Ravnomjerno se stvara homogeno električno polje. Elektrostatičko polje stvara jednoliko nabijena beskonačna ravnina. Pokažite da je to polje homogeno. Polje dviju ravnomjerno nabijenih ravnina
Potencijal polja
Potencijal polja
Potencijal polja
potencijali polja
Potencijal električnog polja točkasti naboj Q u točki:
Polje nabijenog beskonačno dugog cilindra (nit)
Neka je polje stvoreno beskonačnim cilindričnim površina radijusa R, nabijen konstantnom linearnom gustoćom, gdje je d q– naboj koncentriran na dijelu cilindra (sl. 2.14).
Iz razmatranja simetrije slijedi da E u bilo kojoj točki bit će usmjeren duž polumjera, okomito na os cilindra.
Zamislite oko cilindra (navoj) koaksijalni zatvorena površina ( cilindar u cilindru) radijus r i dužine l(osnovke cilindara su okomite na os). Za baze cilindra za bočnu površinu, tj. ovisi o udaljenosti r.
Prema tome, vektorski tok kroz razmatranu površinu jednak je
Kada će na površini biti naboja Prema Ostrogradsky-Gaussovom teoremu, dakle
 .
| (2.5.6) |
Ako, jer Unutar zatvorene površine nema naboja (sl. 2.15).
Ako smanjimo radijus valjka R(na ), tada je moguće dobiti polje vrlo visokog intenziteta u blizini površine i, na , dobiti nit.
27. Potencijal polja kojeg stvara jednoliko nabijena beskonačna ravnina.
Potencijal polja- ovo je energetska karakteristika polja; ona karakterizira potencijalnu energiju koju bi posjedovao jedinični pozitivni naboj u datoj točki polja.
Jedinica za električni potencijal je volt (V).
Potencijal polja jednak omjeru potencijalne energije naboja i ovog naboja:
Potencijal polja je energetska karakteristika električnog polja i kao skalarna veličina može poprimiti pozitivne ili negativne vrijednosti.
Razlika ima fizičko značenje potencijali polja, budući da se kroz njega izražava rad sila polja za pomicanje naboja.
Polje jednoliko nabijene beskonačne ravnine.
Uvedimo koncept površinske gustoće naboja >0, numerički jednake naboju po jedinici površine:
Zbog homogenosti i izotropnosti prostora, silnice polja jednoliko nabijene beskonačne ravnine moraju biti okomite na nju i imati jednoliku gustoću, što odgovara definiciji jednolikosti polja. E=konst. Kao “zgodnu” zatvorenu plohu odaberemo ravni cilindar čija je bočna ploha paralelna sa silnicama (svugdje na njoj 0 pa je stoga i protok kroz nju jednak 0), a čeone plohe područje S je paralelno s nabijenom ravninom (dakle posvuda na njima 
1):
Ujednačeno strujanje polja E kroz obje krajnje površine okomite na njega, S je jednostavno jednak E 2S, a naboj koncentriran na površini S nabijene površine jednak je S:
Gustoća površinskog naboja na proizvoljnoj ravnini s površinom S određuje se formulom:
gdje d q– naboj koncentriran na površini d S; d S– fizički beskonačno mala površina površine.
Neka je σ u svim točkama ravnine S je isti. Naplatiti q– pozitivno. Napetost u svim točkama imat će smjer okomit na ravninu S(Slika 2.11).
Očito, u točkama koje su simetrične u odnosu na ravninu, napetost će biti iste veličine i suprotnog smjera.
Zamislimo valjak s generatrisama okomitima na ravninu i bazama Δ S, koji se nalazi simetrično u odnosu na ravninu (slika 2.12).
 | |||
| Riža. 2.11 | Riža. 2.12 | ||
Primijenimo Ostrogradsky-Gaussov teorem. Teći F E kroz stranicu površine cilindra jednaka je nuli, jer . Za bazu cilindra
Ukupni protok kroz zatvorenu površinu (cilindar) bit će jednak:
Unutar površine nalazi se naboj. Posljedično, iz Ostrogradsky-Gaussovog teoreme dobivamo:
;
iz čega se vidi da jakost polja ravnine S jednako je:
 |
||||
| Elektrostatsko polje ima važno svojstvo: Rad sila elektrostatskog polja pri premještanju naboja s jedne točke polja na drugu ne ovisi o obliku putanje, već je određen samo položajem početne i završne točke. i veličina naboja. Slično svojstvo ima i gravitacijsko polje, što ne čudi jer se gravitacijska i Coulombova sila opisuju istim odnosima. Posljedica neovisnosti rada o obliku putanje je sljedeća tvrdnja: Rad sila elektrostatskog polja pri gibanju naboja po bilo kojoj zatvorenoj putanji jednak je nuli. Polja sila koja imaju to svojstvo nazivaju se potencijal ili konzervativan. Na sl. 1.4.2 prikazane su linije polja Coulombovog polja točkastog naboja Q te dvije različite putanje kretanja probnog naboja q od početne točke (1) do krajnje točke (2). Na jednoj od putanja označen je mali pomak Work Δ A Coulombove sile na ovaj pomak jednake su Dobiveni rezultat ne ovisi o obliku putanje. Na putanjama I i II prikazanim na sl. 1.4.2, rad Coulombovih sila je isti. Ako promijenite smjer kretanja naboja na jednoj od putanja q u suprotno, tada će rad promijeniti predznak. Slijedi da je na zatvorenoj putanji rad Coulombovih sila jednak nuli. Ako je elektrostatsko polje stvoreno skupom točkastih naboja, tada kada se ispitni naboj kreće q Posao A rezultirajuće polje, u skladu s načelom superpozicije, sastojat će se od rada Coulombovih polja točkastih naboja: Budući da svaki član zbroja ne ovisi o obliku putanje, tada ukupni rad A Rezultirajuće polje je neovisno o putu i određeno je samo položajem početne i završne točke. Svojstvo potencijala elektrostatskog polja omogućuje nam uvođenje koncepta potencijalna energija naboj u električnom polju. Za to se u prostoru odabire određena točka (0) i potencijalna energija naboja q, postavljen na ovu točku, uzima se jednak nuli. Potencijalna energija naboja q, postavljen u bilo kojoj točki (1) prostora, u odnosu na fiksnu točku (0) jednak je radu A 10, koje će elektrostatičko polje napraviti prilikom pomicanja naboja q od točke (1) do točke (0):
(U elektrostatici se energija obično označava slovom W, od pisma E označava jakost polja.) Kao iu mehanici, potencijalna energija se određuje do konstantne vrijednosti, ovisno o izboru referentne točke (0). Takva dvosmislenost u definiciji potencijalne energije ne dovodi do nesporazuma, budući da fizičko značenje nije sama potencijalna energija, već razlika u njezinim vrijednostima u dvije točke u prostoru. Vaše mišljenje nam je važno! Je li objavljeni materijal bio koristan? Da | Ne
|
U jednoličnom električnom polju sila koja djeluje na nabijenu česticu konstantna je i po veličini i po smjeru. Stoga je kretanje takve čestice potpuno slično gibanju tijela u gravitacijskom polju zemlje bez uzimanja u obzir otpora zraka. Putanja čestice je u ovom slučaju ravna i leži u ravnini koja sadrži vektore početne brzine čestice i jakosti električnog polja
Potencijal elektrostatskog polja. Opći izraz koji povezuje potencijal s napetostima.
Potencijal φ u bilo kojoj točki elektrostatskog polja je fizikalna veličina određena potencijalnom energijom jediničnog pozitivnog naboja smještenog u tu točku. Potencijal polja stvoren točkastim nabojem Q jednak je
Potencijal je fizikalna veličina koja je određena radom obavljenim za pomicanje jediničnog pozitivnog električnog naboja kada se udalji od dane točke u polju u beskonačnost. Taj je rad brojčano jednak radu vanjskih sila (protiv sila elektrostatskog polja) da pomaknu jedinični pozitivni naboj iz beskonačnosti u danu točku u polju.
Jedinica potencijala je volt (V): 1 V je jednak potencijalu točke u polju u kojoj naboj od 1 C ima potencijalnu energiju od 1 J (1 V = 1 J/C). Uzimajući u obzir dimenziju volta, može se pokazati da je prethodno uvedena jedinica jakosti elektrostatičkog polja doista jednaka 1 V/m: 1 N/C=1 N m/(C m)=1 J/(C m)=1 V/m.
Iz formula (3) i (4) slijedi da ako polje stvara nekoliko naboja, tada je potencijal danog polja sustava naboja jednak algebarskom zbroju potencijala polja svih tih naboja:
Intenzitet u bilo kojoj točki električnog polja jednak je gradijentu potencijala u toj točki, uzet sa suprotnim predznakom. Znak minus pokazuje da je napon E usmjeren u smjeru pada potencijala.
E = - grad phi = - N phi.
Da bismo uspostavili vezu između karakteristike sile električnog polja - intenziteta i njegove energetske karakteristike - potencijala, razmotrimo elementarni rad sila električnog polja na infinitezimalnom pomaku točkastog naboja q: dA = q E dl, isti rad je jednaka smanjenju potencijalne energije naboja q: dA = - dWp = - q dphi, gdje je dphi promjena potencijala električnog polja na duljini pomaka dl. Izjednačavanjem desnih strana izraza dobivamo: E dl = -d phi ili u Kartezijevom koordinatnom sustavu
Ex dx + Ey dy + Ez dz = -d fi
gdje su Ex, Ey, Ez projekcije vektora napetosti na osi koordinatnog sustava. Kako je izraz totalni diferencijal, onda za projekcije vektora intenziteta imamo
Izraz u zagradama je gradijent potencijala phi.
Načelo superpozicije kao temeljno svojstvo polja. Opći izrazi za jakost i potencijal polja stvorenog u točki s radijus vektorom sustavom točkastih naboja smještenih u točkama s koordinatama (vidi odlomak 4.)
Ako načelo superpozicije razmotrimo u najopćenitijem smislu, tada će prema njemu zbroj utjecaja vanjskih sila koje djeluju na česticu biti zbroj pojedinačnih vrijednosti svake od njih. Ovo načelo vrijedi za različite linearne sustave, tj. sustavi čije se ponašanje može opisati linearnim odnosima. Primjer bi bila jednostavna situacija u kojoj se linearni val širi u određenom mediju, u kojem će slučaju njegova svojstva biti očuvana čak i pod utjecajem poremećaja koji proizlaze iz samog vala. Ova svojstva su definirana kao specifičan zbroj učinaka svake od harmoničnih komponenti.
Načelo superpozicije može uzeti druge formulacije koje su potpuno ekvivalentne gore navedenim:
· Međudjelovanje između dviju čestica ne mijenja se kada se uvede treća čestica, koja također stupa u interakciju s prve dvije.
· Energija međudjelovanja svih čestica u sustavu s više čestica jednostavno je zbroj energija međudjelovanja parova između svih mogućih parova čestica. U sustavu nema interakcija više čestica.
· Jednadžbe koje opisuju ponašanje sustava s više čestica su linearne u broju čestica.
6 Kruženje vektora napona je rad električnih sila pri pomicanju jednog pozitivnog naboja duž zatvorene putanje L
Budući da je rad sila elektrostatskog polja duž zatvorene petlje jednak nuli (rad potencijalnih sila polja), stoga je kruženje jakosti elektrostatskog polja duž zatvorene petlje jednaka nuli.
Potencijal polja. Rad bilo kojeg elektrostatskog polja pri pomicanju nabijenog tijela u njemu iz jedne točke u drugu također ne ovisi o obliku putanje, baš kao ni rad jednolikog polja. Na zatvorenoj putanji rad elektrostatskog polja uvijek je jednak nuli. Polja s ovim svojstvom nazivaju se potencijalna. Konkretno, elektrostatsko polje točkastog naboja ima potencijalni karakter.
Rad potencijalnog polja može se izraziti promjenom potencijalne energije. Formula vrijedi za bilo koje elektrostatičko polje.
7-11 Ako silnice polja jednolikog električnog polja s intenzitetom prodiru kroz određeno područje S, tada će tok vektora intenziteta (prethodno smo zvali broj linija polja kroz područje) biti određen formulom:
gdje je En umnožak vektora i normale na dano područje (slika 2.5).
Riža. 2.5
Ukupan broj linija sila koje prolaze površinom S naziva se tok vektora intenziteta FU kroz tu površinu.
U vektorskom obliku možemo napisati skalarni produkt dva vektora, gdje je vektor .
Dakle, vektorski tok je skalar koji, ovisno o vrijednosti kuta α, može biti pozitivan ili negativan.
Pogledajmo primjere prikazane na slikama 2.6 i 2.7.
 | |||
| Riža. 2.6 | Riža. 2.7 | ||
Za sliku 2.6, površina A1 je okružena pozitivnim nabojem i strujanje je ovdje usmjereno prema van, tj. Površina A2– okružena je negativnim nabojem, ovdje je usmjeren prema unutra. Ukupni tok kroz površinu A je nula.
Za sliku 2.7, tok neće biti nula ako ukupni naboj unutar površine nije nula. Za ovu konfiguraciju, tok kroz površinu A je negativan (brojite broj linija polja).
Dakle, tok vektora napona ovisi o naboju. Ovo je značenje Ostrogradsky-Gaussovog teorema.
Gaussov teorem
Eksperimentalno utvrđeni Coulombov zakon i princip superpozicije omogućuju potpuno opisivanje elektrostatskog polja zadanog sustava naboja u vakuumu. Međutim, svojstva elektrostatičkog polja mogu se izraziti u drugom, općenitijem obliku, bez pribjegavanja ideji Coulombovog polja točkastog naboja.
Uvedimo novu fizikalnu veličinu koja karakterizira električno polje – protok Φ vektora jakosti električnog polja. Neka se u prostoru u kojem se stvara električno polje nalazi neko prilično malo područje ΔS. Umnožak modula vektora s površinom ΔS i kosinusa kuta α između vektora i normale na mjesto naziva se elementarni tok vektora intenziteta kroz mjesto ΔS (slika 1.3.1):
Promotrimo sada neku proizvoljnu zatvorenu površinu S. Ako tu površinu podijelimo na mala područja ΔSi, odredimo elementarne tokove ΔΦi polja kroz ta mala područja, a zatim ih zbrojimo, tada ćemo kao rezultat dobiti protok Φ vektor kroz zatvorenu površinu S (slika 1.3.2):
Gaussov teorem kaže:
Protok vektora jakosti elektrostatskog polja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu jednak je algebarskom zbroju naboja unutar te površine, podijeljenom s električnom konstantom ε0.
gdje je R polumjer sfere. Tok Φ kroz sferičnu površinu bit će jednak umnošku E i površine sfere 4πR2. Stoga,
Okružimo sada točkasti naboj proizvoljnom zatvorenom površinom S i razmotrimo pomoćnu sferu radijusa R0 (sl. 1.3.3).
Razmotrimo stožac s malim prostornim kutom ΔΩ na vrhu. Ovaj stožac će istaknuti malo područje ΔS0 na sferi i područje ΔS na površini S. Elementarni tokovi ΔΦ0 i ΔΦ kroz ova područja su isti. Stvarno,
Na sličan način može se pokazati da ako zatvorena površina S ne pokriva točkasti naboj q, tada je tok Φ = 0. Takav je slučaj prikazan na Sl. 1.3.2. Sve linije sila električnog polja točkastog naboja prodiru zatvorenu plohu S kroz i kroz. Unutar površine S nema naboja, pa se u tom području silnice polja ne prekidaju niti nastaju.
Generalizacija Gaussovog teorema na slučaj proizvoljne raspodjele naboja slijedi iz principa superpozicije. Polje bilo koje raspodjele naboja može se prikazati kao vektorski zbroj električnih polja točkastih naboja. Protok Φ sustava naboja kroz proizvoljnu zatvorenu površinu S bit će zbroj tokova Φi električnih polja pojedinih naboja. Ako se naboj qi nalazi unutar površine S, tada daje doprinos protoku jednak ako je ovaj naboj izvan površine, tada će doprinos njegovog električnog polja protoku biti jednak nuli.
Time je Gaussov teorem dokazan.
Gaussov teorem je posljedica Coulombovog zakona i principa superpozicije. Ali ako tvrdnju sadržanu u ovom teoremu uzmemo kao početni aksiom, tada će njegova posljedica biti Coulombov zakon. Stoga se Gaussov teorem ponekad naziva alternativnom formulacijom Coulombova zakona.
Koristeći Gaussov teorem, u nekim je slučajevima moguće jednostavno izračunati jakost električnog polja oko nabijenog tijela ako data raspodjela naboja ima neku simetriju i ako se opća struktura polja može unaprijed pogoditi.
Primjer je problem izračunavanja polja tankostijenog, šupljeg, jednoliko nabijenog dugog cilindra radijusa R. Ovaj problem ima osnu simetriju. Zbog simetrije, električno polje mora biti usmjereno duž polumjera. Stoga je za primjenu Gaussovog teorema preporučljivo odabrati zatvorenu plohu S u obliku koaksijalnog valjka nekog radijusa r i duljine l, zatvorenog na oba kraja (slika 1.3.4).
Za r ≥ R, cijeli tok vektora intenziteta proći će kroz bočnu površinu cilindra, čija je površina jednaka 2πrl, budući da je tok kroz obje baze nula. Primjena Gaussovog teoreme daje:
Ovaj rezultat ne ovisi o polumjeru R nabijenog cilindra, pa vrijedi i za polje duge jednoliko nabijene niti.
Za određivanje jakosti polja unutar nabijenog cilindra potrebno je konstruirati zatvorenu plohu za slučaj r< R. В силу симметрии задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность гауссова цилиндра должен быть и в этом случае равен Φ = E 2πrl. Согласно теореме Гаусса, этот поток пропорционален заряду, оказавшемуся внутри замкнутой поверхности. Этот заряд равен нулю. Отсюда следует, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра равно нулю.
Na sličan način, može se primijeniti Gaussov teorem za određivanje električnog polja u nizu drugih slučajeva kada raspodjela naboja ima neku vrstu simetrije, na primjer, simetriju oko središta, ravnine ili osi. U svakom od ovih slučajeva potrebno je odabrati zatvorenu Gaussovu plohu odgovarajućeg oblika. Na primjer, u slučaju središnje simetrije, zgodno je odabrati Gaussovu plohu u obliku kugle sa središtem u točki simetrije. S osnom simetrijom, zatvorena ploha mora biti odabrana u obliku koaksijalnog cilindra, zatvorenog na oba kraja (kao u gore navedenom primjeru). Ako raspodjela naboja nema nikakvu simetriju i ne može se pogoditi opća struktura električnog polja, primjena Gaussovog teorema ne može pojednostaviti problem određivanja jakosti polja.
Razmotrimo još jedan primjer simetrične raspodjele naboja - određivanje polja ravnomjerno nabijene ravnine (sl. 1.3.5).
U tom je slučaju preporučljivo odabrati Gaussovu plohu S u obliku valjka određene duljine, zatvorenog na oba kraja. Os cilindra usmjerena je okomito na nabijenu ravninu, a njegovi krajevi nalaze se na istoj udaljenosti od nje. Zbog simetrije, polje jednoliko nabijene ravnine mora svugdje biti usmjereno duž normale. Primjena Gaussovog teoreme daje:
|
gdje je σ površinska gustoća naboja, tj. naboj po jedinici površine.
Rezultirajući izraz za električno polje jednoliko nabijene ravnine također je primjenjiv u slučaju ravnih nabijenih površina konačne veličine. U tom slučaju udaljenost od točke na kojoj se određuje jakost polja do nabijene površine trebala bi biti znatno manja od veličine površine.
I rasporedi za 7 – 11
1. Intenzitet elektrostatskog polja koje stvara jednoliko nabijena sferna površina.
Neka sferna površina radijusa R (slika 13.7) nosi jednoliko raspoređen naboj q, tj. površinska gustoća naboja u bilo kojoj točki sfere bit će ista.
a. Zatvorimo našu sfernu plohu u simetričnu plohu S radijusa r>R. Tok vektora napetosti kroz plohu S bit će jednak
Po Gaussovoj teoremi
Stoga
c. Povucimo kroz točku B, koja se nalazi unutar nabijene sferne površine, kuglu S polumjera r 2. Elektrostatičko polje lopte. Imamo kuglu radijusa R, jednoliko nabijenu volumenskom gustoćom. U bilo kojoj točki A koja leži izvan lopte na udaljenosti r od njezina središta (r>R), njezino polje je slično polju točkastog naboja koji se nalazi u središtu lopte. Zatim izvan lopte a na njegovoj površini (r=R) U točki B, koja leži unutar kuglice na udaljenosti r od njezina središta (r>R), polje je određeno samo nabojem unutar sfere polumjera r. Tok vektora napetosti kroz ovu sferu jednak je s druge strane, u skladu s Gaussovim teoremom Po Gaussovoj teoremi Iz zadnja dva izraza određujemo jakost polja koju stvara jednoliko nabijena nit: Neka ravnina ima beskonačan opseg, a naboj po jedinici površine jednak σ. Iz zakona simetrije slijedi da je polje usmjereno posvuda okomito na ravninu, a ako nema drugih vanjskih naboja, onda polja s obje strane ravnine moraju biti ista. Ograničimo dio nabijene ravnine na zamišljenu cilindričnu kutiju, tako da je kutija prepolovljena i da su njezini sastavni dijelovi okomiti, a dvije baze, svaka s površinom S, paralelne s nabijenom ravninom (slika 1.10). 12. Polje jednoliko nabijene kugle. Neka je električno polje stvoreno nabojem Q, ravnomjerno raspoređen po površini kugle radijusa R(Slika 190). Za izračun potencijala polja u proizvoljnoj točki koja se nalazi na udaljenosti r iz središta kugle potrebno je izračunati rad polja pri pomicanju jediničnog pozitivnog naboja iz dane točke u beskonačnost. Prethodno smo dokazali da je jakost polja jednoliko nabijene kugle izvan nje ekvivalentna polju točkastog naboja koji se nalazi u središtu kugle. Prema tome, izvan sfere potencijal polja sfere koincidirat će s potencijalom polja točkastog naboja φ
(r)=Q 4πε
0r . (1) Konkretno, na površini kugle potencijal je jednak φ
0=Q 4πε
0R. Unutar sfere nema elektrostatičkog polja, tako da je rad za premještanje naboja s proizvoljne točke unutar sfere na njezinu površinu jednak nuli. A= 0, stoga je potencijalna razlika između tih točaka također nula Δ φ
= -A= 0. Prema tome, sve točke unutar sfere imaju isti potencijal koji koincidira s potencijalom njezine površine φ
0=Q 4πε
0R . Dakle, raspodjela potencijala polja jednoliko nabijene kugle ima oblik (sl. 191) φ
(r)=⎧⎩⎨Q 4πε
0R, npu r<RQ 4πε
0r, npu r>R . (2) Imajte na umu da unutar sfere nema polja, a potencijal je različit od nule! Ovaj primjer je jasna ilustracija činjenice da je potencijal određen vrijednošću polja od dane točke do beskonačnosti. Zhidkevich V.I. Električno polje ravnine // Fizika: problemi proračuna. - 2009. - br. 6. - str. 19-23. Problemi iz elektrostatike mogu se podijeliti u dvije skupine: problemi točkastih naboja i problemi naelektriziranih tijela čije se veličine ne mogu zanemariti. Rješavanje problema proračuna električnih polja i međudjelovanja točkastih naboja temelji se na primjeni Coulombovog zakona i ne izaziva posebne poteškoće. Teže je odrediti jakost polja i međudjelovanje nabijenih tijela konačnih veličina: kugle, cilindra, ravnine. Pri proračunu jakosti elektrostatičkih polja različitih konfiguracija treba naglasiti važnost principa superpozicije i koristiti ga kada se razmatraju polja stvorena ne samo točkastim nabojima, već i nabojima raspoređenim po površini i volumenu. Kada se razmatra učinak polja na naboj, formula F=qE u općem slučaju vrijedi za točkasta nabijena tijela i samo u uniformnom polju primjenjiva za tijela bilo koje veličine i oblika koja nose naboj q. Električno polje kondenzatora proizlazi iz superpozicije dvaju polja koje stvara svaka ploča. U ravnom kondenzatoru jedna se ploča može smatrati tijelom s nabojemq 1postavljen u električno polje intenziteta E 2, stvorena drugom pločom. Razmotrimo nekoliko problema. 1.
Beskonačna ravnina nabijena je površinskom gustoćom σ
>0. Pronađite jakost polja E i potencijal ϕ
s obje strane ravnine, s obzirom da je potencijal ravnine jednak nuli. Izgradite grafikone ovisnosti E(x), ϕ
(X). x os okomita na ravninu, točka x=0 leži na ravnini. Riješenje. Električno polje beskonačne ravnine jednoliko je i simetrično u odnosu na ravninu. Njegovo napetost između intenzitet i razlika potencijala između dviju točaka jednolikog elektrostatskog polja izražava se formulom gdje je x - udaljenost između točaka, mjerena duž linije polja. Zatim ϕ
2 =
ϕ
1 -prv. Na x<0
при х>0 Ovisnosti E(x) i ϕ
(x) prikazani su na slici 1. 2.
Dvije planparalelne tanke ploče smještene na maloj udaljenosti d jedan od drugog, jednoliko nabijeni nabojem površinske gustoćeσ 1 i σ 2. Odredite jakosti polja u točkama koje leže između ploča i s vanjske strane. Nacrtajte graf napetosti E(x) i potencijal ϕ
(x), brojanje ϕ
(0)=0. Razmotrite slučajeve u kojima: a)σ 1 = -σ 2 ; b) σ 1 = σ 2; c) σ 1 =3 σ 2 - Riješenje. Budući da je udaljenost između ploča mala, one se mogu smatrati beskonačnim ravninama. Jakost polja pozitivno nabijene ravnine je i usmjerena od nje; prema njemu je usmjerena jakost polja negativno nabijene ravnine. Prema principu superpozicije, polje u bilo kojoj točki koja se razmatra stvorit će svaki od naboja zasebno. a) Polja dviju ravnina nabijenih nabojima jednakog i suprotnog predznaka (ravni kondenzator) zbrajaju se u području između ravnina i međusobno poništavaju u vanjskim područjima (sl. 2, A). Na x<0
E=
0,
ϕ
=0; na 0 Ako su ravnine konačnih dimenzija, tada polje između ravnina neće biti striktno uniformno, a polje izvan ravnina neće biti točno nula. b) Polja ravnina nabijenih nabojima jednakim po veličini i predznaku (σ 1 = σ 2 ), međusobno kompenziraju u prostoru između ravnina i zbrajaju se u vanjskim područjima (sl. 3, A). Na x<0
при 0 Pomoću grafikona E(x) (Sl. 3, b), konstruirajmo kvalitativni grafikon ovisnosti ϕ
(x) (slika 3, c). c) Ako je σ 1 = σ 2, tada, uzimajući u obzir smjerove polja i birajući smjer udesno kao pozitivan, nalazimo: Ovisnost napetosti E o udaljenosti prikazana je na slici 4. 3.
Na jednoj od ploča ravnog kondenzatora s kapacitetom S postoji naplataq 1=+3q, a s druge strane q 2
=+
q.
Odredite razliku potencijala između ploča kondenzatora. Riješenje. 1. metoda. Neka područje ploče kondenzatora S, i udaljenost između njih d. Polje unutar kondenzatora je jednoliko, pa se razlika potencijala (napona) na kondenzatoru može odrediti formulom U=E*d, gdje je E - jakost polja unutar kondenzatora. gdje je E 1, E 2 - jakost polja koju stvaraju ploče kondenzatora. Zatim 2. metoda. Dodajte naboj svakoj ploči Zatim se ploče kondenziraju satora će imati optužbe +
q i -q. Polja identičnih naboja ploča unutar kondenzatora se međusobno poništavaju. Dodani naboji nisu promijenili polje između ploča, a time ni razliku potencijala za kondenzator. U= q/C
.
4.
Tanka metalna ploča s nabojem + umetnuta je u prostor između ploča nenabijenog ravnog kondenzatora. q. Odredite razliku potencijala između ploča kondenzatora. Riješenje. Budući da kondenzator nije nabijen, električno polje stvara samo ploča koja ima naboj q (slika 5). Ovo polje je uniformno, simetrično u odnosu na ploču i njen intenzitetNeka je potencijal metalne ploče ϕ
. Zatim potencijali ploča A I U kondenzatori će biti jednaki ϕ-
ϕ A
=
ϕ
El 1; ϕ A
=
ϕ-El 1
;
ϕ-
ϕ B
=
ϕ-El 2
;
ϕ B
=
ϕ-El 2
.
Razlika potencijala između ploča kondenzatora 5.
U jednoličnom električnom polju intenziteta E 0 nabijena metalna ploča postavljena je okomito na linije sile s gustoćom naboja na površini svake strane ploče σ
(slika 6). Odredi jakost polja E" unutar i izvan ploče i površinska gustoća nabojaσ 1 i σ 2 , koji će se pojaviti na lijevoj i desnoj strani ploče. Riješenje. Polje unutar ploče je nula i superpozicija je triju polja: vanjskog polja E 0, polje koje stvaraju naboji na lijevoj strani ploče, te polje koje stvaraju naboji na desnoj strani ploče. Stoga, 6.
U ravnom zračnom kondenzatoru jakost polja je E = 10 4 V/m. Udaljenost između ploča d= 2 cm.Kolika će biti razlika potencijala ako se između ploča paralelno s njima postavi lim debljine ?d 0=0,5 cm (slika 7)? Riješenje. Budući da je električno polje između ploča jednoliko, dakle U=Ed, U=200 V. Ako između ploča označite lim, dobit ćete sustav od dva serijski spojena kondenzatora s razmakom između pločad 1 i d2. Kapaciteti ovih kondenzatoraNjihov ukupni kapacitet Budući da je kondenzator isključen iz izvora struje, naboj kondenzatora se ne mijenja kada se doda metalni lim: q"=CU=S"U 1 ; gdje je kapacitet kondenzatora sator prije dodavanja metalnog lima u njega. Dobivamo: U 1=
150 V. 7.
Na tanjurima A i C, koji se nalaze paralelno na udaljenosti d= 8 cm međusobno, potencijali održani ϕ 1= 60 V i ϕ 2
=-
60 V prema tome. Između njih je postavljena uzemljena ploča D na udaljenosti d 1 = 2 cm od ploče A. Koliko se promijenila jakost polja u presjecima AD i CD? Izgradite grafikone ovisnosti ϕ
(x) i E(x). 8. Elektrostatsko polje stvara jednoliko nabijena beskonačna ravnina. Pokažite da je to polje homogeno. Neka površinska gustoća naboja bude s. Očito je da vektor E može biti samo okomit na nabijenu ravninu. Osim toga, očito je da je u točkama simetričnim u odnosu na ovu ravninu vektor E iste veličine i suprotnog smjera. Ova konfiguracija polja sugerira da bi ravni cilindar trebao biti odabran kao zatvorena površina, gdje se pretpostavlja da je s veći od nule. Protok kroz bočnu površinu ovog cilindra je nula, pa će stoga ukupni protok kroz cijelu površinu cilindra biti jednak 2*E*DS, gdje je DS površina svakog kraja. Prema Gaussovoj teoremi gdje je s*DS naboj sadržan unutar cilindra. Preciznije, ovaj izraz treba napisati na sljedeći način: gdje je En projekcija vektora E na normalu n na nabijenu ravninu, a vektor n je usmjeren iz te ravnine. Činjenica da E ne ovisi o udaljenosti do ravnine znači da je odgovarajuće električno polje uniformno. 9. Četvrtina kruga polumjera 56 cm napravljena je od bakrene žice. Naboj linearne gustoće 0,36 nC/m jednoliko je raspoređen duž žice. Pronađite potencijal u središtu kruga. Budući da je naboj linearno raspoređen duž žice, da bismo pronašli potencijal u središtu, koristimo se formulom: Gdje je s linearna gustoća naboja, dL je žičani element. 10. U električnom polju koje stvara točkasti naboj Q, negativni naboj -q giba se duž linije sile od točke koja se nalazi na udaljenosti r 1 od naboja Q do točke koja se nalazi na udaljenosti r 2 . Nađite prirast potencijalne energije naboja -q na tom pomaku. Po definiciji, potencijal je veličina numerički jednaka potencijalnoj energiji jediničnog pozitivnog naboja u danoj točki polja. Prema tome, potencijalna energija naboja q 2: 11. Dva identična elementa s emf. 1,2 V i unutarnji otpor od 0,5 Ohma spojeni su paralelno. Dobivena baterija je zatvorena na vanjski otpor od 3,5 ohma. Nađi struju u vanjskom krugu. Prema Ohmovom zakonu za cijeli krug, jakost struje u vanjskom krugu je: Gdje je E` emf baterije elemenata, r` je unutarnji otpor baterije, koji je jednak: EMF baterije jednak je zbroju EMF tri serijski spojena elementa: Stoga: Promotrimo žicu duljine L i promjera d, izrađenu od materijala otpornosti p. Otpor žice R može se pronaći pomoću formule Gdje je s = površina poprečnog presjeka žice. Pri jakosti struje I, tijekom vremena t, u vodiču se oslobodi količina topline Q: U ovom slučaju pad napona na žici jednak je: Otpor bakra: p1=0,017 μOhm*m=1,7*10 -8 Ohm*m otpornost čelika: p2=10 -7 Ohm*m budući da su žice spojene u seriju, jakosti struje u njima su iste i tijekom vremena t oslobađaju se količine topline Q1 i Q2: 12. U jednoličnom magnetskom polju postoji kružni svitak sa strujom. Ravnina zavojnice je okomita na silnice polja. Dokažite da su rezultante sila koje magnetsko polje djeluju na krug jednake nuli. Budući da je kružni svitak s strujom u jednoličnom magnetskom polju, na njega djeluje Amperova sila. U skladu s formulom dF=I, rezultirajuća amperska sila koja djeluje na zavojnicu kojom teče struja određena je prema: Gdje se integracija provodi duž zadane konture sa strujom I. Budući da je magnetsko polje uniformno, vektor B se može izvaditi ispod integrala i zadatak će se svesti na izračunavanje vektorskog integrala. Ovaj integral predstavlja zatvoreni lanac elementarnih vektora dL, pa je jednak nuli. To znači F=0, odnosno da je rezultirajuća Amperova sila nula u jednoličnom magnetskom polju. 13. Kratkom zavojnicom od 90 zavoja promjera 3 cm teče struja. Jakost magnetskog polja koje stvara struja na osi zavojnice na udaljenosti 3 cm od nje je 40 A/m. Odredite jakost struje u zavojnici. Uzimajući u obzir da je magnetska indukcija u točki A superpozicija magnetske indukcije koju stvara svaki zavoj zavojnice zasebno: Da bismo pronašli zavoj B, koristimo Biot-Savart-Laplaceov zakon. Gdje je dBturn magnetska indukcija polja koju stvara trenutni element IDL u točki koju određuje radijus vektor r na kraju i povucimo radijus vektor r od njega do točke A. Usmjerit ćemo dBturn vektor u skladu s gimlet pravilom. Prema principu superpozicije: Gdje se integracija provodi nad svim elementima dLturn. Rastavimo dBturn na dvije komponente dBturn(II) - paralelnu s ravninom prstena i dBturn(I) - okomitu na ravninu prstena. Zatim Primijetivši to Gdje je dBturn(I) =dBturn*cosb i Kako je dl okomit na r Smanjimo za 2p i zamijenimo cosb s R/r1 Izrazimo I odavde, znajući da je R=D/2 prema formuli koja povezuje magnetsku indukciju i jakost magnetskog polja: onda prema Pitagorinoj teoremi sa crteža: 14. Elektron uleti u jednoliko magnetsko polje u smjeru okomitom na silnice brzinom 10۰10 6 m/s i giba se po kružnom luku polumjera 2,1 cm. Odredite indukciju magnetskog polja. Na elektron koji se kreće u jednoličnom magnetskom polju djelovat će Lorentzova sila okomita na brzinu elektrona i stoga usmjerena prema središtu kruga: Budući da je kut između v i I 90 0: Kako je sila Fl usmjerena prema središtu kruga, a elektron se pod utjecajem te sile kreće po krugu, tada Izrazimo magnetsku indukciju: 15. Kvadratni okvir stranice 12 cm izrađen od bakrene žice nalazi se u magnetskom polju čija se magnetska indukcija mijenja po zakonu B = B 0 · Sin (ωt), gdje je B 0 = 0,01 T , ω = 2 · π/ T i T=0,02 s. Ravnina okvira je okomita na smjer magnetskog polja. Nađite najveću vrijednost emf. indukcija koja se javlja u okviru. Površina kvadratnog okvira S=a 2. Promjena magnetskog toka dj, kada je ravnina okvira okomita dj=SdB Određuje se inducirana emf E će biti maksimalan pri cos(wt)=1
(13.10)
(13.11)
(13.13)
Ako je ploča na istoj udaljenosti od ploča kondenzatora, tada je razlika potencijala između ploča jednaka nuli.
gdje je σ 1 i σ 2 - površinska gustoća naboja na lijevoj i desnoj strani ploče, koja se pojavljuje nakon što se ploča unese u polje E 0. Ukupni naboj na ploči neće se promijeniti, dakleσ 1 + σ 2 =2 σ, odakle je σ 1 = σ- ε 0 E 0
, σ 2 = σ + ε 0 E 0
. Polje izvan ploče je superpozicija polja E 0 i polja nabijenih ploča E. S lijeve strane od ploče Desno od ploče
12 Električni krug sadrži bakrene i čelične žice jednake duljine i promjera u nizu. Nađite omjer količina topline oslobođene u tim žicama.
zbog simetrije i zato što su vektori dBturn(I) susmjerni, vektorsku integraciju zamjenjujemo skalarnom:
