Prueba de que las rectas son paralelas. Lineas paralelas. Propiedades y signos de las rectas paralelas. II. Preparación para la UPD activa
1. Axioma del paralelo. Por un punto dado, a lo sumo se puede trazar una recta paralela a la dada.
2. Si dos rectas son paralelas a la misma recta, entonces son paralelas entre sí.
3. Dos rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas.
4. Si dos líneas paralelas son cortadas por una tercera, entonces los ángulos cruzados internos formados al mismo tiempo son iguales; los ángulos correspondientes son iguales; los ángulos interiores de un lado suman 180°.
5. Si en la intersección de dos rectas la tercera forma ángulos transversales internos iguales, entonces las rectas son paralelas.
6. Si en la intersección de dos rectas la tercera forma ángulos correspondientes iguales, entonces las rectas son paralelas.
7. Si en la intersección de dos rectas de la tercera, la suma de los ángulos unilaterales internos es 180°, entonces las rectas son paralelas.
teorema de Tales. Si se colocan segmentos iguales en un lado del ángulo y se trazan líneas rectas paralelas a través de sus extremos, que se cruzan con el segundo lado del ángulo, también se depositarán segmentos iguales en el segundo lado del ángulo.
Teorema de los segmentos proporcionales. Las líneas rectas paralelas que se cruzan con los lados del ángulo cortan segmentos proporcionales en ellos.
Triángulo. Signos de igualdad de triángulos.
1. Si dos lados y el ángulo entre ellos de un triángulo son respectivamente iguales a dos lados y el ángulo entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
2. Si el lado y dos ángulos adyacentes a él de un triángulo son respectivamente iguales al lado y dos ángulos adyacentes a él de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
3. Si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.
Signos de igualdad de triángulos rectángulos
1. En dos piernas.
2. A lo largo del cateto y la hipotenusa.
3. Por hipotenusa y ángulo agudo.
4. A lo largo de la pierna y un ángulo agudo.
El teorema de la suma de los ángulos de un triángulo y sus consecuencias
1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
2. El ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos internos no adyacentes a él.
3. La suma de los ángulos interiores de un n-ágono convexo es
4. La suma de los ángulos externos de un ga-gon es 360°.
5. Los ángulos con lados mutuamente perpendiculares son iguales si ambos son agudos u obtusos.
6. El ángulo entre las bisectrices de ángulos adyacentes es de 90°.
7. Las bisectrices de los ángulos internos de un solo lado con rectas paralelas y secante son perpendiculares.
Las principales propiedades y signos de un triángulo isósceles.
1. Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales.
2. Si dos ángulos de un triángulo son iguales, entonces es isósceles.
3. En un triángulo isósceles, la mediana, la bisectriz y la altura dibujada hasta la base son iguales.
4. Si cualquier par de segmentos del triple - mediana, bisectriz, altura - coincide en un triángulo, entonces es isósceles.
La desigualdad triangular y sus consecuencias.
1. La suma de dos lados de un triángulo es mayor que su tercer lado.
2. La suma de los enlaces de la línea quebrada es mayor que el segmento que conecta el comienzo
el primer enlace con el final del último.
3. Frente al ángulo mayor del triángulo se encuentra el lado mayor.
4. Contra el lado mayor del triángulo se encuentra un ángulo mayor.
5. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es mayor que el cateto.
6. Si se trazan perpendiculares e inclinadas desde un punto a una línea recta, entonces
1) la perpendicular es más corta que las inclinadas;
2) mayor pendiente corresponde a mayor proyección y viceversa.
La línea media del triángulo.
El segmento de línea que conecta los puntos medios de los dos lados de un triángulo se llama línea media del triángulo.
Teorema de la línea media del triángulo.
La línea mediana del triángulo es paralela al lado del triángulo e igual a la mitad del mismo.
Teoremas de la mediana del triángulo
1. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto y lo dividen en una proporción de 2:1, contando desde arriba.
2. Si la mediana de un triángulo es igual a la mitad del lado al que está dibujado, entonces el triángulo es rectángulo.
3. La mediana de un triángulo rectángulo trazado desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa.
Propiedad de las bisectrices perpendiculares a los lados de un triángulo. Las bisectrices perpendiculares a los lados del triángulo se cortan en un punto, que es el centro del círculo circunscrito al triángulo.
Teorema de la altitud del triángulo. Las líneas que contienen las alturas del triángulo se cortan en un punto.
Teorema de la bisectriz del triángulo. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Propiedad de la bisectriz de un triángulo. La bisectriz de un triángulo divide su lado en segmentos proporcionales a los otros dos lados.
Signos de semejanza de triángulos
1. Si dos ángulos de un triángulo son respectivamente iguales a dos ángulos de otro, entonces los triángulos son semejantes.
2. Si dos lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a dos lados de otro, y los ángulos encerrados entre estos lados son iguales, entonces los triángulos son semejantes.
3. Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados de otro, entonces los triángulos son semejantes.
Áreas de Triángulos Similares
1. La razón de las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado del coeficiente de similitud.
2. Si dos triángulos tienen ángulos iguales, entonces sus áreas están relacionadas como los productos de los lados que encierran estos ángulos.
en un triangulo rectangulo
1. El cateto de un triángulo rectángulo es igual al producto de la hipotenusa y el seno del opuesto o el coseno del ángulo agudo adyacente a este cateto.
2. El cateto de un triángulo rectángulo es igual al otro cateto multiplicado por la tangente del opuesto o la cotangente del ángulo agudo adyacente a este cateto.
3. El cateto de un triángulo rectángulo opuesto a un ángulo de 30° es igual a la mitad de la hipotenusa.
4. Si el cateto de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto a este cateto es de 30°.
5. R = ; g \u003d, donde a, b son catetos y c es la hipotenusa de un triángulo rectángulo; r y R son los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita, respectivamente.
El teorema de Pitágoras y el inverso del teorema de Pitágoras
1. El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
2. Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo.
Medias proporcionales en un triángulo rectángulo.
La altura de un triángulo rectángulo, dibujada desde el vértice del ángulo recto, es el promedio proporcional a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, y cada cateto es el promedio proporcional a la hipotenusa y su proyección sobre la hipotenusa.
Razones métricas en un triángulo
1. Teorema de los cosenos. El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados sin duplicar el producto de esos lados por el coseno del ángulo entre ellos.
2. Corolario del teorema del coseno. La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de todos sus lados.
3. Fórmula de la mediana de un triángulo. Si m es la mediana del triángulo dibujado de lado c, entonces m = 
donde a y b son los lados restantes del triángulo.
4. Teorema del seno. Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
5. Teorema del seno generalizado. La razón de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto es igual al diámetro del círculo que circunscribe el triángulo.
Fórmulas del área del triángulo
1. El área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura.
2. El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de sus dos lados por el seno del ángulo entre ellos.
3. El área de un triángulo es igual al producto de su semiperímetro y el radio de la circunferencia inscrita.
4. El área de un triángulo es igual al producto de sus tres lados dividido por cuatro veces el radio de la circunferencia circunscrita.
5. Fórmula de Heron: S=, donde p es el semiperímetro; a, b, c - lados del triángulo.
Elementos de un triángulo equilátero. Sean h, S, r, R la altura, el área y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita de un triángulo equilátero de lado a. Luego
cuadriláteros
Paralelogramo. Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos por pares.
Propiedades y características de un paralelogramo.
1. La diagonal divide el paralelogramo en dos triángulos iguales.
2. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales en pares.
3. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales en pares.
4. Las diagonales del paralelogramo se intersecan y bisecan el punto de intersección.
5. Si los lados opuestos de un cuadrilátero son iguales en pares, entonces este cuadrilátero es un paralelogramo.
6. Si dos lados opuestos de un cuadrilátero son iguales y paralelos, entonces este cuadrilátero es un paralelogramo.
7. Si las diagonales de un cuadrilátero se dividen en dos por el punto de intersección, entonces este cuadrilátero es un paralelogramo.
Propiedad de los puntos medios de los lados de un cuadrilátero. Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo cuya área es la mitad del área del cuadrilátero.
Rectángulo. Un rectángulo es un paralelogramo con un ángulo recto.
Propiedades y signos de un rectángulo.
1. Las diagonales de un rectángulo son iguales.
2. Si las diagonales de un paralelogramo son iguales, entonces este paralelogramo es un rectángulo.
Cuadrado. Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos iguales.
Rombo. Un rombo es un cuadrilátero cuyos lados son todos iguales.
Propiedades y signos de un rombo.
1. Las diagonales del rombo son perpendiculares.
2. Las diagonales de un rombo bisecan sus vértices.
3. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, entonces este paralelogramo es un rombo.
4. Si las diagonales de un paralelogramo dividen sus ángulos por la mitad, entonces este paralelogramo es un rombo.
Trapecio. Un trapezoide es un cuadrilátero en el que solo dos lados opuestos (bases) son paralelos. La línea mediana de un trapezoide es un segmento que conecta los puntos medios de los lados no paralelos (lados laterales).
1. La línea mediana del trapezoide es paralela a las bases e igual a la mitad de su suma.
2. El segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapezoide es igual a la semidiferencia de las bases.
Propiedad notable de un trapezoide.. El punto de intersección de las diagonales del trapezoide, el punto de intersección de las prolongaciones de los lados y los puntos medios de las bases se encuentran en la misma línea recta.
Trapecio isósceles. Un trapezoide se llama isósceles si sus lados son iguales.
Propiedades y signos de un trapezoide isósceles.
1. Los ángulos en la base de un trapezoide isósceles son iguales.
2. Las diagonales de un trapecio isósceles son iguales.
3. Si los ángulos en la base del trapezoide son iguales, entonces es isósceles.
4. Si las diagonales de un trapezoide son iguales, entonces es isósceles.
5. La proyección del lado lateral de un trapezoide isósceles sobre la base es igual a la mitad de la diferencia de las bases, y la proyección de la diagonal es la mitad de la suma de las bases.
Fórmulas para el área de un cuadrilátero
1. El área de un paralelogramo es igual al producto de la base por la altura.
2. El área de un paralelogramo es igual al producto de sus lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos.
3. El área de un rectángulo es igual al producto de sus dos lados adyacentes.
4. El área de un rombo es la mitad del producto de sus diagonales.
5. El área de un trapezoide es igual al producto de la mitad de la suma de las bases y la altura.
6. El área de un cuadrilátero es igual a la mitad del producto de sus diagonales por el seno del ángulo entre ellas.
7. La fórmula de Heron para un cuadrilátero alrededor del cual se puede describir un círculo:
S \u003d, donde a, b, c, d son los lados de este cuadrilátero, p es el semiperímetro y S es el área.
Cifras similares
1. La razón de los elementos lineales correspondientes de figuras similares es igual al coeficiente de similitud.
2. La razón de las áreas de figuras similares es igual al cuadrado del coeficiente de similitud.
polígono regular.
Sean a n el lado de un n-ágono regular, y r n y R n los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita. Luego
Circulo.
Un círculo es el lugar geométrico de los puntos en un plano que están a la misma distancia positiva de un punto dado, llamado centro del círculo.
Propiedades básicas de un círculo.
1. El diámetro perpendicular a la cuerda divide a la cuerda y los arcos que resta por la mitad.
2. Un diámetro que pasa por la mitad de una cuerda que no es un diámetro es perpendicular a esa cuerda.
3. La mediana perpendicular a la cuerda pasa por el centro del círculo.
4. Se quitan cuerdas iguales del centro del círculo a distancias iguales.
5. Las cuerdas de un círculo que equidistan del centro son iguales.
6. El círculo es simétrico con respecto a cualquiera de sus diámetros.
7. Los arcos de círculo encerrados entre cuerdas paralelas son iguales.
8. De las dos cuerdas, la que está menos alejada del centro es más grande.
9. El diámetro es la cuerda más grande de un círculo.
tangente a la circunferencia. Una línea que tiene un solo punto en común con un círculo se llama tangente al círculo.
1. La tangente es perpendicular al radio trazado hasta el punto de contacto.
2. Si la línea a que pasa por un punto del círculo es perpendicular al radio trazado hasta ese punto, entonces la línea a es tangente al círculo.
3. Si las líneas que pasan por el punto M tocan el círculo en los puntos A y B, entonces MA = MB y ﮮAMO = ﮮBMO, donde el punto O es el centro del círculo.
4. El centro de un círculo inscrito en un ángulo se encuentra en la bisectriz de este ángulo.
circulo tangente. Se dice que dos círculos se tocan si tienen un solo punto común (punto tangente).
1. El punto de contacto de dos círculos se encuentra en su línea de centros.
2. Los círculos de radios r y R con centros O 1 y O 2 se tocan externamente si y solo si R + r \u003d O 1 O 2.
3. Círculos de radios r y R (r
4. Los círculos con centros O 1 y O 2 se tocan externamente en el punto K. Alguna línea recta toca estos círculos en diferentes puntos A y B y se cruza con una tangente común que pasa por el punto K en el punto C. Entonces ﮮAK B \u003d 90 ° y ﮮO 1 CO 2 \u003d 90 °.
5. El segmento de la tangente exterior común a dos circunferencias tangentes de radios r y R es igual al segmento de la tangente interior común encerrado entre las exteriores comunes. Ambos segmentos son iguales.
Ángulos asociados a un círculo
1. El valor del arco de un círculo es igual al valor del ángulo central basado en él.
2. Un ángulo inscrito es igual a la mitad de la magnitud angular del arco sobre el que descansa.
3. Los ángulos inscritos basados en el mismo arco son iguales.
4. El ángulo entre las cuerdas que se cortan es igual a la mitad de la suma de los arcos opuestos cortados por las cuerdas.
5. El ángulo entre dos secantes que se cortan fuera del círculo es igual a la mitad de la diferencia de los arcos cortados por las secantes en el círculo.
6. El ángulo entre la tangente y la cuerda trazada desde el punto de contacto es igual a la mitad del valor angular del arco cortado en el círculo por esta cuerda.
Propiedades de las cuerdas circulares
1. La línea de centros de dos círculos que se cortan es perpendicular a su cuerda común.
2. Los productos de las longitudes de los segmentos de las cuerdas AB y CD del círculo que se corta en el punto E son iguales, es decir, AE EB \u003d CE ED.
Circunferencias inscritas y circunscritas
1. Los centros de las circunferencias inscrita y circunscrita de un triángulo regular coinciden.
2. El centro de un círculo circunscrito a un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa.
3. Si un círculo se puede inscribir en un cuadrilátero, entonces las sumas de sus lados opuestos son iguales.
4. Si un cuadrilátero se puede inscribir en un círculo, entonces la suma de sus ángulos opuestos es 180°.
5. Si la suma de los ángulos opuestos de un cuadrilátero es 180°, entonces se puede circunscribir un círculo a su alrededor.
6. Si se puede inscribir un círculo en un trapezoide, entonces el lado lateral del trapezoide es visible desde el centro del círculo en ángulo recto.
7. Si se puede inscribir un círculo en un trapezoide, entonces el radio del círculo es el promedio proporcional a los segmentos en que el punto tangente divide el lado lateral.
8. Si un círculo se puede inscribir en un polígono, entonces su área es igual al producto del semiperímetro del polígono y el radio de este círculo.
El teorema de la tangente y la secante y su corolario
1. Si se trazan una tangente y una secante desde un punto al círculo, entonces el producto de toda la secante por su parte exterior es igual al cuadrado de la tangente.
2. El producto de toda la secante por su parte exterior para un punto dado y un círculo dado es constante.
La circunferencia de un círculo de radio R es C= 2πR
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Pregunta 1. Demostrar que dos rectas paralelas a la tercera son paralelas.
Responder. Teorema 4.1. Dos rectas paralelas a una tercera son paralelas.
Prueba. Sean las rectas a y b paralelas a la recta c. Suponga que a y b no son paralelos (Fig. 69). Entonces no se cortan en algún punto C. Por lo tanto, dos líneas pasan por el punto C y son paralelas a la línea c. Pero esto es imposible, ya que por un punto que no pertenece a una línea dada, se puede trazar a lo sumo una línea paralela a la línea dada. El teorema ha sido probado.
Pregunta 2. Explica qué ángulos se llaman internos de un solo lado. ¿Qué ángulos se denominan cruzados internos?
Responder. Los pares de ángulos que se forman cuando las rectas AB y CD intersecan a AC tienen nombres especiales.
Si los puntos B y D se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la línea recta AC, entonces los ángulos BAC y DCA se denominan unilaterales internos (Fig. 71, a).
Si los puntos B y D se encuentran en diferentes semiplanos con respecto a la línea AC, entonces los ángulos BAC y DCA se denominan cruzados internos (Fig. 71, b).
Arroz. 71
Pregunta 3. Demuestre que si los ángulos internos cruzados de un par son iguales, entonces los ángulos internos cruzados del otro par también son iguales, y la suma de los ángulos internos de un lado de cada par es 180°.
Responder. La secante AC forma con las rectas AB y CD dos pares de ángulos internos unilaterales y dos pares de ángulos internos cruzados. Las esquinas cruzadas internas de un par, por ejemplo, el ángulo 1 y el ángulo 2, son adyacentes a las esquinas cruzadas internas de otro par: el ángulo 3 y el ángulo 4 (Fig. 72).
Arroz. 72
Por lo tanto, si los ángulos cruzados internos de un par son iguales, entonces los ángulos cruzados internos del otro par también son iguales.
Un par de esquinas interiores cruzadas, como el ángulo 1 y el ángulo 2, y un par de esquinas internas de un lado, como el ángulo 2 y el ángulo 3, tienen un ángulo común, el ángulo 2, y otros dos ángulos adyacentes, el ángulo 1 y ángulo 3.
Por lo tanto, si los ángulos interiores cruzados son iguales, entonces la suma de los ángulos interiores es 180°. Y viceversa: si la suma de los ángulos interiores cruzados es igual a 180°, entonces los ángulos interiores cruzados son iguales. QED
Pregunta 4. Demostrar el criterio de rectas paralelas.
Responder. Teorema 4.2 (prueba para rectas paralelas). Si los ángulos interiores cruzados son iguales o la suma de los ángulos interiores de un lado es 180°, entonces las líneas son paralelas.
Prueba. Deje que las líneas a y b formen ángulos transversales internos iguales con la secante AB (Fig. 73, a). Suponga que las líneas a y b no son paralelas, lo que significa que se cruzan en algún punto C (Fig. 73, b).
Arroz. 73
La secante AB divide el plano en dos semiplanos. En uno de ellos se encuentra el punto C. Construyamos el triángulo BAC 1 , igual al triángulo ABC, con vértice C 1 en el otro semiplano. Por condición, los ángulos cruzados internos para el paralelo a, b y la secante AB son iguales. Dado que los ángulos correspondientes de los triángulos ABC y BAC 1 con vértices A y B son iguales, coinciden con los ángulos internos cruzados. Por tanto, la línea AC 1 coincide con la línea a, y la línea BC 1 coincide con la línea b. Resulta que dos rectas diferentes a y b pasan por los puntos C y C 1. Y esto es imposible. Entonces las rectas a y b son paralelas.
Si las líneas a y b y la secante AB tienen la suma de los ángulos internos de un lado igual a 180°, entonces, como sabemos, los ángulos internos cruzados son iguales. Por lo tanto, por lo que se demostró anteriormente, las rectas a y b son paralelas. El teorema ha sido probado.
Pregunta 5. Explica qué ángulos se llaman correspondientes. Demostrar que si los ángulos interiores cruzados son iguales, entonces los ángulos correspondientes también son iguales y viceversa.
Responder. Si un par de ángulos internos cruzados tiene un ángulo reemplazado por uno vertical, entonces se obtendrá un par de ángulos, que se denominan los ángulos correspondientes de las líneas dadas con una secante. Que es lo que necesitaba ser explicado.
De la igualdad de los ángulos internos cruzados se sigue la igualdad de los ángulos correspondientes, y viceversa. Digamos que tenemos dos rectas paralelas (porque por condición los ángulos internos cruzados son iguales) y una secante, que forman los ángulos 1, 2, 3. Los ángulos 1 y 2 son iguales como cruzados internos. Y los ángulos 2 y 3 son iguales a la vertical. Obtenemos: \(\angle\)1 = \(\angle\)2 y \(\angle\)2 = \(\angle\)3. Por la propiedad de transitividad del signo igual, se sigue que \(\angle\)1 = \(\angle\)3. La afirmación inversa se prueba de manera similar.
Esto da como resultado un signo de líneas paralelas en los ángulos correspondientes. Es decir, las líneas son paralelas si los ángulos correspondientes son iguales. QED
Pregunta 6. Demostrar que por un punto que no pertenece a una recta dada, es posible trazar una recta paralela a él. ¿Cuántas líneas paralelas a una línea dada se pueden trazar a través de un punto que no está en esta línea?
Responder. Problema (8). Dada una recta AB y un punto C que no está sobre esta recta. Demostrar que por el punto C es posible trazar una recta paralela a la recta AB.
Solución. La línea recta AC divide el plano en dos semiplanos (Fig. 75). El punto B se encuentra en uno de ellos. A partir de la semirrecta CA, tracemos el ángulo ACD igual al ángulo CAB en el otro semiplano. Entonces las rectas AB y CD serán paralelas. En efecto, para estas rectas y la secante AC, los ángulos BAC y DCA son transversales interiores. Y como son iguales, las rectas AB y CD son paralelas. QED
Comparando el enunciado del problema 8 y el axioma IX (la propiedad principal de las líneas paralelas), llegamos a una conclusión importante: a través de un punto que no se encuentra en una línea dada, se puede dibujar una línea paralela a él, y solo una.
Pregunta 7. Demostrar que si dos rectas se intersecan con una tercera, entonces los ángulos interiores cruzados son iguales y la suma de los ángulos interiores de un lado es 180°.
Responder. Teorema 4.3(a la inversa del Teorema 4.2). Si dos rectas paralelas se cortan con una tercera recta, entonces los ángulos interiores que se cruzan son iguales y la suma de los ángulos interiores de un lado es 180°.
Prueba. Sean a y b rectas paralelas y c la recta que las corta en los puntos A y B. Dibujemos una recta a 1 que pase por el punto A de modo que los ángulos internos cruzados formados por la secante c con las rectas a 1 y b sean igual (Fig. 76).
Por el criterio del paralelismo de líneas, las líneas a 1 y b son paralelas. Y como por el punto A sólo pasa una recta, paralela a la b, entonces la recta a coincide con la recta a 1 .
Esto significa que los ángulos internos cruzados formados por la secante con
rectas paralelas a y b son iguales. El teorema ha sido probado.
pregunta 8 Demostrar que dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas. Si una línea es perpendicular a una de dos líneas paralelas, entonces también es perpendicular a la otra.
Responder. Del teorema 4.2 se sigue que dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas.
Suponga que dos rectas cualesquiera son perpendiculares a la tercera recta. Por lo tanto, estas líneas se cruzan con la tercera línea en un ángulo igual a 90°.
De la propiedad de los ángulos formados en la intersección de rectas paralelas por una secante, se sigue que si una recta es perpendicular a una de las paralelas, también lo es a la otra.
Pregunta 9. Demostrar que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Responder. Teorema 4.4. La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Prueba. Sea ABC el triángulo dado. Dibuja una línea a través del vértice B paralela a la línea AC. Marque el punto D en él para que los puntos A y D se encuentren en lados opuestos de la línea BC (Fig. 78).
Los ángulos DBC y ACB son iguales en cruz interna, formados por la secante BC con las paralelas AC y BD. Por tanto, la suma de los ángulos del triángulo en los vértices B y C es igual al ángulo ABD.
Y la suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a la suma de los ángulos ABD y BAC. Como estos ángulos son unilaterales internos para los paralelos AC y BD y la secante AB, su suma es 180°. El teorema ha sido probado.
Pregunta 10. Demostrar que cualquier triángulo tiene al menos dos ángulos agudos.
Responder. De hecho, suponga que un triángulo tiene solo un ángulo agudo o ningún ángulo agudo. Entonces este triángulo tiene dos ángulos, cada uno de los cuales mide al menos 90°. La suma de estos dos ángulos no es menos de 180°. Pero esto es imposible, ya que la suma de todos los ángulos de un triángulo es 180°. QED
No se cruzan, no importa cuánto tiempo continúen. El paralelismo de líneas en la escritura se indica de la siguiente manera: AB|| DESDEmi
La posibilidad de la existencia de tales líneas se prueba mediante un teorema.
Teorema.
Por cualquier punto tomado fuera de una línea dada, se puede trazar una paralela a esta línea..
Permitir AB esta línea y DESDE algún punto tomado fuera de ella. Se requiere probar que DESDE puedes dibujar una línea recta paralelaAB. vamos a caer AB desde un punto DESDE perpendicularDESDED y luego lo haremos DESDEmi^ DESDED, que es posible. Derecho CE paralela AB.
Para la demostración supondremos lo contrario, es decir, que CE se cruza AB en algún momento METRO. Entonces desde el punto METRO a una línea recta DESDED tendríamos dos perpendiculares diferentes METROD Y SRA, lo cual es imposible. Medio, CE no puede cruzarse con AB, es decir. DESDEmi paralela AB.
Consecuencia.
Dos perpendiculares (CmiYDB) a una línea recta (CD) son paralelos.
Axioma de las rectas paralelas.
Por un mismo punto es imposible trazar dos rectas distintas paralelas a la misma recta.
Así que si una línea recta DESDED, dibujado a través del punto DESDE paralela a una linea recta AB, luego cualquier otra línea DESDEmi por el mismo punto DESDE, no puede ser paralelo AB, es decir. Ella continúa intersecarse desde AB.
La prueba de esta verdad no tan obvia resulta imposible. Se acepta sin pruebas como una suposición necesaria (postulatum).
Consecuencias.
1. Si derecho(DESDEmi) se cruza con uno de paralela(sudoeste), luego se cruza con el otro ( AB), porque de lo contrario por el mismo punto DESDE dos rectas diferentes, paralelas AB, lo cual es imposible.
2. Si cada uno de los dos directo (AYB) son paralelas a la misma tercera línea ( DESDE) , entonces ellos son paralelos entre ellos mismos.
En efecto, si asumimos que A Y B cruzarse en algún punto METRO, entonces dos rectas distintas, paralelas entre sí, pasarían por este punto. DESDE, lo cual es imposible.
Teorema.
Si la linea recta es perpendicular a una de las paralelas, entonces es perpendicular a la otra paralela.
Permitir AB || DESDED Y FE ^ AB.Se requiere probar que FE ^ DESDED.
PerpendicularmiF, cruzando con AB, ciertamente se cruzará y DESDED. Sea el punto de intersección H.
Supongamos ahora que DESDED no perpendicular a EH. Luego alguna otra línea, por ejemplo Hong Kong, será perpendicular a EH y por lo tanto por el mismo punto H dos recto paralelo AB: una DESDED, por condición, y el otro Hong Kong como se demostró antes. Dado que esto es imposible, no se puede suponer que sudoeste no era perpendicular a EH.
1. El primer signo de paralelismo.
Si en la intersección de dos rectas con una tercera los ángulos interiores que la cruzan son iguales, entonces estas rectas son paralelas.
Sean las rectas AB y CD intersecadas por la recta EF y ∠1 = ∠2. Tomemos el punto O, el medio del segmento KL de la secante EF (Fig.).
Dejemos caer la perpendicular OM desde el punto O hasta la recta AB y sigamos hasta que se cruce con la recta CD, AB ⊥ MN. Probemos también que CD ⊥ MN.
Para hacer esto, considere dos triángulos: MOE y NOK. Estos triángulos son iguales entre sí. En efecto: ∠1 = ∠2 por la hipótesis del teorema; OK = OL - por construcción;
∠MOL = ∠NOK como ángulos verticales. Así, el lado y los dos ángulos adyacentes a él de un triángulo son respectivamente iguales al lado y los dos ángulos adyacentes a él de otro triángulo; por lo tanto, ΔMOL = ΔNOK, y por lo tanto ∠LMO = ∠KNO,
pero ∠LMO es directo, por lo tanto, ∠KNO también es directo. Así, las rectas AB y CD son perpendiculares a la misma recta MN, por lo tanto, son paralelas, lo cual estaba por demostrar.
Nota. La intersección de las líneas MO y CD se puede establecer girando el triángulo MOL alrededor del punto O en 180°.
2. El segundo signo de paralelismo.
Veamos si las rectas AB y CD son paralelas si en la intersección de su tercera recta EF los ángulos correspondientes son iguales.
Sean iguales algunos ángulos correspondientes, por ejemplo ∠ 3 = ∠2 (Fig.);
∠3 = ∠1 como ángulos verticales; entonces ∠2 será igual a ∠1. Pero los ángulos 2 y 1 son ángulos transversales internos, y ya sabemos que si en la intersección de dos líneas por una tercera, los ángulos transversales internos son iguales, entonces estas líneas son paralelas. Por lo tanto, AB || DISCOS COMPACTOS.
Si en la intersección de dos rectas de la tercera los ángulos correspondientes son iguales, entonces estas dos rectas son paralelas.
La construcción de líneas paralelas con la ayuda de una regla y un triángulo de dibujo se basa en esta propiedad. Esto se hace de la siguiente manera.
Adjuntemos un triángulo a la regla como se muestra en la Fig. Moveremos el triángulo para que un lado del mismo se deslice a lo largo de la regla, y dibujaremos varias líneas rectas a lo largo de cualquier otro lado del triángulo. Estas líneas serán paralelas.
3. El tercer signo de paralelismo.
Sabemos que en la intersección de dos líneas AB y CD por la tercera línea, la suma de los ángulos unilaterales internos es igual a 2 D(o 180°). ¿Serán las líneas AB y CD paralelas en este caso (Fig.)?
Sean ∠1 y ∠2 ángulos interiores de un lado y sumen 2 D.
Pero ∠3 + ∠2 = 2 D como ángulos adyacentes. Por lo tanto, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Por lo tanto, ∠1 = ∠3, y estos ángulos interiores son transversales. Por lo tanto, AB || DISCOS COMPACTOS.
Si en la intersección de dos rectas por una tercera, la suma de los ángulos laterales interiores es igual a 2 d (o 180°), entonces las dos líneas son paralelas.
Signos de rectas paralelas:
1. Si en la intersección de dos rectas por una tercera, los ángulos cruzados internos son iguales, entonces estas rectas son paralelas.2. Si en la intersección de dos rectas de la tercera, los ángulos correspondientes son iguales, entonces estas dos rectas son paralelas.
3. Si en la intersección de dos rectas de la tercera, la suma de los ángulos unilaterales internos es 180°, entonces estas dos rectas son paralelas.
4. Si dos líneas son paralelas a la tercera línea, entonces son paralelas entre sí.
5. Si dos rectas son perpendiculares a la tercera, entonces son paralelas entre sí.
El axioma de paralelismo de Euclides
Una tarea. Por un punto M tomado fuera de la línea AB, trazar una línea paralela a la línea AB.
Usando los teoremas probados sobre los signos de paralelismo de líneas, este problema se puede resolver de varias maneras,
Solución. 1st s o s o b (Fig. 199).
Dibujamos MN⊥AB ya través del punto M dibujamos CD⊥MN;
obtenemos CD⊥MN y AB⊥MN.
Con base en el teorema ("Si dos líneas son perpendiculares a la misma línea, entonces son paralelas"), concluimos que СD || AB.
2º s p o s o b (Fig. 200).
Dibujamos un MK que corta AB en cualquier ángulo α, y por el punto M dibujamos una línea recta EF, formando un ángulo EMK con una línea recta MK, igual al ángulo α. Con base en el teorema () concluimos que EF || AB.
Resuelto este problema, podemos considerar probado que por cualquier punto M, tomado fuera de la línea AB, es posible trazar una línea paralela a él. Surge la pregunta, ¿cuántas rectas paralelas a una recta dada y que pasan por un punto dado pueden existir?
La práctica de las construcciones nos permite suponer que solo existe una línea de este tipo, ya que con un dibujo cuidadosamente ejecutado, las líneas dibujadas de varias maneras a través del mismo punto paralelas a la misma línea se fusionan.
En teoría, la respuesta a esta pregunta viene dada por el llamado axioma del paralelismo de Euclides; está formulado así:
A través de un punto tomado fuera de una línea dada, solo se puede trazar una línea paralela a esta línea.
En el dibujo 201 se dibuja una recta SK por el punto O, paralela a la recta AB.
Cualquier otra línea que pase por el punto O ya no será paralela a la línea AB, sino que la cortará.
El axioma adoptado por Euclides en sus Elementos, que establece que en un plano que pasa por un punto tomado fuera de una línea dada, sólo se puede trazar una línea paralela a esta línea, se llama El axioma de paralelismo de Euclides.
Durante más de dos mil años después de Euclides, muchos matemáticos intentaron demostrar esta proposición matemática, pero sus intentos siempre resultaron infructuosos. Recién en 1826, el gran científico ruso, profesor de la Universidad de Kazán, Nikolai Ivanovich Lobachevsky, demostró que, utilizando todos los demás axiomas de Euclides, esta proposición matemática no se puede demostrar, que realmente debería tomarse como un axioma. N. I. Lobachevsky creó una nueva geometría que, en contraste con la geometría de Euclides, se denominó geometría de Lobachevsky.
1. Si dos líneas son paralelas a la tercera línea, entonces son paralelas:
Si a||C Y B||C, luego a||B.
2. Si dos líneas son perpendiculares a la tercera línea, entonces son paralelas:
Si a⊥C Y B⊥C, luego a||B.
Los restantes signos de paralelismo de líneas se basan en los ángulos formados en la intersección de dos líneas por una tercera.
3. Si la suma de los ángulos internos de un lado es 180°, entonces las rectas son paralelas:
Si ∠1 + ∠2 = 180°, entonces a||B.
4. Si los ángulos correspondientes son iguales, entonces las líneas son paralelas:
Si ∠2 = ∠4, entonces a||B.
5. Si los ángulos cruzados internos son iguales, entonces las líneas son paralelas:
Si ∠1 = ∠3, entonces a||B.
Propiedades de las rectas paralelas
Las proposiciones que son inversas a los signos de paralelismo de líneas son sus propiedades. Se basan en las propiedades de los ángulos formados por la intersección de dos rectas paralelas por una tercera recta.
1. Cuando dos rectas paralelas se cortan con una tercera, la suma de los ángulos unilaterales interiores formados por ellas es 180°:
Si a||B, entonces ∠1 + ∠2 = 180°.
2. Cuando dos rectas paralelas se cortan con una tercera recta, los ángulos correspondientes formados por ellas son iguales:
Si a||B, entonces ∠2 = ∠4.
3. En la intersección de dos líneas paralelas por una tercera línea, los ángulos de mentira formados por ellos son iguales:
Si a||B, entonces ∠1 = ∠3.
Siguiente propiedad es un caso especial para cada uno de los anteriores:
4. Si una línea en un plano es perpendicular a una de las dos líneas paralelas, entonces también es perpendicular a la otra:
Si a||B Y C⊥a, luego C⊥B.
La quinta propiedad es el axioma de las rectas paralelas:
5. Por un punto que no se encuentra en una línea dada, solo se puede trazar una línea paralela a la línea dada.