Gabime sistematike. Gabimet sistematike ndryshojnë natyrshëm vlerat e sasisë së matur. Gabimet e futura në matjet nga instrumentet vlerësohen më lehtë nëse ato lidhen me tiparet e projektimit të vetë instrumenteve. Këto gabime tregohen në pasaportat për pajisjet. Gabimet e disa pajisjeve mund të vlerësohen pa iu referuar fletës së të dhënave. Për shumë instrumente matëse elektrike, klasa e saktësisë tregohet drejtpërdrejt në shkallë.

Klasa e saktësisë së instrumentit- ky është raporti i gabimit absolut të pajisjes me vlerën maksimale të sasisë së matur, e cila mund të përcaktohet duke përdorur këtë pajisje (ky është gabimi relativ sistematik i kësaj pajisjeje, i shprehur si përqindje e vlerësimit të shkallës).

Atëherë gabimi absolut i një pajisjeje të tillë përcaktohet nga relacioni:

.

Për instrumentet matëse elektrike janë futur 8 klasa saktësie: 0.05; 0.1; 0,5; 1.0; 1.5; 2.0; 2.5; 4.

Sa më afër vlerës nominale të jetë vlera e matur, aq më i saktë do të jetë rezultati i matjes. Saktësia maksimale (d.m.th., gabimi relativ më i vogël) që mund të sigurojë një pajisje e caktuar është e barabartë me klasën e saktësisë. Kjo rrethanë duhet të merret parasysh kur përdoren instrumente me shumë shkallë. Shkalla duhet të zgjidhet në atë mënyrë që vlera e matur, duke mbetur brenda shkallës, të jetë sa më afër vlerës nominale.

Nëse klasa e saktësisë për pajisjen nuk është e specifikuar, atëherë duhet të ndiqen rregullat e mëposhtme:

· Gabimi absolut i pajisjeve me vernier është i barabartë me saktësinë e vernierit.

· Gabimi absolut i instrumenteve me një hap fiks të shigjetës është i barabartë me vlerën e ndarjes.

· Gabimi absolut i pajisjeve dixhitale është i barabartë me një shifër minimale.

· Për të gjitha instrumentet e tjera, gabimi absolut supozohet të jetë i barabartë me gjysmën e vlerës së pjesëtimit.

Gabime të rastësishme. Këto gabime janë të natyrës statistikore dhe përshkruhen nga teoria e probabilitetit. Është vërtetuar se me një numër shumë të madh matjesh, probabiliteti i marrjes së një ose një tjetër rezultati në secilën matje individuale mund të përcaktohet duke përdorur shpërndarjen normale Gaussian. Me një numër të vogël matjesh, përshkrimi matematikor i probabilitetit të marrjes së një ose një tjetër rezultati të matjes quhet shpërndarja e Studentit (mund të lexoni më shumë për këtë në manualin e I.L. Skvortsova "Gabimet e matjes në sasi fizike").

Si të vlerësohet vlera e vërtetë e sasisë së matur?

Supozoni se kur matim një vlerë të caktuar kemi marrë N rezultat: . Mesatarja aritmetike e një serie matjesh është më afër vlerës së vërtetë të sasisë së matur sesa shumica e matjeve individuale. Për të marrë rezultatin e matjes së një vlere të caktuar, përdoret algoritmi i mëposhtëm.

1). Llogaritur mesatare seri e matjeve N direkte:

2). Llogaritur gabim absolut i rastësishëm i çdo matjejeështë ndryshimi midis mesatares aritmetike të një serie N matjeve të drejtpërdrejta dhe kësaj matjeje:

.

3). Llogaritur gabimi absolut mesatar katror:

.

4). Llogaritur gabim absolut i rastësishëm. Me një numër të vogël matjesh, gabimi absolut i rastësishëm mund të llogaritet përmes gabimit mesatar katror të rrënjës dhe një koeficienti të caktuar të quajtur koeficienti studentor:

,

Koeficienti Student varet nga numri i matjeve N dhe koeficienti i besueshmërisë (Tabela 1 tregon varësinë e koeficientit Student nga numri i matjeve në një vlerë fikse të koeficientit të besueshmërisë).

Faktori i besueshmërisëështë probabiliteti me të cilin vlera e vërtetë e vlerës së matur bie brenda intervalit të besimit.

Intervali i besimit është një interval numerik në të cilin vlera e vërtetë e sasisë së matur bie me një probabilitet të caktuar.

Kështu, koeficienti Studenti është numri me të cilin gabimi mesatar katror duhet të shumëzohet për të siguruar besueshmërinë e specifikuar të rezultatit për një numër të caktuar matjesh.

Sa më e madhe të jetë besueshmëria e kërkuar për një numër të caktuar matjesh, aq më i madh është koeficienti Studenti. Nga ana tjetër, sa më i madh të jetë numri i matjeve, aq më i ulët është koeficienti Studenti për një besueshmëri të caktuar. Në punën laboratorike të punishtes sonë, do të supozojmë se besueshmëria është e dhënë dhe e barabartë me 0.9. Vlerat numerike të koeficientëve të Studentit për këtë besueshmëri për numra të ndryshëm matjesh janë dhënë në tabelën 1.

Tabela 1

5).Llogaritur gabim total absolut. Në çdo matje, ka gabime të rastësishme dhe sistematike. Llogaritja e gabimit total (total) absolut të matjes nuk është një detyrë e lehtë, pasi këto gabime janë të natyrave të ndryshme.

Për matjet inxhinierike, ka kuptim të përmblidhen gabimet absolute sistematike dhe të rastësishme

.

Për thjeshtësi të llogaritjeve, është zakon të vlerësohet gabimi absolut total si shuma e gabimeve absolute të rastësishme dhe absolute sistematike (instrumentale), nëse gabimet janë të rendit të njëjtë të madhësisë, dhe të neglizhohet një nga gabimet nëse është më shumë se një rend i madhësisë (10 herë) më i vogël se tjetri.

6). Gabimi dhe rezultati janë të rrumbullakosura. Meqenëse rezultati i matjes paraqitet si një interval vlerash, vlera e të cilit përcaktohet nga gabimi total absolut, rrumbullakimi i saktë i rezultatit dhe gabimit është i rëndësishëm.

Rrumbullakimi fillon me gabim absolut!!! Numri i shifrave domethënëse që lihen në vlerën e gabimit, në përgjithësi, varet nga koeficienti i besueshmërisë dhe numri i matjeve. Megjithatë, edhe për matje shumë të sakta (për shembull, astronomike), në të cilat vlera e saktë e gabimit është e rëndësishme, mos lini më shumë se dy shifra domethënëse. Një numër më i madh numrash nuk ka kuptim, pasi vetë përkufizimi i gabimit ka gabimin e tij. Praktika jonë ka një koeficient relativisht të vogël besueshmërie dhe një numër të vogël matjesh. Prandaj, kur rrumbullakoset (me tepricë), gabimi total absolut lihet në një shifër të rëndësishme.

Shifra e shifrës së rëndësishme të gabimit absolut përcakton shifrën e shifrës së parë të dyshimtë në vlerën e rezultatit. Rrjedhimisht, vlera e vetë rezultatit duhet të rrumbullakoset (me korrigjim) në atë shifër të rëndësishme, shifra e së cilës përkon me shifrën e shifrës së rëndësishme të gabimit. Rregulli i formuluar duhet të zbatohet edhe në rastet kur disa nga numrat janë zero.

Nëse rezultati i marrë gjatë matjes së peshës trupore është , atëherë është e nevojshme të shkruani zero në fund të numrit 0,900. Regjistrimi do të nënkuptonte se nuk dihej asgjë për shifrat e rëndësishme të radhës, ndërsa matjet treguan se ato ishin zero.

7). Llogaritur gabim relativ .

Kur rrumbullakosni gabimin relativ, mjafton të lini dy shifra domethënëse.

rezultati i një sërë matjesh të një sasie të caktuar fizike paraqitet në formën e një intervali vlerash, duke treguar probabilitetin që vlera e vërtetë të bjerë në këtë interval, domethënë, rezultati duhet të shkruhet në formën:

Këtu është gabimi total absolut, i rrumbullakosur në shifrën e parë domethënëse, dhe është vlera mesatare e vlerës së matur, e rrumbullakosur duke marrë parasysh gabimin tashmë të rrumbullakosur. Kur regjistroni një rezultat matjeje, duhet të tregoni njësinë e matjes së vlerës.

Le të shohim disa shembuj:

1. Supozojmë se gjatë matjes së gjatësisë së një segmenti, kemi marrë rezultatin e mëposhtëm: cm dhe cm si të shkruajmë saktë rezultatin e matjes së gjatësisë së një segmenti? Së pari, ne e rrumbullakosim gabimin absolut me tepricë, duke lënë një shifër të rëndësishme, shih një shifër të rëndësishme të gabimit. Pastaj e rrumbullakojmë vlerën mesatare të korrigjuar në të qindtën më të afërt, d.m.th. te shifra e rëndësishme, shifra e së cilës përkon me shifrën e shifrës së rëndësishme të gabimit shikoni Llogaritni gabimin relativ

Problemi është formuluar si më poshtë: le sasinë e dëshiruar z të përcaktuara përmes sasive të tjera a, b, c, ... marrë nga matje të drejtpërdrejta

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Është e nevojshme të gjendet vlera mesatare e funksionit dhe gabimi i matjeve të tij, d.m.th. gjeni intervalin e besimit

me besueshmëri a dhe gabim relativ.

Sa i përket, ai gjendet duke zëvendësuar në anën e djathtë të (11) në vend të a, b, c,...vlerat mesatare të tyre

3. Vlerësoni gjysmën e gjerësisë së intervalit të besimit për rezultatin e matjeve indirekte

,

ku derivatet... llogariten në

4. Përcaktoni gabimin relativ të rezultatit

5. Nëse varësia e z nga a, b, c,... ka formën , Ku k, l, m‒ çdo numër real, atëherë së pari duhet të gjeni i afërm gabim

dhe pastaj absolute .

6. Shkruani rezultatin përfundimtar në formular

z = ± Dz , ε = …% në a = … .

Shënim:

Kur përpunoni rezultatet e matjeve direkte, duhet të ndiqni rregullin e mëposhtëm: vlerat numerike të të gjitha sasive të llogaritura duhet të përmbajnë një shifër më shumë se sasitë origjinale (të përcaktuara eksperimentalisht).

Për matjet indirekte, llogaritjet bëhen sipas rregullat e llogaritjeve të përafërta:

Rregulli 1. Kur shtoni dhe zbritni numra të përafërt, duhet:

a) zgjidhni termin në të cilin shifra e dyshimtë ka shifrën më të lartë;

b) rrumbullakosni të gjithë termat e tjerë në shifrën tjetër (një shifër rezervë mbahet);

c) kryejnë mbledhje (zbritje);

d) si rezultat, hidhni shifrën e fundit duke rrumbullakosur (shifra e shifrës së dyshimtë të rezultatit përkon me shifrat më të larta të shifrave të dyshimta të termave).

Shembull: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.

Në këto numra, shifrat e fundit domethënëse janë të dyshimta (ato të pasakta tashmë janë hedhur poshtë). Le t'i shkruajmë në formën 543820 – 2918 + 35.8 + 0.064.

Mund të shihet se në termin e parë numri i dyshimtë 2 ka shifrën më të lartë (dhjetësh). Duke rrumbullakosur të gjithë numrat e tjerë në shifrën tjetër dhe duke mbledhur, marrim

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5.4094 10 5.

Rregulli 2. Kur shumëzoni (pjestoni) numra të përafërt duhet:

a) zgjidhni numrin(t) me numrin më të vogël të shifrave domethënëse ( TË RËNDËSISHME – numra të ndryshëm nga zero dhe zero ndërmjet tyre);

b) rrumbullakosni numrat e mbetur në mënyrë që ata të kenë një shifër më të rëndësishme (një shifër rezervë ruhet) se sa ato të caktuara në hapin a;

c) shumëzoni (pjestoni) numrat që rezultojnë;

d) si rezultat, lini aq shifra domethënëse sa kishte në numrin(et) me numrin më të vogël të shifrave domethënëse.

Shembull: .

Rregulli 3. Kur ngrihet në një fuqi, kur nxjerr një rrënjë, rezultati ruan aq shifra të rëndësishme sa ka në numrin origjinal.

Shembull: .

Rregulli 4. Kur gjen logaritmin e një numri, mantisa e logaritmit duhet të ketë aq shifra domethënëse sa ka në numrin origjinal:

Shembull: .

Në regjistrimin përfundimtar absolute gabimet duhet të lihen vetëm një shifër domethënëse. (Nëse kjo shifër rezulton të jetë 1, atëherë një shifër tjetër ruhet pas saj).

Vlera mesatare rrumbullakoset në të njëjtën shifër si gabimi absolut.

Për shembull: V= (375,21 0,03) cm 3 = (3,7521 0,0003) cm 3.

I= (5,530 0,013) A, A = J.

Rradhe pune

Përcaktimi i diametrit të cilindrit.

1. Me një kaliper, matni diametrin e cilindrit 7 herë (në vende dhe drejtime të ndryshme). Regjistroni rezultatet në një tabelë.

Nr.

d i, mm

d i-

(d i- ) 2

h i, mm Dhe Informacione të ngjashme:

Gabimet në sasitë e matura dhe të tabeluara përcaktojnë gabimet e mesatares së DH të vlerës së përcaktuar në mënyrë indirekte dhe kontributin më të madh në mesataren e DH e japin vlerat më pak të sakta, të cilat kanë gabimin relativ maksimal. d. Prandaj, për të rritur saktësinë e matjeve indirekte, është e nevojshme të arrihet saktësi e barabartë e matjeve direkte

(d A, d B, d C, ...).

Rregullat për gjetjen e gabimeve në matjet indirekte:

1. Gjeni logaritmin natyror të funksionit të dhënë

ln(X = f(A,B,C,…));

2. Gjeni diferencialin total (mbi të gjitha ndryshoret) nga logaritmi natyror i gjetur i funksionit të dhënë;

3. Zëvendësoni shenjën e diferencialit d me shenjën e gabimit absolut D;

4. Zëvendësoni të gjitha “minuset” që përballen me gabimet absolute DA, DB, DC, ... për "pro".

Rezultati është formula për gabimin më të madh relativ d x vlera e matur në mënyrë indirekte X:

d x = = j (A mesatar, B mesatar, C mesatar, ..., DA mesatar, DB mesatar, DC mesatar, ...).(18)

Sipas gabimit relativ të gjetur d x përcaktoni gabimin absolut të matjes indirekte:

DX av = d x. X mesatar . (19)

Rezultati i matjeve indirekte shkruhet në formë standarde dhe përshkruhet në boshtin numerik:

X = (X mesatar ± DХ mesatar), njësi. (20)

Shembull:

Gjeni vlerat e gabimeve relative dhe mesatare të një sasie fizike L, i përcaktuar në mënyrë indirekte nga formula:

, (21)

Ku π, g, t, k, α, β– sasitë, vlerat e të cilave maten ose merren nga tabelat e referencës dhe futen në tabelën e rezultateve të matjeve dhe të dhënave të tabeluara (të ngjashme me Tabelën 1).

1. Llogaritni vlerën mesatare L mesatar, duke zëvendësuar vlerat mesatare nga tabela në (21) - π avg, g avg, t avg, k avg, α avg, β mesatare.

2. Përcaktoni gabimin relativ më të madh δ L:

a). Formula e logaritmit (21):

b). Shprehja që rezulton (22) është e diferencuar:

c). δ L:

d). Duke zëvendësuar vlerat mesatare të sasive hyrëse dhe gabimet e tyre nga tabela e rezultateve të matjes në shprehjen që rezulton, llogaritni δ L.

3. Më pas llogarisni gabimin absolut ΔL mesatare:

Rezultati regjistrohet në formë standarde dhe përshkruhet grafikisht në bosht L:

, njësi ndryshim

VLERËSIMET KOSOVARE TË GABIM MATJES

Matja është gjetja e vlerës së një sasie fizike në mënyrë eksperimentale me ndihmën e mjeteve të veçanta teknike - masave, instrumenteve matëse.

Një masë është një mjet matjeje që riprodhon një sasi fizike të një madhësie të caktuar - një njësi matëse, vlerën e saj të shumëfishtë ose të pjesshme. Për shembull, peshon 1 kg, 5 kg, 10 kg.

Një pajisje matës është një instrument matës i krijuar për të gjeneruar një sinjal të informacionit matës në një formë të aksesueshme për perceptimin e drejtpërdrejtë nga një vëzhgues. Një pajisje matës ju lejon të krahasoni drejtpërdrejt ose indirekt vlerën e matur me matjet. Matjet gjithashtu ndahen në direkte dhe indirekte.

Në matjet direkte, vlera e dëshiruar e sasisë gjendet drejtpërdrejt nga të dhënat bazë (eksperimentale).

Në matjet indirekte, vlera e dëshiruar e një sasie gjendet në bazë të marrëdhënies së njohur midis kësaj sasie dhe sasive që i nënshtrohen matjeve direkte. Parimi i matjes është një grup fenomenesh fizike mbi të cilat bazohen matjet.

Një metodë matjeje është një grup teknikash për përdorimin e parimeve dhe instrumenteve matëse. Vlera e një sasie fizike, e cila në mënyrë ideale do të pasqyronte në terma cilësor dhe sasior vetinë përkatëse të një objekti të caktuar, është vlera e vërtetë e sasisë fizike. Vlera e një sasie fizike të gjetur duke matur atë është rezultat i matjes.

Devijimi i rezultatit të matjes nga vlera e vërtetë e vlerës së matur është gabimi i matjes.

Gabimi absolut i matjes është gabimi i matjes, i shprehur në njësi të vlerës së matur dhe i barabartë me diferencën midis rezultatit dhe vlerës së vërtetë të vlerës së matur. Raporti i gabimit absolut me vlerën e vërtetë të sasisë së matur është gabimi relativ i matjes.

Kontributet në gabimin e matjes përfshijnë gabimet në instrumentet matëse (gabim instrumental ose instrumental), papërsosmëria e metodës së matjes, gabimi në lexim në shkallën e instrumentit, ndikimet e jashtme në mjetet dhe objektet e matjes dhe vonesa në reagimin e njeriut ndaj sinjaleve të dritës dhe zërit. .

Bazuar në natyrën e shfaqjes së tyre, gabimet ndahen në sistematike dhe të rastësishme. Një ngjarje e rastësishme është një ngjarje që, duke pasur parasysh një grup të caktuar faktorësh, mund ose nuk mund të ndodhë.

Gabimi i rastësishëm është një komponent i gabimit të matjes që ndryshon në mënyrë të rastësishme me matje të përsëritura të së njëjtës sasi. Një tipar karakteristik i gabimeve të rastësishme është një ndryshim në madhësinë dhe shenjën e gabimit në kushte konstante të matjes.

Gabimi sistematik është një komponent i gabimit të matjes që mbetet konstant ose ndryshon natyrshëm me matje të përsëritura të së njëjtës sasi. Gabimet sistematike, në parim, mund të eliminohen nëpërmjet korrigjimeve dhe përdorimit të instrumenteve dhe metodave më të sakta (edhe pse në praktikë nuk është gjithmonë e lehtë të zbulohen gabimet sistematike). Është e pamundur të përjashtohen gabimet e rastësishme në matjet individuale, teoria matematikore e fenomeneve të rastësishme (teoria e probabilitetit) lejon vetëm një vlerësim të arsyeshëm të madhësisë së tyre.

Gabimet e matjeve direkte

Le të supozojmë se gabimet sistematike janë përjashtuar dhe gabimet në rezultatet e matjes janë vetëm të rastësishme. Le të shënojmë me shkronja rezultatet e matjeve të një sasie fizike, vlera e vërtetë e së cilës është e barabartë me . Gabimet absolute të rezultateve të matjeve individuale tregohen:

Duke përmbledhur anën e majtë dhe të djathtë të barazisë (1), marrim:

(2)

Teoria e gabimeve të rastësishme bazohet në supozime të konfirmuara nga përvoja:

gabimet mund të marrin një seri vlerash të vazhdueshme;

me një numër të madh matjesh, gabime të rastësishme të së njëjtës madhësi, por me shenja të ndryshme, ndodhin po aq shpesh;

probabiliteti i një gabimi zvogëlohet me rritjen e madhësisë së tij. Është gjithashtu e nevojshme që gabimet të jenë të vogla në krahasim me vlerën e matur dhe të pavarura.

Sipas supozimit (1), me numrin e matjeve n   fitojmë

,

Megjithatë, numri i dimensioneve është gjithmonë i kufizuar dhe mbetet e panjohur. Por për qëllime praktike, mjafton të gjesh eksperimentalisht vlerën e një sasie fizike aq të afërt me atë të vërtetën. mund të përdoret në vend të vërtetë. Pyetja është si të vlerësohet shkalla e këtij përafrimi?

Sipas teorisë së probabilitetit, mesatarja aritmetike e një serie matjesh më të besueshme se rezultatet e matjeve individuale, sepse devijimet e rastësishme nga vlera e vërtetë në drejtime të ndryshme janë po aq të mundshme. Probabiliteti i shfaqjes së një vlere a i në një interval me gjerësi 2a i kuptohet si frekuenca relative e shfaqjes së vlerave të a i që bien brenda intervalit 2a i me numrin e të gjitha vlerave të shfaqura të a i. me numrin e eksperimenteve (matjeve) që priren në pafundësi. Natyrisht, probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një, probabiliteti i një ngjarje të pamundur është i barabartë me zero, d.m.th. 0    100%.

Probabiliteti që vlera e dëshiruar (vlera e saj e vërtetë) të përmbahet në intervalin (a - a, a + a) do të quhet probabilitet besimi (besueshmëri) , dhe intervali përkatës  (a - a, a + a) - intervali i besimit; Sa më i vogël të jetë gabimi a, aq më i vogël është probabiliteti që vlera e matur të përmbahet në intervalin e përcaktuar nga ky gabim. Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë: sa më pak i besueshëm të jetë rezultati, aq më i ngushtë është intervali i besueshmërisë së vlerës së dëshiruar.

Për n të mëdha (praktikisht për n  100), gjysma e gjerësisë së intervalit të besimit për një besueshmëri të caktuar  është e barabartë me

, (3)

ku K() = 1 në  = 0,68; K() = 2 në  = 0,95; K() = 3 në  = 0,997.

Me një numër të vogël matjesh, që më së shpeshti gjendet në praktikën laboratorike të studentëve, koeficienti K() në (3) varet jo vetëm nga , por edhe nga numri i matjeve n. Prandaj, në prani të vetëm një gabimi të rastësishëm, ne gjithmonë do të gjejmë gjysmën e gjerësisë së intervalit të besimit duke përdorur formulën

(4)

Në (4), koeficienti t  n quhet koeficienti Studenti. Për  = 0,95 të miratuar në punën praktike të studentëve, vlerat e t  n janë si më poshtë:

Vlera quhet gabimi rrënja-mesatar-katror i mesatares aritmetike të një serie matjesh.

Gabimi i një instrumenti ose mase zakonisht tregohet në pasaportën e tij ose me një simbol në shkallën e instrumentit. Zakonisht, gabimi i instrumentit  kuptohet si gjysma e gjerësisë së intervalit brenda të cilit vlera e matur mund të përmbahet me një probabilitet matjeje prej 0,997, nëse gabimi i matjes është vetëm për shkak të gabimit të instrumentit. Si gabim i përgjithshëm (total) i rezultatit të matjes, do të pranojmë me probabilitet  = 0,95

Gabimi absolut ju lejon të përcaktoni se në cilën shenjë të rezultatit të marrë përmbahet pasaktësia. Gabimi relativ jep informacion se cila pjesë (përqindje) e vlerës së matur është gabimi (gjysma e gjerësisë së intervalit të besimit).

Ne shkruajmë rezultatin përfundimtar të një sërë matjeve të drejtpërdrejta të vlerës a 0 në formë

.

Për shembull

(6)

Kështu, çdo sasi fizike e gjetur eksperimentalisht duhet të përfaqësohet:

Lëreni që sasia që matet të ketë një vlerë të njohur X. Natyrisht, vlerat individuale të kësaj sasie gjenden gjatë procesit të matjes x1 , x2 ,… xn padyshim që nuk janë plotësisht të sakta, d.m.th. nuk përputhen X. Pastaj vlera
do të jetë një gabim absolut i dimensioni i th. Por që nga kuptimi i vërtetë i rezultatit X, zakonisht nuk dihet, atëherë në vend të X përdoret vlerësimi real i gabimit absolut mesatare
, e cila llogaritet me formulën:

Megjithatë, për madhësi të vogla të mostrave, në vend të
preferohet të përdoret mesatare. mesatare (unë)është një vlerë e një ndryshoreje të rastësishme x e tillë që gjysma e rezultateve të ketë një vlerë më të vogël se, dhe gjysma tjetër ka një vlerë më të madhe se Meh. Për të llogaritur Meh rezultatet janë të renditura në rend rritës, domethënë ato formojnë të ashtuquajturën seri variacionesh. Për një numër tek matjet n, mesatarja është e barabartë me vlerën e termit të mesëm të serisë. Për shembull,
për n=3

Edhe për n, vlera Meh e barabartë me gjysmën e shumës së vlerave të dy rezultateve mesatare. Për shembull,
për n=4

Për llogaritjen s përdorni rezultatet e analizës së pakontrolluar me një shifër dhjetore të pasaktë.
Me një numër shumë të madh kampioni ( n>
) Gabimet e rastësishme mund të përshkruhen duke përdorur ligjin normal të shpërndarjes Gaussian. Në të vogla n shpërndarja mund të ndryshojë nga normalja. Në statistikat matematikore, kjo pasiguri shtesë eliminohet nga një simetrik i modifikuar t-shpërndarja. Ka një koeficient t, i quajtur koeficienti Studenti, i cili, në varësi të numrit të shkallëve të lirisë ( f) dhe probabiliteti i besimit ( R) ju lejon të kaloni nga një mostër në një popullatë.
Devijimi standard i rezultatit mesatar
përcaktohet nga formula:

Madhësia

është intervali i besimit të mesatares
. Për analizat serike, zakonisht supozohet R= 0,95.

Tabela 1. Vlerat e koeficientit të studentit ( t)

f

Shembulli 1 . Nga dhjetë përcaktime të përmbajtjes së manganit në një kampion, është e nevojshme të llogaritet devijimi standard i një analize të vetme dhe intervali i besueshmërisë së vlerës mesatare Mn%: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Zgjidhje. Duke përdorur formulën (1), llogaritet vlera mesatare e analizës

Sipas tabelës 1 (Shtojca) gjeni koeficientin Student për f=n-1=9 (P=0.95) t=2.26 dhe llogaritni intervalin e besueshmërisë së vlerës mesatare. Kështu, vlera mesatare e analizës përcaktohet nga intervali (0,679 ± 0,009) % Mn.

Shembulli 2 . Mesatarja e nëntë matjeve të presionit të avullit të ujit mbi një tretësirë ​​ure në 20°C është 2.02 kPa. Devijimi standard i mostrës së matjeve s = 0,04 kPa. Përcaktoni gjerësinë e intervalit të besimit për mesataren e nëntë dhe një matje të vetme që korrespondon me probabilitetin 95% të besimit.
Zgjidhje. Koeficienti t për një nivel besimi prej 0,95 dhe f = 8 është 2,31. Duke pasur parasysh atë

Dhe
, ne gjejme:

- gjerësia do t'i besohet. intervali për vlerën mesatare

- gjerësia do t'i besohet. intervali për një matje me vlerë të vetme

Nëse ka rezultate të analizës së mostrave me përmbajtje të ndryshme, atëherë nga mesataret e pjesshme s me mesatare mund të llogarisni vlerën mesatare të përgjithshme s. Duke pasur m mostrat dhe për çdo kampion përçues nj Përkufizime paralele, rezultatet janë paraqitur në formën e tabelës:

Numri mostër	Numri i analizës

Gabimi mesatar llogaritet nga ekuacioni:

me shkallë lirie f = n – m, ku n është numri i përgjithshëm i përkufizimeve, n=m. nj.

Shembulli 2. Llogaritni gabimin mesatar në përcaktimin e manganit në pesë mostra çeliku me përmbajtje të ndryshme. Vlerat e analizës, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Zgjidhje. Duke përdorur formulën (1), gjenden vlerat mesatare në çdo mostër, më pas llogariten diferencat në katror për secilën mostër dhe gabimi llogaritet duke përdorur formulën (5).
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

Vlerat e diferencave në katror
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
Gabimi mesatar për f = 4,5 – 5 = 15

s= 0,014% (absolut në f=15 gradë lirie).

Kur kryhen dy përcaktime paralele për secilën mostër dhe gjenden vlerat X" Dhe X", për mostrat ekuacioni shndërrohet në shprehje.

Në këtë temë do të shkruaj diçka si një fletë e shkurtër mashtrimi për gabimet. Përsëri, ky tekst nuk është aspak zyrtar dhe referimi ndaj tij është i papranueshëm. Do të isha mirënjohës për korrigjimin e çdo gabimi apo pasaktësie që mund të jetë në këtë tekst.

Çfarë është gabimi?

Regjistrimi i rezultatit të një eksperimenti të formës () do të thotë që nëse kryejmë shumë eksperimente identike, atëherë në 70% rezultatet e marra do të qëndrojnë në interval, dhe në 30% jo.

Ose, që është e njëjta gjë, nëse përsërisim eksperimentin, atëherë rezultati i ri do të bjerë brenda intervalit të besimit me një probabilitet të barabartë me probabilitetin e besimit.

Si të rrumbullakoni gabimin dhe rezultatin?

Gabimi është i rrumbullakosur në shifrën e parë të rëndësishme, nëse nuk është një. Nëse një - atëherë deri në dy. Ku shifër domethënëse quhet çdo shifër e rezultatit përveç zerove kryesore.

Rrumbullakët në ose ose por në asnjë rrethanë ose , pasi ka 2 shifra domethënëse - 2 dhe 0 pas të dyve.

Rrumbullakosni deri në ose

Rrumbullakosni deri në ose ose

Ne e rrumbullakojmë rezultatin në mënyrë që shifra e fundit domethënëse e rezultatit të korrespondojë me shifrën e fundit domethënëse të gabimit.

Shembuj hyrje e saktë:

mm

Epo, le ta mbajmë gabimin këtu në 2 shifra domethënëse, sepse shifra e parë domethënëse në gabim është një.

mm

Shembuj hyrje e gabuar:

Mm. Këtu shenjë shtesë si rezultat. mm do të jetë e saktë.

mm. Këtu shenjë shtesë si në gabim ashtu edhe si rezultat. mm do të jetë e saktë.

Në punën time e përdor vlerën që më jepet thjesht si një numër. Për shembull, një masë peshash. Cili është kufiri i tij i gabimit?

Nëse gabimi nuk tregohet në mënyrë eksplicite, mund të merrni një në shifrën e fundit. Kjo do të thotë, nëse shkruhet m = 1,35 g, atëherë gabimi duhet të merret si 0,01 g.

Ekziston një funksion i disa sasive secila prej këtyre sasive ka gabimin e vet. Për të gjetur gabimin e funksionit, duhet të bëni sa më poshtë:

Simboli nënkupton derivatin e pjesshëm të f në lidhje me x. Lexoni më shumë rreth derivateve të pjesshme.

Supozoni se keni matur të njëjtën sasi x disa (n) herë. Ne morëm një sërë vlerash. . Ju duhet të llogaritni gabimin e shpërndarjes, të llogarisni gabimin e instrumentit dhe t'i shtoni ato së bashku.

Pikat.

1. Ne llogarisim gabimin e përhapjes

Nëse të gjitha vlerat përkojnë, nuk keni përhapje. Përndryshe, ka një gabim shpërndarjeje që duhet llogaritur. Për të filluar, llogaritet gabimi mesatar katror i mesatares:

Këtu do të thotë mesatarja mbi të gjitha.
Gabimi i shpërndarjes fitohet duke shumëzuar rrënjën e gabimit mesatar katror të mesatares me koeficientin Studenti, i cili varet nga probabiliteti i besimit që zgjidhni dhe numri i matjeve n:

Marrim koeficientët e Studentit nga tabela e mëposhtme. Probabiliteti i besimit gjenerohet në mënyrë arbitrare, numri i matjeve n ne gjithashtu e dimë.

2. Ne konsiderojmë gabimin e instrumentit të mesatares

Nëse gabimet e pikave të ndryshme janë të ndryshme, atëherë sipas formulës

Natyrisht, probabiliteti i besimit të të gjithëve duhet të jetë i njëjtë.

3. Shtoni mesataren me përhapjen

Gabimet gjithmonë mblidhen si rrënjë e katrorëve:

Në këtë rast, duhet të siguroheni që probabilitetet e besimit me të cilat janë llogaritur përkojnë.

Si të përcaktohet gabimi i instrumentit të mesatares nga një grafik? Epo, domethënë, duke përdorur metodën e pikës së çiftuar ose metodën e katrorëve më të vegjël, do të gjejmë gabimin në përhapjen e rezistencës mesatare. Si të gjeni gabimin e instrumentit të rezistencës mesatare?

Si metoda e katrorëve më të vegjël ashtu edhe metoda e pikëve të çiftuara mund t'i japin një përgjigje strikte kësaj pyetjeje. Për forumin e katrorëve më të vegjël në Svetozarov ekziston ("Bazat ...", seksioni mbi metodën e katrorëve më të vegjël), dhe për pikat e çiftuara gjëja e parë që ju vjen në mendje (në ballë, siç thonë ata) është llogaritja e instrumentit gabimi i çdo koeficienti këndor. Epo, më tej në të gjitha pikat ...

Nëse nuk doni të vuani, atëherë në librat e laboratorit ekziston një mënyrë e thjeshtë për të vlerësimet gabimi i instrumentit të koeficientit këndor, përkatësisht nga MNC e mëposhtme (për shembull, para punës 1 në librin laboratorik "Instrumentet matëse elektrike...." faqja e fundit e rekomandimeve metodologjike).

Ku është vlera e devijimit maksimal përgjatë boshtit Y të një pike me një gabim nga vija e drejtë e tërhequr, dhe emëruesi është gjerësia e zonës së grafikut tonë përgjatë boshtit Y Po kështu për boshtin X.

Klasa e saktësisë është shkruar në revistën e rezistencës: 0.05/4*10^-6? Si të gjeni gabimin e instrumentit nga kjo?

Kjo do të thotë që gabimi relativ maksimal i pajisjes (në përqindje) ka formën:
, Ku
- vlera më e lartë e rezistencës së magazinës, dhe - vlera nominale e rezistencës së përfshirë.
Është e lehtë të shihet se mandati i dytë është i rëndësishëm kur punojmë me rezistenca shumë të ulëta.

Më shumë detaje mund të gjenden gjithmonë në pasaportën e pajisjes. Pasaporta mund të gjendet në internet duke shkruar markën e pajisjes në Google.

Literatura për gabimet

Shumë më tepër informacion mbi këtë temë mund të gjenden në librin e rekomanduar për studentët e parë:
V.V. Svetozarov "Përpunimi elementar i rezultateve të matjes"

Si literaturë shtesë (për studentët e parë shtesë) mund të rekomandojmë:
V.V. Svetozarov "Bazat e përpunimit statistikor të rezultateve të matjes"

Dhe ata që duan të kuptojnë më në fund gjithçka duhet të shikojnë patjetër këtu:
J. Taylor. "Hyrje në teorinë e gabimit"

Faleminderit për gjetjen dhe postimin e këtyre librave të mrekullueshëm në faqen tuaj.

Gabim absolut dhe relativ i numrave.

Si karakteristika të saktësisë së sasive të përafërta të çdo origjine, futen konceptet e gabimeve absolute dhe relative të këtyre sasive.

Le të shënojmë me a përafrimin me numrin e saktë A.

Përcaktoni. Vlera quhet gabimi i numrit të përafërt.

Përkufizimi. Gabim absolut numri i përafërt a quhet sasi
.

Numri praktikisht i saktë A është zakonisht i panjohur, por ne gjithmonë mund të tregojmë kufijtë brenda të cilëve ndryshon gabimi absolut.

Përkufizimi. Gabimi absolut maksimal numri i përafërt a quhet më i vogli nga kufijtë e sipërm për sasinë , e cila mund të gjendet duke përdorur këtë metodë të marrjes së numrit.

Në praktikë, si zgjidhni një nga kufijtë e sipërm për , mjaft afër me të voglin.

Sepse
, Kjo
. Ndonjëherë ata shkruajnë:
.

Gabim absolutështë diferenca midis rezultatit të matjes

dhe vlerën e vërtetë (reale). sasia e matur.

Gabimi absolut dhe gabimi absolut maksimal nuk mjaftojnë për të karakterizuar saktësinë e matjes ose llogaritjes. Nga ana cilësore, madhësia e gabimit relativ është më e rëndësishme.

Përkufizimi. Gabim relativ Ne e quajmë numrin e përafërt a sasinë:

Përkufizimi. Gabim relativ maksimal numri i përafërt a le ta quajmë sasinë

Sepse
.

Kështu, gabimi relativ në fakt përcakton madhësinë e gabimit absolut për njësi të numrit të përafërt të matur ose të llogaritur a.

Shembull. Duke rrumbullakosur numrat e saktë A në tre shifra domethënëse, përcaktoni

D absolut dhe gabimet relative δ të përafërt të fituar

E dhënë:

Gjej:

∆-gabim absolut

δ – gabim relativ

Zgjidhja:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

, a 0

*100%=0.203%

Përgjigje:=0.027; δ=0,203%

2. Shënimi dhjetor i një numri të përafërt. Shifra e rëndësishme. Shifrat e sakta të numrave (përkufizimi i shifrave të sakta dhe domethënëse, shembuj; teoria e marrëdhënies midis gabimit relativ dhe numrit të shifrave të sakta).

Shenjat e sakta të numrave.

Përkufizimi. Shifra e rëndësishme e një numri të përafërt a është çdo shifër tjetër përveç zeros dhe zero nëse ndodhet midis shifrave domethënëse ose është një përfaqësues i një vendi dhjetor të ruajtur.

Për shembull, në numrin 0.00507 =
kemi 3 shifra domethënëse, dhe në numrin 0.005070=
shifra të rëndësishme, d.m.th. zeroja në të djathtë, duke ruajtur numrin dhjetor, është domethënëse.

Tani e tutje, le të pranojmë të shkruajmë zero në të djathtë nëse ato janë vetëm domethënëse. Pastaj, me fjalë të tjera,

Të gjitha shifrat e a-së janë të rëndësishme, përveç zerave në të majtë.

Në sistemin e numrave dhjetorë, çdo numër a mund të përfaqësohet si një shumë e fundme ose e pafundme (thyesë dhjetore):

Ku
,
- shifra e parë domethënëse, m - një numër i plotë i quajtur vendi dhjetor më domethënës i numrit a.

Për shembull, 518.3 =, m=2.

Duke përdorur shënimin, ne prezantojmë konceptin e numrave dhjetorë të saktë (në shifra domethënëse) afërsisht -

në ditën e 1.

Përkufizimi. Thuhet se në një numër të përafërt a të formës n janë shifrat e para domethënëse ,

ku i= m, m-1,..., m-n+1 janë të sakta nëse gabimi absolut i këtij numri nuk kalon gjysmën e njësisë së shifrës së shprehur me shifrën e n-të domethënëse:

Përndryshe, shifra e fundit
quhet e dyshimtë.

Kur shkruani një numër të përafërt pa treguar gabimin e tij, kërkohet që të gjithë numrat e shkruar

ishin besnikë. Kjo kërkesë plotësohet në të gjitha tabelat matematikore.

Termi "n shifra të sakta" karakterizon vetëm shkallën e saktësisë së numrit të përafërt dhe nuk duhet kuptuar se do të thotë se n shifrat e para të rëndësishme të numrit të përafërt a përputhen me shifrat përkatëse të numrit të saktë A. Për shembull, për numrat A = 10, a = 9,997, të gjitha shifrat domethënëse janë të ndryshme, por numri a ka 3 shifra domethënëse të vlefshme. Në të vërtetë, këtu m=0 dhe n=3 (e gjejmë me përzgjedhje).