Смотреть страницы где упоминается термин аннуитет пренумерандо. Аннуитеты Учет особенностей поступления платежей

Аннуитеты

В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют аннуитетом, или финансовой рентой.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) – пожалуй, самый распространенный случай. Такой аннуитет предполагает получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т.д.).

Введем следующие обозначения:

Р –величина каждого отдельного платежа;

i с – сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;

S k – наращенная сумма для k-го

S – наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);

A k – современная величина к-го платежа аннуитета постнумерандо;

А –современная величина всего аннуитета постнумерандо.

п – число платежей.

Аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение n лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c .

Основные количественные характеристики аннуитета постнумерандо:

1. Общая наращенная сумма определяется по формуле:

где k i , n – коэффициент наращения в удобном для вычислений виде равен:

Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических вычислениях. Нужно иметь в виду, что n в данном случае – не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее п как число таких интервалов.

Таблица 3. Коэффициенты наращения аннуитета

Таблица 4. Коэффициенты приведения аннуитета

_____________________________________________________________

2. Современная величина всего аннуитета определяется по формуле

3. Современные значения каждого платежа (А к ) определяются по формуле:

Пример 13. Для погашения пакета облигаций, выпущенных ОАО «Интерком» на 5 лет, создаётся выкупной фонд. Ежегодные платежи предприятия в него составляют 150 000 руб., на них в конце каждого года начисляются проценты по ставке 7 %. Определите итоговую наращенную сумму денежных средств, современную величину всего аннуитета и современное значение каждого платежа.

Решение. Для расчёта будущей стоимости выкупного фонда используем формулу

Коэффициент наращения определим по формуле

Аналогичный результат получим по таблице. Итоговая наращенная сумма будет равна S = P ∙150 000 ∙ 5,7507 = 862605 руб.

Современную величину всего аннуитета определим по формуле

Размер очередного платежа может быть определён по формулам:

Современные значения каждого платежа (А к ) определим по формуле:

В данной статье мы продолжим говорить о дисконтировании денежных потоков и в этот раз речь пойдет об аннуитетных денежных потоках.

Что такое аннуитет?

Аннуитет - это серия одинаковых платежей черезодинаковые промежутки времени. Это могут быть ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные платежи. Например, фиксированная сумма зарплата, арендных выплат, платежей банку по кредиту и т.д.

Аннуитеты бывают пренумерандо и постнумерандо. Данные термины обозначают момент платежа. Терминпренумерандо означает платежи в начале каждого периода,постнумерандо — в конце временного периода.

Формула аннуитета

Аннуитетные денежные потоки также можно дисконтировать, то есть определять их текущую стоимость. Например, это необходимо, когда нам нужно выбрать между двумя предлагаемых нам вариантами получения денег.

Дисконтирование аннуитетных платежей

ПРИМЕР 1. Необходимо выбрать наиболее выгодный вариант:

(Б) 5 раз по 10,000 долларов в конце каждого из следующих 5 лет.

Банковская ставка для получения кредита на данный срок составляет 10%.

На первый взгляд вариант (Б) в сумме лучше (5 х 10,000 = 50,000), чем 40,000 долларов. Но действительно ли это так? Ведь мы знаем, что у денег есть еще и «временная» стоимость. Чтобы сравнить эти два варианта между собой, надо привести их к одному моменту времени (к моменту «сейчас»), поскольку стоимость денег в разные моменты времени различна. В данном случае надо продисконтировать аннутитетный денежный поток (Б), т.е. рассчитать его сегодняшнюю стоимость.

Для начала давайте вспомним, как выглядит формула дисконтирования:

PV = FV х 1/(1+R) n

Future value (FV) - будущая стоимость Present value (PV) - текущая (дисконтированная/приведенная) стоимость. R - ставка процента (норма доходности, требуемая инвестором), N - число лет от даты в будущем до текущего момента

Коэффициенты дисконтирования, используемые для нашего примера1/(1+R) n — это 0.9091, 0.8264 и т.д. Только эти вычисления придется повторить 5 раз и сложить. Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) каждую сумму отдельно, то получится вот такая таблица:

10,000 х 0,9091 = 9,091
10,000 х 0,8264 = 8,264
10,000 х 0,7513 = 7,513
10,000 х 0,6830 = 6,830
10,000 х 0,6209 = 6,209
Итого: 37,907

Здесь сумма платежа умножена на соответствующий каждому году коэффициент дисконтирования. В итоге, пять платежей по 10,000 долларов в конце каждого года с учетом дисконтирования стоят 37,907 долларов, что немного меньше, чем 40,000 сегодня. Следовательно, при ставке 10%, 40,000 долларов сегодня будет выгоднее, чем предложенный аннуитет 5 лет по 10,000 долларов.

Формулу дисконтированной стоимости аннуитета можно записать следующим образом:

PV = PMT х = 10,000 х (0.9091+0.8264+0.7513+0.6830+0.6209) = 10,000 х 3.7907 = 37,907

гдеPMT (от английского payment) - это сумма аннуитетного платежа .

Как Вы могли заметить, вместо того чтобы дисконтировать каждую сумму отдельно, можно сложить все коэффициенты дисконтирования и умножить только один раз. Результат сложения коэффициентов дисконтирования за 5 лет называетсякоэффициентом аннуитета . В данном примере коэффициент аннуитета равен3,7907 .

Таким образом, для нахождения текущей стоимости аннуитетов необходимо разовый платеж умножить на коэффициент аннуитета (10,000*3,7907 = 37,907).

Итак, мы разобрали пример с аннуитетными платежами в конце каждого года(постнумерандо) .

ПРИМЕР 2. Давайте немного изменим условия нашего примера. Необходимо выбрать наиболее выгодный вариант:

А) получить 40,000 долларов сегодня или

Б) 5 раз по 10,000 долларов в начале каждого из следующих 5 лет.

Это будет так называемый аннуитетпренумерандо .

В данной ситуации, так как первый платеж производится в начале года, то самый важный нюанс, о котором надо помнить, это то что, первый платеж не надо дисконтировать (т.е. приводить к настоящему моменту). Другими словами, для первого платежа используется коэффициент дисконтирования равный единице. Но необходимо дисконтировать остальные 4 платежа, так как они отложены во времени. Для иллюстрации составим следующую таблицу:

10,000 х 1.000 = 10,000
10,000 х 0.9091 = 9,091
10,000 х 0.8264 = 8,264
10,000 х 0.7513 = 7,513
10,000 х 0.6830 = 6,830
Итого: 41,698

Следовательно, предложенный аннуитет 5 лет по 10,000 в начале года будет выгоднее, чем 40,000 сегодня при ставке 10%.

Формула дисконтированной стоимости аннуитета:

PV = PMT + PMT х = 10,000 + 10,000 х (0.9091+0.8264+0.7513+0.6830) = 10,000 + 10,000 х 3.1698 = 41,698

Обратите внимание, что в данном примере мы определили коэффициент аннуитета для четырех отложенных во времени платежей, а не для пяти, а первый платеж не дисконтировали.

Как видно из данных примеров, большое значение имеет момент, когда производятся платежи: в начале или в конце периода. Поэтому, если нужно рассчитать дисконтированную стоимость аннуитетных денежных потоков, желательно рисовать шкалу времени, на которой отметить суммы и коэффициенты, соответствующие каждому периоду.

Наращенная сумма ренты	Современное значение
годовая
= S (1 + i)	Ä = A (1 + i)
годовая, начисление процентов m раз в году
= S (1 + ) m	Ä = A (1 + ) m
p-срочная, начисление процентов один раз в году
= S (1 + i)	Ä = A (1 + i)
p-срочная, начисление процентов m раз в году (m = p)
= S (1 + )	Ä = A (1 + )

Пример 23.

В пенсионный фонд ежегодно в начале года вносятся суммы в размере 25 тыс.руб., на которые начисляются сложные проценты по ставке 3% годовых. Определите сумму, накопленную в фонде через 10 лет и сумму начисленных процентов.

Решение:

Рента пренумерандо, годовая, начисление процентов один раз в год. Используем формулу

S = S (1 + i) = 25000 1,03 = 295194 (руб.)

I = 295194 – 25000 = 270194 (руб.)

Исчисление современной стоимости финансовых рент имеет большее практическое значение, чем вычисление наращенной стоимости. Рассмотрим задачу по оценке инвестиционного проекта.

Пример 24.

В течение 4 лет ожидаются поступления от реализации проекта в размере 2 млн. руб. в конце каждого полугодия. Единовременные вложения в проект в начале первого года составили 10 млн. руб. Будут ли данные вложения убыточны или принесут прибыль, при использовании годовой процентной ставки 6%.

Решение:

Поступления в размере 2 млн. руб. ожидаются в течение четырех лет. Поскольку это разновременные выплаты, необходимо привести их к одной дате. Оценим стоимость этих выплат на начало первого года. Для этого используем формулу современной стоимости р-срочной ренты постнумерандо с начислением процентов один раз в году (См. Справочник, Таблица «Аннуитет постнумерандо».)

Теория современной стоимости аннуитета нашла прикладное значение в задачах погашения задолженности равными срочными выплатами. Выше в главе 1 мы уже рассматривали составление плана погашения кредита равными суммами. В данной главе остановимся на задаче погашения задолженности с помощью применения формул финансовой ренты. Экономическая постановка задачи заключается в следующем. Задолженность на начало срока определена в сумме А, ее необходимо погасить равными срочными уплатами R, которые включают в себя начисленные проценты по ставке i. Очевидно, данная задача может быть решена с помощью формул современного значения финансовой ренты.

Пример 25.

Пусть задолженность на текущий момент равна 250000 руб. Долг предлагается погасить в течение 5 лет при использовании процентной ставки 30% годовых. Долг погашается равными срочными уплатами, включающими начисленные проценты Составить план погашения задолженности.

Решение:

Очевидно, что текущая задолженность 250000 руб. представляет собой современную стоимость финансовой ренты с ежегодными платежами R. Рассчитаем срочные выплаты R на основе формулы современного значения годовой ренты постнумерандо (См. Справочник, Таблица «Аннуитет – постнумерандо»).

Суммы 102645 руб. выплачиваются в течение пяти лет ежегодно и включают начисленные проценты. Рассчитаем начисленные проценты за первый год:

Сумма погашения долга в первом году составляет:

102645-75000=27645 (руб.)

Во втором году остаток долга равен:

250000-27645=222355 (руб.)

На эту сумму во втором году начисляются проценты:

Сумма к погашению во втором году равна.

Тема 4. Постоянные финансовые ренты

4.1. Характеристики потоков платежей

4.1.1. Основные понятия

Операции с отдельными денежными суммами лежат в основе более сложных операций — операций с последовательностями таких сумм, распределенных во времени, т. е. с потоками платежей.

Потоком платежей называется последовательность денежных сумм, приуроченных к определенным моментам времени. Отдельные денежные суммы, являющиеся членами последовательности, называются членами потока .

Потоки возникают, например, при реализации инвестиционного проекта, при погашении задолженности в рассрочку, при получении доходов по акциям или другим ценным бумагам, при выплате пенсий и т. д.

Потоки платежей классифицируются на регулярные и нерегулярные. Варианты потоков графически представлены на рис. 4.1-4.3.

В нерегулярном потоке временные интервалы между членами потока могут иметь различную продолжительность. Кроме того, члены такого потока могут иметь различные знаки. Положительные члены обычно соответствуют поступлениям денежных сумм, отрицательные — затратам.

В регулярном потоке промежутки времени между соседними выплатами имеют одинаковую длину и члены потока имеют один знак. Регулярные потоки называются также финансовыми рентами .

Рис. 4.1. Нерегулярный поток платежей

Рис. 4.2. Регулярный поток платежей (случай постоянной финансовой ренты)

Рис. 4.3. Регулярный поток платежей (случай переменной финансовой ренты)

Отметим, что члены финансовой ренты в общем случае могут различаться по своей величине. Если они одинаковы, то говорят о постоянной финансовой ренте. Если различаются, — то о переменной финансовой ренте. Эти различия могут подчиняться какой-нибудь закономерности (например, ренты с постоянным абсолютным или относительным приростом членов) или быть несистематическими.

К основным параметрам, характеризующим ренту, относятся:

член ренты — размер отдельного платежа;
период ренты — длина интервала времени между соседними платежами;
срок ренты — длина промежутка времени от начала первого периода до конца последнего периода;
процентная ставка — та величина процентной ставки, на основе которой проводится анализ ренты.

При анализе конкретных рент используются и другие характеристики и параметры, например периодичность начисления процентов (при начислении несколько раз в году), вероятность выплаты (если речь идет о страховых платежах) и др.

Ренты могут иметь заранее оговоренный срок или не иметь такого срока. В последнем случае говорят о вечной ренте .

Ренты различаются по моменту выплат в пределах периода. Если платежи приурочены к концу периодов, то рента называется рентой постнумерандо (а также обыкновенной рентой ). Если же платежи приурочены к началу периодов, то рента называется рентой пренумерандо .

4.1.2. Обобщающие характеристики потоков платежей

Два финансовых потока могут быть по-разному распределены во времени, иметь различную продолжительность, различное число членов, различаться величиной членов.

Их сопоставление, анализ, выбор варианта потока проводится на основе обобщающих характеристик, позволяющих свести все разнообразие потоков к небольшому числу базовых показателей.

К основной характеристике потока относится его приведенная стоимость (приведенная оценка). Она позволяет «свернуть» весь распределенный во времени поток в одно число.

Под приведенной стоимостью понимается сумма всех членов потока с начисленными процентами, приведенная (дисконтированная) к какому-то заданному моменту времени. Обычно в качестве такого момента времени выбирают момент начала первого периода потока или момент окончания его последнего периода. В первом случае говорят о современной стоимости (современной оценке ) потока, во втором — о наращенной стоимости (наращенной сумме ) потока.

Иногда современную оценку потока привязывают не к его началу, а к некоторому более раннему моменту времени. Например, если сегодня анализируются потоки по вариантам инвестиционных проектов, реализация которых должна начаться через некоторое время, то современную оценку привязывают обычно не к началу потоков (у разных вариантов может быть разный начальный момент), а к сегодняшнему дню.

4.1.3. Расчет приведенной стоимости потока

Сформулируем определение приведенной стоимости потока в общем случае.

Пусть поток состоит из членов Rk , приуроченных к моментам времени tk . Определим стоимость этого потока, приведенную к произвольному моменту времени t.

Рассмотрим произвольный член потока Rk . Если соответствующий ему момент времени tk наступает раньше момента приведения t,

tk < t,

то при пересчете оценки величины Rk на момент t ее следует увеличить, умножив на коэффициент роста, равный . Этот коэффициент показывает, во сколько раз изменится величина Rk по сложной процентной ставке i за время (t — tk ), отделяющее момент tk от момента t.

Другими словами, если бы денежную сумму Rk положить на депозитный счет с условиями начисления сложных процентов по ставке i, то за время (t — tk ) величина Rk выросла бы до величины Rk . Показатель степени положительный, так что коэффициент больше 1, величина Rk при умножении увеличивается.

Если же момент времени tk наступает позже момента t,

tk > t ,

то при пересчете оценки величины Rk на момент t ее надо умножить на соответствующий коэффициент дисконтирования. Формула для этого коэффициента та же, что и для прежнего коэффициента роста, т. е. . Однако показатель степени теперь отрицательный, так что коэффициент автоматически окажется менее 1. Величина Rk при умножении на такой коэффициент уменьшается.

Таким образом, независимо от того, как взаимно расположены моменты t и tk , при приведении члена потока Rk к моменту t его следует умножить на одно и то же выражение, равное .

В одной ситуации это приводит к увеличению Rk , в другой — к уменьшению. Во всех ситуациях это приводит к корректному пересчету величины Rk , к ее приведению на момент времени t.

Приведенная стоимость всего потока St , приведенная на момент времени t по сложной процентной ставке i, определяется суммой результатов приведения всех членов потока, т. е. формулой

Формула позволяет определить приведенную стоимость потока для любого момента времени t. В частности, если t — момент начала потока, то эта формула определяет современную стоимость потока. Если же t — момент окончания срока потока, формула определяет наращенную сумму потока.

4.1.4. Связь между результатами приведения к разным моментам времени

Рассмотрим, как изменяется величина приведенной стоимости при приведении к другому моменту.

Пусть t — другой момент приведения. Тогда при приведении к моменту t получим величину:

Величины St и St связаны соотношением

Рассмотрим отношение приведенных оценок:

Отсюда получаем, что при приведении к более позднему моменту величина приведенной стоимости окажется больше. Действительно, если

t> t ,

откуда следует, что

St > St .

Отношение приведенных оценок St / St выражается величиной, не зависящей от конкретного потока. Она зависит лишь от разности (t — t) моментов приведения и от выбранной для приведения процентной ставки i.

Это позволяет сравнивать различные потоки по их приведенной стоимости безотносительно к выбору конкретного момента приведения.

Действительно, пусть и — стоимости двух потоков при их приведении к моменту t, а и — стоимости тех же потоков при их приведении к моменту t. Тогда отношения этих оценок равны:

Если приведенная стоимость одного потока оказалась в m раз больше приведенной стоимости другого при приведении обоих потоков к какому-то одному моменту времени, то это же соотношение между потоками сохранится и при приведении к любому другому моменту времени.

4.2. Характеристики постоянной финансовой ренты

4.2.1. Расчет характеристик постоянной ренты

Полученная выше формула приведенной стоимости потока пригодна для расчетов с любыми потоками. В некоторых важных частных случаях ее можно заметно упростить. Так, для наиболее распространенного вида потоков — постоянной финансовой ренты — мы получим существенно более простые расчетные формулы. Простые формулы можно получить и для переменных рент с несложной закономерностью изменения членов ренты.

Рассмотрим постоянную ренту, содержащую n членов одинаковой величины R (рис. 4.4). Интервал между членами ренты одинаков. Предположим, что он составляет 1 год (такая рента называется аннуитетом ). Пусть это рента постнумерандо.

Таким образом, перед нами последовательность из n одинаковых платежей размера R каждый. Общий срок ренты составляет n лет. Очередной платеж совершается в конце года. Первый платеж происходит в конце первого года, последний — в конце n-го года. Конец общего срока ренты совпадает с моментом последнего платежа.

Рис. 4.4. Постоянная финансовая рента

Определим наращенную конечную стоимость ренты S, т. е. стоимость ренты на конец ее срока (конечную стоимость обозначают иногда также посредством FV — Future Value ).

Приведение следует провести на момент окончания срока ренты. Рассмотрим поочередно члены ренты, от последнего к первому.

Последний, n-й член ренты при приведении сохраняется без изменения, поскольку момент приведения совпадает с моментом последнего платежа. В результате преобразования он сохраняет свою величину R.

Предпоследний, (n-1)-й член преобразуется в величину R(1 + i).

Предпредпоследний, (n-2)-й член преобразуется в .

Продолжая рассуждения, получим, что произвольный k-й член преобразуется в .

В частности, первый член преобразуется в .

Суммируя получившуюся n-членную геометрическую прогрессию с первым членом R и знаменателем (1+i), приходим к формуле

Это и есть формула конечной наращенной суммы постоянной n-членной ренты постнумерандо.

Обратимся к формуле начальной, современной стоимости ренты A, соответствующей приведению к начальному моменту срока ренты (такую величину обозначают также посредством PV — Present Value ). Эту формулу можно получить двумя способами.

Один — провести рассуждения, аналогичные данным выше для формулы наращенной суммы, но ориентированные на приведение к другому моменту времени. Другой — провести дисконтирование уже полученной величины наращенной суммы к начальному моменту срока ренты, т. е. воспользоваться равенством

Второй путь позволяет сразу написать итоговую формулу

По этим формулам можно провести расчет при любой положительной величине процентной ставки i. Они не работают только при i = 0, т. е. в случае, когда не учитывается рост вложенной денежной суммы. Однако в этом случае современная и будущая оценки фонда совпадают, и обе равны простой сумме членов ренты:

4.2.2. Вечная рента

В некоторых случаях ренту можно рассматривать как продолжающуюся неограниченно долго, т. е. имеющую неограниченное число членов. Такая ситуация возникает, когда заранее срок ренты не установлен. Например, регулярные выплаты по облигациям с неограниченным сроком действия.

Ренты с неограниченным сроком называются вечными рентами .

Определить наращенную сумму вечной ренты невозможно, т. к. такая сумма должна быть приведена к концу срока ренты. Однако можно определить современную стоимость вечной ренты. Для этого достаточно просуммировать бесконечную убывающую геометрическую прогрессию.

Если в полученной выше формуле для современной стоимости ренты со сроком n устремить n к бесконечности, то получим:

Таким образом, современная стоимость вечной ренты определяется простым правилом: современная стоимость равна отношению величины члена ренты к процентной ставке.

4.2.3. Связь параметров ренты

Отметим, что числитель в последней формуле отрицателен (подлогарифмическое выражение меньше 1), так что знак «минус» перед формулой возвращает положительное значение n.

В отличие от R и n расчет процентной ставки i не удается провести в виде вычисления по готовой формуле. Величину процентной ставки определяют одним из методов приближенных вычислений (например, методом линейной интерполяции — методом хорд или методом Ньютона — методом касательных).

4.2.4. Ренты пренумерандо и постнумерандо

Рента пренумерандо при приведении к концу срока отличается от ренты постнумерандо сдвигом на один период времени от конца назад. Поэтому все ее члены при приведении следует дополнительно умножить на одну и ту же величину (1 + i). В результате формула наращенной суммы ренты пренумерандо примет вид

Аналогично изменится и формула современной стоимости ренты:

Соответствующие изменения произойдут в формулах, определяющих величину постоянного члена и продолжительность для ренты пренумерандо:

Полученные формулы можно рассматривать как формулы для ренты постнумерандо, но с новой оценкой приведенной стоимости (оценкой S или A), уменьшенной в (1+ i) раз.

Формула для срока ренты n, выраженного через наращенную сумму S, имеет вид

Аналогичная формула для срока ренты n, выраженного через современную стоимость ренты A, имеет вид

Полученные формулы соответствуют формулам для ренты постнумерандо, но с новой величиной члена ренты R, увеличенной в (1+ i) раз.

В дальнейшем мы будем строить формулы для ренты постнумерандо, имея в виду, что они легко преобразуются в формулы для ренты пренумерандо.

4.3. Платежи и проценты

4.3.1. Учет особенностей начисления процентов

Рассмотрим ситуацию, когда проценты на члены ренты начисляются не один, а несколько раз за период поступления платежей.

Пусть на поступающие члены постоянной ежегодной ренты постнумерандо начисляются проценты m раз в году (например, ежеквартально). Рассмотрим два варианта перевода годовой ставки в квартальную.

1. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле сложной процентной ставки, т. е. по формуле

В общем случае, при разделении года на m равных периодов, эта формула имеет вид

В таком случае ставка i и ставка j корректно согласованы друг с другом, и все расчетные формулы, связанные с рентой, остаются прежними.

2. Пусть перевод годовой ставки i в квартальную j происходит по формуле простой процентной ставки, т. е. по формуле

или, в случае разделения года на m периодов, по формуле

j = i/m.

В этой ситуации множитель роста вклада за год равен величине

При построении приведенной оценки ренты ее члены, как и в первоначальном случае, образуют геометрическую прогрессию, но с другим знаменателем — со знаменателем, равным множителю роста. Таким образом, для наращенной суммы получаем:

Для современной стоимости потока получаем формулу

4.3.2. Учет особенностей поступления платежей

Мы рассмотрели вариант, когда период начисления процентов меньше периода поступления платежей. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда период поступления платежей меньше периода начисления процентов.

Пусть проценты начисляются ежегодно, а платежи поступают равными взносами, периодически, p раз в году (например, ежемесячно). Если годовая сумма платежей по-прежнему равна R, то отдельный платеж равен теперь величине R / p. Общее число членов ренты за n лет равно теперь nxp.

На каждый член ренты при определении наращенной суммы начисляются проценты за весь период времени, оставшийся до конца срока ренты.

Последовательность членов такой ренты с начисленными процентами опять является геометрической прогрессией. Первый член прогрессии (считая, как и раньше, от конца поступления платежей) равен R / p. Число членов равно np. Знаменатель прогрессии есть

Наращенная сумма S есть сумма членов этой прогрессии Она определяется формулой

Современная стоимость ренты определяется формулой

4.3.3. Учет особенностей начисления процентов и поступления платежей

Рассмотрим вариант ренты, когда и начисление процентов, и поступление платежей происходят несколько раз в году. Обычно в таких ситуациях оба события происходят с одинаковой периодичностью. Например, рентные платежи поступают ежемесячно, и начисление процентов происходит также ежемесячно.

Расчеты по такой ренте сводятся к расчетам по первоначальной формуле с заменой годового периода новым периодом (например, месячным). При этом число членов ренты кратно числу лет, а процентная ставка изменяется в соответствии с новым периодом.

Выводы

Финансовая рента — это последовательность платежей, возникающих через равные промежутки времени. Если размеры платежей финансовой ренты одинаковы, то рента называется постоянной финансовой рентой.

Различают ренты постнумерандо (платежи поступают в конце промежутков времени) и ренты пренумерандо (платежи поступают в начале промежутков времени).

Конечная стоимость ренты S и начальная стоимость ренты A определяются путем приведения всех платежей к конечному или начальному моменту времени по сложной процентной ставке. Итоговые формулы получаются на основе суммирования геометрической прогрессии. Для ренты постнумерандо формулы имеют вид

Формула начальной стоимости ренты применима и для вечной ренты, содержащей бесконечное множество платежей:

Вопросы для самопроверки

Определите понятие потока платежей.
Какую информацию следует указать, чтобы задать поток платежей?
Чем различаются регулярные и нерегулярные потоки платежей?
Какой поток платежей называется финансовой рентой?
Чем различаются постоянные и переменные финансовые ренты?
Что такое вечная рента?
Чем различаются ренты постнумерандо и пренумерандо?
Что такое приведенная стоимость потока платежей?
Как рассчитывается приведенная стоимость потока платежей?
Какова формула приведенной стоимости потока платежей?
Как изменяется результат расчета приведенной стоимости потока при изменении момента приведения?
Что можно сказать про отношение стоимости потоков при изменении момента приведения?
Какова формула конечной стоимости постоянной ренты?
Какова формула начальной стоимости постоянной ренты?
Как связаны друг с другом начальная и конечная стоимость ренты?
Какова формула начальной стоимости постоянной вечной ренты?
Какова формула члена постоянной ренты?
Какова формула срока постоянной ренты?
Как связаны друг с другом формулы для ренты постнумерандо и ренты пренумерандо?
Каковы формулы стоимости ренты при начислении процентов более частом, чем поступление платежей?
В чем особенности формулы стоимости ренты при начислении процентов по сложной ставке?
В чем особенности формулы стоимости ренты при начислении процентов по простой ставке?
Каковы формулы стоимости ренты при поступлении платежей более частом, чем начисление процентов?

Библиография

Бригхем Ю., Гапенски Л. Финансовый менеджмент: В 2 т. СПб., 1997.
Капитоненко В. В. Финансовая математика и ее приложения. М., 1998.
Кутуков В. Б. Основы финансовой и страховой математики. Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. М., 1998.
Лукасевич И. Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. М., 1998.
Малыхин В. И. Финансовая математика. М., 1999.
Уотшем Т. Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М., 1999.

Аннотация

Понятие и характеристика денежного потока

$1000 $1000 $1000 $1000

Элемент денежного потока принято обозначать CF k (Cash Flow), где k - номер периода, в который рассматривается денежный поток. Настоящее значение денежного потока обозначено PV (Present Value), а будущее значение - FV (Future Value).

Будущее значение денежного потока, для всех элементов от 0 до m получим:

Пример 1 : После внедрения мероприятия по снижению административных издержек предприятие планирует получить экономию $1 000 в конце каждого года. Сэкономленные деньги предполагается размещать на депозитный счет (под 5 % годовых) с тем, чтобы через 5 лет накопленные деньги использовать для инвестирования. Какая сумма окажется на банковском счету предприятия?

Таким образом, предприятие через 5 лет накопит $5 526, которое сможет инвестировать.

Таким образом, денежные потоки – это потоки платежей (наличности) под которым понимается распределение во времени, движения денежных средств, возникающих в результате хозяйственной деятельности субъекта.

Кроме того, под денежными потоками понимается распределенная во времени последовательность выплат и поступлений генерируемая тем или иным активом, портфелем активов или операцией инвестиционного проекта.

С каждым инвестиционным проектом принято связывать денежный поток (Cash Flow), элементы которого представляют собой либо чистые оттоки (Net Cash Outflow), либо чистые притоки денежных средств (Net Cash Inflow).

Под чистым оттоком в k-м году понимается превышение текущих денежных расходов по проекту над текущими денежными поступлениями (при обратном соотношении имеет место чистый приток).

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).

Аннуитет обладает двумя важными свойствами:

1) все его n-элементов равны между собой: CF1 = CF2 ...= CFn = CF ;

2) отрезки времени между выплатой (получением сумм) CF одинаковы.

Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции.

Под текущей стоимостью денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.

Текущая стоимость аннуитета имеет следующий вид:

Выражение в квадратных скобках представляет собой множитель, равный современной стоимости аннуитета одной денежной единицы.

Разделив современную стоимость PV денежного потока на указанный множитель можно получить сумму периодического платежа эквивалентного ему аннуитета.

Схема дисконтирования простого аннуитета.

Пример 2 :

Пенсионный фонд должен осуществить ежегодные выплаты по 100 денежных единиц в течении трех лет. Какая сумма обеспечит указанные выплаты, если ставка по срочным депозитам в настоящее время 8% годовых.

0 100 100 100

Общая сумма 257,7.

Оценка потока пренумерандо

Аннуитет пренумерандо – англ. Annuity Due, представляет собой серию платежей, которые периодически осуществляются в начале каждого периода (например, месяц, квартал, полугодие или год). Этот тип инструмента может представлять из себя инвестицию или кредит, в зависимости от цели и владельца аннуитета. Примером аннуитета могут служить сберегательные счета, страховые полисы, ипотека и другие подобные инвестиции. Ключевой особенностью аннуитета пренумерандо является то, что все платежи осуществляются в начале каждого периода.

Схема наращения элементов денежного потока пренумерандо

где A – размер платежа;

i – процентная ставка за период;

N – количество периодов.

Например, инвестор намеревается ежемесячно размещать на депозит по 500 у.е. в течение 2-ух лет под 7% годовых при условии, что каждый взнос будет осуществляться в начале каждого месяца. Чтобы рассчитать сумму, которая будет в распоряжении инвестора воспользуемся приведенной выше формулой. Однако прежде необходимо привести годовую процентную ставку к месячной, которая составит 0,583% (7%/12). При этом количество периодов составит 24 (24 месяца).

Таким образом в распоряжении инвестора через два года окажется сумма в размере 12914,87 у.е.

Для обратной задачи схема дисконтирования, т. е. приведения всех элементов исходного потока в точку 0, может быть представлена на рис.

Схема дисконтирования элементов денежного потока пренумерандо

Для расчета настоящей стоимости аннуитета пренумерандо необходимо использовать следующую формулу.

Эта формула, например, может быть использована для расчета размера аннуитетного платежа по кредиту. Допустим, заемщик намеревается взять кредит в банке на сумму 25000 у.е. сроком на 5 лет под 17% годовых при условии, что кредит будет погашаться ежемесячно. Чтобы рассчитать размер платежа необходимо воспользоваться формулой настоящей стоимости аннуитета пренумерандо, выразив из нее платеж (A).