Sistemātiskas kļūdas. Sistemātiskas kļūdas dabiski maina izmērītā daudzuma vērtības. Mērījumu radītās kļūdas visvieglāk var novērtēt, ja tās ir saistītas ar pašu instrumentu konstrukcijas īpatnībām. Šīs kļūdas ir norādītas ierīču pasēs. Dažu ierīču kļūdas var novērtēt, neatsaucoties uz datu lapu. Daudziem elektriskajiem mērinstrumentiem precizitātes klase ir norādīta tieši uz skalas.

Instrumentu precizitātes klase- šī ir ierīces absolūtās kļūdas attiecība pret izmērītā daudzuma maksimālo vērtību, ko var noteikt, izmantojot šo ierīci (tā ir šīs ierīces sistemātiskā relatīvā kļūda, kas izteikta procentos no skalas vērtējuma).

Tad šādas ierīces absolūto kļūdu nosaka attiecība:

.

Elektriskajiem mērinstrumentiem ieviestas 8 precizitātes klases: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5; 4.

Jo tuvāk izmērītā vērtība ir nominālajai vērtībai, jo precīzāks būs mērījuma rezultāts. Maksimālā precizitāte (t.i., mazākā relatīvā kļūda), ko konkrētā ierīce var nodrošināt, ir vienāda ar precizitātes klasi. Šis apstāklis ​​ir jāņem vērā, izmantojot daudzskalu instrumentus. Skala ir jāizvēlas tā, lai izmērītā vērtība, paliekot skalas robežās, būtu pēc iespējas tuvāka nominālvērtībai.

Ja ierīces precizitātes klase nav norādīta, jāievēro šādi noteikumi:

· Instrumentu ar noniju absolūtā kļūda ir vienāda ar nonija precizitāti.

· Instrumentu ar fiksētu bultiņas soli absolūtā kļūda ir vienāda ar dalījuma vērtību.

· Digitālo ierīču absolūtā kļūda ir vienāda ar vienu minimālo ciparu.

· Visiem pārējiem instrumentiem tiek pieņemts, ka absolūtā kļūda ir vienāda ar pusi no dalīšanas vērtības.

Nejaušas kļūdas. Šīs kļūdas ir statistiskas, un tās apraksta varbūtības teorija. Konstatēts, ka ar ļoti lielu mērījumu skaitu, izmantojot Gausa normālo sadalījumu, var noteikt iespējamību iegūt vienu vai otru rezultātu katrā atsevišķā mērījumā. Ar nelielu mērījumu skaitu viena vai otra mērījuma rezultāta iegūšanas varbūtības matemātisko aprakstu sauc par Studenta sadalījumu (vairāk par to varat lasīt I. L. Skvorcovas rokasgrāmatā “Mērījumu kļūdas fizikālajos lielumos”).

Kā novērtēt izmērītā daudzuma patieso vērtību?

Pieņemsim, ka, mērot noteiktu vērtību, mēs saņēmām N rezultātus: . Mērījumu sērijas vidējais aritmētiskais ir tuvāks izmērītā daudzuma patiesajai vērtībai nekā lielākajai daļai atsevišķu mērījumu. Lai iegūtu noteiktas vērtības mērīšanas rezultātu, tiek izmantots šāds algoritms.

1). Aprēķināts vidēji N tiešo mērījumu sērija:

2). Aprēķināts katra mērījuma absolūtā nejaušā kļūda ir starpība starp N tiešo mērījumu sērijas vidējo aritmētisko un šo mērījumu:

.

3). Aprēķināts vidējā kvadrātiskā absolūtā kļūda:

.

4). Aprēķināts absolūta nejauša kļūda. Ar nelielu mērījumu skaitu absolūto nejaušo kļūdu var aprēķināt, izmantojot vidējo kvadrātisko kļūdu un noteiktu koeficientu, ko sauc par Studenta koeficientu:

,

Studenta koeficients ir atkarīgs no mērījumu skaita N un ticamības koeficienta (1. tabulā parādīta Stjudenta koeficienta atkarība no mērījumu skaita pie fiksētas ticamības koeficienta vērtības).

Uzticamības faktors ir varbūtība, ar kādu izmērītās vērtības patiesā vērtība ietilpst ticamības intervālā.

Ticamības intervāls ir skaitlisks intervāls, kurā ar noteiktu varbūtību iekrīt izmērītā daudzuma patiesā vērtība.

Tādējādi Studenta koeficients ir skaitlis, ar kuru jāreizina vidējā kvadrātiskā kļūda, lai nodrošinātu rezultāta noteikto ticamību noteiktam mērījumu skaitam.

Jo lielāka ir noteiktam mērījumu skaitam nepieciešamā ticamība, jo lielāks ir Studenta koeficients. No otras puses, jo lielāks ir mērījumu skaits, jo zemāks ir Studenta koeficients noteiktai ticamībai. Mūsu darbnīcas laboratorijas darbā pieņemsim, ka ticamība ir dota un vienāda ar 0,9. Studenta koeficientu skaitliskās vērtības šai ticamībai dažādiem mērījumu numuriem ir norādītas 1. tabulā.

1. tabula

5).Aprēķināts kopējā absolūtā kļūda. Jebkurā mērījumā ir gan nejaušas, gan sistemātiskas kļūdas. Kopējās (kopējās) absolūtās mērījumu kļūdas aprēķināšana nav viegls uzdevums, jo šīs kļūdas ir dažāda rakstura.

Inženiermērījumiem ir jēga summēt sistemātiskās un nejaušās absolūtās kļūdas

.

Aprēķinu vienkāršības labad ir ierasts kopējo absolūto kļūdu novērtēt kā absolūto nejaušo un absolūto sistemātisko (instrumentālo) kļūdu summu, ja kļūdas ir vienāda lieluma, un atstāt novārtā vienu no kļūdām, ja tā ir vairāk nekā kārtu (10 reizes) mazāka par otru.

6). Kļūda un rezultāts ir noapaļoti. Tā kā mērījumu rezultāts tiek uzrādīts kā vērtību intervāls, kura vērtību nosaka kopējā absolūtā kļūda, svarīga ir pareiza rezultāta un kļūdas noapaļošana.

Noapaļošana sākas ar absolūtu kļūdu!!! Nozīmīgo skaitļu skaits, kas paliek kļūdas vērtībā, vispārīgi runājot, ir atkarīgs no ticamības koeficienta un mērījumu skaita. Tomēr pat ļoti precīziem mērījumiem (piemēram, astronomiskiem), kuros svarīga ir precīza kļūdas vērtība, neatstājiet vairāk par diviem zīmīgiem skaitļiem. Lielākam skaitļu skaitam nav jēgas, jo pašai kļūdas definīcijai ir sava kļūda. Mūsu praksē ir salīdzinoši neliels ticamības koeficients un neliels mērījumu skaits. Tāpēc, noapaļojot (ar pārpalikumu), kopējā absolūtā kļūda tiek atstāta līdz vienam zīmīgam skaitlim.

Absolūtās kļūdas nozīmīgā cipara cipars nosaka pirmā šaubīgā cipara ciparu rezultāta vērtībā. Līdz ar to paša rezultāta vērtība ir jānoapaļo (ar korekciju) līdz tam zīmīgajam ciparam, kura cipars sakrīt ar kļūdas zīmīgā cipara ciparu. Formulētais noteikums jāpiemēro arī gadījumos, kad daži skaitļi ir nulles.

Ja, mērot ķermeņa svaru, iegūtais rezultāts ir , tad skaitļa 0,900 beigās jāraksta nulles. Ieraksts nozīmētu, ka nekas nebija zināms par nākamajiem nozīmīgajiem skaitļiem, savukārt mērījumi liecināja, ka tie ir nulle.

7). Aprēķināts relatīvā kļūda .

Noapaļojot relatīvo kļūdu, pietiek atstāt divus zīmīgus skaitļus.

noteikta fiziskā lieluma mērījumu sērijas rezultāts tiek uzrādīts vērtību intervāla veidā, norādot patiesās vērtības iekrišanas varbūtību šajā intervālā, tas ir, rezultāts jāraksta šādā formā:

Šeit ir norādīta kopējā absolūtā kļūda, noapaļota līdz pirmajam nozīmīgajam ciparam, un izmērītās vērtības vidējā vērtība, kas noapaļota, ņemot vērā jau noapaļoto kļūdu. Ierakstot mērījumu rezultātu, jānorāda vērtības mērvienība.

Apskatīsim dažus piemērus:

1. Pieņemsim, ka, mērot segmenta garumu, mēs ieguvām šādu rezultātu: cm un cm Kā pareizi pierakstīt segmenta garuma mērīšanas rezultātu? Vispirms absolūto kļūdu noapaļo ar pārpalikumu, atstājot vienu zīmīgo ciparu, sk. Kļūdas nozīmīgo ciparu simtdaļās. Pēc tam koriģēto vidējo vērtību noapaļo līdz tuvākajai simtdaļai, t.i. uz zīmīgo ciparu, kura cipars sakrīt ar kļūdas zīmīgā cipara ciparu skatiet sadaļu Relatīvās kļūdas aprēķināšana

Problēma ir formulēta šādi: ļaujiet vēlamo daudzumu z nosaka, izmantojot citus lielumus a, b, c, ... iegūti no tiešiem mērījumiem

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Jāatrod funkcijas vidējā vērtība un tās mērījumu kļūda, t.i. atrast ticamības intervālu

ar uzticamību a un relatīvo kļūdu.

Kas attiecas uz, tas tiek atrasts, aizstājot ar (11) labo pusi, nevis a, b, c,...to vidējās vērtības

3. Novērtējiet netiešo mērījumu rezultāta ticamības intervāla pusplatumu

,

kur atvasinājumi... tiek aprēķināti pie

4. Nosakiet rezultāta relatīvo kļūdu

5. Ja z atkarība no a, b, c,... ir forma , Kur k, l, m‒ jebkuri reāli skaitļi, tad vispirms jāatrod radinieks kļūda

un tad absolūts .

6. Ierakstiet formā gala rezultātu

z = ± Dz , ε = …% pie a = … .

Piezīme:

Apstrādājot tiešo mērījumu rezultātus, jums jāievēro šāds noteikums: visu aprēķināto daudzumu skaitliskajās vērtībās jāsatur par vienu ciparu vairāk nekā sākotnējie (noteikti eksperimentāli) lielumiem.

Netiešajiem mērījumiem aprēķini tiek veikti saskaņā ar aptuveno aprēķinu noteikumi:

1. noteikums. Saskaitot un atņemot aptuvenos skaitļus, jums ir:

a) atlasiet terminu, kurā apšaubāmajam ciparam ir lielākais cipars;

b) visus pārējos terminus noapaļo līdz nākamajam ciparam (viens rezerves cipars tiek saglabāts);

c) veikt saskaitīšanu (atņemšanu);

d) rezultātā atmetiet pēdējo ciparu, noapaļojot (rezultāta apšaubāmā cipara cipars sakrīt ar terminu apšaubāmo ciparu cipariem).

Piemērs: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.

Šajos skaitļos pēdējie zīmīgie cipari ir apšaubāmi (nepareizie jau ir izmesti). Rakstīsim tos formā 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.

Redzams, ka pirmajā termiņā apšaubāmajam skaitlim 2 ir augstākais cipars (desmitnieki). Noapaļojot visus pārējos skaitļus līdz nākamajam ciparam un saskaitot, mēs iegūstam

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094 10 5.

2. noteikums. Reizinot (dalot) aptuvenos skaitļus, jums ir:

a) atlasiet ciparu(s) ar vismazāko zīmīgo ciparu skaitu ( SIGNIFICANT – skaitļi, kas nav nulles un nulles starp tiem);

b) noapaļo atlikušos skaitļus tā, lai tiem būtu par vienu zīmīgo ciparu vairāk (viens rezerves cipars tiek saglabāts) nekā tiem, kas piešķirti solī a;

c) reizināt (dalīt) iegūtos skaitļus;

d) rezultātā atstājiet tik daudz zīmīgo ciparu, cik bija skaitļos ar vismazāko zīmīgo ciparu skaitu.

Piemērs: .

3. noteikums. Paaugstinot līdz pakāpei, iegūstot sakni, rezultāts saglabā tik daudz nozīmīgo ciparu, cik ir sākotnējā skaitļā.

Piemērs: .

4. noteikums. Meklējot skaitļa logaritmu, logaritma mantisai jābūt tik daudz zīmīgajiem cipariem, cik ir sākotnējā skaitļā:

Piemērs: .

Gala ierakstā absolūts kļūdas tikai jāatstāj viens nozīmīgs skaitlis. (Ja šis cipars izrādās 1, tad aiz tā tiek saglabāts cits cipars).

Vidējā vērtība tiek noapaļota līdz tādam pašam ciparam kā absolūtā kļūda.

Piemēram: V= (375,21 0,03) cm3 = (3,7521 0,0003) cm3.

es= (5,530 0,013) A, A = Dž.

Darba kārtība

Cilindra diametra noteikšana.

1. Izmantojot suportu, 7 reizes (dažādās vietās un virzienos) izmēra cilindra diametru. Ierakstiet rezultātus tabulā.

Nē.

d i, mm

d i-

(d i- ) 2

h i , mm Un Saistītā informācija:

Kļūdas izmērītos un tabulētos lielumos nosaka netieši noteiktās vērtības DH vid. kļūdas, un vislielāko ieguldījumu DH vid. dod vismazāk precīzās vērtības, kurām ir maksimālā relatīvā kļūda. d. Tāpēc, lai palielinātu netiešo mērījumu precizitāti, ir jāpanāk vienāda tiešo mērījumu precizitāte

(d A, d B, d C, ...).

Noteikumi kļūdu atrašanai netiešajos mērījumos:

1. Atrodiet dotās funkcijas naturālo logaritmu

ln(X = f(A,B,C,…));

2. Atrast kopējo diferenciāli (visiem mainīgajiem) no atrastā dotās funkcijas naturālā logaritma;

3. Aizstāt diferenciāļa zīmi d ar absolūtās kļūdas D zīmi;

4. Nomainiet visus "mīnusus", kas saskaras ar absolūtām kļūdām DA, DB, DC, ... "profi".

Rezultāts ir lielākās relatīvās kļūdas formula d x netieši izmērītā vērtība X:

d x = = j (A avg, B avg, C avg, ..., DA avg, DB avg, DC avg, ...).(18)

Saskaņā ar atrasto relatīvo kļūdu d x noteikt netiešā mērījuma absolūto kļūdu:

DX av = d x. X vid . (19)

Netiešo mērījumu rezultāts ir uzrakstīts standarta formā un attēlots uz skaitliskās ass:

X = (X vid. ± DХ vid.), vienība. (20)

Piemērs:

Atrodiet fiziskā lieluma relatīvo un vidējo kļūdu vērtības L, ko netieši nosaka pēc formulas:

, (21)

Kur π, g, t, k, α, β– lielumus, kuru vērtības ir izmērītas vai ņemtas no atsauces tabulām un ievadītas mērījumu rezultātu un tabulēto datu tabulā (līdzīgi 1. tabulai).

1. Aprēķiniet vidējo vērtību L vid, aizstājot vidējās vērtības no tabulas ar (21) – π vid., g vid., t vid., k vid., α vid., β vid.

2. Nosakiet lielāko relatīvo kļūdu δ L:

a). Logaritma formula (21):

b). Rezultātā iegūtā izteiksme (22) tiek diferencēta:

c) Aizstājiet diferenciāļa d zīmi ar Δ, bet “mīnusus” absolūto kļūdu priekšā ar “plusi” un iegūstiet izteiksmi lielākajai relatīvajai kļūdai. δ L:

d). Ievadīto lielumu un to kļūdu vidējās vērtības no mērījumu rezultātu tabulas aizstājot iegūtajā izteiksmē, aprēķiniet δ L.

3. Pēc tam aprēķiniet absolūto kļūdu ΔL vid:

Rezultāts tiek ierakstīts standarta formā un grafiski attēlots uz ass L:

, vienības mainīt

MĒRĪJUMA KĻŪDAS ELEMENTĀRI NOVĒRĒJUMI

Mērīšana ir fiziska lieluma vērtības noteikšana eksperimentāli, izmantojot īpašus tehniskos līdzekļus - mērus, mērinstrumentus.

Mērs ir mērīšanas līdzeklis, kas atveido noteikta lieluma fizisko lielumu - mērvienību, tā daudzkārtējo vai daļējo vērtību. Piemēram, svars 1 kg, 5 kg, 10 kg.

Mērīšanas ierīce ir mērinstruments, kas paredzēts, lai radītu mērījumu informācijas signālu tādā formā, kas ir pieejama tieši novērotājam. Mērīšanas ierīce ļauj tieši vai netieši salīdzināt izmērīto vērtību ar mērījumiem. Mērījumus iedala arī tiešos un netiešos.

Tiešajos mērījumos vēlamā daudzuma vērtība tiek atrasta tieši no pamata (eksperimentālajiem) datiem.

Netiešos mērījumos vēlamā daudzuma vērtība tiek atrasta, pamatojoties uz zināmo saistību starp šo daudzumu un tiešajiem mērījumiem pakļautajiem lielumiem. Mērīšanas princips ir fizisku parādību kopums, uz kura balstās mērījumi.

Mērīšanas metode ir principu un mērinstrumentu izmantošanas metožu kopums. Fiziskā daudzuma vērtība, kas ideālā gadījumā kvalitatīvā un kvantitatīvā izteiksmē atspoguļotu attiecīgā objekta atbilstošo īpašību, ir fiziskā daudzuma patiesā vērtība. Fiziskā lieluma vērtība, kas atrasta, to izmērot, ir mērījuma rezultāts.

Mērījumu rezultāta novirze no izmērītās vērtības patiesās vērtības ir mērījuma kļūda.

Absolūtā mērījuma kļūda ir mērījuma kļūda, kas izteikta izmērītās vērtības vienībās un ir vienāda ar starpību starp rezultātu un izmērītās vērtības patieso vērtību. Absolūtās kļūdas attiecība pret izmērītā daudzuma patieso vērtību ir relatīvā mērījuma kļūda.

Mērīšanas kļūdu cēlonis ir kļūdas mērinstrumentos (instrumenta vai instrumenta kļūda), mērīšanas metodes nepilnības, nolasīšanas kļūda uz instrumenta skalas, ārējā ietekme uz mērīšanas līdzekļiem un objektiem, kā arī aizkavēta cilvēka reakcija uz gaismas un skaņas signāliem. .

Pamatojoties uz to izpausmes raksturu, kļūdas tiek sadalītas sistemātiskās un nejaušās. Nejaušs notikums ir notikums, kas, ņemot vērā noteiktu faktoru kopumu, var notikt vai nenotikt.

Gadījuma kļūda ir mērījumu kļūdas sastāvdaļa, kas nejauši mainās, atkārtoti veicot viena un tā paša lieluma mērījumus. Nejaušām kļūdām raksturīga iezīme ir kļūdas lieluma un zīmes izmaiņas nemainīgos mērījumu apstākļos.

Sistemātiskā kļūda ir mērījumu kļūdas sastāvdaļa, kas paliek nemainīga vai dabiski mainās, atkārtoti veicot viena un tā paša daudzuma mērījumus. Sistemātiskas kļūdas principā var novērst, veicot korekcijas un izmantojot precīzākus instrumentus un metodes (lai gan praksē ne vienmēr ir viegli atklāt sistemātiskas kļūdas). Atsevišķos mērījumos nejaušas kļūdas nav iespējams izslēgt, nejaušu parādību matemātiskā teorija (varbūtību teorija) ļauj tikai pamatoti novērtēt to lielumu.

Tiešo mērījumu kļūdas

Pieņemsim, ka sistemātiskas kļūdas ir izslēgtas un kļūdas mērījumu rezultātos ir tikai nejaušas. Ar burtiem apzīmēsim fiziska lieluma mērījumu rezultātus, kura patiesā vērtība ir vienāda ar . Ir norādītas atsevišķu mērījumu rezultātu absolūtās kļūdas:

Summējot vienādības (1) kreiso un labo pusi, iegūstam:

(2)

Nejaušo kļūdu teorija balstās uz pieņēmumiem, ko apstiprina pieredze:

kļūdas var iegūt nepārtrauktu vērtību virkni;

ar lielu mērījumu skaitu vienlīdz bieži rodas nejaušas kļūdas ar tādu pašu lielumu, bet ar dažādām pazīmēm;

kļūdas iespējamība samazinās, palielinoties tās lielumam. Ir arī nepieciešams, lai kļūdas būtu mazas salīdzinājumā ar izmērīto vērtību un neatkarīgas.

Saskaņā ar pieņēmumu (1) ar mērījumu skaitu n   iegūstam

,

Tomēr izmēru skaits vienmēr ir ierobežots un paliek nezināms. Bet praktiskos nolūkos pietiek eksperimentāli atrast fiziska lieluma vērtību tik tuvu patiesajam, ka var izmantot patiesā vietā. Jautājums ir, kā novērtēt šīs tuvināšanas pakāpi?

Saskaņā ar varbūtības teoriju, mērījumu sērijas vidējais aritmētiskais ticamāki par atsevišķu mērījumu rezultātiem, jo vienlīdz iespējamas ir nejaušas novirzes no patiesās vērtības dažādos virzienos. Vērtības a i parādīšanās varbūtība platuma 2a i intervālā tiek saprasta kā a i vērtību, kas ietilpst intervālā 2a i, rašanās relatīvā biežums pret visu a i redzamo vērtību skaitu. ar eksperimentu (mērījumu) skaitu līdz bezgalībai. Acīmredzot ticama notikuma varbūtība ir vienāda ar vienu, neiespējama notikuma varbūtība ir vienāda ar nulli, t.i. 0    100%.

Varbūtība, ka vēlamā vērtība (tās patiesā vērtība) ir ietverta intervālā (a - a, a + a), tiks saukta par ticamības varbūtību (uzticamību)  un atbilstošo  intervālu (a - a, a + a) - ticamības intervāls; Jo mazāka ir kļūda a, jo mazāka ir varbūtība, ka izmērītā vērtība ir ietverta šīs kļūdas noteiktajā intervālā. Patiess ir arī pretējs apgalvojums: jo mazāk ticams rezultāts, jo šaurāks ir vēlamās vērtības ticamības intervāls.

Lielam n (praktiski n  100) ticamības intervāla pusplatums noteiktai ticamībai  ir vienāds ar

, (3)

kur K() = 1 pie  = 0,68; K() = 2 pie  = 0,95; K() = 3 pie  = 0,997.

Ar nelielu mērījumu skaitu, kas visbiežāk sastopams studentu laboratorijas praksē, koeficients K() punktā (3) ir atkarīgs ne tikai no , bet arī no mērījumu skaita n. Tāpēc, ja ir tikai nejauša kļūda, mēs vienmēr atradīsim ticamības intervāla pusplatumu, izmantojot formulu

(4)

(4) koeficientu t  n sauc par Stjudenta koeficientu. Ja  = 0,95, kas pieņemts studentu praktiskajā darbā, t  n vērtības ir šādas:

Vērtību sauc par mērījumu sērijas vidējā aritmētiskā kvadrāta kļūdu.

Instrumenta vai mēra kļūdu parasti norāda tā pasē vai ar simbolu uz instrumenta skalas. Parasti ar instrumenta kļūdu  saprot pusplatumu no intervāla, kurā var ietvert izmērīto vērtību ar mērījumu varbūtību 0,997, ja mērījuma kļūda ir saistīta tikai ar instrumenta kļūdu. Par mērījumu rezultāta vispārējo (kopējo) kļūdu pieņemsim ar varbūtību  = 0,95

Absolūtā kļūda ļauj noteikt, kurā iegūtā rezultāta zīmē ir ietverta neprecizitāte. Relatīvā kļūda sniedz informāciju par to, kāda daļa (procentos) no izmērītās vērtības ir kļūda (uzticamības intervāla puse platuma).

Formā ierakstām vērtības a 0 tiešo mērījumu sērijas gala rezultātu

.

Piemēram

(6)

Tādējādi jebkurš fiziskais daudzums, kas konstatēts eksperimentāli, ir jāattēlo:

Ļaujiet izmērītajam daudzumam zināma vērtība X. Protams, mērīšanas procesā tika atrastas šī daudzuma individuālās vērtības x1 , x2 ,… xn acīmredzami nav līdz galam precīzas, t.i. nesakrīt X. Tad vērtība
būs absolūta kļūda i th dimensija. Bet tā kā rezultāta patiesā nozīme X, parasti nav zināms, tad X vietā tiek izmantots reālais absolūtās kļūdas novērtējums vidēji
, ko aprēķina pēc formulas:

Tomēr maziem paraugu izmēriem, nevis
vēlams lietot mediāna. Mediāna (es) ir tāda nejauša lieluma x vērtība, ka pusei rezultātu ir vērtība, kas ir mazāka par, bet otrai pusei ir vērtība, kas ir lielāka par Meh. Lai aprēķinātu Meh rezultāti ir sakārtoti augošā secībā, tas ir, tie veido tā saukto variāciju sēriju. Nepāra mērījumu skaitam n mediāna ir vienāda ar sērijas vidējā termiņa vērtību. Piemēram,
ja n=3

Pat n vērtība Meh vienāds ar pusi no divu vidējo rezultātu vērtību summas. Piemēram,
ja n=4

Aprēķinam s izmantojiet nenoapaļotus analīzes rezultātus ar neprecīzu pēdējo decimāldaļu.
Ar ļoti lielu paraugu skaitu ( n>
) nejaušās kļūdas var aprakstīt, izmantojot parasto Gausa sadalījuma likumu. Pie maza n sadalījums var atšķirties no parastā. Matemātiskajā statistikā šī papildu neuzticamība tiek novērsta ar modificētu simetriju t- izplatīšana. Ir kāds koeficients t, ko sauc par Studenta koeficientu, kas atkarībā no brīvības pakāpju skaita ( f) un ticamības varbūtība ( R) ļauj pāriet no izlases uz populāciju.
Vidējā rezultāta standartnovirze
nosaka pēc formulas:

Lielums

ir vidējā ticamības intervāls
. Sērijveida analīzēm parasti tiek pieņemts R= 0,95.

1. tabula. Studentu koeficientu vērtības ( t)

f

1. piemērs . No desmit mangāna satura noteikšanām paraugā jāaprēķina vienas analīzes standartnovirze un vidējās vērtības ticamības intervāls Mn%: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Risinājums. Izmantojot formulu (1), aprēķina analīzes vidējo vērtību

Saskaņā ar tabulu 1 (Pielikums) atrodiet Studenta koeficientu f=n-1=9 (P=0,95) t=2,26 un aprēķina vidējās vērtības ticamības intervālu. Tādējādi analīzes vidējo vērtību nosaka intervāls (0,679 ± 0,009) % Mn.

2. piemērs . Vidējais deviņu ūdens tvaika spiediena mērījumu mērījums urīnvielas šķīdumā 20°C temperatūrā ir 2,02 kPa. Mērījumu parauga standartnovirze s = 0,04 kPa. Nosakiet ticamības intervāla platumu vidēji deviņiem un vienam mērījumam, kas atbilst 95% ticamības varbūtībai.
Risinājums. T koeficients ticamības līmenim 0,95 un f = 8 ir 2,31. Ņemot vērā, ka

Un
, mēs atradām:

- platums tiks uzticēts. intervāls vidējai vērtībai

- platums tiks uzticēts. intervāls vienas vērtības mērījumam

Ja ir dažāda satura paraugu analīzes rezultāti, tad no daļējiem vidējiem s vidējo vidējo var aprēķināt kopējo vidējo s. Ņemot m paraugi un katra parauga vadīšana nj paralēlās definīcijas, rezultāti ir parādīti tabulas veidā:

Numurs paraugs	Analīzes numurs

Vidējo kļūdu aprēķina pēc vienādojuma:

ar brīvības pakāpēm f = n – m, kur n ir kopējais definīciju skaits, n=m. nj.

2. piemērs. Aprēķiniet vidējo kļūdu, nosakot mangāna saturu piecos tērauda paraugos ar dažādu saturu. Analīzes vērtības, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Risinājums. Izmantojot formulu (1), tiek atrastas vidējās vērtības katrā paraugā, pēc tam katram paraugam tiek aprēķinātas atšķirības kvadrātā, un kļūdu aprēķina, izmantojot formulu (5).
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

Atšķirību kvadrātā vērtības
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
Vidējā kļūda f = 4,5 – 5 = 15

s= 0,014% (absolūti pie f=15 brīvības pakāpes).

Kad katram paraugam tiek veiktas divas paralēlas noteikšanas un tiek atrastas vērtības X" Un X", paraugiem vienādojums tiek pārveidots par izteiksmi.

Šajā tēmā es uzrakstīšu kaut ko līdzīgu īsai cheat sheet par kļūdām. Atkal, šis teksts nekādā ziņā nav oficiāls, un atsauce uz to ir nepieņemama. Būšu pateicīgs par kļūdu vai neprecizitāšu labošanu, kas varētu būt šajā tekstā.

Kas ir kļūda?

Formas () eksperimenta rezultāta reģistrēšana nozīmē, ka, ja mēs veicam daudz identisku eksperimentu, tad 70% iegūtie rezultāti atradīsies intervālā, bet 30% - nē.

Vai arī, kas ir tas pats, ja mēs atkārtojam eksperimentu, tad jaunais rezultāts nonāks ticamības intervālā ar varbūtību, kas vienāda ar ticamības varbūtību.

Kā noapaļot kļūdu un rezultātu?

Kļūda ir noapaļota līdz pirmajam nozīmīgajam ciparam, ja tas nav viens. Ja viens, tad līdz diviem. Kurā nozīmīgs skaitlis tiek izsaukts jebkurš rezultāta cipars, izņemot sākuma nulles.

Noapaļo uz vai vai bet nekādā gadījumā vai , jo ir 2 zīmīgi skaitļi - 2 un 0 aiz diviem.

Noapaļo līdz vai

Noapaļo līdz vai vai

Rezultātu noapaļo tā, lai rezultāta pēdējais nozīmīgais cipars atbilstu kļūdas pēdējam nozīmīgajam ciparam.

Piemēri pareizs ieraksts:

mm

Hm, saglabāsim kļūdu līdz 2 zīmīgajiem cipariem, jo ​​pirmais nozīmīgais skaitlis kļūdā ir viens.

mm

Piemēri nepareizs ieraksts:

Mm. Šeit kā rezultātā papildu zīme. mm būs pareizi.

mm. Šeit papildu zīme gan kļūdas dēļ, gan rezultātā. mm būs pareizi.

Savā darbā es izmantoju man doto vērtību vienkārši kā skaitli. Piemēram, atsvaru masa. Kāda ir tā kļūdas robeža?

Ja kļūda nav skaidri norādīta, varat to ierakstīt pēdējā ciparā. Tas ir, ja ir uzrakstīts m = 1,35 g, tad kļūda jāuzskata par 0,01 g.

Ir vairāku lielumu funkcija. Katram no šiem lielumiem ir sava kļūda. Lai atrastu funkcijas kļūdu, jums jāveic šādas darbības:

Simbols apzīmē f daļēju atvasinājumu attiecībā pret x. Lasiet vairāk par daļējiem atvasinājumiem.

Pieņemsim, ka esat izmērījis tādu pašu daudzumu x vairākas (n) reizes. Mēs saņēmām vērtību kopumu. . Jums jāaprēķina izkliedes kļūda, jāaprēķina instrumenta kļūda un jāsaskaita kopā.

Punkti.

1. Mēs aprēķinām izkliedes kļūdu

Ja visas vērtības sakrīt, jums nav izplatības. Pretējā gadījumā ir jāaprēķina izkliedes kļūda. Vispirms tiek aprēķināta vidējā kvadrātiskā kļūda:

Šeit nozīmē vidējo rādītāju kopumā.
Izkliedes kļūdu iegūst, reizinot vidējo kvadrātisko kļūdu ar Stjudenta koeficientu, kas ir atkarīgs no izvēlētās ticamības varbūtības un mērījumu skaita n:

Mēs ņemam Studenta koeficientus no zemāk esošās tabulas. Ticamības varbūtība tiek ģenerēta patvaļīgi, mērījumu skaits n mēs arī zinām.

2. Mēs uzskatām instrumenta kļūdu vidējo

Ja dažādu punktu kļūdas ir atšķirīgas, tad pēc formulas

Protams, ikviena pārliecības varbūtībai ir jābūt vienādai.

3. Pievienojiet vidējo ar spredu

Kļūdas vienmēr tiek summētas kā kvadrātu sakne:

Šajā gadījumā jums ir jāpārliecinās, ka ticamības varbūtības, ar kurām tika aprēķinātas, sakrīt.

Kā no grafika noteikt vidējā instrumenta kļūdu? Nu, tas ir, izmantojot pāru punktu metodi vai mazāko kvadrātu metodi, mēs atradīsim kļūdu vidējās pretestības izplatībā. Kā atrast vidējās pretestības instrumenta kļūdu?

Gan mazāko kvadrātu metode, gan pāru punktu metode var sniegt stingru atbildi uz šo jautājumu. Svetozarova mazāko kvadrātu forumam ir ("Pamatinformācija...", sadaļa par mazāko kvadrātu metodi), un pārī savienotajiem punktiem pirmais, kas nāk prātā (kā saka), ir aprēķināt instrumentālo vērtību. katra leņķa koeficienta kļūda. Nu tālāk par visiem punktiem...

Ja jūs nevēlaties ciest, tad laboratorijas grāmatās ir vienkāršs veids, kā to izdarīt novērtējumiem leņķa koeficienta instrumenta kļūda, proti, no sekojošā MNC (piemēram, pirms darba 1 laboratorijas grāmatā "Elektriskie mērinstrumenti...." Metodisko ieteikumu pēdējā lapa).

Kur ir maksimālās novirzes vērtība pa Y asi punktā ar kļūdu no novilktās taisnes, un saucējs ir mūsu grafika laukuma platums gar Y asi Tāpat X asij.

Precizitātes klase ir uzrakstīta uz pretestības žurnāla: 0,05/4*10^-6? Kā no tā atrast instrumenta kļūdu?

Tas nozīmē, ka ierīces maksimālā relatīvā kļūda (procentos) ir šāda:
, Kur
- žurnāla pretestības lielākā vērtība un - iekļautās pretestības nominālvērtība.
Ir viegli saprast, ka otrais termiņš ir svarīgs, ja mēs strādājam ar ļoti zemu pretestību.

Sīkāku informāciju vienmēr var atrast ierīces pasē. Pasi var atrast internetā, Google ierakstot ierīces zīmolu.

Literatūra par kļūdām

Daudz vairāk informācijas par šo tēmu var atrast pirmkursniekiem ieteiktajā grāmatā:
V.V. Svetozarovs "Mērījumu rezultātu elementāra apstrāde"

Kā papildu (pirmkursniekiem papildu) literatūru mēs varam ieteikt:
V.V.Svetozarovs "Mērījumu rezultātu statistiskās apstrādes pamati"

Un tiem, kas vēlas beidzot visu saprast, noteikti jāielūkojas šeit:
Dž. Teilore. "Ievads kļūdu teorijā"

Paldies, ka atradāt un ievietojāt šīs brīnišķīgās grāmatas savā vietnē.

Skaitļu absolūtā un relatīvā kļūda.

Kā jebkuras izcelsmes aptuveno lielumu precizitātes raksturlielumi tiek ieviesti šo lielumu absolūto un relatīvo kļūdu jēdzieni.

Apzīmēsim ar a tuvinājumu precīzam skaitlim A.

Definējiet. Daudzumu sauc par aptuvenā skaitļa kļūdu.

Definīcija. Absolūta kļūda aptuveno skaitli a sauc par daudzumu
.

Praktiski precīzs skaitlis A parasti nav zināms, taču mēs vienmēr varam norādīt robežas, kurās mainās absolūtā kļūda.

Definīcija. Maksimālā absolūtā kļūda aptuveno skaitli a sauc par mazāko no daudzuma augšējām robežām , ko var atrast, izmantojot šo skaitļa iegūšanas metodi.

Praksē, kā izvēlieties vienu no augšējām robežām , diezgan tuvu mazākajam.

Tāpēc ka
, Tas
. Dažreiz viņi raksta:
.

Absolūta kļūda ir atšķirība starp mērījumu rezultātu

un patiesā (reālā) vērtība izmērītais daudzums.

Ar absolūto kļūdu un maksimālo absolūto kļūdu nepietiek, lai raksturotu mērījumu vai aprēķina precizitāti. Kvalitatīvi relatīvās kļūdas lielums ir nozīmīgāks.

Definīcija. Relatīvā kļūda aptuvenais skaitlis, sauksim par daudzumu:

Definīcija. Maksimālā relatīvā kļūda aptuvenais skaitlis, sauksim par daudzumu

Jo
.

Tādējādi relatīvā kļūda faktiski nosaka absolūtās kļūdas lielumu uz izmērītā vai aprēķinātā aptuvenā skaitļa a vienību.

Piemērs. Noapaļojot precīzus skaitļus A līdz trīs zīmīgajiem cipariem, nosakiet

iegūtā tuvinājuma absolūtās D un relatīvās δ kļūdas

Ņemot vērā:

Atrast:

∆-absolūtā kļūda

δ – relatīvā kļūda

Risinājums:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a 0

*100%=0.203%

Atbilde:=0,027; δ=0,203%

2. Aptuvenā skaitļa decimālais apzīmējums. Ievērojama figūra. Pareizie skaitļu cipari (pareizo un zīmīgo ciparu definīcija, piemēri; relatīvās kļūdas un pareizo ciparu skaita attiecības teorija).

Pareizas skaitļu zīmes.

Definīcija. Aptuvenā skaitļa a zīmīgais cipars ir jebkurš cipars, kas nav nulle, un nulle, ja tas atrodas starp zīmīgajiem cipariem vai ir saglabātas decimāldaļas pārstāvis.

Piemēram, ciparā 0,00507 =
mums ir 3 zīmīgi skaitļi, un skaitlis 0,005070=
nozīmīgi skaitļi, t.i. nulle labajā pusē, saglabājot decimāldaļu, ir nozīmīga.

No šī brīža vienosimies rakstīt nulles labajā pusē, ja tikai tās ir nozīmīgas. Tad, citiem vārdiem sakot,

Visi a cipari ir nozīmīgi, izņemot nulles kreisajā pusē.

Decimālskaitļu sistēmā jebkuru skaitli a var attēlot kā galīgu vai bezgalīgu summu (decimāldaļdaļa):

Kur
,
- pirmais nozīmīgais cipars, m - vesels skaitlis, ko sauc par skaitļa a nozīmīgāko decimāldaļu.

Piemēram, 518,3 =, m = 2.

Izmantojot apzīmējumu, mēs ieviešam pareizo decimāldaļu jēdzienu (nozīmīgos skaitļos) aptuveni -

1. dienā.

Definīcija. Viņi saka, ka aptuvenā skaitļā a forma ir n - pirmie nozīmīgie cipari ,

kur i= m, m-1,..., m-n+1 ir pareizi, ja šī skaitļa absolūtā kļūda nepārsniedz pusi cipara vienības, kas izteikta ar n-to zīmīgo ciparu:

Citādi pēdējais cipars
sauc par apšaubāmu.

Rakstot aptuvenu skaitli, nenorādot tā kļūdu, ir nepieciešams, lai visi rakstītie skaitļi

bija uzticīgi. Šī prasība ir izpildīta visās matemātiskajās tabulās.

Termins "n pareizie cipari" raksturo tikai aptuvenā skaitļa precizitātes pakāpi, un tas nav jāsaprot tā, ka aptuvenā skaitļa a pirmie n zīmīgie cipari sakrīt ar precīzā skaitļa A atbilstošajiem cipariem. Piemēram, skaitļi A = 10, a = 9,997, visi zīmīgie cipari ir atšķirīgi, bet skaitlim a ir 3 derīgi zīmīgie cipari. Patiešām, šeit m = 0 un n = 3 (mēs to atrodam pēc atlases).