Anuitetet

Shumica e transaksioneve tregtare moderne nuk përfshijnë pagesa një herë, por një sekuencë të arkëtimeve në para (ose, anasjelltas, pagesa) për një periudhë të caktuar. Kjo sekuencë quhet rrjedha e pagesave.

Një rrjedhë pagesash, të gjithë elementët e së cilës shpërndahen në kohë në mënyrë që intervalet ndërmjet çdo dy pagesash të njëpasnjëshme të jenë konstante, quhet pensioni vjetor, ose qira financiare.

Një anuitet për të cilin pagesat bëhen në fillim të intervaleve të duhura quhet anuitet prenumerando; nëse pagesat bëhen në fund të intervaleve, ne marrim një pension vjetor postnumerando (i zakonshëm pensioni) është ndoshta rasti më i zakonshëm. Një pension i tillë përfshin marrjen ose pagesën e shumave të barabarta gjatë gjithë periudhës së operacionit në fund të çdo periudhe (vit, gjysmë viti, tremujori, muaji, etj.).

Le të prezantojmë shënimin e mëposhtëm:

R– shumën e çdo pagese individuale;

unë s– norma e përbërë e interesit me të cilën llogaritet interesi;

S k– shuma e rritur për kth

S– shuma e përllogaritur (e ardhshme) e të gjithë anuitetit post-numerando (d.m.th., shuma e të gjitha pagesave me interes);

Një k– vlera moderne te pagesa e pensionit postnumerando;

A– vlera moderne e të gjithë anuitetit post-numerando.

P- numri i pagesave.

Anuitet post-numerando me pagesa vjetore R gjatë n vite për të cilat interesi llogaritet me një normë të përbërë vjetore Unë C .

Karakteristikat kryesore sasiore të anuitetit post-numerando:

1. Shuma totale e akumuluar përcaktohet me formulën:

Ku k i , n- koeficienti i rritjes në një formë të përshtatshme për llogaritje është i barabartë me:

Për të përcaktuar koeficientët e rritjes dhe zvogëlimit të një pensioni të zakonshëm, ekzistojnë tabela që janë të përshtatshme për t'u përdorur në llogaritjet praktike. Duhet pasur parasysh se n në këtë rast, jo numri i viteve, por numri i periudhave me të njëjtën kohëzgjatje (ditë, muaj, tremujor etj.) në të cilat pranohet një normë e caktuar interesi. Kështu, nëse jepet një normë vjetore interesi, mund të gjeni një normë ekuivalente në një interval më të shkurtër dhe të merrni parasysh më tej P si numri i intervaleve të tilla.

Tabela 3. Normat e rritjes së anuitetit

Tabela 4. Faktorët e konvertimit të anuitetit

_____________________________________________________________

2. Vlera aktuale e të gjithë anuitetit përcaktohet nga formula

3. Vlerat moderne të çdo pagese ( A te) përcaktohen me formulën:

Shembulli 13. Për të shlyer paketën e obligacioneve të emetuara nga Intercom OJSC për 5 vjet, po krijohet një fond shpengimi. Pagesat vjetore të ndërmarrjes për të arrijnë në 150,000 rubla, për të cilat interesi përllogaritet në fund të çdo viti në një normë prej 7%. Përcaktoni shumën përfundimtare të akumuluar të fondeve, vlerën moderne të të gjithë anuitetit dhe vlerën moderne të çdo pagese.

Zgjidhje. Për të llogaritur vlerën e ardhshme të fondit të riblerjes, ne përdorim formulën

Koeficienti i rritjes përcaktohet nga formula

Ne marrim një rezultat të ngjashëm nga tabela. Shuma përfundimtare e akumuluar do të jetë e barabartë me S = P ∙150,000 ∙ 5,7507 = 862605 fshij.

Ne përcaktojmë vlerën aktuale të të gjithë pensionit duke përdorur formulën

Madhësia e pagesës tjetër mund të përcaktohet duke përdorur formulat:

Vlerat moderne të çdo pagese ( A te) përcaktohet nga formula:

Në këtë artikull do të vazhdojmë të flasim për zbritjen e flukseve monetare dhe këtë herë do të flasim për flukset monetare të anuitetit.

Çfarë është një pension vjetor?

Një pension vjetor është një seri e barabartë pagesat nëpërmjet e njëjta periudhat kohore. Këto mund të jenë pagesa vjetore, tremujore, mujore. Për shembull, një shumë fikse e pagës, pagesat e qirasë, pagesat e kredisë në bankë, etj.

Anuitetet mund të jenë para-numerando ose post-numerando. Këto kushte tregojnë momentin e pagesës. Afati prenumerando do të thotë pagesa në fillim të çdo periudhe, postnumerando- në fund të periudhës kohore.

Formula e anuitetit

Flukset monetare të anuitetit gjithashtu mund të skontohen, domethënë mund të përcaktohet vlera e tyre aktuale. Për shembull, kjo është e nevojshme kur duhet të zgjedhim midis dy opsioneve që na ofrohen për marrjen e parave.

Zbritja e pagesave të anuitetit

SHEMBULL 1. Ju duhet të zgjidhni opsionin më fitimprurës:

(B) 5 herë 10,000 dollarë në fund të secilit prej 5 viteve të ardhshme.

Norma bankare për marrjen e një kredie për këtë periudhë është 10%.

Në pamje të parë, opsioni (B) është më i mirë në total (5 x 10,000 = 50,000) sesa 40,000 dollarë. Por a është vërtet e vërtetë kjo? Në fund të fundit, ne e dimë se paraja gjithashtu ka një vlerë "kohore". Për të krahasuar këto dy opsione me njëra-tjetrën, është e nevojshme t'i sillni ato në një moment në kohë (deri në momentin "tani"), pasi vlera e parave në momente të ndryshme kohore është e ndryshme. Në këtë rast, është e nevojshme të skontoni fluksin monetar të anuitetit (B), d.m.th. llogarit vlerën e saj të sotme.

Së pari, le të kujtojmë se si duket formula e zbritjes:

PV = FV x 1/(1+R)n

Vlera e ardhshme (FV) - vlera e ardhshme Vlera e tanishme (PV) - vlera aktuale (e zbritur/e tashme). R - norma e interesit (norma e kthimit të kërkuar nga investitori), N - numri i viteve nga një datë në të ardhmen deri në momentin aktual

Faktorët e zbritjes të përdorur për shembullin tonë 1/(1+R)n- kjo është 0.9091, 0.8264, etj. Vetëm këto llogaritje do të duhet të përsëriten 5 herë dhe të shtohen. Nëse zbritni (d.m.th., sillni në momentin aktual) çdo shumë veç e veç, do të merrni tabelën e mëposhtme:

10.000 x 0.9091 = 9.091
10.000 x 0.8264 = 8.264
10.000 x 0.7513 = 7.513
10.000 x 0.6830 = 6.830
10.000 x 0.6209 = 6.209
Gjithsej: 37.907

Këtu shuma e pagesës shumëzohet me faktorin e zbritjes që korrespondon me çdo vit. Në total, pesë pagesa prej 10,000 dollarë në fund të çdo viti pas zbritjes janë me vlerë 37,907 dollarë, pak më pak se 40,000 dollarë sot. Prandaj, me interes 10%, 40,000 dollarë sot do të ishin më të mira se pensioni 5-vjeçar i ofruar në 10,000 dollarë.

Formula Vlera e zbritur e pensionit mund të shkruhet si më poshtë:

PV = PMT x= 10,000 x (0,9091+0,8264+0,7513+0,6830+0,6209) = 10,000 x 3,7907 = 37,907

Ku PMT (nga pagesa në anglisht) është shuma e pagesës së pensionit.

Siç mund ta keni vënë re, në vend që të zbritni secilën shumë veç e veç, mund të shtoni të gjithë faktorët e zbritjes dhe të shumëzoni vetëm një herë. Rezultati i shtimit të faktorëve të zbritjes mbi 5 vjet quhet koeficienti i anuitetit. Në këtë shembull, koeficienti i anuitetit është 3,7907 .

Kështu, për të gjetur vlerën aktuale të anuiteteve, është e nevojshme të shumëzohet pagesa një herë me koeficientin e anuitetit (10.000 * 3.7907 = 37.907).

Pra, ne shikuam një shembull me pagesat e anuitetit në fund të çdo viti (postnumerando).

SHEMBULL 2. Le të ndryshojmë pak kushtet e shembullit tonë. Ju duhet të zgjidhni opsionin më fitimprurës:

A) merrni 40,000 dollarë sot ose

B) 5 herë 10,000 dollarë në fillim të secilit prej 5 viteve të ardhshme.

Ky do të jetë i ashtuquajturi pension vjetor prenumerando.

Në këtë situatë, duke qenë se pagesa e parë bëhet në fillim të vitit, nuanca më e rëndësishme që duhet mbajtur mend është se pagesa e parë nuk ka nevojë të zbritet (d.m.th. të sjellë në momentin aktual). Me fjalë të tjera, një faktor zbritje prej një përdoret për pagesën e parë. Por është e nevojshme të zbritni 4 pagesat e mbetura, pasi ato janë vonuar në kohë. Për ta ilustruar, le të krijojmë tabelën e mëposhtme:

10,000 x 1,000 = 10,000
10,000 x 0,9091 = 9,091
10,000 x 0,8264 = 8,264
10,000 x 0,7513 = 7,513
10.000 x 0.6830 = 6.830
Gjithsej: 41698

Prandaj, anuiteti i propozuar prej 5 vitesh me 10,000 në fillim të vitit do të jetë më fitimprurës se 40,000 sot në një normë prej 10%.

Formula vlera e zbritur e pensionit:

PV = PMT + PMT x= 10,000 + 10,000 x (0,9091+0,8264+0,7513+0,6830) = 10,000 + 10,000 x 3,1698 = 41,698

Vini re se në këtë shembull ne përcaktuam faktorin e anuitetit për katër pagesa të shtyra në vend të pesë, dhe nuk e zbritëm pagesën e parë.

Siç shihet nga këta shembuj, momenti kur kryhen pagesat ka një rëndësi të madhe: në fillim ose në fund të periudhës. Prandaj, nëse keni nevojë të llogarisni vlerën e skontuar të flukseve monetare të anuitetit, këshillohet të vizatoni një shkallë kohore në të cilën të shënoni shumat dhe koeficientët që korrespondojnë me secilën periudhë.

Shuma e përllogaritur e anuitetit	Kuptimi modern
vjetore
= S (1 + i)	Ä = A (1 + i)
vjetor, interesi i përllogaritur m herë në vit
= S (1 + ) m	Д = A (1 + ) m
p-term, interesi i përllogaritur një herë në vit
= S (1 + i)	Ä = A (1 + i)
p-term, interesi i përllogaritur m herë në vit (m = p)
= S (1 + )	Ä = A (1 + )

Shembulli 23.

Një shumë prej 25 mijë rubla depozitohet në fondin e pensioneve çdo vit në fillim të vitit, mbi të cilin ngarkohet interesi i përbërë me një normë prej 3% në vit. Përcaktoni shumën e akumuluar në fond pas 10 vjetësh dhe shumën e interesit të përllogaritur.

Zgjidhja:

Qira paranumërore, vjetore, interesi i përllogaritur një herë në vit. Ne përdorim formulën

S = S (1 + i) = 25000 1.03 = 295194 (fshij.)

I = 295194 - 25000 = 270194 (fshij.)

Llogaritja e vlerës moderne të anuiteteve financiare ka një rëndësi më të madhe praktike sesa llogaritja e vlerës së përllogaritur. Le të shqyrtojmë detyrën e vlerësimit të një projekti investimi.

Shembulli 24.

Brenda 4 viteve, priten të ardhura nga projekti në shumën prej 2 milion rubla. në fund të çdo gjysmë viti. Investimet një herë në projekt në fillim të vitit të parë arritën në 10 milion rubla. Ky investim do të jetë humbje apo fitim duke përdorur një normë interesi vjetore prej 6%.

Zgjidhja:

Fatura në shumën prej 2 milion rubla. pritet brenda katër viteve. Meqenëse këto janë pagesa të shumëfishta, është e nevojshme t'i sillni ato në të njëjtën datë. Le të vlerësojmë koston e këtyre pagesave në fillim të vitit të parë. Për ta bërë këtë, ne përdorim formulën për vlerën moderne të një pensioni p-term post-numerando me interes të përllogaritur një herë në vit (Shih Drejtorinë, Tabela "Anuiteti pas numerando.")

Teoria e vlerës moderne të anuitetit ka gjetur zbatim në problemet e shlyerjes së borxhit me pagesa të barabarta. Më lart në Kapitullin 1, ne kemi parë tashmë hartimin e një plani të ripagimit të kredisë në shuma të barabarta. Në këtë kapitull do të fokusohemi në problemin e shlyerjes së borxhit duke përdorur formulat e qirasë financiare. Formulimi ekonomik i problemit është si më poshtë. Borxhi në fillim të afatit përcaktohet në shumën A, ai duhet të shlyhet me pagesa të barabarta urgjente R, të cilat përfshijnë interesin e përllogaritur me normën i. Natyrisht, ky problem mund të zgjidhet duke përdorur formulat për vlerën moderne të qirasë financiare.

Shembulli 25.

Le të jetë borxhi aktual 250,000 rubla. Borxhi propozohet të shlyhet brenda 5 viteve duke përdorur një normë interesi prej 30% në vit. Borxhi shlyhet në këste të barabarta, duke përfshirë edhe interesin e përllogaritur Hartoni një plan shlyerje borxhi.

Zgjidhja:

Natyrisht, borxhi aktual është 250,000 rubla. përfaqëson vlerën moderne të një pensioni financiar me pagesa vjetore R. Le të llogarisim termin pagesa R bazuar në formulën për vlerën moderne të anuitetit vjetor post-numerando (Shih librin e referencës, tabelën "Anuiteti - post-numerando") .

Shumat 102645 fshij. paguhen çdo vit për pesë vjet dhe përfshijnë interesin e përllogaritur. Le të llogarisim interesin e përllogaritur për vitin e parë:

Shuma e shlyerjes së borxhit në vitin e parë është:

102645-75000=27645 (fshij.)

Në vitin e dytë, bilanci i borxhit është:

250000-27645=222355 (fshij.)

Interesi llogaritet në këtë shumë në vitin e dytë:

Shuma e detyrimit në vitin e dytë është e barabartë.

Tema 4. Renta financiare konstante

4.1. Karakteristikat e flukseve të pagesave

4.1.1. Konceptet Bazë

Operacionet me shuma individuale parash janë në themel të operacioneve më komplekse - operacione me sekuenca të shumave të tilla të shpërndara me kalimin e kohës, domethënë me flukse pagese.

Rrjedha e pagesave është një sekuencë shumash monetare të kufizuara në pika të caktuara kohore. Shumat individuale të parave që janë anëtarë të sekuencës quhen anëtarët e fillit .

Rrjedhat lindin, për shembull, gjatë zbatimit të një projekti investimi, kur shlyeni borxhin me këste, kur merrni të ardhura nga aksionet ose letrat me vlerë të tjera, kur paguani pensionet, etj.

Flukset e pagesave klasifikohen në të rregullta dhe të parregullta. Opsionet e rrjedhës janë paraqitur grafikisht në Fig. 4.1-4.3.

NË rrjedhje e parregullt intervalet kohore ndërmjet anëtarëve të fillit mund të kenë kohëzgjatje të ndryshme. Përveç kësaj, anëtarët e një rrjedhe të tillë mund të kenë shenja të ndryshme. Kushtet pozitive zakonisht korrespondojnë me arkëtimet në para, kushtet negative me shpenzimet.

NË rrjedhje e rregullt intervalet kohore ndërmjet pagesave ngjitur janë të së njëjtës gjatësi dhe afatet e rrjedhës kanë të njëjtën shenjë. Quhen edhe prurje të rregullta qiratë financiare .

Oriz. 4.1. Rrjedha e parregullt e pagesave

Oriz. 4.2. Rrjedha e rregullt e pagesave (rasti i anuitetit financiar të vazhdueshëm)

Oriz. 4.3. Rrjedha e rregullt e pagesave (rasti i anuitetit financiar të ndryshueshëm)

Vini re se kushtet e qirasë financiare në rastin e përgjithshëm mund të ndryshojnë në madhësinë e tyre. Nëse ata janë të njëjtë, atëherë ata flasin për konstante qira financiare. Nëse ato ndryshojnë, atëherë o e ndryshueshme qira financiare. Këto dallime mund të jenë subjekt i njëfarë rregullsie (për shembull, anuitetet me një rritje konstante absolute ose relative të anëtarëve) ose të jenë josistematike.

Parametrat kryesorë që karakterizojnë qiranë përfshijnë:

• anëtar i anuitetit - shumën e një pagese të veçantë;
• periudha e anuitetit — gjatësia e intervalit kohor ndërmjet pagesave ngjitur;
• afati i pensionit — gjatësia e intervalit kohor nga fillimi i periudhës së parë deri në fund të periudhës së fundit;
• norma e interesit — norma e interesit mbi bazën e së cilës kryhet analiza e qirasë.

Kur analizohen anuitetet specifike, përdoren gjithashtu karakteristika dhe parametra të tjerë, për shembull, frekuenca e llogaritjes së interesit (nëse llogaritet disa herë në vit), probabiliteti i pagesës (nëse po flasim për pagesat e sigurimit), etj.

Anuitetet mund të kenë ose jo një afat të paracaktuar. Në rastin e fundit ata flasin për pensioni i përhershëm .

Anuitetet ndryshojnë në kohën e pagesave brenda periudhës. Nëse pagesat bëhen në fund të periudhave, atëherë quhet anuiteti pensioni postnumerando (dhe pensioni i zakonshëm ). Nëse pagesat përkojnë me fillimin e periudhave, atëherë quhet anuiteti pension vjetor prenumerando .

4.1.2. Karakteristikat e përgjithshme të flukseve të pagesave

Dy flukse financiare mund të shpërndahen ndryshe në kohë, kanë kohëzgjatje të ndryshme, numër të ndryshëm anëtarësh dhe ndryshojnë në madhësinë e anëtarëve.

Krahasimi, analiza dhe përzgjedhja e opsioneve të rrjedhës së tyre kryhen në bazë të karakteristikave të përgjithshme që bëjnë të mundur reduktimin e të gjithë shumëllojshmërisë së flukseve në një numër të vogël treguesish bazë.

Karakteristika kryesore e një fluksi është vlera aktuale (vlerësimi i reduktuar). Kjo ju lejon të "kolapsoni" të gjithë rrjedhën e shpërndarë me kalimin e kohës në një numër.

Nën vlera aktuale kuptohet si shuma e të gjitha termave të fluksit me interes të përllogaritur, të reduktuar (të zbritur) në një moment të caktuar kohor. Në mënyrë tipike, një pikë e tillë kohore zgjidhet si momenti i fillimit të periudhës së parë të rrjedhës ose momenti i përfundimit të periudhës së tij të fundit. Në rastin e parë flasim për vlera moderne (vlerësim modern ) rrjedhin, në të dytën - o vlerë e përllogaritur (shuma e përllogaritur ) rrjedhin.

Ndonjëherë vlerësimi modern i një fluksi nuk lidhet me fillimin e tij, por me një moment më të hershëm në kohë. Për shembull, nëse sot flukset analizohen sipas opsioneve për projekte investimi, zbatimi i të cilave duhet të fillojë pas njëfarë kohe, atëherë vlerësimi modern zakonisht nuk lidhet me fillimin e flukseve (opsione të ndryshme mund të kenë pikënisje të ndryshme), por deri sot.

4.1.3. Llogaritja e vlerës aktuale të një fluksi

Le të formulojmë përkufizimin e vlerës aktuale të një rrjedhe në rastin e përgjithshëm.

Lëreni rrjedhën të përbëhet nga anëtarë Rk, të kufizuar në momente kohore tk. Le të përcaktojmë koston e kësaj rrjedhe, të reduktuar në një moment arbitrar në kohën t.

Konsideroni një anëtar të rrjedhës arbitrare Rk. Nëse momenti përkatës i kohës tk ndodh para momentit të reduktimit t,

tk< t,

atëherë kur rillogaritet vlerësimi i vlerës së Rk në kohën t, ai duhet të rritet duke shumëzuar me një koeficient rritjeje të barabartë me . Ky koeficient tregon se sa herë do të ndryshojë vlera e Rk me normën e përbërë të interesit i gjatë kohës (t - tk) që ndan momentin tk nga momenti t.

Me fjalë të tjera, nëse shuma e parave Rk do të vendosej në një llogari depozite me kushte për llogaritjen e interesit të përbërë me normën i, atëherë me kalimin e kohës (t - tk) vlera e Rk do të rritej në vlerën e Rk. Eksponenti është pozitiv, kështu që koeficienti është më i madh se 1, vlera e Rk rritet me shumëzimin.

Nëse koha tk ndodh më vonë se t,

tk > t,

atëherë kur rillogaritet vlerësimi i vlerës së Rk në kohën t, ai duhet të shumëzohet me faktorin përkatës të zbritjes. Formula për këtë koeficient është e njëjtë si për koeficientin e mëparshëm të rritjes, d.m.th. Megjithatë, eksponenti tani është negativ, kështu që koeficienti automatikisht do të jetë më i vogël se 1. Vlera e Rk zvogëlohet kur shumëzohet me një koeficient të tillë.

Kështu, pavarësisht se si momentet t dhe tk janë të vendosura në mënyrë të ndërsjellë, kur termi i rrjedhës Rk sillet në momentin t, ai duhet të shumëzohet me të njëjtën shprehje të barabartë me .

Në një situatë kjo çon në një rritje të Rk, në një tjetër - në një ulje. Në të gjitha situatat, kjo çon në një rillogaritje të saktë të vlerës së Rk, në reduktimin e saj në kohën t.

Vlera aktuale e të gjithë rrjedhës St, e reduktuar në kohën t me një normë interesi të përbërë i, përcaktohet nga shuma e rezultateve të zvogëlimit të të gjithë anëtarëve të rrjedhës, d.m.th. nga formula

Formula ju lejon të përcaktoni vlerën aktuale të rrjedhës për çdo moment të kohës t. Në veçanti, nëse t është momenti kur fillon rrjedha, atëherë kjo formulë përcakton koston aktuale të rrjedhës. Nëse t është momenti që rrjedha skadon, formula përcakton sasinë e grumbulluar të rrjedhës.

4.1.4. Marrëdhënia midis rezultateve të reduktimit në pika të ndryshme kohore

Le të shqyrtojmë se si ndryshon vlera e vlerës aktuale kur sillet në një moment tjetër.

Le të jetë një moment tjetër reduktimi. Pastaj, kur reduktohet në momentin t, marrim vlerën:

Sasitë St dhe St lidhen me relacionin

Le të shqyrtojmë raportin e vlerësimeve të dhëna:

Nga kjo gjejmë se kur sillet në një pikë të mëvonshme, vlera e vlerës aktuale do të jetë më e madhe. Në të vërtetë, nëse

t>t,

prej nga rrjedh se

St > St.

Raporti i vlerësimeve të dhëna St / St shprehet me një vlerë që nuk varet nga një rrjedhë specifike. Varet vetëm nga diferenca (t - t) e momenteve të uljes dhe nga norma e interesit që kam zgjedhur për ulje.

Kjo bën të mundur krahasimin e flukseve të ndryshme bazuar në vlerën e tyre aktuale, pavarësisht nga zgjedhja e një pike specifike reduktimi.

Në të vërtetë, le të jenë dhe kostot e dy flukseve kur ato sillen në kohën t, dhe dhe të jenë kostot e të njëjtave flukse kur sillen në kohën t. Atëherë raportet e këtyre vlerësimeve janë të barabarta:

Nëse vlera aktuale e njërës rrjedhë rezulton të jetë m herë më e madhe se vlera aktuale e tjetrës kur i sjellim të dy flukset në një pikë në kohë, atëherë e njëjta marrëdhënie midis flukseve do të mbetet e njëjtë kur të sillet në një pikë tjetër në kohë. .

4.2. Karakteristikat e një pensioni të përhershëm financiar

4.2.1. Llogaritja e karakteristikave të një pensioni të përhershëm

Formula për vlerën aktuale të një fluksi të marrë më sipër është e përshtatshme për llogaritjet me çdo rrjedhë. Në disa raste të veçanta të rëndësishme mund të thjeshtohet ndjeshëm. Kështu, për llojin më të zakonshëm të fluksit - qiranë financiare konstante - do të marrim formula shumë më të thjeshta të llogaritjes. Formula të thjeshta mund të merren gjithashtu për anuitetet e ndryshueshme me një model të thjeshtë ndryshimesh në termat e anuitetit.

Konsideroni një pension konstant që përmban n terma me të njëjtën vlerë R (Fig. 4.4). Intervali midis anëtarëve të pensionit është i njëjtë. Le të supozojmë se është 1 vit (ky anuitet quhet pensioni vjetor ). Le të jetë kjo qira post-numerando.

Kështu, ne kemi një sekuencë prej n pagesash identike të madhësisë R secila. Afati total i anuitetit është n vjet. Pagesa e radhës bëhet në fund të vitit. Pagesa e parë bëhet në fund të vitit të parë, e fundit në fund të vitit të nëntë. Përfundimi i afatit total të anuitetit përkon me momentin e pagesës së fundit.

Oriz. 4.4. Anuitet financiar i vazhdueshëm

Le të përcaktojmë vlerën përfundimtare të akumuluar të anuitetit S, d.m.th., vlerën e anuitetit në fund të afatit të tij (vlera përfundimtare ndonjëherë shënohet edhe me FV - E ardhmja Vlera).

Zvogëlimi duhet të kryhet në fund të afatit të anuitetit. Le të shqyrtojmë kushtet e pensionit një nga një, nga e fundit tek e para.

Afati i fundit i nëntë i anuitetit gjatë uljes mbetet i pandryshuar, pasi momenti i uljes përkon me momentin e pagesës së fundit. Si rezultat i transformimit, ai ruan vlerën e tij R.

Termi i parafundit, (n-1) konvertohet në vlerën R(1 + i).

Termi i parafundit, (n-2) konvertohet në .

Duke vazhduar arsyetimin, gjejmë se një term arbitrar k-të shndërrohet në .

Në veçanti, termi i parë është konvertuar në .

Duke përmbledhur progresionin gjeometrik me termin n që rezulton me termin e parë R dhe emëruesin (1+i), arrijmë në formulën

Kjo është formula për shumën përfundimtare të akumuluar të pensionit konstant n-term post-numerando.

Le t'i drejtohemi formulës për vlerën fillestare, moderne të pensionit A, që korrespondon me reduktimin në momentin fillestar të afatit të pensionit (kjo vlerë shënohet gjithashtu me PV - Vlera aktuale). Kjo formulë mund të merret në dy mënyra.

Njëra është të kryeni arsyetime të ngjashme me të dhënat e mësipërme për formulën e shumës së grumbulluar, por të fokusuar në sjelljen e saj në një moment tjetër në kohë. Një tjetër është të zbritni vlerën e marrë tashmë të shumës së përllogaritur në momentin fillestar të afatit të pensionit, d.m.th., përdorni barazinë

Mënyra e dytë ju lejon të shkruani menjëherë formulën përfundimtare

Duke përdorur këto formula, ju mund të bëni llogaritjet për çdo normë interesi pozitive i. Ato nuk funksionojnë vetëm kur i = 0, pra në rastin kur nuk merret parasysh rritja e shumës së investuar të parave. Sidoqoftë, në këtë rast, vlerësimet aktuale dhe të ardhshme të fondit janë të njëjta dhe të dyja janë të barabarta me shumën e thjeshtë të kushteve të anuitetit:

4.2.2. Renta e përhershme

Në disa raste, pensioni mund të konsiderohet si i vazhdueshëm për një kohë të pacaktuar, pra si një numër i pakufizuar anëtarësh. Kjo situatë lind kur periudha e pensionit nuk është caktuar paraprakisht. Për shembull, pagesa të rregullta për obligacione me kohëzgjatje të pakufizuar.

Anuitetet me afat të pakufizuar quhen anuitete të përhershme .

Është e pamundur të përcaktohet shuma e përllogaritur e një pensioni të përhershëm, pasi një shumë e tillë duhet të çohet deri në fund të afatit të pensionit. Megjithatë, është e mundur të përcaktohet vlera aktuale e një pensioni të përhershëm. Për ta bërë këtë, mjafton të përmblidhet një progresion i pafundëm gjeometrik në rënie.

Nëse në formulën e marrë më sipër për vlerën moderne të një pensioni me një term n, lemë n të priret në pafundësi, marrim:

Kështu, vlera moderne e një pensioni të përhershëm përcaktohet nga një rregull i thjeshtë: vlera moderne është e barabartë me raportin e vlerës së afatit të anuitetit me normën e interesit.

4.2.3. Marrëdhënia ndërmjet parametrave të anuitetit

Vini re se numëruesi në formulën e fundit është negativ (shprehja e nënlogut është më e vogël se 1), kështu që një shenjë minus përpara formulës kthen një vlerë pozitive n.

Ndryshe nga R dhe n, llogaritja e normës së interesit i nuk mund të kryhet në formën e një llogaritjeje duke përdorur një formulë të gatshme. Norma e interesit përcaktohet nga një nga metodat e llogaritjeve të përafërta (për shembull, metoda e interpolimit linear - metoda e kordës ose metoda e Njutonit - metoda tangjente).

4.2.4. Anuitetet prenumerando dhe postnumerando

Anuiteti para numerando, kur sillet në fund të afatit, ndryshon nga pensioni pas numerando duke u zhvendosur me një periudhë kohore nga fundi. Prandaj, kur zvogëlohet, të gjitha termat e tij duhet të shumëzohen shtesë me të njëjtën vlerë (1 + i). Si rezultat, formula për shumën e përllogaritur të prenumerando të pensionit do të marrë formën

Formula për vlerën moderne të qirasë do të ndryshojë në mënyrë të ngjashme:

Ndryshimet përkatëse do të ndodhin në formulat që përcaktojnë vlerën e afatit konstant dhe kohëzgjatjes për prenumerando të anuitetit:

Formulat që rezultojnë mund të konsiderohen si formula për anuitetin post-numerando, por me një vlerësim të ri të vlerës aktuale (vlerësimi S ose A), të reduktuar me (1+ i) herë.

Formula për termin e anuitetit n, e shprehur në shumën e akumuluar S, ka formën

Një formulë e ngjashme për termin e pensionit n, e shprehur përmes vlerës moderne të anuitetit A, ka formën

Formulat që rezultojnë korrespondojnë me formulat për qiranë post-numerando, por me një vlerë të re të termit të qirasë R, e rritur me (1+ i) herë.

Në të ardhmen, ne do të ndërtojmë formula për anuitetin post-numerando, duke pasur parasysh se ato mund të shndërrohen lehtësisht në formula për anuitetin para numerando.

4.3. Pagesat dhe interesat

4.3.1. Duke marrë parasysh veçoritë e llogaritjes së interesit

Le të shqyrtojmë një situatë ku interesi për anëtarët e pensionit llogaritet jo një herë, por disa herë gjatë periudhës së marrjes së pagesave.

Le të grumbullohet interesi për anëtarët e ardhur të një pensioni konstant postnumerando m herë në vit (për shembull, çdo tremujor). Le të shqyrtojmë dy opsione për konvertimin e normës vjetore në një normë tremujore.

1. Le të ndodhë konvertimi i normës vjetore i në normën tremujore j sipas formulës së normës së përbërë të interesit, d.m.th., sipas formulës

Në përgjithësi, kur një vit ndahet në m periudha të barabarta, kjo formulë ka formën

Në këtë rast, norma i dhe norma j janë saktë në përputhje me njëra-tjetrën, dhe të gjitha formulat e llogaritjes që lidhen me pensionin mbeten të njëjta.

2. Le të ndodhë konvertimi i normës vjetore i në normën tremujore j sipas formulës së thjeshtë të normës së interesit, d.m.th. sipas formulës

ose, në rastin e ndarjes së vitit në m periudha, sipas formulës

j = i/m.

Në këtë situatë, shumëzuesi i rritjes së kontributit për vitin është i barabartë me

Kur ndërtohet vlerësimi i dhënë i qirasë, anëtarët e tij, si në rastin origjinal, formojnë një progresion gjeometrik, por me një emërues të ndryshëm - me një emërues të barabartë me faktorin e rritjes. Kështu, për shumën e grumbulluar marrim:

Për koston moderne të rrjedhës marrim formulën

4.3.2. Kontabiliteti për faturat e pagesave

Ne shqyrtuam opsionin kur periudha e përllogaritjes së interesit është më e shkurtër se periudha e marrjes së pagesës. Le të shqyrtojmë tani rastin e kundërt, kur periudha për marrjen e pagesave është më e vogël se periudha për llogaritjen e interesit.

Lëreni interesin të grumbullohet çdo vit dhe pagesat të merren në këste të barabarta, periodikisht, p herë në vit (për shembull, mujore). Nëse shuma e pagesës vjetore është ende e barabartë me R, atëherë pagesa individuale tani është e barabartë me vlerën e R / p. Numri i përgjithshëm i anëtarëve të anuitetit për n vjet tani është i barabartë me nxp.

Për çdo anëtar të anuitetit, gjatë përcaktimit të shumës së përllogaritur, interesi llogaritet për të gjithë periudhën kohore të mbetur deri në fund të afatit të anuitetit.

Sekuenca e termave të një pensioni të tillë me interes të përllogaritur është përsëri një progresion gjeometrik. Afati i parë i progresionit (duke llogaritur, si më parë, nga fundi i marrjes së pagesave) është i barabartë me R / p. Numri i anëtarëve është np. Emëruesi i progresionit është

Shuma e grumbulluar S është shuma e termave të këtij progresioni.Përcaktohet nga formula

Vlera moderne e anuitetit përcaktohet nga formula

4.3.3. Duke marrë parasysh veçoritë e llogaritjes së interesit dhe marrjes së pagesave

Le të shqyrtojmë opsionin e një pensioni, kur si përllogaritja e interesit ashtu edhe marrja e pagesave ndodhin disa herë në vit. Në mënyrë tipike, në situata të tilla, të dyja ngjarjet ndodhin me frekuencë të barabartë. Për shembull, pagesat e qirasë merren çdo muaj dhe interesi rritet çdo muaj.

Llogaritjet për një pension të tillë reduktohen në llogaritjet duke përdorur formulën origjinale me periudhën vjetore të zëvendësuar me një periudhë të re (për shembull, mujore). Në këtë rast, numri i anëtarëve të anuitetit është shumëfish i numrit të viteve, dhe norma e interesit ndryshon në përputhje me periudhën e re.

konkluzionet

Qiraja financiare është një sekuencë pagesash që ndodhin në intervale të rregullta. Nëse madhësia e pagesave financiare të qirasë është e njëjtë, atëherë qiraja quhet qira financiare konstante.

Ekzistojnë anuitete post-numerando (pagesat merren në fund të periudhave kohore) dhe anuitete para numerando (pagesat merren në fillim të periudhave kohore).

Vlera përfundimtare e anuitetit S dhe vlera fillestare e anuitetit A përcaktohen duke sjellë të gjitha pagesat në momentin përfundimtar ose fillestar në kohë me një normë interesi të përbërë. Formulat përfundimtare merren në bazë të përmbledhjes së një progresion gjeometrik. Për anuitetin post-numerando, formulat kanë formën

Formula për vlerën fillestare të një pensioni është gjithashtu e zbatueshme për një pension të përhershëm që përmban një numër të pafund pagesash:

Pyetje vetë-testimi

1. Përcaktoni konceptin e rrjedhës së pagesave.
2. Çfarë informacioni duhet të jap për të vendosur një fluks pagese?
3. Cili është ndryshimi midis rrymave të rregullta dhe të parregullta të pagesave?
4. Çfarë rryme pagesash quhet qira financiare?
5. Cili është ndryshimi midis anuiteteve financiare konstante dhe të ndryshueshme?
6. Çfarë është pensioni i përhershëm?
7. Cili është ndryshimi midis anuiteteve post-numerando dhe para-numerando?
8. Cila është vlera aktuale e një rryme pagesash?
9. Si llogaritet vlera aktuale e një rryme pagesash?
10. Cila është formula për vlerën aktuale të një rryme pagesash?
11. Si ndryshon rezultati i llogaritjes së vlerës aktuale të një rrjedhe kur ndryshon momenti i reduktimit?
12. Çfarë mund të thuhet për raportin e kostos së flukseve kur ndryshon momenti i reduktimit?
13. Cila është formula për vlerën përfundimtare të një pensioni të përhershëm?
14. Cila është formula për vlerën fillestare të një pensioni të përhershëm?
15. Si lidhen me njëra-tjetrën vlerat fillestare dhe përfundimtare të pensionit?
16. Cila është formula për vlerën fillestare të një pensioni të përhershëm të përhershëm?
17. Cila është formula për afatin konstant të pensionit?
18. Cila është formula për afatin e një pensioni të përhershëm?
19. Si lidhen me njëra-tjetrën formulat për pensionin postnumerando dhe anuitetin prenumerando?
20. Cilat janë formulat për vlerën e anuitetit kur interesi llogaritet më shpesh sesa pranohen pagesat?
21. Cilat janë veçoritë e formulës së vlerës së anuitetit kur llogaritet interesi me një normë të përbërë?
22. Cilat janë veçoritë e formulës së vlerës së anuitetit kur llogaritet interesi me një normë të thjeshtë?
23. Cilat janë formulat për vlerën e anuitetit kur pagesat merren më shpesh se interesi?

Bibliografi

1. Brigham Y., Gapensky L. Menaxhimi financiar: Në 2 vëllime Shën Petersburg, 1997.
2. Kapitonenko V.V. Matematika financiare dhe aplikimet e saj. M., 1998.
3. Kutukov V. B. Bazat e matematikës financiare dhe të sigurimeve. Metodat për llogaritjen e skemave të kredisë, investimeve, pensioneve dhe sigurimeve. M., 1998.
4. Lukasevich I. Ya. Analiza e transaksioneve financiare. Metodat, modelet, teknikat informatike. M., 1998.
5. Malykhin V. I. Matematika financiare. M., 1999.
6. Watsham T.J., Parramow K. Metodat sasiore në financa. M., 1999.

shënim

Koncepti dhe karakteristikat e fluksit të parasë

$1000 $1000 $1000 $1000

Zakonisht shënohet elementi i rrjedhës së parasë CF k (Cash Flow), ku k - numri i periudhës në të cilën merret parasysh fluksi i parasë. Tregohet vlera aktuale e fluksit të parasë PV (Vlera aktuale), dhe vlera e ardhshme është F.V. (Vlera e ardhshme).

Vlera e ardhshme e fluksit monetar, për të gjithë elementët nga 0 përpara m marrim:

Shembulli 1: Pas zbatimit të masave për uljen e kostove administrative, kompania pret të kursejë 1000 dollarë në fund të çdo viti. Paratë e kursyera supozohet të vendosen në një llogari depozite (në 5% në vit) në mënyrë që pas 5 vitesh paratë e grumbulluara të përdoren për investim. Sa shumë do të jetë në llogarinë bankare të kompanisë?

Kështu, në 5 vjet kompania do të ketë akumuluar 5526 dollarë, të cilat mund t'i investojë.

Kështu, flukset monetare janë flukse pagesash (cash), që i referohet shpërndarjes në kohë të flukseve monetare që lindin si rezultat i aktiviteteve ekonomike të njësisë ekonomike.

Për më tepër, flukset monetare kuptohen si një sekuencë pagesash dhe arkëtimesh të shpërndara me kalimin e kohës, të krijuara nga një aktiv i caktuar, portofoli i aktiveve ose funksionimi i një projekti investimi.

Është e zakonshme të lidhet një fluks monetar (Fluksja e parasë) me çdo projekt investimi, elementët e të cilit janë ose daljet neto (Daljet neto të parasë) ose hyrjet neto monetare (Flukset hyrëse neto të parasë).

Nën Dalja neto në vitin k kuptohet si tejkalimi i shpenzimeve aktuale të parasë për projektin mbi arkëtimet aktuale të parasë (me raport të kundërt, ka një hyrje neto).

Një rrjedhë pagesash, të gjithë elementët e së cilës shpërndahen në kohë në mënyrë që intervalet ndërmjet çdo dy pagesash të njëpasnjëshme të jenë konstante, quhet qira financiare ose anuitet.

Një pension vjetor ka dy veti të rëndësishme:

1) të gjithë n-elementët e tij janë të barabartë me njëri-tjetrin: CF1 = CF2 ...= CFn = CF ;

2) periudhat kohore ndërmjet pagesës (marrjes së shumave) CF janë të njëjta.

Vlera e ardhshme e një pensioni të thjeshtë përfaqëson shumën e të gjitha pagesave përbërëse të tij me interes të përllogaritur në fund të periudhës së transaksionit.

Nën vlera aktuale e fluksit të parasë kuptoni shumën e të gjitha pagesave përbërëse të tij, të zbritura në fillim të transaksionit.

Vlera aktuale e pensionit është si më poshtë:

Shprehja në kllapa katrore përfaqëson një shumëzues të barabartë me vlerën aktuale të anuitetit të një njësie monetare.

Duke e ndarë koston moderne PV fluksin e parave për shumëzuesin e specifikuar, mund të merrni shumën e pagesës periodike të një pensioni ekuivalent.

Skema e thjeshtë e zbritjes së anuitetit.

Shembulli 2:

Fondi i pensioneve duhet të kryejë pagesa vjetore prej 100 njësi monetare për tre vjet. Cila shumë do të sigurojë pagesat e treguara nëse norma e depozitave me afat është aktualisht 8% në vit.

0 100 100 100

Shuma totale është 257.7.

Vlerësimi paraprak i rrjedhës

Anuiteti prenumerando– anglisht Detyrimi i anuitetit është një seri pagesash që bëhen periodikisht ne fillimçdo periudhë (për shembull, muaj, tremujor, gjysmë viti ose vit). Ky lloj instrumenti mund të jetë një investim ose një hua, në varësi të qëllimit dhe pronarit të anuitetit. Shembuj të anuiteteve përfshijnë llogaritë e kursimeve, politikat e sigurimit, hipotekat dhe investime të tjera të ngjashme. Karakteristika kryesore e një pensioni prenumerando është se të gjitha pagesat bëhen në fillim të çdo periudhe.

Skema për rritjen e elementeve të fluksit të parasë prenumerando

ku A është shuma e pagesës;

i – norma e interesit për periudhën;

N - numri i periudhave.

Për shembull, investitori synon të vendosë 500 USD në depozitë çdo muaj. për 2 vjet me 7% në vit, me kusht që çdo kontribut të jepet në fillim të çdo muaji. Për të llogaritur shumën që do të jetë në dispozicion të investitorit, do të përdorim formulën e mësipërme. Megjithatë, fillimisht është e nevojshme që norma vjetore e interesit të sillet në atë mujore, e cila do të jetë 0.583% (7%/12). Në këtë rast, numri i periudhave do të jetë 24 (24 muaj).

Kështu, në dy vite investitori do të ketë në dispozicion një shumë prej 12,914.87 USD.

Për problemin e anasjelltë, skema e skontimit, pra sjellja e të gjithë elementëve të rrjedhës origjinale në pikën 0, mund të paraqitet në Fig.

Skema e skontimit për elementët e fluksit të parasë prenumerando

Për llogaritjen vlera aktuale e anuitetit prenumerando duhet të përdoret formula e mëposhtme.

Kjo formulë, për shembull, mund të përdoret për të llogaritur madhësinë e pagesës së pensionit për një kredi. Le të themi se huamarrësi synon të marrë një kredi nga një bankë në shumën 25,000 USD. për një periudhë 5-vjeçare me 17% në vit, me kusht që kredia të shlyhet çdo muaj. Për të llogaritur shumën e pagesës, duhet të përdorni formulën për vlerën aktuale të prenumerando të anuitetit, duke shprehur pagesën (A) prej saj.

Për të përdorur formulën që rezulton për të llogaritur pagesën e pensionit, është e nevojshme që të dhënat origjinale të jenë në përputhje.

1) Vlera aktuale e pensionit do të jetë 25,000 USD.

2) Norma vjetore e interesit duhet të konvertohet në atë mujore, e cila do të jetë 1.4167% (17%/12).

3) Numri i periudhave do të jetë 60 (5 vjet me 12 pagesa.)

Kështu, madhësia e pagesës mujore të anuitetit në kredi do të jetë 621,31 USD.