Sustavne greške. Sustavne pogreške prirodno mijenjaju vrijednosti mjerene veličine. Pogreške koje instrumenti unose u mjerenja najlakše se procjenjuju ako su povezane s konstrukcijskim značajkama samih instrumenata. Ove pogreške su naznačene u putovnicama za uređaje. Pogreške nekih uređaja mogu se procijeniti bez upućivanja na podatkovnu tablicu. Za mnoge električne mjerne instrumente klasa točnosti naznačena je izravno na ljestvici.

Klasa točnosti instrumenta- ovo je omjer apsolutne pogreške uređaja i maksimalne vrijednosti mjerene veličine, koja se može odrediti pomoću ovog uređaja (ovo je sustavna relativna pogreška ovog uređaja, izražena kao postotak vrijednosti ljestvice).

Tada je apsolutna pogreška takvog uređaja određena relacijom:

.

Za električne mjerne instrumente uvedeno je 8 razreda točnosti: 0,05; 0,1; 0,5; 1,0; 1,5; 2.0; 2,5; 4.

Što je izmjerena vrijednost bliža nominalnoj vrijednosti, rezultat mjerenja će biti točniji. Najveća točnost (tj. najmanja relativna pogreška) koju određeni uređaj može pružiti jednaka je klasi točnosti. Ova se okolnost mora uzeti u obzir pri korištenju instrumenata s više skala. Ljestvica mora biti odabrana tako da izmjerena vrijednost, ostajući unutar skale, bude što bliža nazivnoj vrijednosti.

Ako klasa točnosti uređaja nije navedena, potrebno je pridržavati se sljedećih pravila:

· Apsolutna pogreška instrumenata s nonijusom jednaka je točnosti nonijusa.

· Apsolutna pogreška instrumenata s fiksnim korakom strelice jednaka je vrijednosti podjele.

· Apsolutna pogreška digitalnih uređaja jednaka je jednoj minimalnoj znamenki.

· Za sve ostale instrumente, apsolutna pogreška se pretpostavlja da je jednaka polovici vrijednosti podjele.

Slučajne pogreške. Te su pogreške statističke prirode i opisuju se teorijom vjerojatnosti. Utvrđeno je da se kod vrlo velikog broja mjerenja vjerojatnost dobivanja jednog ili drugog rezultata u svakom pojedinačnom mjerenju može odrediti korištenjem Gaussove normalne distribucije. S malim brojem mjerenja, matematički opis vjerojatnosti dobivanja jednog ili drugog rezultata mjerenja naziva se Studentova distribucija (više o tome možete pročitati u priručniku I.L. Skvortsove "Pogreške mjerenja u fizičkim veličinama").

Kako procijeniti pravu vrijednost izmjerene veličine?

Pretpostavimo da smo prilikom mjerenja određene vrijednosti dobili N rezultata: . Aritmetička sredina niza mjerenja bliža je stvarnoj vrijednosti izmjerene veličine nego većina pojedinačnih mjerenja. Za dobivanje rezultata mjerenja određene vrijednosti koristi se sljedeći algoritam.

1). Proračunato prosjek niz od N izravnih mjerenja:

2). Proračunato apsolutna slučajna greška svakog mjerenja je razlika između aritmetičke sredine niza od N izravnih mjerenja i ovog mjerenja:

.

3). Proračunato srednja kvadratna apsolutna greška:

.

4). Proračunato apsolutna slučajna greška. S malim brojem mjerenja, apsolutna slučajna pogreška može se izračunati preko srednje kvadratne pogreške i određenog koeficijenta koji se naziva Studentov koeficijent:

,

Studentov koeficijent ovisi o broju mjerenja N i koeficijentu pouzdanosti (u tablici 1. prikazana je ovisnost Studentovog koeficijenta o broju mjerenja pri fiksnoj vrijednosti koeficijenta pouzdanosti).

Faktor pouzdanosti je vjerojatnost s kojom stvarna vrijednost izmjerene vrijednosti pada unutar intervala pouzdanosti.

Interval pouzdanosti je numerički interval u koji s određenom vjerojatnošću pada prava vrijednost mjerene veličine.

Stoga je Studentov koeficijent broj s kojim se mora pomnožiti srednja kvadratna pogreška kako bi se osigurala navedena pouzdanost rezultata za određeni broj mjerenja.

Što je veća pouzdanost potrebna za određeni broj mjerenja, veći je Studentov koeficijent. S druge strane, što je veći broj mjerenja, niži je Studentov koeficijent za određenu pouzdanost. U laboratorijskom radu naše radionice pretpostavit ćemo da je pouzdanost zadana i jednaka 0,9. Brojčane vrijednosti Studentovih koeficijenata za ovu pouzdanost za različite brojeve mjerenja dane su u tablici 1.

stol 1

5).Izračunati ukupna apsolutna greška. U svakom mjerenju postoje i slučajne i sustavne pogreške. Izračunavanje ukupne (ukupne) apsolutne pogreške mjerenja nije lak zadatak, budući da su te pogreške različite prirode.

Za inženjerska mjerenja ima smisla zbrojiti sustavne i slučajne apsolutne pogreške

.

Radi jednostavnosti izračuna, uobičajeno je procijeniti ukupnu apsolutnu pogrešku kao zbroj apsolutnih slučajnih i apsolutnih sustavnih (instrumentalnih) pogrešaka, ako su pogreške istog reda veličine, te zanemariti jednu od pogrešaka ako je više od reda veličine (10 puta) manji od drugog.

6). Greška i rezultat su zaokruženi. Budući da se rezultat mjerenja prikazuje kao interval vrijednosti čija je vrijednost određena ukupnom apsolutnom pogreškom, važno je pravilno zaokruživanje rezultata i pogreške.

Zaokruživanje počinje apsolutnom greškom!!! Broj značajnih znamenki koji ostaje u vrijednosti pogreške, općenito govoreći, ovisi o koeficijentu pouzdanosti i broju mjerenja. Međutim, čak i za vrlo precizna mjerenja (na primjer, astronomska), u kojima je važna točna vrijednost pogreške, ne ostavljajte više od dvije značajne brojke. Veći broj brojeva nema smisla, jer i sama definicija greške ima svoju grešku. Naša ordinacija ima relativno mali koeficijent pouzdanosti i mali broj mjerenja. Stoga se pri zaokruživanju (s viškom) ukupna apsolutna pogreška ostavlja na jednu značajnu brojku.

Znamenka značajne znamenke apsolutne pogreške određuje znamenku prve sumnjive znamenke u vrijednosti rezultata. Slijedom toga, vrijednost samog rezultata mora biti zaokružena (uz korekciju) na onu značajnu znamenku čija se znamenka podudara sa znamenkom značajne znamenke pogreške. Formulirano pravilo treba primijeniti iu slučajevima kada su neki od brojeva nule.

Ako je rezultat dobiven mjerenjem tjelesne težine 0,900, tada je potrebno na kraju broja upisati nule. Snimka bi značila da se o sljedećim značajnim brojkama ništa ne zna, dok su mjerenja pokazala da su nula.

7). Proračunato relativna pogreška .

Kod zaokruživanja relativne pogreške dovoljno je ostaviti dvije značajne brojke.

rezultat niza mjerenja određene fizikalne veličine prikazuje se u obliku intervala vrijednosti, s naznakom vjerojatnosti da stvarna vrijednost padne u taj interval, odnosno rezultat se mora napisati u obliku:

Ovdje je ukupna apsolutna pogreška, zaokružena na prvu značajnu znamenku, te je prosječna vrijednost izmjerene vrijednosti, zaokružena uzimajući u obzir već zaokruženu pogrešku. Prilikom bilježenja rezultata mjerenja morate navesti mjernu jedinicu vrijednosti.

Pogledajmo nekoliko primjera:

1. Pretpostavimo da smo pri mjerenju duljine isječka dobili sljedeći rezultat: cm i cm. Kako pravilno zapisati rezultat mjerenja duljine isječka? Najprije zaokružujemo apsolutnu pogrešku s viškom, ostavljajući jednu značajnu znamenku greške na mjestu stotinki. Zatim korigiranu prosječnu vrijednost zaokružujemo na najbližu stotinku, tj. do signifikantne znamenke čija se znamenka poklapa sa znamenkom značajne znamenke greške pogledajte Izračunajte relativnu pogrešku

Problem je formuliran na sljedeći način: neka željena količina z određuje se preko drugih veličina a, b, c, ... dobivenih izravnim mjerenjima

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Potrebno je pronaći srednju vrijednost funkcije i pogrešku njezina mjerenja, tj. pronaći interval pouzdanosti

s pouzdanošću a i relativnom greškom.

Što se tiče, nalazi se zamjenom u desnu stranu (11) umjesto a, b, c,...njihove prosječne vrijednosti

3. Procijenite poluširinu intervala pouzdanosti za rezultat neizravnih mjerenja

,

gdje se derivati... izračunavaju na

4. Odredite relativnu pogrešku rezultata

5. Ako je ovisnost z o a, b, c,... ima oblik , Gdje k, l, m‒ sve realne brojeve, onda prvo morate pronaći relativna greška

i onda apsolutna .

6. Upišite konačni rezultat u obrazac

z = ± Dz, ε = …% na a = … .

Bilješka:

Prilikom obrade rezultata izravnih mjerenja morate se pridržavati sljedećeg pravila: numeričke vrijednosti svih izračunatih veličina moraju sadržavati jednu znamenku više od izvornih (eksperimentalno utvrđenih) veličina.

Za neizravna mjerenja izračuni se rade prema pravila približnih izračuna:

Pravilo 1. Prilikom zbrajanja i oduzimanja približnih brojeva morate:

a) odaberite pojam u kojem sumnjiva znamenka ima najveću znamenku;

b) zaokružite sve ostale članove na sljedeću znamenku (jedna rezervna znamenka se zadržava);

c) vršiti zbrajanje (oduzimanje);

d) kao rezultat, odbacite posljednju znamenku zaokruživanjem (znamenka sumnjive znamenke rezultata podudara se s najvišom od znamenki sumnjivih znamenki izraza).

Primjer: 5,4382·10 5 – 2,918·10 3 + 35,8 + 0,064.

U tim su brojevima zadnje značajne znamenke sumnjive (netočne su već odbačene). Zapišimo ih u obliku 543820 – 2918 + 35,8 + 0,064.

Vidi se da u prvom članu dvojbeni broj 2 ima najveću znamenku (desetice). Zaokruživanjem svih ostalih brojeva na sljedeću znamenku i zbrajanjem dobivamo

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5,4094 10 5.

Pravilo 2. Prilikom množenja (dijeljenja) približnih brojeva morate:

a) odaberite broj(eve) s najmanjim brojem značajnih znamenki ( ZNAČAJNI – brojevi različiti od nule i nule između njih);

b) zaokružite preostale brojeve tako da imaju jednu značajniju znamenku više (jedna rezervna znamenka se zadržava) od onih dodijeljenih u koraku a;

c) dobivene brojeve pomnožiti (podijeliti);

d) kao rezultat, ostavite onoliko značajnih znamenki koliko ih je bilo u broju(ovima) s najmanjim brojem značajnih znamenki.

Primjer: .

Pravilo 3. Kada se podigne na potenciju, prilikom izvlačenja korijena, rezultat zadržava onoliko značajnih znamenki koliko ih ima u izvornom broju.

Primjer: .

Pravilo 4. Kada se nalazi logaritam broja, mantisa logaritma mora imati onoliko značajnih znamenki koliko ih ima u izvornom broju:

Primjer: .

U završnoj snimci apsolutna greške treba ostaviti samo jednu značajnu figuru. (Ako se ispostavi da je ova znamenka 1, tada se nakon nje pohranjuje druga znamenka).

Prosječna vrijednost se zaokružuje na istu znamenku kao i apsolutna pogreška.

Na primjer: V= (375,21 0,03) cm 3 = (3,7521 0,0003) cm 3.

ja= (5,530 0,013) A, A = J.

Radni nalog

Određivanje promjera cilindra.

1. Pomoću čeljusti izmjerite promjer cilindra 7 puta (na različitim mjestima i u različitim smjerovima). Zabilježite rezultate u tablicu.

Ne.

d i, mm

d i-

(d i- ) 2

h i, mm I Povezane informacije:

Pogreške u izmjerenim i tabelarnim veličinama određuju pogreške DH avg neizravno određene vrijednosti, a najveći doprinos DH avg daju najmanje točne vrijednosti, koje imaju najveću relativnu pogrešku d. Stoga je za povećanje točnosti neizravnih mjerenja potrebno postići jednaku točnost izravnih mjerenja.

(d A, d B, d C, ...).

Pravila za pronalaženje pogrešaka u neizravnim mjerenjima:

1. Nađite prirodni logaritam zadane funkcije

ln(X = f(A,B,C,…));

2. Iz pronađenog prirodnog logaritma zadane funkcije pronaći ukupni diferencijal (preko svih varijabli);

3. Predznak diferencijala d zamijeniti predznakom apsolutne pogreške D;

4. Zamijenite sve "minuse" s apsolutnim pogreškama DA, DB, DC, ... "profesionalcima".

Rezultat je formula za najveću relativnu pogrešku d x neizravno izmjerena vrijednost X:

d x = = j (A prosj., B prosj., C prosj., ..., DA prosj., DB prosj., DC prosj., ...).(18)

Prema pronađenoj relativnoj pogrešci d x odrediti apsolutnu pogrešku neizravnog mjerenja:

DX av = d x. X prosj . (19)

Rezultat neizravnih mjerenja napisan je u standardnom obliku i prikazan na numeričkoj osi:

X = (X prosj. ± DH prosj.), jedinica. (20)

Primjer:

Odredite vrijednosti relativne i prosječne pogreške fizičke veličine L, neizravno određeno formulom:

, (21)

Gdje π, g, t, k, α, β– veličine čije su vrijednosti izmjerene ili preuzete iz referentnih tablica i unesene u tablicu rezultata mjerenja i tabelarnih podataka (slično tablici 1.).

1. Izračunajte prosječnu vrijednost L prosj, zamjenjujući prosječne vrijednosti iz tablice u (21) – π avg, g avg, t avg, k avg, α avg, β avg.

2. Odredite najveću relativnu pogrešku δ L:

a). Formula logaritma (21):

b). Dobiveni izraz (22) diferencira se:

c) Zamijenite predznak diferencijala d s Δ, a “minuse” ispred apsolutnih pogrešaka s “plusovima” i dobijete izraz za najveću relativnu pogrešku. δ L:

d). Zamjenom prosječnih vrijednosti ulaznih veličina i njihovih pogrešaka iz tablice rezultata mjerenja u dobiveni izraz izračunajte δ L.

3. Zatim izračunajte apsolutnu pogrešku ΔL prosj:

Rezultat se bilježi u standardnom obliku i grafički prikazuje na osi L:

, jedinice promijeniti

ELEMENTARNE PROCJENE POGREŠKE MJERENJA

Mjerenje je pronalaženje vrijednosti fizikalne veličine eksperimentalnim putem pomoću posebnih tehničkih sredstava – mjera, mjernih instrumenata.

Mjera je mjerno sredstvo koje reproducira fizikalnu veličinu zadane veličine - mjernu jedinicu, njezinu višestruku ili razlomačku vrijednost. Na primjer, utezi 1 kg, 5 kg, 10 kg.

Mjerni uređaj je mjerni instrument dizajniran za generiranje signala mjerne informacije u obliku koji je dostupan promatraču izravnom percepcijom. Mjerni uređaj omogućuje izravnu ili neizravnu usporedbu izmjerene vrijednosti s mjerama. Mjerenja se također dijele na izravna i neizravna.

Kod izravnih mjerenja željena vrijednost veličine nalazi se izravno iz osnovnih (eksperimentalnih) podataka.

U neizravnim mjerenjima željena vrijednost veličine nalazi se na temelju poznatog odnosa između te veličine i veličina koje su podvrgnute izravnim mjerenjima. Mjerni princip je skup fizikalnih pojava na kojima se temelje mjerenja.

Metoda mjerenja je skup tehnika za korištenje principa i mjernih instrumenata. Vrijednost fizikalne veličine, koja bi idealno odražavala u kvalitativnom i kvantitativnom smislu odgovarajuće svojstvo danog objekta, je prava vrijednost fizikalne veličine. Vrijednost fizičke veličine dobivena njezinim mjerenjem je rezultat mjerenja.

Odstupanje rezultata mjerenja od stvarne vrijednosti izmjerene veličine je greška mjerenja.

Apsolutna mjerna pogreška je mjerna pogreška, izražena u jedinicama izmjerene veličine i jednaka razlici između rezultata i stvarne vrijednosti izmjerene veličine. Omjer apsolutne greške i stvarne vrijednosti mjerene veličine je relativna greška mjerenja.

Doprinosi pogrešci mjerenja uključuju pogreške mjernih instrumenata (pogreška instrumenta ili instrumenta), nesavršenost metode mjerenja, pogrešku očitanja na skali instrumenta, vanjske utjecaje na sredstva i objekte mjerenja te kašnjenje ljudske reakcije na svjetlosne i zvučne signale. .

Po prirodi manifestacije pogreške se dijele na sustavne i slučajne. Slučajni događaj je događaj koji se, s obzirom na određeni skup faktora, može, ali i ne mora dogoditi.

Slučajna pogreška je komponenta mjerne pogreške koja se nasumično mijenja s ponavljanjem mjerenja iste veličine. Karakteristična značajka slučajnih pogrešaka je promjena veličine i predznaka pogreške pri stalnim uvjetima mjerenja.

Sustavna pogreška je komponenta mjerne pogreške koja ostaje konstantna ili se prirodno mijenja s ponavljanjem mjerenja iste veličine. Sustavne pogreške se, u načelu, mogu otkloniti korekcijama i korištenjem preciznijih instrumenata i metoda (iako u praksi sustavne pogreške nije uvijek lako otkriti). Nemoguće je isključiti slučajne pogreške u pojedinačnim mjerenjima; matematička teorija slučajnih pojava (teorija vjerojatnosti) omogućuje samo uspostavljanje razumne procjene njihove veličine.

Pogreške izravnih mjerenja

Pretpostavimo da su sustavne pogreške isključene i da su pogreške u rezultatima mjerenja samo slučajne. Označimo slovima rezultate mjerenja fizičke veličine čija je prava vrijednost jednaka . Navedene su apsolutne pogreške rezultata pojedinačnih mjerenja:

Zbrajajući lijevu i desnu stranu jednakosti (1), dobivamo:

(2)

Teorija slučajnih pogrešaka temelji se na pretpostavkama potvrđenim iskustvom:

pogreške mogu poprimiti kontinuirani niz vrijednosti;

kod velikog broja mjerenja jednako se često javljaju slučajne pogreške iste veličine, ali različitih predznaka;

vjerojatnost pogreške opada kako se njezina veličina povećava. Također je potrebno da pogreške budu male u odnosu na izmjerenu vrijednost i neovisne.

Prema pretpostavci (1) s brojem mjerenja n   dobivamo

,

Međutim, broj dimenzija je uvijek konačan i ostaje nepoznato. Ali za praktične svrhe, dovoljno je eksperimentalno pronaći vrijednost fizičke veličine toliko blizu prave da može se koristiti umjesto true. Pitanje je kako ocijeniti stupanj te aproksimacije?

Prema teoriji vjerojatnosti, aritmetička sredina niza mjerenja pouzdaniji od rezultata pojedinačnih mjerenja, jer slučajna odstupanja od prave vrijednosti u različitim smjerovima jednako su vjerojatna. Vjerojatnost pojavljivanja vrijednosti a i u intervalu širine 2a i shvaća se kao relativna učestalost pojavljivanja vrijednosti a i unutar intervala 2a i u odnosu na broj svih pojavnih vrijednosti a i pri čemu broj pokusa (mjerenja) teži beskonačnosti. Očigledno je da je vjerojatnost pouzdanog događaja jednaka jedinici, vjerojatnost nemogućeg događaja jednaka je nuli, tj. 0    100%.

Vjerojatnost da je željena vrijednost (njena prava vrijednost) sadržana u intervalu (a - a, a + a) nazvat ćemo vjerojatnost povjerenja (pouzdanosti) , a odgovarajući  interval (a - a, a + a) - interval pouzdanosti; Što je pogreška a manja, to je manja vjerojatnost da se izmjerena vrijednost nalazi u intervalu definiranom tom pogreškom. Vrijedi i suprotna tvrdnja: što je rezultat manje pouzdan, to je uži interval pouzdanosti željene vrijednosti.

Za veliko n (praktički za n  100), poluširina intervala pouzdanosti za danu pouzdanost  jednaka je

, (3)

gdje je K() = 1 pri  = 0,68; K() = 2 kod  = 0,95; K() = 3 kod  = 0,997.

Kod malog broja mjerenja, što se najčešće susreće u studentskim laboratorijskim vježbama, koeficijent K() u (3) ne ovisi samo o , već i o broju mjerenja n. Stoga, u prisutnosti samo slučajne pogreške, uvijek ćemo pronaći poluširinu intervala pouzdanosti pomoću formule

(4)

U (4) koeficijent t  n naziva se Studentov koeficijent. Za  = 0,95 usvojene u studentskoj praksi, vrijednosti t  n su sljedeće:

Vrijednost se naziva korijen srednje kvadratne pogreške aritmetičke sredine niza mjerenja.

Pogreška instrumenta ili mjere obično je označena u njegovoj putovnici ili simbolom na skali instrumenta. Obično se pogreška instrumenta  shvaća kao poluširina intervala unutar kojeg se izmjerena vrijednost može zadržati uz vjerojatnost mjerenja od 0,997, ako je pogreška mjerenja posljedica samo pogreške instrumenta. Kao opću (ukupnu) pogrešku rezultata mjerenja prihvatit ćemo s vjerojatnošću  = 0,95

Apsolutna pogreška omogućuje vam da odredite u kojem je znaku dobivenog rezultata sadržana netočnost. Relativna pogreška daje informaciju o tome koji je udio (postotak) izmjerene vrijednosti pogreška (poluširina intervala pouzdanosti).

Konačni rezultat niza izravnih mjerenja vrijednosti a 0 upisujemo u obrazac

.

Na primjer

(6)

Dakle, svaka fizikalna veličina pronađena eksperimentalno mora biti predstavljena:

Neka veličina koja se mjeri ima poznatu vrijednost x. Naravno, pojedinačne vrijednosti ove količine pronađene su tijekom procesa mjerenja x1 , x2 ,… xn očito nisu posve točni, tj. ne podudaraju x. Zatim vrijednost
bit će apsolutna pogreška i th dimenzija. Ali budući da je pravo značenje rezultata x, obično nije poznata, tada se umjesto X koristi stvarna procjena apsolutne pogreške prosjek
, koja se izračunava po formuli:

Međutim, za male veličine uzorka, umjesto
poželjno koristiti medijan. Medijan (ja) je vrijednost slučajne varijable x takva da polovica rezultata ima vrijednost manju od, a druga polovica ima vrijednost veću od Meh. Izračunati Meh rezultati su poredani uzlaznim redoslijedom, odnosno tvore takozvani varijacijski niz. Za neparan broj mjerenja n, medijan je jednak vrijednosti srednjeg člana serije. Na primjer,
za n=3

Za parni n, vrijednost Meh jednak polovici zbroja vrijednosti dva prosječna rezultata. Na primjer,
za n=4

Za izračun s koristite nezaokružene rezultate analize s nepreciznim zadnjim decimalnim mjestom.
S vrlo velikim brojem uzoraka ( n>
) slučajne pogreške mogu se opisati korištenjem normalnog Gaussovog zakona distribucije. Na malom n distribucija se može razlikovati od normalne. U matematičkoj statistici ova dodatna nepouzdanost eliminirana je modificiranom simetrijom t-distribucija. Postoji neki koeficijent t, koji se naziva Studentov koeficijent, koji, ovisno o broju stupnjeva slobode ( f) i vjerojatnost povjerenja ( R) omogućuje vam prijelaz s uzorka na populaciju.
Standardna devijacija prosječnog rezultata
određuje se formulom:

Veličina

je interval pouzdanosti srednje vrijednosti
. Za serijske analize obično se pretpostavlja R= 0,95.

Tablica 1. Vrijednosti studentskog koeficijenta ( t)

f

Primjer 1 . Iz deset određivanja sadržaja mangana u uzorku potrebno je izračunati standardnu ​​devijaciju pojedine analize i interval pouzdanosti prosječne vrijednosti Mn%: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Riješenje. Pomoću formule (1) izračunava se prosječna vrijednost analize

Prema tablici 1 (Dodatak) pronađite Studentov koeficijent za f=n-1=9 (P=0,95) t=2,26 i izračunajte interval pouzdanosti srednje vrijednosti. Dakle, prosječna vrijednost analize određena je intervalom (0,679 ± 0,009) % Mn.

Primjer 2 . Prosjek od devet mjerenja tlaka vodene pare iznad otopine uree pri 20°C je 2,02 kPa. Standardna devijacija uzorka mjerenja s = 0,04 kPa. Odredite širinu intervala pouzdanosti za prosjek od devet i jedno mjerenje koje odgovara 95%-tnoj vjerojatnosti pouzdanosti.
Riješenje. Koeficijent t za razinu pouzdanosti od 0,95 i f = 8 je 2,31. S obzirom na to

I
, pronašli smo:

- širina će biti pouzdana. interval za prosječnu vrijednost

- širina će biti pouzdana. interval za mjerenje jedne vrijednosti

Ako postoje rezultati analize uzoraka s različitim sadržajem, onda iz parcijalnih prosjeka s usrednjavanjem možete izračunati ukupnu prosječnu vrijednost s. imajući m uzoraka i za svaki uzorak provođenje nj paralelnih definicija, rezultati su prikazani u obliku tablice:

Broj uzorak	Broj analize

Prosječna pogreška se izračunava iz jednadžbe:

sa stupnjevima slobode f = n – m, gdje je n ukupan broj definicija, n =m. nj.

Primjer 2. Izračunajte prosječnu pogrešku određivanja mangana u pet uzoraka čelika s različitim sadržajem. Analitske vrijednosti, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Riješenje. Pomoću formule (1) nalaze se prosječne vrijednosti u svakom uzorku, zatim se izračunavaju kvadratne razlike za svaki uzorak, a pogreška se izračunava pomoću formule (5).
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

Vrijednosti kvadrata razlika
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
Prosječna pogreška za f = 4,5 – 5 = 15

s= 0,014% (apsolutno pri f=15 stupnjeva slobode).

Kada se provode dva paralelna određivanja za svaki uzorak i pronađu se vrijednosti X" I X", za uzorke jednadžba se pretvara u izraz.

U ovoj ću temi napisati nešto poput kratke varalice o pogreškama. Opet, ovaj tekst nije ni na koji način služben i pozivanje na njega je neprihvatljivo. Bio bih zahvalan za ispravak svih grešaka ili netočnosti koje mogu biti u ovom tekstu.

Što je greška?

Zapisivanje rezultata pokusa oblika () znači da ako provedemo puno identičnih pokusa, tada će u 70% dobiveni rezultati ležati u intervalu, a u 30% neće.

Ili, što je isto, ako ponovimo eksperiment, tada će novi rezultat pasti unutar intervala pouzdanosti s vjerojatnošću jednakom vjerojatnosti povjerenja.

Kako zaokružiti grešku i rezultat?

Greška je zaokružena do prve značajne znamenke, ako nije jedan. Ako jedan - onda do dva. pri čemu značajna brojka poziva se bilo koja znamenka rezultata osim vodećih nula.

Zaokruži na ili ili ali ni u kom slučaju ili , budući da postoje 2 značajne brojke - 2 i 0 iza dvije.

Zaokružite na ili

Zaokružite na ili ili

Rezultat zaokružujemo tako da zadnja značajna znamenka rezultata odgovara zadnjoj značajnoj znamenki pogreške.

Primjeri ispravan unos:

mm

Hm, zadržimo pogrešku ovdje na 2 značajne znamenke jer je prva značajna brojka u pogrešci jedan.

mm

Primjeri netočan unos:

Mm. Ovdje dodatni znak kao rezultat. mm bit će točno.

mm. Ovdje dodatni znak i u pogrešci i kao rezultat. mm bit će točno.

U svom radu koristim vrijednost koja mi je dana jednostavno kao broj. Na primjer, masa utega. Kolika mu je granica pogreške?

Ako greška nije izričito naznačena, možete uzeti jednu u zadnjoj znamenki. Odnosno, ako je napisano m = 1,35 g, tada grešku treba uzeti kao 0,01 g.

Postoji funkcija nekoliko veličina. Svaka od ovih veličina ima svoju pogrešku. Da biste pronašli grešku funkcije, morate učiniti sljedeće:

Simbol označava parcijalnu derivaciju f u odnosu na x. Pročitajte više o parcijalnim izvedenicama.

Pretpostavimo da ste izmjerili istu količinu x nekoliko (n) puta. Dobili smo skup vrijednosti. . Morate izračunati pogrešku raspršenja, izračunati pogrešku instrumenta i zbrojiti ih.

Bodovi.

1. Izračunavamo pogrešku širenja

Ako se sve vrijednosti poklapaju, nemate širenja. U suprotnom, postoji pogreška raspršenja koju treba izračunati. Za početak, izračunava se korijen srednje kvadratne pogreške prosjeka:

Ovdje znači prosjek u odnosu na sve.
Pogreška raspršenja dobiva se množenjem srednje kvadratne pogreške srednje vrijednosti sa Studentovim koeficijentom, koji ovisi o vjerojatnosti pouzdanosti koju odaberete i broju mjerenja n:

Studentove koeficijente uzimamo iz donje tablice. Vjerojatnost pouzdanosti generira se proizvoljno, brojem mjerenja n također znamo.

2. Pogrešku instrumenta smatramo prosjekom

Ako su pogreške različitih točaka različite, onda prema formuli

Naravno, svačija vjerojatnost povjerenja trebala bi biti ista.

3. Dodajte prosjek s namazom

Pogreške se uvijek zbrajaju kao korijen kvadrata:

U ovom slučaju, morate biti sigurni da se vjerojatnosti pouzdanosti s kojima su izračunate i podudaraju.

Kako odrediti pogrešku instrumenta prosjeka iz grafikona? Pa, to jest, koristeći metodu uparenih točaka ili metodu najmanjih kvadrata, pronaći ćemo pogrešku u širenju prosječnog otpora. Kako pronaći pogrešku instrumenta prosječnog otpora?

I metoda najmanjih kvadrata i metoda uparenih točaka mogu dati točan odgovor na ovo pitanje. Za forum najmanjih kvadrata u Svetozarovu postoji ("Osnove...", odjeljak o metodi najmanjih kvadrata), a za uparene točke prvo što pada na pamet (u čelo, što se kaže) je izračunati instrumental greška svakog kutnog koeficijenta. Pa dalje po svim točkama...

Ako ne želite patiti, onda u laboratorijskim knjigama postoji jednostavan način procjene pogreška instrumenta kutnog koeficijenta, odnosno iz sljedećeg MNC-a (npr. prije rada 1 u laboratorijskoj knjizi "Električni mjerni instrumenti...." zadnja stranica Metodoloških preporuka).

Gdje je vrijednost maksimalnog odstupanja po osi Y točke s pogreškom od nacrtane ravne linije, a nazivnik je širina područja našeg grafikona po osi Y. Isto tako i za os X.

Klasa točnosti ispisana je na spremniku otpora: 0,05/4*10^-6? Kako iz ovoga pronaći grešku instrumenta?

To znači da najveća relativna pogreška uređaja (u postocima) ima oblik:
, Gdje
- najveću vrijednost otpora spremnika i - nazivnu vrijednost uključenog otpora.
Lako je vidjeti da je drugi član važan kada radimo na vrlo niskim otporima.

Više detalja uvijek možete pronaći u putovnici uređaja. Putovnicu možete pronaći na internetu tako da u Google upišete marku uređaja.

Literatura o pogreškama

Puno više informacija o ovoj temi možete pronaći u knjizi preporučenoj brucošima:
V.V. Svetozarov "Elementarna obrada rezultata mjerenja"

Kao dodatnu (za brucoše dodatnu) literaturu možemo preporučiti:
V.V. Svetozarov "Osnove statističke obrade rezultata mjerenja"

A tko želi konačno sve shvatiti neka pogleda ovdje:
J. Taylor. "Uvod u teoriju pogrešaka"

Hvala vam što ste pronašli i objavili ove prekrasne knjige na svojoj stranici.

Apsolutna i relativna greška brojeva.

Kao obilježja točnosti približnih veličina bilo kojeg podrijetla uvode se pojmovi apsolutne i relativne pogreške tih veličina.

Označimo s a aproksimaciju točnog broja A.

Definirati. Vrijednost se naziva pogreška približnog broja a.

Definicija. Apsolutna pogreška približan broj a naziva se količina
.

Praktično točan broj A obično je nepoznat, ali uvijek možemo naznačiti granice unutar kojih varira apsolutna pogreška.

Definicija. Maksimalna apsolutna pogreška približni broj a naziva se najmanja gornja granica za količinu , koji se mogu pronaći ovom metodom dobivanja broja.

U praksi, kao odaberite jednu od gornjih granica za , sasvim blizu najmanjeg.

Jer
, To
. Ponekad pišu:
.

Apsolutna pogreška je razlika između rezultata mjerenja

i prava (stvarna) vrijednost izmjerena količina.

Apsolutna pogreška i najveća apsolutna pogreška nisu dovoljne za karakterizaciju točnosti mjerenja ili izračuna. Kvalitativno, veličina relativne pogreške je značajnija.

Definicija. Relativna greška Približan broj nazivamo količinom:

Definicija. Maksimalna relativna pogreška približan broj a nazovimo količinu

Jer
.

Dakle, relativna pogreška zapravo određuje veličinu apsolutne pogreške po jedinici izmjerenog ili izračunatog približnog broja a.

Primjer. Zaokružujući točne brojeve A na tri značajne brojke, odredite

apsolutne D i relativne δ pogreške dobivenog približnog

dano:

Pronaći:

∆-apsolutna greška

δ – relativna greška

Riješenje:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a 0

*100%=0.203%

Odgovor:=0,027; δ=0,203%

2. Decimalni zapis približnog broja. Značajna brojka. Točne znamenke brojeva (definicija točnih i značajnih znamenki, primjeri; teorija o odnosu relativne pogreške i broja točnih znamenki).

Ispravni znakovi brojeva.

Definicija. Značajna znamenka približnog broja a je svaka znamenka osim nule i nula ako se nalazi između značajnih znamenki ili je predstavnik pohranjenog decimalnog mjesta.

Na primjer, u broju 0,00507 =
imamo 3 značajne brojke, au broju 0,005070=
značajne brojke, tj. nula s desne strane, zadržavajući decimalno mjesto, značajna je.

Od sada se dogovorimo da s desne strane pišemo nule samo ako su one značajne. Zatim, drugim riječima,

Sve znamenke a su značajne, osim nula s lijeve strane.

U decimalnom brojevnom sustavu bilo koji broj a može se prikazati kao konačni ili beskonačni zbroj (decimalni razlomak):

Gdje
,
- prva značajna znamenka, m - cijeli broj koji se naziva najvažnije decimalno mjesto broja a.

Na primjer, 518,3 =, m=2.

Koristeći notaciju, uvodimo koncept točnih decimalnih mjesta (u značajnim brojkama) približno -

1. dana.

Definicija. Kaže se da su u približnom broju a oblika n prve značajne znamenke ,

gdje je i= m, m-1,..., m-n+1 točni ako apsolutna pogreška ovog broja ne prelazi pola jedinice znamenke izražene n-tom značajnom znamenkom:

Inače zadnja znamenka
nazvao sumnjivim.

Pri pisanju približnog broja bez navođenja njegove pogreške, potrebno je da su svi napisani brojevi

bili vjerni. Ovaj zahtjev je ispunjen u svim matematičkim tablicama.

Izraz "n točnih znamenki" karakterizira samo stupanj točnosti približnog broja i ne treba ga shvatiti tako da znači da se prvih n značajnih znamenki približnog broja a podudara s odgovarajućim znamenkama točnog broja A. Na primjer, za brojevi A = 10, a = 9,997, sve značajne znamenke su različite, ali broj a ima 3 važeće značajne znamenke. Zaista, ovdje je m=0 i n=3 (nalazimo ga odabirom).