Систематичні похибки. Систематичні помилки закономірно змінюють значення вимірюваної величини. Найбільш просто піддаються оцінці похибки, що вносяться до вимірювання приладами, якщо вони пов'язані з конструктивними особливостями самих приладів. Ці похибки зазначаються у паспортах до приладів. Похибки деяких приладів можна оцінити та не звертаючись до паспорта. Для багатьох електровимірювальних приладів безпосередньо на шкалі зазначених клас точності.

Клас точності приладу- Це відношення абсолютної похибки приладу до максимального значення вимірюваної величини, яке можна визначити за допомогою даного приладу (це систематична відносна похибка приладу, виражена у відсотках від номіналу шкали).

Тоді абсолютна похибка такого приладу визначається співвідношенням:

.

Для електровимірювальних приладів запроваджено 8 класів точності: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Чим ближче вимірювана величина до номіналу, тим точнішим буде результат виміру. Максимальна точність (тобто найменша відносна помилка), яку може забезпечити даний прилад, дорівнює класу точності. Цю обставину необхідно враховувати під час використання багатошкальних приладів. Шкалу треба вибирати з таким розрахунком, щоб вимірювана величина, залишаючись у межах шкали, була якомога ближче до номіналу.

Якщо клас точності для приладу не вказаний, необхідно керуватися такими правилами:

· Абсолютна похибка приладів з ноніусом дорівнює точності ноніуса.

· Абсолютна похибка приладів з фіксованим кроком стрілки дорівнює ціні поділу.

· Абсолютна похибка цифрових приладів дорівнює одиниці мінімального розряду.

· Для решти приладів абсолютна похибка приймається рівною половині ціни поділу.

Випадкові похибки. Ці похибки мають статистичний характері і описуються теорією ймовірності. Встановлено, що при дуже великій кількості вимірювань можливість отримати той чи інший результат у кожному окремому вимірі можна визначити за допомогою нормального розподілу Гаусса. При малому числі вимірів математичний опис ймовірності отримання того чи іншого результату виміру називається розподілом Стьюдента (докладніше про це можна прочитати в посібнику Скворцової І.Л. «Помилки вимірів фізичних величин»).

Як оцінити справжнє значення вимірюваної величини?

Нехай при вимірі деякої величини ми отримали N результатів: . Середнє арифметичне серії вимірів ближче до істинного значення вимірюваної величини, ніж більшість окремих вимірів. Для отримання результату виміру деякої величини використовується наступний алгоритм.

1). Обчислюється середнє арифметичнесерії з N прямих вимірів:

2). Обчислюється абсолютна випадкова похибка кожного виміру– це різниця між середнім арифметичним серії N прямих вимірювань і даним вимірюванням:

.

3). Обчислюється середня квадратична абсолютна похибка:

.

4). Обчислюється абсолютна випадкова похибка. При невеликій кількості вимірів абсолютну випадкову похибку можна розрахувати через середню квадратичну похибку і деякий коефіцієнт, що називається коефіцієнтом Ст'юдента:

,

Коефіцієнт Стьюдента залежить від кількості вимірювань N та коефіцієнта надійності (у таблиці 1 відображена залежність коефіцієнта Стьюдента від числа вимірювань при фіксованому значенні коефіцієнта надійності).

Коефіцієнт надійності- Це ймовірність, з якою справжнє значення вимірюваної величини потрапляє в довірчий інтервал.

Довірчий інтервал - Це числовий інтервал, в який з певною ймовірністю потрапляє справжнє значення вимірюваної величини.

Таким чином, коефіцієнт Ст'юдента - це число, на яке потрібно помножити середню квадратичну похибку, щоб при цьому вимірів забезпечити задану надійність результату.

Чим більшу надійність необхідно забезпечити для даного числа вимірювань, тим більший коефіцієнт Ст'юдента. З іншого боку, що більше число вимірів, то менше коефіцієнт Ст'юдента за даної надійності. У лабораторних роботах нашого практикуму вважатимемо надійність заданою та рівною 0,9. Числові значення коефіцієнтів Ст'юдента за цієї надійності для різного числа вимірів наведено у таблиці 1.

Таблиця 1

5).Обчислюється повна абсолютна похибка.За будь-яких вимірів існують і випадкові і систематичні похибки. Розрахунок загальної (повної) абсолютної похибки виміру справа непроста, оскільки ці похибки різної природи.

Для інженерних вимірів має сенс підсумувати систематичну та випадкову абсолютні похибки

.

Для простоти розрахунків прийнято оцінювати повну абсолютну похибку як суму абсолютної випадкової та абсолютної систематичної (приладової) похибок, якщо похибки одного порядку величини, і нехтувати однією з похибок, якщо вона більш ніж на порядок (у 10 разів) менша за іншу.

6). Округлюється похибка та результат. Оскільки результат вимірювань представляється у вигляді інтервалу значень, величину якого визначає повна абсолютна похибка, важливе значення має правильне заокруглення результату та похибки.

Округлення починають з абсолютної похибки!Число значущих цифр, яке залишають у значенні похибки, взагалі, залежить від коефіцієнта надійності та числа вимірів. Однак навіть для дуже точних вимірювань (наприклад, астрономічних), в яких точне значення похибки важливе, не залишають більше двох цифр. Більшість цифр немає сенсу, оскільки визначення похибки саме має власну похибку. У нашому практикумі порівняно невеликий коефіцієнт надійності та мала кількість вимірювань. Тому при округленні (надлишком) повної абсолютної похибки залишають одну значну цифру.

Розряд цифри абсолоютної похибки визначає розряд першої сумнівної цифри в значенні результату. Отже, саме значення результату потрібно округляти (з поправкою) до тієї цифри, що значить, розряд якої збігається з розрядом значущої цифри похибки . Сформульоване правило слід застосовувати і в тих випадках, коли деякі цифри є нулями.

Якщо при вимірі маси тіла отримано результат, то писати нулі в кінці числа 0,900 необхідно. Запис означав би, що про наступні цифри нічого не відомо, тоді як виміри показали, що вони рівні нулю.

7). Обчислюється відносна погрішність .

При округленні відносної похибки достатньо залишити дві цифри.

результат серії вимірювань деякої фізичної величини подають у вигляді інтервалу значень із зазначенням ймовірності попадання істинного значення в даний інтервал, тобто результат необхідно записати у вигляді:

Тут – повна, округлена до першої цифри, абсолютна похибка і – округлене з урахуванням вже округленої похибки середнє значення вимірюваної величини. При записі результату вимірів обов'язково необхідно вказати одиницю виміру величини.

Розглянемо кілька прикладів:

1. Нехай при вимірі довжини відрізка ми одержали наступний результат: см і див. Як грамотно записати результат вимірів довжини відрізка? Спочатку округляємо з надлишком абсолютну похибку, залишаючи одну значну цифру див. Значна похибка в розряді сотих. Потім округляємо з виправленням середнє значення з точністю до сотих, тобто. до тієї значущої цифри, розряд якої збігається із розрядом значущої цифри похибки див. Обчислюємо відносну похибку

Завдання ставиться так: нехай шукана величина zвизначається через інші величини a, b, c, ..., отримані при прямих вимірах

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Потрібно визначити середнє значення функції і похибка її вимірів, тобто. знайти довірчий інтервал

при надійності a та відносну похибку.

Що стосується, то воно знаходиться шляхом підстановки у праву частину (11) замість a, b, c,... їх середніх значень

3. Оцінити напівширину довірчого інтервалу для результату непрямих вимірів

,

де похідні... обчислюються при

4. Визначити відносну похибку результату

5. Якщо залежність z від a, b, c,... має вигляд , де k, l, m‒ будь-які дійсні числа, то спочатку слід знайти відноснупомилку

а потім абсолютну .

6. Остаточний результат записати у вигляді

z = ± Dz , ε = …% при a = … .

Примітка:

При обробці результатів прямих вимірів потрібно дотримуватися наступного правила: чисельні значення всіх величин, що розраховуються, повинні містити на один розряд більше, ніж вихідні (певні експериментально) величини.

При непрямих вимірах обчислення проводити за правилам наближених обчислень:

Правило 1. При додаванні та відніманні наближених чисел необхідно:

а) виділити доданок, у якого сумнівна цифра має найвищий розряд;

б) решту доданків округлити до наступного розряду (зберігається одна запасна цифра);

в) зробити додавання (віднімання);

г) у результаті відкинути останню цифру шляхом округлення (розряд сумнівної цифри результату при цьому співпадає зі старшим із розрядів сумнівних цифр доданків).

Приклад: 5,4382 · 10 5 - 2,918 · 10 3 + 35,8 + 0,064.

У цих числах останні цифри сумнівні (невірні вже відкинуті). Запишемо їх у вигляді 543 820 - 2918 + 35,8 + 0,064.

Видно, що у першого доданка сумнівна цифра 2 має найвищий розряд (десятки). Округливши всі інші числа до наступного розряду та склавши, отримаємо

543820 - 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094 · 10 5 .

Правило 2 При множенні (розподілі) наближених чисел необхідно:

а) виділити число (числа) з найменшою кількістю значущих цифр ( ЗНАЧАЛЬНІ – цифри відмінні від нуля і нулі, що стоять між ними);

б) округлити решту числа так, щоб у них було на одну значну цифру більше (зберігається одна запасна цифра), ніж виділеному за п. а;

в) перемножити (розділити) одержані числа;

г) в результаті залишити стільки значущих цифр, скільки їх було в числі (числах) з найменшою кількістю цифр.

Приклад: .

Правило 3 При зведенні в ступінь, при вилученні кореня в результаті зберігається стільки цифр, скільки їх у вихідному числі.

Приклад: .

Правило 4 При знаходженні логарифму числа мантиса логарифма повинна мати стільки значущих цифр, скільки їх у вихідному числі:

Приклад: .

В остаточному записі абсолютноїпохибки слід залишати тільки одну значну цифру. (Якщо цією цифрою виявиться 1, то після неї зберігають ще одну цифру).

Середнє значення округляється так само розряду, як і абсолютна похибка.

Наприклад: V= (375,21 0,03) см3 = (3,7521 0,0003) см3.

I= (5,530 0,013) А, A = Дж.

Порядок виконання роботи

Визначення діаметра циліндра.

1. Штангенциркулем виміряти 7 разів (у різних місцях та напрямках) діаметр циліндра. Результати записати до таблиці.

№ п/п

d i , мм

d i-

(d i- ) 2

h i , ммі Схожа інформація:

Похибки вимірюваних і табличних величин зумовлюють похибки DХ ср побічно визначуваної величини, причому найбільший внесок у DХ ср дають найменш точні величини, що мають максимальну відносну похибку d. Тому для підвищення точності непрямих вимірювань необхідно добиватися рівноточності прямих вимірювань.

(d А, d, D, …).

Правила знаходження похибок непрямих вимірів:

1. Знаходять натуральний логарифм від заданої функції

ln(X = f(A, B, C, ...));

2. Знаходять повний диференціал (за всіма змінними) від знайденого натурального логарифму заданої функції;

3. Замінюють знак диференціала d на знак абсолютної похибки D;

4. Замінюють усі «мінуси», що стоять перед абсолютними похибками DА, DВ, DС, … на «плюси».

В результаті виходить формула найбільшої відносної похибки. d xпобічно виміряної величини Х:

d x = = j (A ср, B ср, C ср, …, DA ср, DB ср, DC ср, …).(18)

За знайденою відносною похибкою d xвизначають абсолютну похибку непрямого виміру:

DХ ср = d x. Х ср . (19)

Результат непрямих вимірювань записують у стандартному вигляді та зображують на числовій осі:

X = (X ср ± DХ ср),Од. вим. (20)

приклад:

Знайти значення відносної та середньої похибок фізичної величини L, що визначається побічно за формулою:

, (21)

де π, g, t, k, α, β– величини, значення яких виміряно або взято з довідкових таблиць та занесено до таблиці результатів вимірювань та табличних даних (подібну до табл.1).

1. Обчислюють середнє значення L ср, підставляючи (21) середні значення з таблиці – π ср, g ср, t ср, k ср, α ср, β ср.

2. Визначають найбільшу відносну похибку δ L:

a). Логарифмують формулу (21):

b). Диференціюють отриманий вираз (22):

c). Замінюють знак диференціалу d на Δ, а «мінуси» перед абсолютними похибками – на «плюси», і одержують вираз для найбільшої відносної похибки δ L:

d). Підставляючи в отриманий вираз середні значення вхідних величин та їх похибок з таблиці результатів вимірів, обчислюють δ L.

3. Потім обчислюють абсолютну похибку ΔL порівн:

Результат записують у стандартному вигляді та зображують графічно на осі L:

, од. змін.

ЕЛЕМЕНТАРНІ ОЦІНКИ ПОХІДНОСТЕЙ ВИМІРЮВАНЬ

Вимір є знаходження значення фізичної величини дослідним шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів - заходів, вимірювальних приладів.

Міра є засіб вимірів, що відтворює фізичну величину заданого розміру - одиниця виміру, її кратне чи дробове значення. Наприклад, гирі 1 кг, 5 кг, 10 кг.

Вимірювальний прилад є засіб вимірювання, призначений для вироблення сигналу вимірювальної інформації у формі, доступної для безпосереднього сприйняття спостерігачем. Вимірювальний прилад дозволяє прямо чи опосередковано порівнювати вимірювану величину із заходами. Вимірювання також поділяють на прямі та непрямі.

При прямих вимірах потрібне значення величини знаходять безпосередньо з основних (дослідних) даних.

При непрямих вимірах шукане значення величини знаходять на підставі відомої залежності між цією величиною та величинами, що піддаються прямим вимірам. Принцип вимірів є сукупність фізичних явищ, на яких базуються виміри.

Метод вимірів - сукупність прийомів використання принципів та засобів вимірювань. Значення фізичної величини, яке ідеальним чином відображало б у якісному та кількісному відношеннях відповідну властивість даного об'єкта є справжнє значення фізичної величини. Значення фізичної величини, знайдене шляхом її виміру є результат виміру.

Відхилення результату виміру від справжнього значення вимірюваної величини є похибка виміру.

Абсолютна похибка виміру є похибка виміру, виражена в одиницях вимірюваної величини і дорівнює різниці результату та істинного значення вимірюваної величини. Відношення абсолютної похибки до істинного значення вимірюваної величини є відносна похибка виміру.

Внесок у похибку вимірювання вносять похибки засобів вимірювань (інструментальна або приладова похибка), недосконалість методу вимірювань, похибка відрахування за шкалою приладу, зовнішні впливи на засоби та об'єкти вимірювань, запізнення реакції людини на світловий та звуковий сигнали.

За характером прояви похибки поділяють на систематичні та випадкові. Випадковою називається подія, яка при заданому комплексі факторів може статися або не статися.

Випадкова похибка - складова похибки вимірювання, що змінюється випадковим чином при повторних вимірах однієї й тієї величини. Характерною ознакою випадкових похибок є зміна величин та знаку похибки у постійних умовах вимірів.

Систематична похибка - складова похибки вимірювання, що залишається постійною чи закономірно змінюється при повторних вимірах однієї й тієї величини. Систематичні похибки в принципі можуть бути виключені шляхом поправок, застосуванням точніших приладів та методів (хоча на практиці виявити систематичну похибку не завжди легко). Виключити випадкові похибки окремих вимірів неможливо, математична теорія випадкових явищ (теорія ймовірності) дозволяє встановити обгрунтовану оцінку їх величини.

Похибки прямих вимірів

Припустимо, що систематичні похибки виключені та похибки результатів вимірювань є лише випадковими. Позначимо літерами - результати вимірювань фізичної величини, дійсне значення якого дорівнює . Абсолютні похибки результатів окремих вимірів позначені:

Підсумовуючи отримано ліві та праві сторони рівності (1), отримаємо:

(2)

В основі теорії випадкових похибок лежать припущення, що підтверджуються досвідом:

похибки можуть набувати безперервного ряду значень;

при великій кількості вимірів випадкові похибки однакової величини, але різного знака зустрічаються однаково часто;

ймовірність появи похибки зменшується зі зростанням її величини. Необхідно також, щоб похибки були малі в порівнянні з величиною, що вимірюється, і незалежні.

Відповідно до припущення (1) при числі вимірювань n   отримаємо

,

Однак, завжди число вимірювань звичайно і залишається невідомим. Але для практичних цілей достатньо знайти експериментальним шляхом значення фізичної величини, що настільки наближається до істинного, що може бути використана замість істинного. Питання, як оцінити ступінь цього наближення?

За теорією ймовірності середнє арифметичне серії вимірів вірогідніше результатів окремих вимірів, т.к. випадкові відхилення від справжнього значення різні боки рівноймовірні. За ймовірність появи величини a i в інтервалі шириною 2 а і розуміють відносну частоту появи значень a i , що потрапляють в інтервал 2 а до числа всіх значень, що з'являються a i при числі дослідів (вимірювань), що прагнуть до нескінченності. Вочевидь, що можливість достовірного події дорівнює одиниці, можливість неможливого події дорівнює нулю, тобто. 0    100 %.

Імовірність того, що шукана величина (справжнє значення її) міститься в інтервалі (a - a, a + a) назвемо довірчою ймовірністю (надійністю) , а відповідний  інтервал (a - a, a + a) - довіритель інтервалом; чим менша величина похибки a, тим менша і ймовірність того, що вимірювана величина міститься в інтервалі, визначеній цією похибкою. Правильне і зворотне твердження: що менше надійність результату, то вже довірчий інтервал шуканої величини.

При великому n (практично при n  100) напівширина довірчого інтервалу при заданій надійності  дорівнює

, (3)

де K() = 1 при  = 0,68; K() = 2 при  = 0,95; K() = 3 при  = 0,997.

При малій кількості вимірів, що найчастіше зустрічається у студентському лабораторному практикумі, коефіцієнт K()в (3) залежить як від , а й від кількості вимірів n. Тому ми завжди будемо за наявності лише випадкової похибки напівширину довірчого інтервалу знаходити за формулою

(4)

У (4) коефіцієнт t n називається коефіцієнтом Стьюдента. Для  = 0,95 прийнятої у студентському практикумі значення t  n такі:

Величину називають середньоквадратичною похибкою середнього арифметичного із серії вимірів.

Похибка приладу чи заходи зазвичай вказується у паспорті його (її) чи умовним знаком на шкалі приладу. Зазвичай під похибкою приладу  розуміють напівширину інтервалу, всередині якого з ймовірністю вимірювань 0,997 може бути виміряна величина, якщо похибка вимірювань обумовлена ​​тільки похибкою приладу. Як загальна (повна) похибка результату вимірювань приймемо з ймовірністю  = 0,95

Абсолютна похибка дозволяє встановити, у якому знаку отриманого результату міститься неточність. Відносна похибка дає інформацію про те, яку частку (відсоток) вимірюваної величини становить похибка (напівширина довірчого інтервалу).

Остаточний результат серії прямих вимірів величини a 0 запишемо у вигляді

.

Наприклад

(6)

Таким чином, будь-яка фізична величина, знайдена досвідченим шляхом, має бути представлена:

Нехай вимірювана має відоме значення величина X. Звичайно, окремі, знайдені в процесі вимірювання значення цієї величини x1 , x2 ,… xnсвідомо недостатньо точні, тобто. не збігаються з X. Тоді величина
буде абсолютною похибкою i-го виміру. Але оскільки справжнє значення результату X, як правило, не відомо, чи реальну оцінку абсолютної похибки використовуючи замість X середнє арифметичне
, яке розраховують за формулою:

Однак при малих обсягах вибірки замість
краще користуватися медіаною. Медіаною (Ме)називають таке значення випадкової величини х, при якому половина результатів має значення менше, а інша більша, ніж Ме. Для обчислення Мерезультати мають у своєму розпорядженні в порядку зростання, тобто утворюють так званий варіаційний ряд. Для непарної кількості вимірювань n медіана дорівнює значенню середнього члена ряду. Наприклад,
для n=3

Для парних n, значення Медорівнює напівсумі значень двох середніх результатів. Наприклад,
для n=4

Для розрахунку sкористуються неокругленими результатами аналізу з неточним останнім десятковим знаком.
При дуже великій кількості вибірки ( n>
) випадкові похибки можуть бути описані за допомогою нормального закону розподілу Гаусса. При малих nрозподіл може відрізнятиметься від нормального. У математичній статистиці ця додаткова ненадійність усувається модифікованим симетричним. t-Розподілом. Існує деякий коефіцієнт t, званий коефіцієнтом Стьюдента, який в залежності від числа ступенів свободи ( f) та довірчої ймовірності ( Р) дозволяє перейти від вибірки до генеральної сукупності.
Стандартне відхилення середнього результату
визначається за формулою:

Величина

є довірчим інтервалом середнього значення
. Для серійних аналізів зазвичай вважають Р= 0,95.

Таблиця 1. Значення коефіцієнта Стьюдента ( t)

f

Приклад 1 . З десяти визначень вмісту марганцю у пробі потрібно підрахувати стандартне відхилення одиничного аналізу та довірчий інтервал середнього значення Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Рішення. За формулою (1) підраховують середнє значення аналізу

За табл. 1 (додаток) знаходять для f=n-1=9 коефіцієнт Стьюдента (Р=0,95) t=2,26 та розраховують довірчий інтервал середнього значення. Таким чином, середнє значення аналізу визначається інтервалом (0,679±0,009) % Мn.

Приклад 2 . Середнє з дев'яти вимірювань тиску водяної пари над розчином карбаміду при 20°С дорівнює 2,02 кПа. Вибіркове стандартне відхилення вимірів s = 0,04 кПа. Визначити ширину довірчого інтервалу для середнього з дев'яти та одиничного виміру, що відповідає 95%-ї довірчої ймовірності.
Рішення. Коефіцієнт Стюдента t для довірчої ймовірності 0,95 і f = 8 дорівнює 2,31. Враховуючи що

і
, знайдемо:

- Ширина довірить. інтервалу для середнього значення

- Ширина довірить. інтервалу для одиничного виміру значення

Якщо ж є результати аналізу зразків із різним змістом, то із приватних середніх sшляхом усереднення можна обчислити загальне середнє значення s. Маючи mпроб і для кожної проби проводячи njпаралельних визначень, результати подають у вигляді таблиці:

Номер зразка	Номер аналізу

Середня похибка розраховують із рівняння:

зі ступенями свободи f = n – m, де n - загальна кількість визначень, n =m. nj.

приклад 2.Обчислити середню помилку визначення марганцю у п'яти пробах стали з різним змістом його. Значення аналізу, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Рішення.За формулою (1) знаходять середні значення у кожній пробі, потім кожної проби розраховують квадрати різниць, за формулою (5) - похибка.
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

Значення квадратів різниць
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
Середня похибка для f = 4,5 - 5 = 15

s= 0,014% (абс. при f=15 ступеням свободи).

Коли проводять по два паралельні визначення для кожного зразка і знаходять значення х"і х"для зразків рівняння перетворюється на вираз.

У цій темі писатиму щось на кшталт короткої шпаргалки по похибках. Знову ж таки, цей текст жодною мірою не офіційний і посилатися на нього неприпустимо. Буду вдячний за виправлення будь-яких помилок та неточностей, які можуть бути у цьому тексті.

Що таке похибка?

Запис результату експерименту виду () означає, що й ми проведемо дуже багато ідентичних експериментів, то 70% отримані результати лежатимуть у інтервалі , а 30% - нічого очікувати.

Або, що те саме, якщо ми повторимо експеримент, то новий результат ляже в довірчий інтервал з ймовірністю, що дорівнює довірчій ймовірності.

Як округлювати похибку та результат?

Похибка округляється до першої цифриякщо вона не одиниця. Якщо одиниця – то до двох. При цьому значущою цифроюназивається будь-яка цифра результату крім нулів попереду.

Округлюємо до або або але ні в якому разі не або , оскільки тут 2 цифри - 2 і 0 після двійки.

Округлюємо до або

Округлюємо до або або

Результат округляємо таким чином, щоб остання значну цифру результату відповідала останній значній цифрі похибки .

приклади правильного запису:

мм

Мм Тримаємо тут у похибці 2 значущі цифри тому що перша значуща цифра у похибці – одиниця.

мм

приклади неправильного запису:

Мм. Тут зайвий знак у результаті. Правильно буде мм.

мм. Тут зайвий знакі в похибці, і в результаті. Правильно буде мм.

У роботі використовую значення, яке мені просто у вигляді цифри. Наприклад, маса грузиків. Яка у неї похибка?

Якщо похибка не вказана, можна взяти одиницю в останньому розряді. Тобто якщо написано m=1.35 г, то як похибка потрібно взяти 0.01 г.

Є функція від кількох величин Кожна з цих величин має свою похибку. Щоб знайти похибку функції треба зробити таке:

Символ означає приватну похідну f x. Докладніше про приватні похідні.

Припустимо, ви міряли одну й ту саму величину xкілька (n) разів. Отримали набір значень. . Вам необхідно порахувати похибку розкиду, порахувати похибку приладів і скласти їх разом.

По пунктам.

1. Вважаємо похибку розкиду

Якщо всі значення збіглися – жодного розкиду у вас немає. Інакше є похибка розкиду, яку треба обчислити. Для початку обчислюється середньоквадратична похибка середнього:

Тут означає середнє по всіх.
Похибка розкиду виходить множенням середньоквадратичної похибки середнього на коефіцієнт Стьюдента, який залежить від обраної вами довірчої ймовірності та числа вимірювань n:

Коефіцієнти Стьюдента беремо з наведеної нижче таблиці. Довірча ймовірність вибивається довільно, кількість вимірів nми також знаємо.

2. Вважаємо приладову похибку середнього

Якщо похибки різних точок різні, то за формулою

При цьому, природно, у всіх довірча ймовірність має бути однаковою.

3. Складаємо середнє з розкидом

Похибки завжди складаються як корінь із квадратів:

При цьому слід переконатися, що довірчі ймовірності з якими були обчислені та збігаються.

Як за графіком визначити приладову похибку середнього? Ну, тобто, використовуючи метод парних точок або метод найменших квадратів, ми знайдемо похибку розкиду середнього опору. Як знайти приладову похибку середнього опору?

І в МНК і методі парних точок можна дати сувору відповідь на це питання. Для МНК форуму в Світлозарові є ("Основи...", розділ про метод найменших квадратів), а для парних точок перше, що спадає на думку (в лоб, що називається) це вважати приладову похибку кожного кутового коефіцієнта. Ну і далі по всіх пунктах...

Якщо ж не хочеш мучитися, то в лабниках дано простий спосіб оцінкиприладової похибки кутового коефіцієнта, саме з МНК наступний (наприклад перед роботою 1 у лабнику "Електровимірювальні прилади. ..." остання сторінка Метод.рекомендацій).

Де - величина максимального відхилення по осі Y точки з похибкою від проведеної прямої, а знаменнику стоїть ширина області нашого графіка по осі Y. Аналогічно по осі X.

На магазині опорів написано клас точності: 0,05/4*10^-6? Як із цього знайти похибку приладу?

Це означає, що гранична відносна похибка приладу (у відсотках) має вигляд:
, де
- найбільше значення опору магазину, а - номінальне значення включеного опору.
Легко бачити, що другий доданок важливий тоді, коли ми працюємо на дуже малих опорах.

Докладніше завжди можна подивитися в паспорті приладу. Паспорт можна знайти в інтернеті, забивши марку приладу в гугл.

Література про похибки

Набагато більше інформації з цього приводу можна знайти у рекомендованій для першокурсників книзі:
В.В. Світлозарів "Елементарна обробка результатів вимірювань"

Як додаткову (для першокурсників додаткової) літератури можна порекомендувати:
В.В.Світлозаров "Основи статистичної обробки результатів вимірювань"

І вже тим, хто хоче остаточно у всьому розібратися, неодмінно варто заглянути сюди:
Дж. Тейлор. "Вступ до теорії помилок"

Дякуємо за перебування і розміщення у себе на сайті цих чудових книжок.

Абсолютна та відносна похибка числа.

Як характеристики точності наближених величин будь-якого походження вводяться поняття абсолютної та відносної похибки цих величин.

Позначимо через а наближення до точного числа А.

Визнач. Величина називається похибкою наближеного числа.

Визначення. Абсолютною похибкою наближеного числа а називається величина
.

Практично точне число А зазвичай невідоме, але завжди можемо вказати межі, у яких змінюється абсолютна похибка.

Визначення. Граничною абсолютною похибкою наближеного числа а називається найменша з верхніх меж для величини , Яку можна знайти при даному способі отримання числа.

На практиці як вибирають одну з верхніх меж для , Досить близьку до найменшої.

Оскільки
, то
. Іноді пишуть:
.

Абсолютна похибка- це різниця між результатом виміру

та істинним (дійсним) значенням вимірюваної величини.

Абсолютна похибка та гранична абсолютна похибка недостатні для характеристики точності вимірювання або обчислення. Якісно суттєвіша величина відносної похибки.

Визначення. Відносною похибкою наближеного числа а назвемо величину:

Визначення. Граничною відносною похибкою наближеного числа а назвемо величину

Так як
.

Таким чином, відносна похибка визначає фактично величину абсолютної похибки, що припадає на одиницю наближеного числа, що вимірюється або обчислюється.

приклад.Округлюючи точні числа А до трьох значущих цифр, визначити

абсолютну Dі відносну δ похибки отриманих наближених

Дано:

Знайти:

∆-абсолютна похибка

δ-відносна похибка

Рішення:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a 0

*100%=0.203%

Відповідь:=0,027; δ=0.203%

2.Десятична запис наближеного числа. Значна цифра. Вірні знаки числа (визначення вірних і значущих цифр, приклади; теорія про зв'язок відносної похибки та числа вірних знаків).

Вірні знаки числа.

Визначення. Значною цифрою наближеного числа а називається будь-яка цифра, відмінна від нуля, і нуль, якщо вона розташована між значущими цифрами або є представником збереженого десяткового розряду.

Наприклад, серед 0,00507 =
маємо 3 значущі цифри, а серед 0,005070=
значущі цифри, тобто. нуль праворуч, зберігаючи десятковий розряд, є значним.

Умовимося надалі праворуч записувати, якщо вони є значущими. Тоді, інакше кажучи,

значущими є всі цифри числа а, крім нулів зліва.

У десятковій системі числення будь-яке число а може бути представлене у вигляді кінцевої або нескінченної суми (десяткового дробу):

де
,
- перша цифра, m - ціле число, зване старшим десятковим розрядом числа а.

Наприклад, 518,3 = m=2.

Користуючись записом, введемо поняття про вірні десяткові знаки (у значущих цифрах).

го числа.

Визначення. Кажуть, що у наближеному числі а форми n – перших значущих цифр ,

де i= m, m-1,..., m-n+1 є вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, що виражається n-ї цифрою:

Інакше остання цифра
називається сумнівною.

При записі наближеного числа без вказівки його похибки вимагають, щоб усі записані цифри

були вірними. Ця вимога дотримана у всіх математичних таблицях.

Термін "n вірних знаків" характеризує лише ступінь точності наближеного числа і його не слід розуміти так, що n перших значущих цифр наближеного числа а збігається з відповідними цифрами точного числа А. Наприклад, у чисел А = 10 а = 9997 всі значущі цифри різні але число а має 3 вірних значущих цифри. Справді, тут m=0 і n=3 (знаходимо підбором).