ¿No está muy claro por qué estaba recordando transformaciones idénticas aquí? está bien. Cogemos el toro por los cuernos). Decidamos algo más impresionante.

Por ejemplo, aquí está la ecuación:

¿Donde empezamos? ¿Con x - a la izquierda, sin x - a la derecha? Podría ser así. En pequeños pasos a lo largo del largo camino. O puede hacerlo de forma inmediata, universal y poderosa. Si, por supuesto, en su arsenal hay idénticas transformaciones de ecuaciones.

Te hago una pregunta clave: ¿Qué es lo que más le disgusta de esta ecuación?

95 personas de cada 100 responderán: fracciones ! La respuesta es correcta. Así que deshagámonos de ellos. Por lo tanto, comenzamos de inmediato con segunda transformación de identidad... ¿Qué necesitas para multiplicar la fracción de la izquierda para que el denominador se pueda reducir por completo? A la derecha, a las 3. ¿Y a la derecha? Por 4. Pero las matemáticas nos permiten multiplicar ambos lados por el mismo numero... ¿Cómo salimos? ¡Y multipliquemos ambos lados por 12! Aquellos. por un denominador común. Entonces se reducirán tanto el tres como el cuatro. No olvide que debe multiplicar cada parte. totalmente... Así es como se ve el primer paso:

Ampliando los corchetes:

¡Nota! Numerador (x + 2)¡Lo pongo entre paréntesis! Esto se debe a que cuando multiplica fracciones, ¡el numerador se multiplica por completo, por completo! Y ahora las fracciones se pueden reducir:

Expanda los corchetes restantes:

¡No es un ejemplo, pero sí un placer!) Ahora recordamos el hechizo de los grados de primaria: con una x - a la izquierda, sin una x - ¡a la derecha! Y aplica esta transformación:

Aquí hay otros similares:

Y dividimos ambas partes por 25, es decir. aplique la segunda transformación nuevamente:

Eso es todo. Respuesta: X=0,16

Tome nota: para llevar la ecuación confusa original a una forma agradable, usamos dos (¡solo dos!) transformaciones idénticas- Transferencia de izquierda a derecha con cambio de signo y multiplicación-división de la ecuación por el mismo número. ¡Esta es una forma universal! Trabajaremos de esta manera con ningún ecuaciones! Absolutamente cualquiera. Es por eso que repito estas transformaciones idénticas todo el tiempo).

Como puede ver, el principio de resolver ecuaciones lineales es simple. Tomamos la ecuación y la simplificamos con la ayuda de transformaciones idénticas hasta obtener la respuesta. Los principales problemas aquí están en los cálculos, no en el principio de la solución.

Pero ... Hay tantas sorpresas en el proceso de resolver las ecuaciones lineales más elementales que pueden llevarte a un fuerte estupor ...) Afortunadamente, solo puede haber dos de esas sorpresas. Llamémoslos casos especiales.

Casos especiales al resolver ecuaciones lineales.

Primera sorpresa.

Suponga que se encuentra con una ecuación elemental, algo como:

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

Un poco aburridos, lo trasladamos con una X a la izquierda, sin una X a la derecha ... Con un cambio de signo, todo es un chin-chinar ... Obtenemos:

2x-5x + 3x = 5-2-3

Pensamos, y ... ¡¡¡oh mierda !!! Obtenemos:

Esta igualdad en sí misma no es objetable. Cero es de hecho cero. ¡Pero la X se ha ido! Y estamos obligados a escribir en la respuesta, que es igual ax. De lo contrario, la decisión no cuenta, sí ...) ¿Callejón sin salida?

¡Calma! En casos tan dudosos, las reglas más generales salvan. ¿Cómo resolver ecuaciones? ¿Qué significa resolver una ecuación? Esto significa, encuentra todos los valores de x que, cuando se sustituyen en la ecuación original, nos darán la igualdad correcta.

Pero tenemos verdadera igualdad ya¡sucedió! 0 = 0, ¿cuánto más preciso? Queda por averiguar en qué xx resulta. ¿Qué valores de x se pueden sustituir en inicial ecuación si estas x se reducirá a cero de todos modos?¿Vamos?)

¡¡¡Sí!!! Las X pueden ser sustituidas ¡ningún! Lo que quieras. Al menos 5, al menos 0,05, al menos -220. De todos modos se encogerán. Si no me cree, puede comprobarlo). Sustituya los valores de x en inicial ecuación y cuenta. Todo el tiempo, se obtendrá la verdad pura: 0 = 0, 2 = 2, -7,1 = -7,1 y así sucesivamente.

Esta es la respuesta: x - cualquier número.

La respuesta se puede escribir en diferentes símbolos matemáticos, la esencia no cambia. Esta es una respuesta absolutamente correcta y completa.

Segunda sorpresa.

Tomemos la misma ecuación lineal elemental y cambiemos solo un número en ella. Esto es lo que resolveremos:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

Después de las mismas transformaciones idénticas, obtenemos algo intrigante:

Como esto. Resolvió una ecuación lineal, obtuvo una extraña igualdad. Matemáticamente hablando, tenemos falsa igualdad. Y en términos simples, esto no es cierto. Delirio. Sin embargo, esta tontería es una muy buena razón para resolver la ecuación correctamente).

Nuevamente, pensamos basándonos en las reglas generales. ¿Qué x, cuando se sustituye en la ecuación original, nos dará cierto¿igualdad? ¡Sí, ninguno! No existen tales x. Lo que sea que sustituyas, todo se reducirá, el delirio permanecerá).

Esta es la respuesta: sin soluciones.

Esta es también una respuesta bastante completa. En matemáticas, a menudo se encuentran tales respuestas.

Como esto. Ahora, espero, la pérdida de x en el proceso de resolver cualquier ecuación (no solo lineal) no lo confundirá en absoluto. El asunto ya es familiar).

Ahora que hemos descubierto todos los errores de las ecuaciones lineales, tiene sentido resolverlos.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Puedes practicar la resolución de ejemplos y conocer tu nivel. Prueba de validación instantánea. Aprendiendo - ¡con interés!)

puede familiarizarse con funciones y derivadas.